4.3 线段的长短比较
【学习目标】
1.借助“比身高”的情景，了解比较线段长短的方法.
2.理解和掌握“两点之间的所有连线中线段最短”这一基本事实.
3.掌握线段的中点的概念，并能运用线段的中点解决问题.
【学习重点】
了解线段的比较方法，两点之间的距离和线段中点的概念.
【学习难点】
比较线段长短的方法，线段中点的表示方法及应用.
一、情景导入
实物投影，并呈现问题：如何比较两名同学的身高？谈一谈你的做法？那如何比较两条线段的长短呢？你用什么方法可以得到一条线段的中心？
答：情境中可以通过测量身高，然后比较数值的大小或两名同学站在同一平面上进行比较.线段的比较可类比两同学比身高：(1)测量，(2)叠合.可以用刻度尺得到一条线段的中心.也可以用对折法得到一条线段的中心。
二、新知探究
阅读教材P139～P141的内容，回答下列问题：
线段的比较方法有哪些？什么是线段的中点？
答：(1)线段的比较方法：①叠合法；②度量法.度量法是数量的比较，叠合法是形的比较；
(2)线段的中点：点C在线段AB上，且使线段AC、CB相等，这样的点C叫做线段AB的中点.
典例1：为比较两条线段AB与CD的大小，小明将A点与C点重合使两条线段在一条直线上，结果点B在CD的延长线上，则( B )
A.ABCD
C.AB＝CD
D.以上都有可能
仿例1：
如图，AB＝CD，可得AC与BD的大小关系是( C )
A.AC>BD
B.ACC.AC＝BD
D.不能确定
思路提示：因为AB＝CD，所以AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD.
典例2：如图，把线段AB三等分，等分点分别为M、N，C为NB的中点，且CM＝6cm，则AB＝__12__cm.
,(典例2题图)) ,(仿例2题图))
仿例2：如图，C是线段AB上的一点，M是线段AC的中点，若AB＝8cm，BC＝2cm，求MC的长.
解：AC＝AB－BC＝8－2＝6cm.
∵M是AC的中点，∴MC＝AC＝×6＝3cm.
典例：
如图，在一条河的两岸有李庄和赵庄，两村协议，共同投资在河旁修建一个引水站向两村引水.为了省钱，需要使引水站到两村的距离和最小，请你确定引水站的位置，并说明理由.
解：连接李庄、赵庄，交小河于一点P，此点即为引水站的位置.理由：两点之间的所有连线中.线段最短.
仿例1：如图把旁边的曲河道放直，其数学知识是__两点之间，线段最短__.
,(仿例1题图)) ,(仿例2题图))
仿例2：如图，点C分AB为2∶3，点D分AB为1∶4，若AB为5cm，则AC＝__2__cm，BD＝__4__cm，CD＝__1__cm.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)线段的长短比较：度量法和叠合法.
(2)线段的中点及长度的计算：
线段的中点：把线段AB分成两条相等线段的点.
(3)线段的基本事实及两点间的距离：
线段的基本事实：两点之间线段最短；
两点间的距离：两点间线段的长度.
2.分层作业
(1)完成教材P142习题4.3第1～5题.
(2)完成相应训练.
五、教学反思
本节课通过比较两个人的高矮这一生活中的实例让学生进行思考，从而引出课题，极大地激发了学生的学习兴趣；并通过动手操作，亲身体验用叠合法比较线段的长短.教师要尝试让学生自主学习，优化课堂教学中的反馈与评价.通过评价，激发学生的求知欲，坚定学生学习的自信心.4.2 线段、射线、直线
【学习目标】
1.通过实际情境感知线段，认识线段、射线和直线这些几何图形.
2.通过观察和画图了解线段、射线和直线的关系及它们的表示方法.
3.通过观察和操作，理解并掌握“两点确定一条直线”这条基本事实.
【学习重点】
线段、射线和直线的表示方法及它们的区别和联系.
