《第1章一元二次方程》同步优生辅导提升测评（Word版 附答案）2021-2022学年九年级数学苏科版上册

2021年苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》同步优生辅导提升测评（附答案）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．x2+＝1
B．ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数）
C．（2x﹣1）（3x+2）＝5
D．（2x+1）2＝4x2﹣3
2．关于x的方程x2+4kx+2k2＝4的一个解是﹣2，则k值为（　　）
A．2或4
B．0或4
C．﹣2或0
D．﹣2或2
3．已知关于x的方程x2+mx+3＝0有两个根x1＝1，x2＝n，则（m+n）2021的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．2020
D．﹣2020
4．已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019
B．2020
C．2021
D．2022
5．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（　　）
A．14
B．11
C．10
D．9
6．关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥0
B．k≥0且k≠2
C．k≥
D．k≥且k≠2
7．关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0的根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
8．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（　　）
A．﹣7
B．﹣3
C．2
D．5
9．已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．2021
D．﹣2021
10．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣x+m不经过第一象限，则关于x的方程mx2+x+1＝0的实数根的个数为（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．1或2个
二．填空题（共10小题，每小题3分，共30分）
11．已知m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个根，则（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝　
　．
12．若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝　
　．
13．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个不相等实数根，则a的值为
　
　．
14．设一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x13x2﹣3x12x2＝　
　．
15．若将方程x2﹣6x＝7化为（x+m）2＝16，则m＝　
　．
16．实数x满足方程（x2+x）2﹣（x2+x）﹣2＝0，则x2+x的值等于　
　．
17．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为　
　．
18．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两根，则该等腰三角形的周长为
　
　．
19．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c分别为△ABC三边的长，则△ABC是　
　三角形．
20．疫情期间，学校利用一段已有的围墙（可利用的围墙长度仅有5米）搭建一个矩形临时隔离点ABCD，如图所示，它的另外三边所围的总长度是10米，矩形隔离点的面积为12平方米，则AB的长度是　
　米．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共60分）
21．解一元二次方程：
（1）2x2+5x﹣3＝0．
（2）（x﹣3）2＝4x﹣12．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2；
①求代数式﹣4x1x2的最大值；
②若方程的一个根是6，x1和x2是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．
23．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：这个方程总有两个实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
（3）若方程的两个实数根之差等于3，求k的值．
24．深圳市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为81元，平均每天可售出20件．
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？
25．2020年9月29日，国家卫健委新闻发言人米锋在发布会上表示，疫情仍在全球扩散蔓延，但我国疫情已得到有效控制．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这169位病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
26．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动．求：
（1）几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）几秒后，PQ的长度等于2cm？
（3）△PBQ的面积能否等于7cm2？说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．解：A、是分式方程，故本选项不符合题意；
B、ax2+bx+c＝0，a≠0时，是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、化简后是一元一次方程，不符合题意．
故选：C．
2．解：把x＝﹣2代入方程x2+4kx+2k2＝4得4﹣8k+2k2＝4，
整理得k2﹣4k＝0，解得k1＝0，k2＝4，
即k的值为0或4．
故选：B．
3．解：∵关于x的方程x2+mx+3＝0有两个根x1＝1，x2＝n，
∴1+n＝﹣m，即m+n＝﹣1，
则（m+n）2021＝（﹣1）2021＝﹣1．
故选：B．
4．解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的实数根，
∴m2+m﹣2021＝0，
∴m2+m＝2021，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2021+m+n，
∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝2021﹣1＝2020．
故选：B．
5．解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）＝144，
即（1+x）2＝144，
解方程得x1＝11，x2＝﹣13（舍去），
故选：B．
6．解：根据题意得k﹣2≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）（k﹣6）≥0，
解得k≥且k≠2，
故选：D．
7．解：△＝[﹣（k﹣3）]2﹣4（﹣k+1）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∵（k﹣1）2≥0，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
8．解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，
∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．
故选：A．
9．解：方法一：∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2021，x12﹣2021x1+1＝0，x22﹣2021x2+1＝0，
