《2.4圆周角》自主学习同步能力提升训练2021-2022学年苏科版九年级数学上册 （Word版 含答案）

2021年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》自主学习同步能力提升训练（附答案）
一．选择题（共6小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（　　）
A．80°
B．90°
C．100°
D．50°
2．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠D＝110°，则∠BAC的度数为（　　）
A．20°
B．35°
C．55°
D．90°
3．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，若∠ADC＝125°，则∠BAC的度数是（　　）
A．25°
B．35°
C．45°
D．55°
4．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AB＝3，则AD的值为（　　）
A．6
B．
C．5
D．
5．如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB∥CD，∠A＝25°，则∠BOD等于（　　）
A．100°
B．120°
C．130°
D．150°
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，若∠CBE＝55°，则∠DAC的度数为（　　）
A．70°
B．67.5°
C．62.5°
D．65°
二．填空题（共6小题）
7．如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点，且与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在第二象限⊙M上，且∠AOC＝60°，则OC＝　
　．
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D＝72°，则∠BAE＝　
　°．
9．如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC＝　
　度．
10．如图，已知A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为　
　．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝67.5°，以AB为直径的半圆画与BC、AC分别相交于点D、E，则
的度数是　
　．
12．如图，在半径为2的⊙O中，AB＝2，CD＝2，AB与CD交于点E，延长AC、DB交于点F，则∠F＝　
　．
三．解答题（共18小题）
13．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°
（1）求∠B的大小；
（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．
14．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且＝，连接CD，交AB于点E，连接BC，BD．
（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度数；
（2）∠ABD的平分线交CD于点F，求证：BC＝CF．
15．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．
（1）求证：＝；
（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；
（3）若BD＝6，AB＝10，求DE的长．
16．如图，AB是⊙O的直径，P、C是圆周上的点，＝，弦PC交AB于点D．
（1）求证：∠A＝∠C；
（2）若OD＝DC，求∠A的度数．
17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E在上，连接AE，DE，延长BA到点F，若∠FAD＝2∠E．求证：AB＝AD．
18．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB＝8，AC＝6，求DE的长．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD＝7，BE＝2，求AB．
20．如图，已知⊙O中直径AB和弦AC交于点A，点D，E分别是半圆AB和的中点，连接DE分别交AB，AC于点F，G．
（1）求证：AF＝AG；
（2）连接CE，若AF＝4，BF＝6，∠A＝30°，求弦CE的长．
21．已知：如图，BC是半⊙O的直径，点D在半圆O上，点A是弧BD的中点．AE⊥BC，垂足为E，BD分别交AE，AC于点F，G．
（1）求证：AF＝BF；
（2）点D在何处时，有AG＝FG？指出点D的位置并加以证明．
22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D．
（1）求证：∠BAE＝∠CAD．
（2）若⊙O的半径为4，AC＝5，CD＝2，求CF．
23．如图，点D是等腰△ABC底边的中点，过点A、B、D作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的直径；
（2）延长CB交⊙O于点E，连接DE，求证：DC＝DE．
24．如图，已知△ABC的一个外角∠CAM＝120°，AD是∠CAM的平分线，且AD的反向延长线与△ABC的外接圆交于点F，连接FB、FC，且FC与AB交于E．
（1）判断△FBC的形状，并说明理由；
（2）请探索线段AB、AC与AF之间满足条件的关系式并说明理由．
25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．
（1）若∠BAC＝40°，则∠ADC＝　
　°；
（2）求证：∠BAC＝2∠DAC；
（3）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．
26．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）当∠E＝∠F时，则∠ADC＝　
　°；
（2）当∠A＝55°，∠E＝30°时，求∠F的度数；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
