高中数学人教A版（2019） 选修一 空间向量与立体几何
一、单选题
1．（2020高二上·郓城月考）已知空间向量 ， ，且 ，则实数 （ ）
A． B．-3 C． D．6
2．（2020高二上·济宁月考）设 ，向量 ， ， ，且 ， ，则 （ ）
A． B．3 C． D．4
3．（2019高二上·寿光月考）已知 ，则向量 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020高二上·济宁月考）在正方体 中，棱 ， 的中点分别为 ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020高二上·郓城月考）已知正四面体 的各棱长为1，点 是 的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020高二下·济南月考）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1= ，则AA1与平面AB1C1所成的角为（ ）
A． B． C． D．
7．（2018高二上·阜城月考）在三棱柱 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， .若 分别是棱 上的点，且 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020高二上·夏津月考）在直三棱柱 中， 已知 和 分别为 和 的中点， 与 分别为线段 和 上的动点(不包括端点)，若 ，则线段 的长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高二上·滨州期末）如图，在棱长为2的正方体 中， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则（ ）．
A．直线 与直线 垂直
B．直线 与平面 平行
C．直线 和 夹角的余弦值为
D．点 到平面 的距离为
10．（2020高二上·聊城期末）以下命题正确的是（ ）
A．若 是平面 的一个法向量，直线 上有不同的两点 ， ，则 的充要条件是
B．已知 ， ， 三点不共线，对于空间任意一点 ，若 ，则 ， ， ， 四点共面
C．已知 ， ，若 与 垂直，则
D．已知 的顶点坐标分别为 ， ， ，则 边上的高 的长为
11．（2020高二上·鱼台月考）已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量 与向量 的夹角是60°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
12．（2020高二上·鱼台月考）如图，以等腰直角三角形斜边 上的高 为折痕，把 和 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A． ；
B． ；
C．三棱锥 是正三棱锥；
D．平面 的法向量和平面 的法向量互相垂直.
三、填空题
13．（2019高二上·绍兴期末）已知向量 ， ， ，且 ，则λ＝ .
14．（2017高二下·潍坊期中）已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是 ．
15．（2020高二上·济南期末）已知四面体 的顶点分别为 ， ， ， ，则点 到平面 的距离 .
16．（2019高二上·宁波期末）在空间四边形 中， ， 分别是 ， 的中点， 是 上一点，且 .记 ，则 ，若 ， ， ，且 ，则 .
四、解答题
17．（2020高二上·枣庄期末）如图，四棱锥 的侧面 是正三角形，底面 是直角梯形， ， ， 为 的中点.
（1）求证： ；
（2）若 ，求线 与平面 所成角的正弦值.
18．（2020高二上·临沂期末）如图，在四棱锥 中， 是边长为 的正三角形， 底面 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求二面角 的正弦值.
19．（2020高二上·肥城期中）如图所示多面体中， 平面 ，四边形 为平行四边形， 为 的中点， 为线段 上一点， ， ， ， .
（1）若 为 的中点，证明： 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．（2020高二上·聊城期末）如图，在棱长均为4的四棱柱 中， 平面 ， ， 为线段 的中点.
（1）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，请确定点 的位置；若不存在，请说明理由.
21．（2020高二上·临沂期中）如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°，AD= ，EF=2.
（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）当AB的长为何值时，二面角A—EF—C的大小为60°
22．（2020高二上·淄博期末）如图所示，已知正方体 的棱长为2， ， 分别为 ， 的中点.
（1）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（2）设 ，若平面 平面 ，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，即： ，
所以 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】根据空间向量共线关系直接求解即可得答案.
2．【答案】C
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解： ， ，得 ，
又 ，则 ，得 ，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】通过 ， ，可列式求出 ，则可求出 ，进而求出 .
3．【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
，
故答案为：C.
【分析】先求出 的坐标，再利用空间向量夹角余弦公式求解即可.
4．【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；空间向量的数量积运算；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体 的棱长为2，
则E（2，1，0），F（1，0，2）， ，
因为y轴与 垂直，
则平面 的一个法向量 ，
设直线EF与平面 所成角为θ，
则 ．
∴直线EF与平面 所成角的正弦值为 ．
故答案为：C．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线EF与平面 所成角的正弦值．
5．【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意，四面体 是正四面体，每个面都是正三角形，
∴ ．
故答案为：A.