【学习难点】
让学生学会一些几何语言，培养学生空间观察能力.
一、情景导入
实物投影，并呈现问题：课件出示生活中的图形和图案：
长方体的棱长、探照灯射出的光线和伸向远方的火车铁轨给我们什么形象？你能画出这些图形吗？
二、新知探究
阅读教材P135～P137的内容，回答下列问题：
问题1：什么是线段、射线和直线？它们的区别和联系是什么？
问题2：线段、射线和直线的表示方法是什么？
答：长方体的棱，长方形的边长这些图形都是线段.线段有两个端点.将线段向一个方向无限延长就形成了射线.射线有一个端点.将线段向两个方向无限延长就形成了直线.直线没有端点.线段有两种表示方法：(1)用表示两个端点的大写字母表示：记为线段AB(或BA)；(2)用一个小写字母表示：如记为线段a.如图射线AB(A是端点)，直线AB(或BA)或直线m.
仿例：给出下列图形，其表示方法不正确的是( B )
A.直线AB B.射线QP
C.直线l
D.线段a
变例1：下列作图语句中，正确的是( B )
A.画直线AB＝5cm
B.延长线段AB到C，使BC＝AB
C.任意画三点A、B、C，过这三点画直线
D.延长射线OB
变例2：如图，图中的直线可以表示为__直线l__或__直线AB__.
,(变例2题图)) ,(变例3题图))
变例3：如图，能用O、A、B、C中的两个字母表示的不同射线有__7__条.
阅读教材P137的内容，回答下列问题：
问题：直线的基本事实是什么？两条直线相交有几个交点？
答：基本事实：两点确定一条直线，两直线相交只有一个交点.
典例：用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拨木条，木条能转动，这说明__过一点可以做无数条直线__.用两个钉子把细木条钉在木板上，就能固定细木条，这说明__两点确定一条直线__.
仿例：平面上有任意三点，过两点画一条直线，可以画__1或3__条直线.
变例1：点A与直线l的位置关系有__点A在直线l上__和__点A在直线l外__两种.
变例2：有4支球队要进行篮球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，则一共需比赛__6__场.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)线段、射线、直线.
①线段：两端点，有长度；
②射线：一端点，无长度；
③直线：无端点，无长度.
(2)直线的基本事实及性质：两点确定一条直线；两条直线相交只有一个交点.
2.分层作业：
(1)完成教材P137～138习题4.2第1～4题.
(2)完成相应训练.
五、教学反思
本节课是学生学习几何图形知识的基础，这堂课需要掌握的知识点多，而且比较抽象，使学生通过观察、分析认识直线、射线和线段，掌握它们之间的联系与区别，为后面学习新知识做好了铺垫.4.6 用尺规作线段与角
【学习目标】
1.了解尺规作图的概念和意义.
2.会用尺规作一条线段等于已知线段，会用尺规作一个角等于已知角，并了解它们在尺规作图中的简单应用.
【学习重点】
会用尺规作线段与角.
【学习难点】
作线段与角的和、差、倍数.
一、情景导入
尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图，自从它在古希腊被提出后，有许多美妙的问题出现，比较著名的就是高斯解决正多边形的尺规作图问题，这个故事被传为美谈(下图为纪念高斯的邮票).
但是有几个问题困扰着几千年来无数有智慧的人，例如用尺规三等分任意角，通过今天的学习，你也可以来尝试一下解决这些问题.
二、新知探究
阅读教材P153～P154的内容，回答下列问题：
问题：什么是尺规作图？
答：几何中，通常用没有刻度的直尺和圆规来画图，这种画图方法叫做尺规作图.
典例1：已知线段a，如图：.求作：线段AB，使AB＝3a.
解：作法：(1)作射线AE；(2)在射线AE上顺次截取AC＝CD＝DB＝a，则线段AB即为所求作的线段.
典例2：如图，已知∠α和∠β(∠α>∠β)，求作∠AOB，使∠AOB＝∠α－∠β.