27．如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点P，PC＞PD．
（1）试说明：△PAC∽△PDB；
（2）设PA＝4，PB＝3，CD＝8，求PC、PD的长．
28．如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB为⊙O上关于点A、B的滑动角．已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，
（1）若AB为⊙O的直径，则∠APB＝　
　；
（2）若⊙O半径为1，AB＝，求∠APB的度数；
（3）若⊙O半径为1，AB＝，AC＝，求∠BAC的度数．
29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A，C，D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC＝AE；
（2）求△ABC外接圆的半径．
30．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．
参考答案
一．选择题（共6小题）
1．解：∵OC＝OA，
∴∠A＝∠OCA＝40°，
∴∠BOC＝2∠A＝80°．
故选：A．
2．解：∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC＝110°，
∴∠ABC＝70°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝20°．
故选：A．
3．解：连接OC，如下图所示：
∵∠ADC＝125°对应优弧，
∴∠AOC＝360°﹣2×125°＝110°，
而△AOC为等腰三角形，
∴∠BAC+∠OCA＝180°﹣110°＝70°，
∴∠BAC＝35°，
故A、C、D错误，
故选：B．
4．解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠ACB＝30°，
∴∠ACB＝∠ADB＝30°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝3，
∴AD＝3．
故选：D．
5．解：连接OC，如图所示：
∵OD＝OC，
∴∠D＝∠OCD，
∵OB∥CD，
∴∠BOC＝∠OCD
∴∠BOC＝∠D，
∵∠BOC＝2∠A，∠A＝25°，
∴∠D＝2∠A＝50°，
∵OB∥CD，
∴∠BOD+∠D＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣50°＝130°；
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠CBE＝55°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣55°＝125°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣125°＝55°，
∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠DAC）＝（180°﹣55°）＝62.5°，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
7．解：连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC＝a．
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∵A（﹣4，0），B（0，2），
∴AB＝＝＝2，
∵∠AMC＝2∠AOC＝120°，
∴AC＝AM＝，
在Rt△COH中，OH＝OC?cos60°＝a，CH＝OH＝a，
∴AH＝4﹣a，
在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2，
∴15＝（4﹣a）2+（a）2，
∴a＝2+或2﹣（舍弃），
∴OC＝2+．
故答案为：2+．
8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝72°，
∴∠DCB＝（180°﹣∠D）＝108°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB＝∠D＝72°，∠B＝180°﹣∠BCD＝72°
∴∠BAE＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案为：36
9．解：∵∠D＝32°，∠D＝∠ABC，
∴∠ABC＝32°，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BCA＝90°﹣∠ABC＝58°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OAC＝58°，
故答案为：58．
10．解：∵OB＝2，OA＝2，
∴AB＝＝4，
∵∠AOP＝45°，
∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P（a，a），
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（，1），
可得P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2，
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP＝90°，
∴PF＝a﹣1，CF＝a﹣，PC＝2，
∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：（a﹣）2+（a﹣1）2＝22，
舍去不合适的根，可得：a＝1+，
则P点坐标为（+1，+1）．
∵P与P′关于圆心（，1）对称，
∴P′（﹣1，1﹣）．
故答案为：（+1，+1）或（﹣1，1﹣）
11．解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∵∠C＝67.5°，
∴∠ABC＝67.5°，
∴∠BAD＝22.5°，
∴的度数为45°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠EAD，
∴＝，
∴的度数为45°，
∴的度数为180°﹣45°﹣45°＝90°．
故答案为：90°．
12．解：作直径CG、AH，交⊙O于G、H，连接AG、DG、BH，
∴∠CDG＝∠ABH＝90°，
∵AB＝2，CD＝2，CG＝AH＝4，
由勾股定理得：DG＝＝＝2，