【分析】把 表示为 ，然后再求数量积．
6．【答案】A
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】以A为坐标原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1 为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系：
则A1（0，0， ），A（0，0，0），B1（0，2， ），C1（2，0， ）
则
设平面AB1C1的法向量为
则 ，令 可解得
所以
设AA1与平面AB1C1所成的角为 ，则AA1与平面AB1C1所成的角的正弦值为
因为
所以
故答案为：A
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据向量的数量积即可求得直线与平面的夹角．
7．【答案】D
【知识点】异面直线所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】
以 为原点， 为 轴，在平面 中过作 的垂线为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系， 在三棱柱 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， ， 分别是棱 上的点，且 ， ， 设异面直线 与 所成角所成角为 ， 则 .所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案为：D.
【分析】当异面直线所成的角不明显时，往往建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角来求。
8．【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，由于 ，所以 ， ，当 时，线段 长度的最小值是 ，当 时，线段 的最大值是 ，由于不包括端点，故 不能取，
故答案为：A.
【分析】首先建立直角坐标系求出各个点坐标再由勾股定理结合已知条件得到关于y 一元二次方程，由一元二次方程的性质即可得到当 时，线段 长度的最小值是 ，当 时，线段 的最大值是 进而得到DF的取值范围。
9．【答案】B,C,D
【知识点】异面直线所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】在棱长为2的正方体 中，可得 ，
又由 与 不垂直，所以直线 与直线 不垂直，所以A不正确；
取 的中点 ，分别连接 ，
可得 ，进而可得 平面 ， 平面 ，
根据面面平行的判定定理，可得平面 平面 ，
又由 平面 ，所以 平面 ，所以B符合题意；
连接 ，可得 ，所以直线 和 所成的角即为直线 和 所成的角，
即 ，在等边 中，可得 ，
即直线 和 所成的角的余弦值为 ，所以C符合题意；
设点 到平面 的距离为 ，
由 ，
在直角 中， ，
在直角 中， ，
在 中， ，
又在 中，由余弦定理可得 ，
则 ，
所以 的面积为 ，
因为 ，可得 ，可得 ，
即点 到平面 的距离为 ，所以D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】在棱长为2的正方体 中，可得 ，又由 与 不垂直，所以直线 与直线 不垂直，取 的中点 ，分别连接 ，再利用中位线的性质推出线线平行，可得 ，再利用线线平行证出线面平行，即 平面 ， 平面 ，根据面面平行的判定定理，可得平面 平面 ，再利用面面平行的性质定理推出 平面 ，连接 ，可得 ，所以直线 和 所成的角即为直线 和 所成的角，即 ，在等边 中，可得 ，从而求出直线 和 所成的角的余弦值 ，设点 到平面 的距离为 ，再利用三棱锥的体积公式结合直角三角形的勾股定理，进而利用余弦定理求出的值，再利用同角三角函数基本关系式，进而求出的值，再利用三角形面积公式求出三角形 的面积，再利用等体积法结合三棱锥的体积公式，进而求出点 到平面 的距离，从而选出正确的选项。
10．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的线性运算；三点共线；空间中直线与平面之间的位置关系；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】对于A，若直线 ，则 成立，故 不是 的必要条件，
A不符合题意；
对于B，若 ，则 ，
所以 ，所以 ， ， ， 四点共面，B符合题意；
对于C，由题意可得 ， ，
若 与 垂直，则 ，解得 ，
C符合题意；
对于D，由题意 ， ，
则 ， ，
所以 ，
所以 边上的高 ，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】由直线与平面的位置关系结合直线的法向量，举出反例由充分和必要条件的定义即可判断出选项A错误；由空间向量的线性运算转化条件为由此即可判断出选项B正确；由空间向量垂直的坐标表示即可判断出选项C正确；结合空间向量夹角的坐标即可求出夹角的余弦值，再结合即可判断出选项D正确；由此得出答案。
11．【答案】A,B
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】由向量的加法得到： ，∵ ，∴ ，所以A符合题意；
∵ ，AB1⊥A1C，∴ ，B符合题意；
∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量 与向量 的夹角是120°，C不正确；
∵AB⊥AA1，∴ ，故 ＝0，因此D不正确.
故答案为：AB.
【分析】利用空间向量的加减法运算法则，数量积公式，向量夹角公式对各个选项进行判断即可.