解：(1)作射线OA；
(2)以射线OA为一边作∠AOC＝∠α；
(3)以O为顶点，以射线OC为一边，在∠AOC的内部作∠BOC＝∠β，则∠AOB就是所求作的角.
仿例1：如图，已知线段a、b、c，用圆规和直尺画线段，使它等于2a＋b－c.
解：作法：(1)作射线AF；
(2)在射线AF上顺次截取AB＝BC＝a，CD＝b；
(3)在线段AD上截取DE＝c.所以线段AE即为所求.
仿例2：已知：如图，锐角∠AOB，求作：∠β，使得∠β＝180°－2∠AOB.
解：作法：(1)作∠A′O′B′＝∠AOB；
(2)以O′B′为始边作∠B′O′C′＝∠AOB；
(3)反向延长射线O′A′到D′，∠β为图中所示的∠C′O′D′.
仿例3：如图，在直线AB上找出一点C，使AC＝2CB，则C点应在( D )
A.点A、B之间
B.点A的左边
C.点B的右边
D.点A、B之间或点B的右边
仿例4：已知线段a，b(a>b)，画一条线段，使它等于2a－b.
画法：
(1)画射线AE；
(2)在射线AE上顺次截取AB＝__BD__＝__a__；
(3)在线段AD上截取__CD__＝b，线段__AC__即为所求作的线段.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)尺规作图的概念.
(2)作一条线段等于已知线段.
(3)作一个角等于已知角.
2.分层作业：
(1)完成教材P154～155习题4.6第1、2题.
(2)完成相应训练.
五、教学反思
本节课的教学主要以学生的动手操作为主，首先以故事引入，激发了学生的探究兴趣和学习热情，然后用多媒体软件展示尺规作图的步骤，使得学生能够深入理解和掌握尺规作图的方法，本节课的教学充分体现了以学生为主体的课堂教学理念.第4章
直线与角
4.1 几何图形
【学习目标】
1.通过观察生活中的大量图片或实物，经历把实物抽象成几何图形的过程.
2.进一步认识常见的几何图形，并能用自己的语言描述它们各自的特征.体会点、线、面是几何图形的基本要素.
【学习重点】
能识别简单的几何体.
【学习难点】
从具体事物中抽象出几何图形.
一、情景导入
如图左面是一些具体物体，右面是一些立体图形，试找出与下面立体图形相类似的实物.
二、新知探究
阅读教材P131～P134的内容，回答下列问题：
问题1 什么是体？什么是几何图形？
问题2 什么是平面图形？什么是立体图形？
答：长方体、四面体、圆柱、圆锥、球等都是几何体，简称体.把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.几何图形中，像线段、角、三角形、圆等，它们上面的各点都在同一平面内，这样的图形叫做平面图形.像长方体、圆柱体、球等，它们上面的各点不都在同一平面内，这样的图形叫做立体图形.长方体、四面体等，围成它们的面都是平面的一部分，这样几何体都是多面体.圆柱、圆锥、球是旋转体.
典例1：下列图形中，立体图形有__(1)(2)(4)(6)(7)__；平面图形有__(3)(5)(8)__.
典例2：(1)在下图所示的图形中，柱体有__①②③⑦__，锥体有__⑤⑥__，球体有__④__.
(2)下面几种图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱，其中属于立体图形的有__3__个.
问题1：几何图形是由什么组成的？
问题2：几何体中包围着体的是什么？面与面相交的地方叫什么？线与线相交成什么？
归纳结论：几何图形是由点、线、面组成的.其中点是基本的图形.包围着体的是面，面有平面和曲面两种.几何体中面与面相交形成线.多面体中面与面的交线是直的，它们叫做多面体的棱.圆柱、圆锥中的侧面与底面的交线是曲线.线与线相交得到点.多面体中棱与棱相交的点叫顶点.