BH＝＝＝2，
∴DG＝CD，BH＝AH，
∴∠CGD＝45°，∠HAB＝30°，
∴∠AHB＝60°，
∵A、C、D、G四点共圆，
∴∠DCF＝∠DGA＝∠AGC+∠CGD＝∠AGC+45°，
∵∠AHB＝∠AGC+∠CDF，∠CDF＝∠FAB，
∴∠AHB＝∠AGC+∠FAB＝60°，
在△DCF中，∠F＝180°﹣∠DCF﹣∠CDF，
＝180°﹣∠AGC﹣45°﹣∠FAB，
＝180°﹣45°﹣60°，
＝75°，
故答案为：75°．
三．解答题（共18小题）
13．解：（1）∵∠CAB＝∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB＝40°，
∴∠CDB＝40°，
又∵∠APD＝65°，
∴∠BPD＝115°，
∴在△BPD中，
∴∠B＝180°﹣∠CDB﹣∠BPD＝25°；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE＝3．
∵AB是直径，
∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角），
∴OE∥AD，
又∵O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AD＝2OE＝6．
14．解：（1）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵＝，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵∠AOD＝130°，
∴∠ACD＝65°，
∵∠BEC是△ACE的外角，
∴∠BEC＝∠A+∠ACD＝110°．
（2）证明：∵BF平分∠ABD，
∴∠EBF＝∠DBF，
∵，
∴∠ABC＝∠CDB，
又∵∠CFB＝∠FBD+∠FDB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝BC．
15．（1）证明：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AFO＝∠ADB＝90°，
∴OC⊥AD
∴＝；
（2）解：连接AC，如图，
∵＝，
∴∠CAD＝∠ABC，
∵∠ECA＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴AC：CE＝CB：AC，
∴AC2＝CE?CB，即AC2＝1×（1+3），
∴AC＝2，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB＝＝2，
∴⊙O的半径为；
（3）解：在Rt△DAB中，AD＝＝8，
∵OC⊥AD，
∴AF＝DF＝4，
∵OF＝＝3，
∴CF＝2，
∵CF∥BD，
∴DE＝×4＝3．
16．（1）证明：如图，连接OP．
∵＝，
∴PA＝PC．
在△POA与△POC中，
．
∴△POA≌△POC（SSS）．
∴∠A＝∠C；
（2）设∠A＝∠C＝x°，则∠POB＝2∠A＝2x°．
∵OD＝DC，
∴∠DOC＝∠C＝x°．
在△POC中，x+3x+x＝180°
x＝36．
∴∠A＝36°．
17．证明：连接CA，如图，
∵∠FAD+∠BAD＝180°，∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠FAD＝∠BCD，
∵∠FAD＝2∠E，
∴∠BCD＝2∠E，
而∠ACD＝∠E，
∴∠ACB＝∠ACD＝∠E，
∴＝，
∴AB＝AD．
18．解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B＝70°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝＝＝55°，
∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；
（2）在直角△ABC中，BC＝＝＝2，
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
又∵OA＝OB，
∴OE＝BC＝．
又∵OD＝AB＝4，
∴DE＝OD﹣OE＝4﹣．
19．（1）证明：∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC．
∵AB＝AC，
∴BE＝CE．
∵AE＝EF，
∴四边形ABFC是平行四边形．
又∵AC＝AB，
∴四边形ABFC是菱形．
（2）解：设CD＝x．连接BD，如图所示．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，
∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，
解得：x1＝1，x2＝﹣8（不合题意，舍去），
∴AB＝AC＝AD+CD＝1+7＝8．
20．（1）证明：连接OD，OE，OE交AC于H，如图，
∵点D，E分别是半圆AB和的中点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ODF+∠OFD＝90°，∠HEG+∠HGE＝90°，
∵∠ODF＝∠HEG，
∴∠OFD＝∠EGH，
∵∠OFD＝∠AFG，∠EGH＝∠AGF，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG；
（2）解：方法一：∵AB为直径，AF＝4，BF＝6，
∴⊙O的半径为5，
在Rt△AOH中，∵∠A＝30°，
∴OH＝OA＝，AH＝，
∴HE＝5﹣＝，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH＝，
在Rt△CEH中，CE＝＝5．
方法二：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝30°，
∵∠COH＝60°，
∴△OCE为等边三角形，
∴CE＝OE＝5．
21．（1）证明：连接AB，
∵BC是半⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝∠C，
∵点A是弧BD的中点，
∴＝，
∴∠ABD＝∠C，
∴∠ABD＝∠BAE，
∴AF＝BF；
（2）解：当＝时，有AG＝FG，
∴∠C＝∠EBF，
∵∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠GAF+∠BAE＝∠EAC+∠C＝90°，
∴∠BAE＝∠C，
∴∠EBF＝∠BAE，
∵∠AFG＝∠BFE，
∴∠AFG+∠FBE＝∠BAF+∠FAG＝90°，