∵x2≠0，
∴x2﹣2021+＝0，
∴﹣＝x2﹣2021，
∴﹣，
∴x12﹣＝2021x1﹣1+2021x2﹣20212
＝2021（x1+x2）﹣1﹣20212
＝20212﹣1﹣20212
＝﹣1．
方法二：∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1?x2＝1，x12﹣2021x1+1＝0，
∴x12﹣2021x1＝﹣1，
∴x12﹣＝x12﹣
＝x12﹣2021x1
＝﹣1．
故选：B．
10．解：∵直线y＝﹣x+m不经过第一象限，
∴m≤0,
当m＝0时，方程mx2+x+1＝0是一次方程，有一个根，
当m＜0时，
∵关于x的方程mx2+x+1＝0,
∴△＝12﹣4m＞0,
∴关于x的方程mx2+x+1＝0有两个不相等的实数根，
故选：D．
二．填空题（共10小题，每小题3分，共30分）
11．解：∵m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2019，mn＝﹣2，m2+2019m﹣2＝0，n2+2019n﹣2＝0，
∴（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝（m2+2019m﹣2﹣m﹣1）（n2+2019n﹣2+n+1）
＝（﹣m﹣1）（n+1）
＝﹣mn﹣m﹣n﹣1
＝2+2019﹣1
＝2020．
故答案为：2020．
12．解：把x＝3代入方程x2+ax﹣6＝0得9+3a﹣6＝0，解得a＝﹣1．
故答案为﹣1．
13．解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4a×2＞0，
解得a＜且a≠0，
故答案为a＜且a≠0．
14．解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，
∴x12﹣3x1＝1，x1x2＝﹣1，
∴x13x2﹣3x12x2＝x1x2?（x12﹣3x1）＝（﹣1）×1＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．解：在方程x2﹣6x＝7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得
x2﹣6x+32＝7+32，
配方，得
（x﹣3）2＝16．
所以，m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
16．解：设y＝x2+x，则由原方程，得
y2﹣y﹣2＝0，
整理得
（y﹣2）（y+1）＝0，
解得
y1＝2，y2＝﹣1，
当y＝﹣1时，x2+x+1＝0，此时x无解，
即x2+x的值等于2．
故答案是：2．
17．解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣a＝1．
∴原式＝﹣（a3﹣2a）+2020
＝﹣（a3﹣a2+a2﹣a﹣a）+2020
＝﹣[a（a2﹣a）+1﹣a]+2020
＝﹣（a+1﹣a）+2020
＝﹣1+2020
＝2019．
故答案为：2019．
18．解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
即x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3，
当等腰三角形的腰为2，底边为3时，2+2＞3，该等腰三角形的周长为2+2+3＝7；
当等腰三角形的腰为3，底边为2时，3+2＞3，该等腰三角形的周长为2+3+3＝8；
综上所述，该等腰三角形的周长为7或8．
故答案为7或8．
19．解：∵关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，
即（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为直角．
20．解：设AB＝x米，则BC＝（10﹣2x）米，
根据题意可得，x（10﹣2x）＝12，
解得x1＝3，x2＝2（舍去），
∴AB的长为3米．
故答案为：3．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共60分）
21．解：（1）∵2x2+5x﹣3＝0，
∴（x+3）（2x﹣1）＝0，
则x+3＝0或2x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝0.5；
（2）∵（x﹣3）2＝4x﹣12，
∴（x﹣3）2﹣4（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x﹣7）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣7＝0，
解得x1＝3，x2＝7．
22．解：（1）△＝（2m+4）2﹣4（m2+4m）＝16，16＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）①﹣4x1x2＝（x1+x2）2﹣6x1x2，
∵x1+x2＝＝2m+4，x1x2＝m2+4m，
∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24，
∴当m＝﹣2时﹣4x1x2的最大值为24．
②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，
解得m＝2或m＝6，
当m＝2时，原方程化简为x2﹣8x+12＝0，
解得x＝2或x＝6，
三角形三边长为6，6，2时三角形周长为14，
三角形边长为2，2，6时不存在．
当m＝6时，原方程化简为x2﹣16x+60，
解得x＝6或x＝10．
三角形三边长为6，6，10时三角形周长为22，
三角形三边长为10，10，6时，三角形周长为26．
∴等腰三角形周长为14或22或26．
23．解：（1）△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵无论k取何值，（2k﹣3）2≥0，
故这个方程总有两个实数根；
（2）由求根公式得x＝，
∴x1＝2k﹣1，x2＝2．
∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，
设b＝2k﹣1，c＝2，
当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k﹣1＝4，计算得出k＝，
此时三角形周长为4+4+2＝10；
当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b+c＝a，构不成三角形，
故此种情况不存在．
综上所述，△ABC周长为10．
（3）∵方程的两个实数根之差等于3，
∴，
解得：k＝0或3．
24．解：（1）设每次下降的百分率为a，
根据题意，得：100（1﹣a）2＝81，
解得：a＝1.9（舍）或a＝0.1＝10%，
答：每次下降的百分率为10%；
（2）设每件应降价x元，
根据题意，得（81﹣x）（20+2x）＝2940，
解得：x1＝60，x2＝11，
∵尽快减少库存，
∴x＝60，
答：若商场每天要盈利2940元，每件应降价60元．
25．解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，
依题意得：（1+x）2＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．
（2）169×（1+12）＝2197（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．
26．解：7÷2＝（s）．
当运动时间为ts（0≤t≤）时，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．
（1）依题意得：×2t×（5﹣t）＝4，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去）．
答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2．
（2）依题意得：（5﹣t）2+（2t）2＝（2）2，
整理得：t2﹣2t﹣3＝0，
解得：t1＝3，t2＝﹣1（不合题意，舍去）．
答：3秒后，PQ的长度等于2cm．
（3）不能，理由如下：
依题意得：×2t×（5﹣t）＝7，
整理得：t2﹣5t+7＝0．
∵△＝（﹣5）2﹣4×1×7＝﹣3＜0，
∴该方程没有实数根，
∴△PBQ的面积不能等于7cm2．