典例1：如图所示的几何体由__4__个面围成，面与面相交成__6__条线，其中直线有__4__条，曲线有__2__条.
典例2：下列几何体中只有一个面的是__③__，有三个面的是__①②__.
仿例1：图中的圆柱和棱柱分别是由几个面围成的？它们是平的还是曲的？侧面与底面相交成几条线？它们是直的还是曲的？
解：圆柱有3个面围成，两个底面为平面，一个侧面为曲面，侧面与底面相交成两条曲线；棱柱有六个面围成，均是平面，侧面与底面相交成8条直线.
仿例2：分别指出下列几何体各有多少个面？面与面相交形成的线各有多少条？线与线相交形成的点各有多少个？如图所示.
解：(1)4个面，6条线，4个顶点；
(2)6个面，12条线，8个顶点；
(3)9个面，16条线，9个顶点.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)立体图形.
(2)平面图形.
(3)几何图形的构成元素.
2.分层作业
(1)完成教材P133～134习题4.1第1、2、3题.
(2)完成相应训练.
五、教学反思
本节利用课件展示图片，联系生活实际，激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，使学生以最佳状态投入到学习中去.通过动手操作培养学生的动手操作能力，同时也加深了学生对立体图形和平面图形的认识，使学生在讨论交流的基础上总结出立体图形和平面图形的特征.4.4 角
【学习目标】
1.通过丰富的实例进一步认识角及其角的意义，了解角的表示方法.
2.认识角的度量单位：度、分、秒，会进行角度的换算.
【学习重点】
让学生认识度、分、秒，角的度量单位，会进行角度的换算，及量角器的使用.
【学习难点】
能够准确地进行角度的换算及角度的测量.
一、情景导入
你能说出几个日常生活中给我们角的形象的物体吗？画出一个角，观察你所画出的图形，它由什么组成？你能用自己的语言叙述角的定义吗？钟摆的摆动给你什么图形的印象？你能从运动的角度叙述图形的形成吗？
答：情境中课桌、门窗、墙壁的角；圆规张开两脚；钟表的时针与分针间形成的角等等.角是由具有公共端点的两条射线组成.公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的两边.钟摆的摆动是角的形象，钟摆看成一条射线，从一个位置摆到另一个位置则形成一个角.
二、新知探究
阅读教材P143～P145的内容，回答下列问题：
1.角有几种定义方式？分别是怎样的？怎样表示角？
答：角可以看作是从一点O出发的两条射线OA、OB组成的图形，其中，点O叫做角的顶点，射线OA、OB叫做角的两边.表示方法如下图所示：(用三个字母表示时，顶点放中间，用∠O表示时，只能是单独一个角).
∠AOB也可以看成是射线OA绕点O旋转到OB的位置后形成的图形，射线OA、OB分别叫做角的始边和终边.
2.下列关于角的说法正确的是( D )
A.两条射线组成的图形叫做角
B.延长一个角的两边
C.角的两边是射线，所以角不可以度量
D.角的大小与这个角的两边长短无关
3.如图所示，图中能用一个大写字母表示的角是__∠B、∠C__；以A为顶点的角有__6__个，它们分别是__∠CAD，∠CAE，∠CAB，∠DAE，∠DAB，∠EAB__.
4.
如图，能用两种方法表示同一个角的是( D )
A.∠1和∠C B.∠2和∠C
C.∠3和∠A
D.∠4和∠B
问题：角的单位是什么？角的单位之间如何换算？
答：角的单位是度、分、秒，1°＝60′，1′＝60″.
典例1：若∠1＝25°12′，∠2＝25.12°，∠3＝25.2°，则下列结论正确的是( C )
A.∠1＝∠2
B.∠2＝∠3
C.∠1＝∠3
D.∠1＝∠2＝∠3
典例2：求2点15分，时针与分针的夹角的度数.
解：时针每小时转30°，分针每分钟转6°，从零点至2点15分：
时针转过的度数：2×30°＝67.5°；
分针转过的度数：15×6°＝90°；
即其夹角的度数：90°－67.5°＝22.5°.