∴∠AFG＝∠GAF，
∴AG＝FG．
22．（1）证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
∵AF⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
又∵∠BEA＝∠ACD，
∴∠BAE＝∠CAD；
（2）解：∵∠ABE＝∠ADC＝90°，∠BEA＝∠ACD，
∴BE＝，
由（1）得：∠BAE＝∠CAD，
∴，
∴CF＝BE＝．
23．（1）证明：连接BD，
∵BA＝BC，AD＝DC，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴AB是⊙O的直径；
（2）证明：∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
由圆周角定理得，∠A＝∠E，
∴∠C＝∠E，
∴DC＝DE．
24．解：（1）△FBC为等边三角形．理由如下：
∵∠CAM＝120°，AD是∠CAM的平分线，
∴∠CAD＝∠MAD＝60°；
∴∠FBC＝∠CAD＝60°，∠FAB＝∠MAD＝60°；
∴∠FCB＝∠FAB＝60°，
∴△FBC是等边三角形．
（2）在线段AB上截取AG，使AG＝AC，连接CG；
∵∠GAC＝∠BFC＝60°，
∴△AGC为等边三角形，AC＝GC；∠ACG＝60°；
∵∠BCF＝60°，
∴∠ACF＝∠GCB；在△ACF与△GCB中，
，
∴△ACF≌△GCB（SAS），
∴AF＝BG，
∴AB＝AC+AF．
25．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＝180°﹣∠BAC＝110°，
故答案为：110；
（2）证明：∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，
∴∠BAC＝2∠DAC；
（3）解：过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，
∴∠BAH＝∠CAH＝CAB，CH＝BH，
∵∠BAC＝2∠DAC，
∴∠CAG＝∠CAH，
过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，
∴∠G＝∠AHC＝90°，
∵AC＝AC，
∴△AGC≌△AHC（AAS），
∴AG＝AH，CG＝CH，
∵∠CDG＝∠ABC，
设BH＝k，AH＝2k，
∴AB＝＝k＝10，
∴k＝2，
∴BC＝2k＝4．
26．解：（1）∵∠E＝∠F，∠DCE＝∠BCF，∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠BCF+∠F，
∴∠ADC＝∠ABC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝90°．
故答案为：90°；
（2）∵在△ABE中，∠A＝55°，∠E＝30°，
∴∠ABE＝180°﹣∠A﹣∠E＝95°，
∴∠ADF＝180°﹣∠ABE＝85°，
∴在△ADF中，∠F＝180°﹣∠ADF﹣∠A＝40°；
（3）∵∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠F，∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠E，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，
∴180°﹣∠A﹣∠F+180°﹣∠A﹣∠E＝180°，
∴2∠A+∠E+∠F＝180°，
∴∠A＝90°﹣＝90°﹣．
27．（1）证明：由圆周角定理得，∠A＝∠D，∠C＝∠B，
∴△PAC∽△PDB；
（2）解：由相交弦定理得到，PA?PB＝PC?PD，即3×4＝PC×（8﹣PC），
解得，PC＝2或6，
则PD＝6或2，
∵PC＞PD，
∴PC＝6，PD＝2．
28．解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠APB＝90°．
故答案为：90°；
（2）连接OA，OB，AB，
∵⊙O半径为1，AB＝，
∴OA＝OB＝1，AB＝，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴当点P在优弧AB上时，∠APB＝∠AOB＝45°，
当点P在劣弧AB上时，∠APB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠APB的度数为：45°或135°；
（3）解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴AE＝AC＝，AD＝AB＝，
∴∠AOE＝60°，∠AOD＝45°，
∴∠BAO＝45°，∠CAO＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BAC＝45°+30°＝75°，或∠BAC′＝45°﹣30°＝15°．
∴∠BAC＝15°或75°．
29．（1）证明：∵∠ACB＝90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），
∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），
∴∠AED＝90°（直径所对的圆周角为直角），
又∵AD是△ABC的∠BAC的平分线（已知），
∴∠CAD＝∠EAD（角平分线定义），
∴CD＝DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE（全等三角形的对应边相等）；
（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，
∴AB＝＝＝13，
∴△ABC外接圆的半径＝AB＝×13＝．
30．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
又∵DC＝CB，
∴AD＝AB，
∴∠B＝∠D；
（2）解：设BC＝x，则AC＝x﹣2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴（x﹣2）2+x2＝42，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），
∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠E，
∴CD＝CE，
∵CD＝CB，
∴CE＝CB＝1+．