12．【答案】B,C
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】∵D为BC的中点，∴ ，
又平面 平面ACD，平面 平面ACD=AD，
， 平面ABD，
∴ 平面ADC，又 平面ADC，
∴ ，即 ，A不正确；
由A知， 平面ADC， 平面ADC，
∴ ，设 ，则 ，
∴由勾股定理得： ，∴ 是等边三角形，B符合题意；
∵ 是等边三角形， ，
∴三棱锥 是正三棱锥，C符合题意；
由A知， 平面ADC，而面 内不存在与 平行的直线，
故平面 和平面 不垂直，
即平面 的法向量和平面 的法向量互相垂直错误；D不符合题意；
故答案为：BC.
【分析】通过线面垂直的判定得出 平面ADC，进而 ，故而可判断A；通过证明 是等边三角形可判断B；通过正三棱锥的定义可判断C；通过平面 和平面 不垂直可判断D.
13．【答案】2
【知识点】向量的模；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意知λ （1，λ，1），
∴1+λ2+1＝6（λ＞0），
∴λ＝2，
故答案为：2．
【分析】 求向量的模可得λ的值.
14．【答案】
【知识点】平面的法向量
【解析】【解答】解： =（﹣1，1，0）， =（﹣1，0，1），
设平面ABC的一个法向量为 =（x，y，z），
则 ，即 ，取 =（1，1，1）．
则平面ABC的一个单位法向量= = ．
故答案为： ．
【分析】设平面ABC的一个法向量为 =（x，y，z），可得 ，即可得出平面ABC的一个单位法向量= ．
15．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】根据已知可得： ，
设平面 的法向量为
，即
取 ，又
则点D到平面 的距离为：
故答案为： .
【分析】由点的坐标求出向量的坐标以及平面的法向量，由数量积的坐标公式即可求出法向量的坐标以及向量CD的坐标，由点到直线的距离公式代入数值计算出结果即可。
16．【答案】（ ）；
【知识点】空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵在空间四边形OABC中，E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上一点，且EH EF，
∴
（ ）
（ ） [ ]
，
∵ x y z ，
∴（x，y，z）＝（ ）．
∵ ⊥ ， ，∠BOC＝60°，且| |＝| |＝| |＝1，
∴2（ ）2
2
，
∴| | ．
故答案为：（ ）， ．
【分析】由空间向量计算法则可得结果.
17．【答案】（1）证明：取 中点 ，连 ， ，
因为 是正三角形，所以 .
又 是 中点，所以 .
因为 ，即 .
所以 ，因为 ， 平而 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 .
（2）解： ，又 ，
所以 ，则 .
又 ，所以 平面 ，所以平面 平面 ，
， 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 .
如图以 为原点， 所在的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
可得 ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，所以
即 ，令 ，可得 ， ，
可取 ，又 ，
所以 .
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 （1）取AD中点N，通过证明AD⊥平面PMN得出AD⊥PM；
（2）建立空间坐标系，求出平面PAB的法向量，计算法向量与 的夹角即可得出结论。
18．【答案】（1）证明：连接 交 于 ，
底面 ， 平面 ，
则 ，即 ，
即 平面 .
（2）解：由（1）知 是 的中点， 过 作 交 于 ，以 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，
则 ．
设平面 的一个法向量 ，
则 ，即 ，令 ，则 .
取 的中点 ，连接 ，则 平面 ，
向量 是平面 一个法向量， ，
二面角 的正弦值为 .
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 连接 交 于 ，运用线面垂直的判定和性质，可得，求得 ， 可得 ，再由线面垂直的判定和性质，即可得证；
（2） 过 作 交 于 ，以 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 分别求得A，B，C，D，P的坐标，可得向量 的坐标， 设平面 的一个法向量 ， 由向量垂直的条件：数量积为0，可得 ， 取 的中点E，连接CE，可得向量CE为平面ABP的法向量，求得坐标，再求两法向量的夹角的余弦值，即可得到所求二面角的正弦值。
19．【答案】（1）解：取PC的中点为О，连FO，DO，
因为F，O分别为BP，PC的中点，所以FO∥BC且 ，
又四边形ABCD为平行四边形，ED∥BC 且 ，
所以ED∥FO且 ，
即四边形EFOD是平行四边形，
即EF ，
又EF 平面PDC， DO 平面PDC，
所以 平面 .