归纳：计算钟表上的角度，要先求出时针与分针转过多少度，涉及时针每小时转多少度，分针每分钟转多少度.
完成教材P145练习第1、2题.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)角的概念及表示方法.
(2)度、分、秒之间的换算.
2.分层作业：
(1)完成教材P145～146习题4.4第1～4题.
(2)完成相应训练.
五、教学反思
本节课的教学从学生熟悉的实物出发，点出课题，引导学生明确角的初步概念.课中给学生提供了主动探索的时间、空间，能让学生表述的要让学生自己去表述，能让学生总结的要让学生自己推导出结论，能让学生思考的要让学生自己去思考，能让学生观察的要让学生自己去观察.有针对性的设计例题、习题，从而完成教学目标.4.5 角的比较与补(余)角
【学习目标】
1.会比较两个角的大小，能分析图中角的和差关系.
2.理解角平分线的概念，会利用角的平分线求角的度数.
3.理解互补、互余的概念，并能利用补(余)角的性质解决问题.
【学习重点】
认识角的大小，分析角的和差关系，理解角平分线和互补(余)的性质.
【学习难点】
认识角之间的关系.
一、情景导入
1.角有哪两种定义方式？
答：角可以看作是从一点O出发的两条射线所组成的图形，∠AOB也可以看作是射线OA绕点O旋转到OB的位置后形成的图形.
2.如图：怎样比较图形中线段AB、BC、CA的大小？怎样比较∠A、∠B、∠C呢？
答：比较线段大小用度量法、叠合法；角的大小，比较边也同样如此.
二、新知探究
阅读教材P147～P149的内容，回答下列问题：
问题1：如何比较两个角的大小？
问题2：用叠合法时应注意什么问题？
答：比较角的大小的方法：(1)度量法：用量角器分别量出角的度数，然后比较数值的大小；(2)叠合法：把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，其中的一边也重合，并使两个角的另一边都在这一边的同侧.
典例1：在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定有( D )
A.∠AOC＝∠BOC B.∠BOC>∠AOC
C.∠AOC>∠BOC
D.∠AOB>∠BOC
典例2：如图，若∠AOB＝∠COD，那么∠1__＝__∠2(选填“>”“＝”或“<”).
1.什么是角的平分线？
答：从角的内部、以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
2.如图，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，若∠COD＝25°，则∠AOB＝__100°__.
1.怎样的两角互补？怎样的两角互余？补(余)角的性质是什么？
答：如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补.如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角互为余角，简称互余.同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等.
2.已知一个角的补角比它的余角的3倍大10°，求这个角的度数.
解：设这个角为α，由题意得180－α＝3(90－α)＋10，解得α＝50.
答：这个角为50°.
3.如图，A、O、B三点在一条直线上，∠AOC＝∠DOE＝90°，图中共有几对相等的角？几对互余的角？几对互补的角？
解：相等的角有五对：∠1与∠3、∠2与∠4、∠AOC与∠COB、∠AOC与∠DOE、∠DOE与∠COB.互余的角有四对：∠1与∠2、∠1与∠4、∠2与∠3、∠3与∠4.互补的角有七对：∠1与∠DOB、∠4与∠AOE、∠AOC与∠COB、∠AOC与∠DOE、∠DOE与∠COB、∠3与∠DOB、∠2与∠AOE.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)角的比较方法：①度量法；②叠合法.
(2)角的计算：角平分线.
(3)余角和补角.
2.分层作业：
(1)完成教材P150～151习题4.5第1～6题.
(2)完成相应训练.
五、教学反思
本节课的教学内容是角的大小比较、角的和差关系、角平分线及余角和补角.学习角的大小比较时可以类比于线段的比较的学习方法，教学时利用多媒体软件，演示角的有关问题，增加教学趣味性，能够充分调动学生的学习兴趣.
