2021-2022学年苏科版九年级数学上册《1.3一元二次方程的根与系数的关系》能力达标专题突破训练（Word版 附答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《1.3一元二次方程的根与系数的关系》能力达标
专题突破训练（附答案）
一、选择题
1．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则2x1+2x2﹣x1x2的值为（　　）
A．﹣1
B．1
C．﹣7
D．7
2．m为有理数，且方程2x2+（m+1）x﹣（3m2﹣4m+n）＝0的根为有理数，则n的值为（　　）
A．4
B．1
C．﹣2
D．﹣6
3．方程的正整数解的组数是（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．已知实数a、b满足a+8b﹣2b2＝7，当b在1≤b≤4的范围内取值时，a可取的整数值有（　　）个．
A．6
B．7
C．8
D．9
5．关于x的一元二次方程x2﹣2x＝k﹣1，下列结论不正确的是（　　）
A．当方程有实数根时k≤2
B．当k＝1时，方程的实数根为x1＝0，x2＝2
C．当k＞0时，方程一定有两个不相等的实数根
D．若x1、x2为方程的两个实数根，则有|x1﹣1|＝|x2﹣1|
6．已知一元二次方程x2﹣8x+c＝0有一个根为2，则另一个根为（　　）
A．10
B．6
C．8
D．﹣2
二、填空题
7．已知m、n是关于x的方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，则代数式m2﹣2m+n的值为　
　．
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　
　．
9．已知a是正整数，若关于x的方程2x﹣a﹣a+4＝0至少有一个整数根，则a的值是　
　．
10．当a取遍0到5的所有实数值时，满足3b＝a（3a﹣8）的b的整数的个数是　
　．
11．已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1＝0的根都是一整数，那么符合条件的整数a有　
　个．
12．如果m、n为整数，且|m﹣2|+|m﹣n|＝1，那么m+n的值为　
　．
13．在实数范围内定义一种运算“
”，其运算法则为a
b＝a2﹣ab．根据这个法则，下列结论中错误的是　
　．（把所有错误结论的序号都填在横线上）
①
＝2﹣；
②若a+b＝0，则a
b＝b
a；
③（x+2）
（x+1）＝0是一元二次方程；
④方程（x+2）
1＝3的根是x1＝，x2＝．
14．若x1，x2方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于　
　．
15．方程x2﹣2x﹣4＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为　
　．
三、解答题
16．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x﹣3＝0的两个根，求x1x2+x12+x2的值．
17．已知关于x的方程4x2﹣8nx﹣3n＝2和x2﹣（n+3）x﹣2n2+2＝0．问是否存在这样的n的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的n值；若不存在，请说明理由．
18．已知关于x的方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15＝0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值．
19．求一实数p，使用三次方程5x3﹣5（p+1）x2+（71p﹣1）x+1＝66p的三个根均为自然数．
20．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
21．已知关于x的方程x2+2（2﹣k）x+3﹣6k＝0．若x＝1是此方程的一根，求k的值及方程的另一根．
参考答案
1．解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，
所以2x1+2x2﹣x1x2＝2（x1+x2）﹣x1x2＝2×2﹣（﹣3）＝7．
故选：D．
2．解：由求根公式可知当一元二次方程根为有理根时判别式的算术平方根比为有理数，
△＝（m+1）2+4×2×（3m2﹣4m+n）
＝25m2﹣30m+1+8n，
要使对任意有理数m，均为有理数，△必须是m的完全平方式，此方程必定有两个相等的根．
∴△＝302﹣4×25×（1+8n）
＝0，
解得n＝1．
故选：B．
3．解：∵，可变形为：
（x﹣7）（y﹣7）＝49
∵x，y为整数，当x＝14时，y＝14，
当x＝8时，y＝56，当x＝56时，y＝8，
∴其他数据都在不符合要求，符合要求的只有三组．
故选：D．
4．解：由a+8b﹣2b2＝7，得
a＝2（b﹣2）2﹣1，
∵1≤b≤4，
∴﹣1≤b﹣2≤2，
∴﹣1≤2（b﹣2）2﹣1≤7，即﹣1≤a≤7，
∴a可取的整数值有：﹣1、0、1、2、3、4、5、6、7共9个．
故选：D．
5．解：A、原方程可以化为（x﹣1）2＝k，当k≥0时，方程有实数解，故A不正确．
B、当k＝1时，则x2﹣2x＝0，
解得x1＝0，x2＝2．故B正确；
C、∵当k≥0时，方程有实数根，
∴当k＞0时，方程一定有两个不相等的实数根；故C正确；
D、当k≥0时，由（x﹣1）2＝k可以求得x＝1±，
则有|x1﹣1|＝|x2﹣1|．故D正确；
故选：A．