（2）解：以D为原点，DC为x轴，在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ，
设F（a，b，c），
因为 ，
所以（a﹣2，b，c﹣3） （﹣8，2 ，﹣3），
解得a ，b ，c＝2，
∴F（ ， ，2）， （ ，﹣1），
设平面PBC的一个法向量 （x，y，z），
则 ，取x＝1，得 （1， ，0），
设直线AF与平面PBC所成角为θ，
则直线AF与平面PBC所成角的正弦值为：
．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）先证明四边形 EFOD是平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明 平面 ；
（2）以D为原点，DC为x轴，在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系， 求得 （ ，﹣1）， 平面PBC的一个法向量法向量 （1， ，0）， ，利用向量的夹角公式，可求直线AF与平面PBC所成角的正弦值 。
20．【答案】（1）解：连接 ，与 交于点 ，连接 ， ，交于点 ，连接 ，因为 平面 ，所以 平面 .由题意得四边形 为菱形，所以 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意，得 ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 所以 ，
令 ，则 ， ，
所以 是平面 的一个法向量，
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
（2）解：假设在线段 上存在点 ，使得 平面 ，设 ，
因为 ， ， ，所以 ， ， ，
所以 ，
因为 平面 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
解得 ，
所以在线段 上存在点 ，使得 平面 ，此时点 为线段 的靠近点 的三等分点.
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线由中点的性质即可得出线面垂直以及线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面的法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面A的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 平面 与平面 夹角的余弦值 。
(2)根据题意由假设法假设存在，建立空间直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，再由向量的数乘坐标公式以及加、减法坐标的运算法则即可计算出由此即可求出的值由此即可得证出结论成立存在这样的点F。
21．【答案】（1）证明：方法一 过点E作EG⊥CF交CF于G，
连接DG.可得四边形BCGE为矩形，
又四边形ABCD为矩形，
所以AD EG，从而四边形ADGE为平行四边形，
AE∥DG.
因为AE 平面DCF，DG=平面DCF，
所以AE∥平面DCF.
方法二 如图所示，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C—xyz.
设AB=a，BE=b，CF=c，
则C（0，0，0），A（ ，0，a），
B（ ，0，0），E（ ，b，0），F（0，c，0）.
=（0，b，-a）， =（ ，0，0）， =（0，b，0），
所以 · =0， · =0，从而CB⊥AE，CB⊥BE.
AE∩BE=E，所以CB⊥平面ABE.
因为CB⊥平面DCF，
所以平面ABE∥平面DCF，AE 平面ABE.
AE∥平面DCF.
（2）解：方法一 过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH.
由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，
得AB⊥平面BEFC，
从而AH⊥EF，所以∠AHB为二面角A—EF—C的平面角.
在Rt△EFG中，因为EG=AD= ，EF=2，
所以∠CFE=60°，FG=1，
又因为CE⊥EF，所以CF=4，
从而BE=CG=3.
于是BH=BE·sin∠BEH= .
因为AB=BH·tan∠AHB= × = ，
所以当AB为 时，二面角A—EF—C的大小为60°.
方法二 因为 =（- ，c-b，0）， =（ ，b，0）.
· =0，| |=2，
所以 解得
所以E（ ，3，0），F（0，4，0）.
设n=(1，y，z)与平面AEF垂直，
则n· =0，n· =0，解得n=（1， ， ）.
又因为BA⊥平面BEFC， =（0，0，a），
所以|cos〈n， 〉|=
解得a= .
所以当AB为 时，二面角A—EF—C的大小为60°.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）过点E作EG⊥CF交CF于G， 连接DG，推导出四边形ADGE为平行四边形， 从而 AE∥DG ，由此能证明 AE∥平面DCF；
（2）以点C为坐标原点，以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C—xyz，利用向量法能求出当 当AB为 时，二面角A—EF—C的大小为60° 。
22．【答案】（1）解：以 为坐标原点，
分别以棱 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴，
建立空间直角坐标系如图所示，
由已知可得： ， ， ，
， ， ， ，
所以点 ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
又 ， ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
设平面 和 的夹角为 ，
所以 ，
平面 和 的夹角的余弦值是 .
