第1章一元二次方程 培优提升专题综合训练 2021—2022学年苏科版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021年苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》培优提升专题综合训练（附答案）
一、选择题
1．两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（
）
A．2020
B．
C．-2020
D．
2．如图，在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，M、N分别为AB、CD的中点，P、Q均为CD边上的动点（点Q在点P左侧），点G为MN上一点，且PQ=NG=5，则当MP+GQ=13时，满足条件的点P有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
3．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝3
B．x1＝﹣1，x2＝﹣3
C．x1＝1，x2＝3
D．x1＝1，x2＝﹣3
4．若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（
）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．有两个实数根
5．如果关于的方程有两个实数根，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的整数的和为（
）
A．1
B．2
C．6
D．7
6．一个两位数比它的十位上的数字与个位上的数字之积大，已知十位上的数字比个位上的数字大．则这个两位数是（
）
A．64
B．75
C．53或75
D．64或75
7．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　）
A．﹣1
B．2
C．22
D．30
二、填空题
8．正方形的顶点在直线上，顶点，在双曲线上，若正方形的面积为32，则的值为______．
9．对于实数m，n，定义运算m?n＝mn2﹣n．若2?a＝1?（﹣2）则a＝___________．
10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数y＝（k＞0）的图象上有两点A，B（点A在B上方），直线AB的解析式为y＝k'x+18．在第一象限内有一点C（8，12），∠ACB＝90°，若△ABC和△ABO的面积相等．则k的值为_____．
11．如图，两个顶点，在反比例函数图象上，若点P是第一象限内双曲线上一点，且，则P点的坐标为________．
12．如图正方形中，，是对角线上一点，连结，过点作交于点．和的面积分别为和，若，则的长为______．
13．如图，在平行四边形中，，，是锐角，于点E，F是的中点，连结．若，则的长为__________．
14．关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是__________
15．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2，当x12﹣x22=0时，则m的值为_____．
16．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，
∠BAC=90°，O为BC的中点，D为AC斜下方一点，，则AD的长为______．
17．若，边是一元二次方程的两个实数根，则的值为_________．
三、解答题
18．尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．
（1）若每件商品降价5元，则商店每天的平均销量是________件（直接填写结果）；
（2）不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到1280元，每件商品的定价应为多少元？
（3）在（2）的前提下，若商店平均每天至少要销售200件该商品，求商品的销售单价．
19．已知关于的一元二次方程有两个不等的实根．
（1）求的取值范围；
（2）当取最大整数值时，的三条边长均满足关于的一元二次方程，求的周长．
20．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，；
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．
利用以上学习到的方法解下列方程：
（1）；
（2）．
21．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和和和，…，和和，试求的值．
22．苹果能够生津止渴、健脾养心、补血安神，水果超市的红苹果与青苹果这两种水果很受欢迎，红苹果售价为12元/千克，青苹果售价为9元/千克．
（1）若第一周红苹果的销量比青苹果的销量多200千克，要使这两种水果的总销售额不低于6600元，则第一周至少销售红苹果多少千克？
（2）若该水果超市第一周按照（1）中红苹果和青苹果的最低销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果，第二周红苹果售价降低了，销量比第一周增加了，青苹果的售价保持不变，销量比第一周增加了，结果这两种苹果第二周的总销售额比第一周的最低销售总额6600元增加了，求的值．
23．如图，在正方形ABCD中，的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求的度数．
如图，在中，，，点M，N是BD边上的任意两点，且，将绕点A逆时针旋转至位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．
在图中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若，，，求AG，MN的长．
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
C
D
C
B
A
D
D
1．C
解:∵，，a+c=0
∴，
∵ax2+bx+c=0
和cx2+bx+a=0，
∴，，
∴，，
∵是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
∴是方程的一个根，
即是方程的一个根
故选：C．
2．D
解：如图，当在的两侧时，设
则
矩形ABCD，M、N分别为AB、CD的中点，
四边形
四边形都是矩形，
由勾股定理得：
整理得：
如图，当在的右侧时，设
同理可得：
解得：
不合题意舍去，
如图，当都在的左侧时，设
同理可得：
解得：
不合题意舍去，
综上：满足条件的点只有个，
故选：
3．C
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（m+2）＞0，
解得：m＜2，
∵m为正整数，
∴m＝1，
则方程为x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
故选：C．
4．B
解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，
∵a﹣b＝3，
∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，
b＜﹣2，b2﹣4（3+b）=
b2﹣4b﹣12=
(b+2)(b﹣6)
∵b+2＜0，
b-6＜0，
∴(b+2)(b-6)
＞0，
所以，原方程有有两个不相等的实数根；
故选：B．
5．A
解：方程有两个实数根，
，
解得：且．
，
，
又∵，
∴，
∴，
∵是整数，
∴、0、2，
∴符合条件的整数的和为
故选：A．
6．D
解:令个位上的数字为x，则依据题意可知十位上的数字为(x+2)，该两位数可表示为：
10(x+2)+x
依据题意列出方程：10(x+2)+x=x(x+2)+40
整理得到：x2-9x+20=0
(x-4)(x-5)=0
解得：x1=4，x2=5
则该两位数为64或75,
故选择D.