6．解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t＝8，解得t＝6，
即方程的另一个根是6．
故选：B．
7．解：把x＝m代入x2﹣3x﹣1＝0，得
m2﹣3m﹣1＝0，
则m2﹣3m＝1，
又∵实数m、n是关于x的方程x2﹣3x﹣1＝0的根，
∴m+n＝3，
∴m2﹣2m+n＝m2﹣3m+（m+n）＝1+3＝4．
故答案是：4．
8．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤，
由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1?x2＝﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．
∴k＝﹣3，
故答案为﹣3．
9．解：2x﹣a﹣a+4＝0，
显然满足条件的x，必使得
为整数，否则a＝不可能为整数，
设
＝y（y为非负整数），
则原式变为2（1﹣y2）﹣ay﹣a+4＝0，
?a＝，
∵y为非负整数
（又1+y能整除4），
∴要使a为整数，则y＝0，1，3，
此时a＝6，2，﹣3（不合题意舍去）．
故答案为：2或6．
10．解：∵3b＝a（3a﹣8）
∴b＝a2﹣＝（a﹣）2﹣，
∵0≤a≤5，
∴﹣≤a﹣≤，
∴0≤（a﹣）2≤，
∴﹣≤（a﹣）2﹣≤即﹣≤b≤，
∴整数b＝﹣1，0，1，…，11，共13个．
11．解：①当a＝1时，x＝1；
②当a≠1时，原式可以整理为：[（a﹣1）x+a+1]（x﹣1）＝0，
易知x＝1是方程的一个整数根，
再由1+x＝且x是整数，知1﹣a＝±1或±2，
∴a＝﹣1，0，2，3；由①、②得符合条件的整数a有5个．
故答案为：5．
12．解：当|m﹣2|＝0时，|m﹣n|＝1，
∴m＝2，n＝1或n＝3，∴m+n＝3或5．
当|m﹣2|＝1时，|m﹣n|＝0，
∴m＝3或m＝1，n＝m，∴m+n＝6或2．
综上，m+n＝3，或5，或6，或2．
故答案为：3或5或6或2．
13．解：①根据题中的新定义得：
＝（）2﹣×＝2﹣，正确，不符合题意；
②若a+b＝0，则有a＝﹣b，a
b＝a2﹣ab＝b2+b2＝2b2，b
a＝b2﹣ab＝b2+b2＝2b2，即a
b＝b
a，正确，不符合题意；
③已知等式变形得：（x+2）2﹣（x+2）（x+1）＝0，即x2+4x+4﹣x2﹣3x﹣2＝0，
合并得：x+2＝0，是一元一次方程，错误，符合题意；
④方程变形得：（x+2）2﹣（x+2）＝3，
整理得：x2+4x+4﹣x﹣2﹣3＝0，即x2+3x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝，错误，符合题意．
故答案为：③④．
14．解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2021＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2021＝0，即x12﹣4x1＝2021，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2021+2×4
＝2021+8
＝2029．
故答案为：2029．
15．解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝2．
故答案为：2．
16．解：∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x﹣3＝0的两个根，
∴x1+x2＝1，
∴x1x2+x12+x2＝x1（x1+x2）+x2＝x1+x2＝1．
17．解：由△1＝（﹣8n）2﹣4×4×（﹣3n﹣2）＝（8n+3）2+23＞0，知n为任意实数时，方程（1）都有实数根．
设第一个方程的两根为α、β．则α+β＝2n，αβ＝．
于是，（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4αβ，
＝4n2+3n+2；
由第二个方程得
[x﹣（2n+2）][x+（n﹣1）]＝0，
解得两根为x1＝2n+2，x2＝﹣n+1；
若x1为整数，则4n2+3n+2＝2n+2．
于是n1＝0，n2＝﹣．
当n＝0时，x1＝2是整数；
n＝﹣时，x＝不是整数，舍去．
若x2为整数，则4n2+3n+2＝1﹣n．
有n3＝n4＝﹣．此时x2＝不是整数，舍去．
综合上述知，当n＝0时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根．
18．解：因为a≠0，所以x1，2＝＝．
所以x1＝＝2﹣，
x2＝＝1﹣．
所以只要a是3或5的约数即可，即a＝1，3，5．
19．解：观察可知，1是方程的解，方程可转化为
（x﹣1）（5x2﹣5px+66p﹣1）＝0，
问题转化为：求一切实数p使方程
5x2﹣5px+66p﹣1＝0的解为自然数．
由韦达定理知，p为方程两根之和，即p是自然数．
△＝（5p﹣132）2﹣17404．
设（5p﹣132）2﹣17404＝n2（n＞0，n为自然数）．
移项分解可得（5p﹣132+n）（5p﹣132﹣n）
＝22×19×229．
又（5p﹣132+n），（5p﹣132﹣n）同奇偶，
所以，
解得p＝76．
故答案为：76．
20．解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
21．解：把x＝1代入方程有：
1+2（2﹣k）+3﹣6k＝0，
解得k＝1．
∴方程为x2+2x﹣3＝0，
设方程的另一个根是x2，则：
1?x2＝﹣3，
解得x2＝﹣3．
∴k＝1，方程的另一根为﹣3．