（2）解：因为 ，设点 的坐标为 ，
所以 ，
所以点 的坐标为 ，
所以 ， ，
由（1）可知平面 的法向量为 ，
因为平面 平面 ，所以 ，且 ，
，
，
所以 .
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 （1） 以 为坐标原点，分别以棱 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴，
建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，然利用待定系数法求出两个平面的法向量，利用二面角的计算公式，求出平面 和 的夹角的余弦值 ；
（2）设M点的坐标，利 求出点M的坐标，然后将平面 平面 ，转化为 平面 的法向量垂直于平面 的向量，列出关于λ的方程，求解即可得到λ的值。
1 / 1高中数学人教A版（2019） 选修一 空间向量与立体几何
一、单选题
1．（2020高二上·郓城月考）已知空间向量 ， ，且 ，则实数 （ ）
A． B．-3 C． D．6
【答案】A
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【解答】解：因为 ，
所以 ，即： ，
所以 ，解得 .
故答案为：A.
【分析】根据空间向量共线关系直接求解即可得答案.
2．（2020高二上·济宁月考）设 ，向量 ， ， ，且 ， ，则 （ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解： ， ，得 ，
又 ，则 ，得 ，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】通过 ， ，可列式求出 ，则可求出 ，进而求出 .
3．（2019高二上·寿光月考）已知 ，则向量 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
，
故答案为：C.
【分析】先求出 的坐标，再利用空间向量夹角余弦公式求解即可.
4．（2020高二上·济宁月考）在正方体 中，棱 ， 的中点分别为 ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；空间向量的数量积运算；直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体 的棱长为2，
则E（2，1，0），F（1，0，2）， ，
因为y轴与 垂直，
则平面 的一个法向量 ，
设直线EF与平面 所成角为θ，
则 ．
∴直线EF与平面 所成角的正弦值为 ．
故答案为：C．
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线EF与平面 所成角的正弦值．
5．（2020高二上·郓城月考）已知正四面体 的各棱长为1，点 是 的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意，四面体 是正四面体，每个面都是正三角形，
∴ ．
故答案为：A.
【分析】把 表示为 ，然后再求数量积．
6．（2020高二下·济南月考）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1= ，则AA1与平面AB1C1所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】以A为坐标原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1 为z轴建立如下图所示的空间直角坐标系：
则A1（0，0， ），A（0，0，0），B1（0，2， ），C1（2，0， ）
则
设平面AB1C1的法向量为
则 ，令 可解得
所以
设AA1与平面AB1C1所成的角为 ，则AA1与平面AB1C1所成的角的正弦值为
因为
所以
故答案为：A
【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据向量的数量积即可求得直线与平面的夹角．
7．（2018高二上·阜城月考）在三棱柱 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， .若 分别是棱 上的点，且 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】异面直线所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】
以 为原点， 为 轴，在平面 中过作 的垂线为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系， 在三棱柱 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， ， 分别是棱 上的点，且 ， ， 设异面直线 与 所成角所成角为 ， 则 .所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故答案为：D.
【分析】当异面直线所成的角不明显时，往往建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角来求。
8．（2020高二上·夏津月考）在直三棱柱 中， 已知 和 分别为 和 的中点， 与 分别为线段 和 上的动点(不包括端点)，若 ，则线段 的长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，由于 ，所以 ， ，当 时，线段 长度的最小值是 ，当 时，线段 的最大值是 ，由于不包括端点，故 不能取，
故答案为：A.