7．D
解:∵α方程x2-2x-4=0的实根,∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,∴α3=2α2+4α=2（2α+4）+4α=8α+8,∴原式=8α+8+8β+6=8（α+β）+14,∵α,β是方程x2-2x-4=0的两实根,∴α+β=2,
∴原式=8×2+14=30,故选D.
8．
解：
正方形的顶点在直线上，
正方形的对角线过原点，
如图，连接BD，正方形的面积为32，
AC×BD=32，
∴
在反比例函数上，
设
则
且＞
或
，，或，
经检验：，，或，都是原方程的根，
＞
在上，结合正方形的性质可得：
，，不符合题意舍去，
当时，
过作轴于
过作轴于
正方形，
故答案为：
9．2或．
解：根据定义，2?a＝1?（﹣2）转化为：2a2﹣a=1×（﹣2）2﹣（﹣2）,
解方程得，a1=2，a1=，故答案为：2或．
10．或．
解：分两种情形讨论：
（1）当点C和O在AB的两侧时，如图1中，过点C作CE⊥AB于E，连接OC交AB于F．设直线AB交y轴于点M，交x轴于点N，取AB的中点G，连接CG．过O作OD⊥AB于点D．
∵S△ABC＝?AB?CE，S△ABO＝?AB?OD，且△ABC和△ABO的面积相等，
∴CE＝OD
∵∠FEC＝∠FDO＝90°，∠EFC＝∠DFO，
∴△EFC≌△DFO（AAS），
∴CF＝OF，
∵O（0，0），C（8，12），
∴F（4，6），
∵直线AB的解析式为y＝k′x+18，
∴k′＝﹣3，
∴直线AB的解析式为y＝﹣3x+18，
∴M（0，18），N（6，0），
∵G是AB的中点，
∴GA＝GB，
∵AM＝BN，
（这个一般结论的证明如下：构造如图所示的图形，四边形PQOH是矩形，
∵PQ∥OM，∴∵PH∥ON，∴，
如图，∵，（其中S是矩形PQOH的面积），
∴，即，∴n=l，即AM=BN）
∴GM＝GN，
∴G（3，9），
∵∠ACB＝90°，GA＝GC，
∴CG＝AG，
设A（m，﹣3m+18），则有（m﹣3）2+（﹣3m+18﹣9）2＝（8﹣3）2+（12﹣9）2，
解得m＝3﹣或3+（舍弃），
当m＝3﹣时，﹣3m+18＝3（3+），
∴k＝（3﹣）×3（3+）＝．
（2）当点C和点O在AB的同侧时，如图2中，由题意可得OC∥AB，
∵C（8，12），直线AB：y＝k′x＝18，
∴直线AB的解析式为y＝x+18，
∴M（0，18），N（﹣12，0），
∵GA＝GB，AM＝BN，
∴GM＝GN，
∴G（﹣6，9），
∵∠ACB＝90°，GA＝GB，
∴AG＝CG，
设A（m，m+18），则有（m+6）2+（m+18﹣9）2＝（8+6）2+（12﹣9）2，
解得m＝﹣6+或﹣6﹣（舍弃），
∴k＝（﹣6+）×（6+）＝，
∴k的值为或．
故答案为为或．
11．，或
解：设所在直线为，将，代入得：
，解得，
．
当时，，
直线与轴交点为．
，
．
，
反比例函数解析式为，
设点横坐标为，则纵坐标为，即点坐标为．
①当点在点上方时，作平行于轴交于点，
将代入得，
点坐标为，
，
解得或（舍）．
，
点坐标为，．
②延长交双曲线与点，右对称性可知为中点，
，
，
点坐标为．
故答案为：，或．
12．
解：连接ED，过E作MN⊥BC于N，交AD于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠DAB=90°，
∴∠1=∠2=45°，
∵MN⊥BC，
∴∠ENC=∠ENB=90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MN=CD=6，DM=CN，∠DME=90°，
在△CDE和△CBE中，
，
∴△CDE≌△CBE（SAS），
∴ED=EB，∠EDC=∠EBC，
∵∠CDA=∠CBA=90°，
∴∠CDA-∠EDC=∠CBA-∠EBC，
即∠ADE=∠ABE，
∵EF⊥BE，
∴∠FEB=90°，
∵∠FEB+∠DAB+∠AFE+∠ABE=360°，
∴∠AFE+∠ABE=360°-∠FEB-∠DAB=180°，
∵∠AFE+∠EFD=180°，
∴∠ABE=∠EFD，
∴∠ADE=∠EFD，
∴ED=EF，
∵∠DME=90°，
∴EM⊥DF，
∴DM=MF，
在△NEC中，∠1=45°，
∴△NEC是等腰直角三角形，
设NE=NC=x，
则CE=x，DM=MF=CN=x，
∴AF=AD-DM-MF=6-2x，
ME=MN-EN=6-x，
∴，，
∵，
∴，
解得：，（舍），
∴CE=，
故答案为：．
13．
解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DQ∥BC，
∴∠Q＝∠BEF，
∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，
∴△QFA≌△EFB（AAS），
∴AQ＝BE＝x，QF＝EF，
∵∠EFD＝90°，
∴DF⊥QE，
∴DQ＝DE＝x＋2，
∵AE⊥BC，BCAD，
∴AE⊥AD，
∴∠AEB＝∠EAD＝90°，
∵AE2＝DE2?AD2＝AB2?BE2，
∴（x＋2）2?4＝6?x2，
整理得：2x2＋4x?6＝0，
解得x＝1或?3（舍弃），
∴BE＝1，
∴AE＝，
故答案为：．
14．x1=3，x2=-8
解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，
∴关于x的方程a（x+m+2）2+b=0，即a[（x+
2）+
m]2+b=0，
∴a[（x+
2）+
m]2+b=0满足x+2=5或x+2=-6，
解得x1=3，x2=-8，
故答案为：x1=3，x2=-8
15．
解:由题意有△=（2m-1）2-4m2≥0，解得m≤；由两根关系，得根x1+x2=-（2m-1），x1?x2=m2，由x12-x22=0得（x1+x2）（x1-x2）=0，若x1+x2=0，即-（2m-1）=0，解得m=，因为＞，可知m=不合题意，舍去；若x1-x2=0，即x1=x2，然后可由△=0知m=，故当x12-x22=0时，m=．
故答案为.
16．10
解:连结AO
∵在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，
∠BAC=90°，O为BC的中点，
∴AO=CO=OB，∠AOC=90?，
将三角形△DOC，逆时针旋转90?得到△EOA，
∴AE=CD=6，∠EOD=90?，EO=DO=，EA⊥DC,
过A作AF∥CD，交ED于F，
∴∠EAF=90?，∠FAD=∠ADC=30?,
∴∠EAD=∠EAF+∠FAD=90?+30?=120?,
过E作EG⊥DA交延长线于G，
∴∠EAG=180?-∠EAD=180?-120?=60?
∴∠GEA=90?-∠EAG=90?-60?=30?，
在Rt△AGE中，AE=6，
AG==3，
EG=，
在Rt△EOD中，
ED=，
在Rt△EGD中，
GD=GA+AD=3+AD，
∴，
∴，
∴，
∴AD=10或-16（舍去），
故答案为：10．
17．2024
解：是一元二次方程的两个实数根，
18．（1）280；（2）23元或19元；（3）19元
解：（1）80+5÷0.5×20=280（件）．
故答案为：280．
（2）设每件商品降价x元，则销售每件商品的利润为（25-15-x）元，平均每天可售出80+×20=（40x+80）件，
依题意，得：（25-15-x）（40x+80）=1280，
整理，得：x2-8x+12=0，
解得：x1=2，x2=6，
∴25-x=23或19．
答：每件商品的定价应为23元或19元．
（3）当x=2时，40x+80=160＜200，不合题意，舍去；
当x=6时，40x+80=320＞200，符合题意，
∴25-x=19．
答：商品的销售单价为19元．
19．（1）且；（2）的周长为3或9或7．
解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得且．
（2）由（1）得的最大整数值为4；
解得：．
的三条边长均满足关于的一元二次方程，
①三边都为1，则的周长为3；
②三边都为3，则的周长为9；
③三边为1，1，3，因为，不符合题意，舍去；
④三边为1，3，3，则的周长为7．
∴的周长为3或9或7．
20．（1），，，；（2），．
解:（1）设，
得：，
解得：，．
当时，，解得：，
当时，，解得：，．
∴原方程的解为，，，．
（2）设，则方程可变成，
∴，
，．
当时，，所以无解．
当时，，
∴，
∴，．
经检验，是原方程的解．
21．解：（1）证明：设方程的两根是，，
则，，
，
，
，
即这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2），
对于，2，3，，2019，2020时，相应得到的一元二次方程的两根分别为和，和，和，，和，和，
．
22．（1）第一周至少销售红苹果400千克；（2）的值为45．
解：（1）设第一周销售红苹果千克．则青苹果（）千克，
根据题意得：，
解得：．
答：第一周至少销售红苹果400千克；
（2）根据题意得：，
∴，（舍去）．
答：的值为45．
23．（1）；（2）；（3）．
解：在和中，，，
≌．
．
同理，．
．
．
，，
．
．
又，，
≌．
．
，，
．
．
．
．
由知，，．
设，则，．
在中，
，
∴(x-4)2+(x-6)2=102
解这个方程，得，舍去负根．
即．
在中，
．
在中，，，
．
设，则()2+()2．
即()2+()2，
即．