【分析】首先建立直角坐标系求出各个点坐标再由勾股定理结合已知条件得到关于y 一元二次方程，由一元二次方程的性质即可得到当 时，线段 长度的最小值是 ，当 时，线段 的最大值是 进而得到DF的取值范围。
二、多选题
9．（2020高二上·滨州期末）如图，在棱长为2的正方体 中， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则（ ）．
A．直线 与直线 垂直
B．直线 与平面 平行
C．直线 和 夹角的余弦值为
D．点 到平面 的距离为
【答案】B,C,D
【知识点】异面直线所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】在棱长为2的正方体 中，可得 ，
又由 与 不垂直，所以直线 与直线 不垂直，所以A不正确；
取 的中点 ，分别连接 ，
可得 ，进而可得 平面 ， 平面 ，
根据面面平行的判定定理，可得平面 平面 ，
又由 平面 ，所以 平面 ，所以B符合题意；
连接 ，可得 ，所以直线 和 所成的角即为直线 和 所成的角，
即 ，在等边 中，可得 ，
即直线 和 所成的角的余弦值为 ，所以C符合题意；
设点 到平面 的距离为 ，
由 ，
在直角 中， ，
在直角 中， ，
在 中， ，
又在 中，由余弦定理可得 ，
则 ，
所以 的面积为 ，
因为 ，可得 ，可得 ，
即点 到平面 的距离为 ，所以D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】在棱长为2的正方体 中，可得 ，又由 与 不垂直，所以直线 与直线 不垂直，取 的中点 ，分别连接 ，再利用中位线的性质推出线线平行，可得 ，再利用线线平行证出线面平行，即 平面 ， 平面 ，根据面面平行的判定定理，可得平面 平面 ，再利用面面平行的性质定理推出 平面 ，连接 ，可得 ，所以直线 和 所成的角即为直线 和 所成的角，即 ，在等边 中，可得 ，从而求出直线 和 所成的角的余弦值 ，设点 到平面 的距离为 ，再利用三棱锥的体积公式结合直角三角形的勾股定理，进而利用余弦定理求出的值，再利用同角三角函数基本关系式，进而求出的值，再利用三角形面积公式求出三角形 的面积，再利用等体积法结合三棱锥的体积公式，进而求出点 到平面 的距离，从而选出正确的选项。
10．（2020高二上·聊城期末）以下命题正确的是（ ）
A．若 是平面 的一个法向量，直线 上有不同的两点 ， ，则 的充要条件是
B．已知 ， ， 三点不共线，对于空间任意一点 ，若 ，则 ， ， ， 四点共面
C．已知 ， ，若 与 垂直，则
D．已知 的顶点坐标分别为 ， ， ，则 边上的高 的长为
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的线性运算；三点共线；空间中直线与平面之间的位置关系；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】对于A，若直线 ，则 成立，故 不是 的必要条件，
A不符合题意；
对于B，若 ，则 ，
所以 ，所以 ， ， ， 四点共面，B符合题意；
对于C，由题意可得 ， ，
若 与 垂直，则 ，解得 ，
C符合题意；
对于D，由题意 ， ，
则 ， ，
所以 ，
所以 边上的高 ，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】由直线与平面的位置关系结合直线的法向量，举出反例由充分和必要条件的定义即可判断出选项A错误；由空间向量的线性运算转化条件为由此即可判断出选项B正确；由空间向量垂直的坐标表示即可判断出选项C正确；结合空间向量夹角的坐标即可求出夹角的余弦值，再结合即可判断出选项D正确；由此得出答案。
11．（2020高二上·鱼台月考）已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量 与向量 的夹角是60°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
【答案】A,B
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】由向量的加法得到： ，∵ ，∴ ，所以A符合题意；
∵ ，AB1⊥A1C，∴ ，B符合题意；
∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量 与向量 的夹角是120°，C不正确；
∵AB⊥AA1，∴ ，故 ＝0，因此D不正确.
故答案为：AB.
【分析】利用空间向量的加减法运算法则，数量积公式，向量夹角公式对各个选项进行判断即可.
12．（2020高二上·鱼台月考）如图，以等腰直角三角形斜边 上的高 为折痕，把 和 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A． ；
B． ；
C．三棱锥 是正三棱锥；
D．平面 的法向量和平面 的法向量互相垂直.
【答案】B,C
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】∵D为BC的中点，∴ ，
又平面 平面ACD，平面 平面ACD=AD，
， 平面ABD，
∴ 平面ADC，又 平面ADC，
∴ ，即 ，A不正确；
由A知， 平面ADC， 平面ADC，
∴ ，设 ，则 ，
∴由勾股定理得： ，∴ 是等边三角形，B符合题意；
∵ 是等边三角形， ，
∴三棱锥 是正三棱锥，C符合题意；
由A知， 平面ADC，而面 内不存在与 平行的直线，
故平面 和平面 不垂直，
即平面 的法向量和平面 的法向量互相垂直错误；D不符合题意；
故答案为：BC.
【分析】通过线面垂直的判定得出 平面ADC，进而 ，故而可判断A；通过证明 是等边三角形可判断B；通过正三棱锥的定义可判断C；通过平面 和平面 不垂直可判断D.
三、填空题
13．（2019高二上·绍兴期末）已知向量 ， ， ，且 ，则λ＝ .
【答案】2
【知识点】向量的模；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意知λ （1，λ，1），
∴1+λ2+1＝6（λ＞0），
∴λ＝2，
故答案为：2．
【分析】 求向量的模可得λ的值.
14．（2017高二下·潍坊期中）已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的一个单位法向量是 ．
【答案】
【知识点】平面的法向量
【解析】【解答】解： =（﹣1，1，0）， =（﹣1，0，1），
设平面ABC的一个法向量为 =（x，y，z），
则 ，即 ，取 =（1，1，1）．
则平面ABC的一个单位法向量= = ．
故答案为： ．
【分析】设平面ABC的一个法向量为 =（x，y，z），可得 ，即可得出平面ABC的一个单位法向量= ．
15．（2020高二上·济南期末）已知四面体 的顶点分别为 ， ， ， ，则点 到平面 的距离 .
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】根据已知可得： ，
设平面 的法向量为
，即
取 ，又
则点D到平面 的距离为：
故答案为： .
【分析】由点的坐标求出向量的坐标以及平面的法向量，由数量积的坐标公式即可求出法向量的坐标以及向量CD的坐标，由点到直线的距离公式代入数值计算出结果即可。
16．（2019高二上·宁波期末）在空间四边形 中， ， 分别是 ， 的中点， 是 上一点，且 .记 ，则 ，若 ， ， ，且 ，则 .
【答案】（ ）；
【知识点】空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：∵在空间四边形OABC中，E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上一点，且EH EF，
∴
（ ）
（ ） [ ]
，
∵ x y z ，
∴（x，y，z）＝（ ）．
∵ ⊥ ， ，∠BOC＝60°，且| |＝| |＝| |＝1，
∴2（ ）2
2
，
∴| | ．
故答案为：（ ）， ．
【分析】由空间向量计算法则可得结果.
四、解答题
17．（2020高二上·枣庄期末）如图，四棱锥 的侧面 是正三角形，底面 是直角梯形， ， ， 为 的中点.
（1）求证： ；
（2）若 ，求线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：取 中点 ，连 ， ，
因为 是正三角形，所以 .
又 是 中点，所以 .
因为 ，即 .
所以 ，因为 ， 平而 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 .
（2）解： ，又 ，
所以 ，则 .
又 ，所以 平面 ，所以平面 平面 ，
， 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 .
如图以 为原点， 所在的直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
可得 ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，所以
即 ，令 ，可得 ， ，
可取 ，又 ，
所以 .
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 （1）取AD中点N，通过证明AD⊥平面PMN得出AD⊥PM；
（2）建立空间坐标系，求出平面PAB的法向量，计算法向量与 的夹角即可得出结论。
18．（2020高二上·临沂期末）如图，在四棱锥 中， 是边长为 的正三角形， 底面 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明：连接 交 于 ，
底面 ， 平面 ，
则 ，即 ，
即 平面 .
（2）解：由（1）知 是 的中点， 过 作 交 于 ，以 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，
则 ．
设平面 的一个法向量 ，
则 ，即 ，令 ，则 .
取 的中点 ，连接 ，则 平面 ，
向量 是平面 一个法向量， ，
二面角 的正弦值为 .
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 连接 交 于 ，运用线面垂直的判定和性质，可得，求得 ， 可得 ，再由线面垂直的判定和性质，即可得证；
（2） 过 作 交 于 ，以 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 分别求得A，B，C，D，P的坐标，可得向量 的坐标， 设平面 的一个法向量 ， 由向量垂直的条件：数量积为0，可得 ， 取 的中点E，连接CE，可得向量CE为平面ABP的法向量，求得坐标，再求两法向量的夹角的余弦值，即可得到所求二面角的正弦值。
19．（2020高二上·肥城期中）如图所示多面体中， 平面 ，四边形 为平行四边形， 为 的中点， 为线段 上一点， ， ， ， .
（1）若 为 的中点，证明： 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）解：取PC的中点为О，连FO，DO，
因为F，O分别为BP，PC的中点，所以FO∥BC且 ，
又四边形ABCD为平行四边形，ED∥BC 且 ，
所以ED∥FO且 ，
即四边形EFOD是平行四边形，
即EF ，
又EF 平面PDC， DO 平面PDC，
所以 平面 .
（2）解：以D为原点，DC为x轴，在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ，
设F（a，b，c），
因为 ，
所以（a﹣2，b，c﹣3） （﹣8，2 ，﹣3），
解得a ，b ，c＝2，
∴F（ ， ，2）， （ ，﹣1），
设平面PBC的一个法向量 （x，y，z），
则 ，取x＝1，得 （1， ，0），
设直线AF与平面PBC所成角为θ，
则直线AF与平面PBC所成角的正弦值为：
．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）先证明四边形 EFOD是平行四边形，再利用线面平行的判定定理证明 平面 ；
（2）以D为原点，DC为x轴，在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系， 求得 （ ，﹣1）， 平面PBC的一个法向量法向量 （1， ，0）， ，利用向量的夹角公式，可求直线AF与平面PBC所成角的正弦值 。
20．（2020高二上·聊城期末）如图，在棱长均为4的四棱柱 中， 平面 ， ， 为线段 的中点.
（1）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，请确定点 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：连接 ，与 交于点 ，连接 ， ，交于点 ，连接 ，因为 平面 ，所以 平面 .由题意得四边形 为菱形，所以 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意，得 ， ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 所以 ，
令 ，则 ， ，
所以 是平面 的一个法向量，
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
（2）解：假设在线段 上存在点 ，使得 平面 ，设 ，
因为 ， ， ，所以 ， ， ，
所以 ，
因为 平面 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
解得 ，
所以在线段 上存在点 ，使得 平面 ，此时点 为线段 的靠近点 的三等分点.
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线由中点的性质即可得出线面垂直以及线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面的法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面A的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 平面 与平面 夹角的余弦值 。
(2)根据题意由假设法假设存在，建立空间直角坐标系求出各个点以及向量的坐标，再由向量的数乘坐标公式以及加、减法坐标的运算法则即可计算出由此即可求出的值由此即可得证出结论成立存在这样的点F。
21．（2020高二上·临沂期中）如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°，AD= ，EF=2.
（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）当AB的长为何值时，二面角A—EF—C的大小为60°
【答案】（1）证明：方法一 过点E作EG⊥CF交CF于G，
连接DG.可得四边形BCGE为矩形，
又四边形ABCD为矩形，
所以AD EG，从而四边形ADGE为平行四边形，
AE∥DG.
因为AE 平面DCF，DG=平面DCF，
所以AE∥平面DCF.
方法二 如图所示，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C—xyz.
设AB=a，BE=b，CF=c，
则C（0，0，0），A（ ，0，a），
B（ ，0，0），E（ ，b，0），F（0，c，0）.
=（0，b，-a）， =（ ，0，0）， =（0，b，0），
所以 · =0， · =0，从而CB⊥AE，CB⊥BE.
AE∩BE=E，所以CB⊥平面ABE.
因为CB⊥平面DCF，
所以平面ABE∥平面DCF，AE 平面ABE.
AE∥平面DCF.
（2）解：方法一 过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH.
由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，
得AB⊥平面BEFC，
从而AH⊥EF，所以∠AHB为二面角A—EF—C的平面角.
在Rt△EFG中，因为EG=AD= ，EF=2，
所以∠CFE=60°，FG=1，
又因为CE⊥EF，所以CF=4，
从而BE=CG=3.
于是BH=BE·sin∠BEH= .
因为AB=BH·tan∠AHB= × = ，
所以当AB为 时，二面角A—EF—C的大小为60°.
方法二 因为 =（- ，c-b，0）， =（ ，b，0）.
· =0，| |=2，
所以 解得
所以E（ ，3，0），F（0，4，0）.
设n=(1，y，z)与平面AEF垂直，
则n· =0，n· =0，解得n=（1， ， ）.
又因为BA⊥平面BEFC， =（0，0，a），
所以|cos〈n， 〉|=
解得a= .
所以当AB为 时，二面角A—EF—C的大小为60°.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）过点E作EG⊥CF交CF于G， 连接DG，推导出四边形ADGE为平行四边形， 从而 AE∥DG ，由此能证明 AE∥平面DCF；
（2）以点C为坐标原点，以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C—xyz，利用向量法能求出当 当AB为 时，二面角A—EF—C的大小为60° 。
22．（2020高二上·淄博期末）如图所示，已知正方体 的棱长为2， ， 分别为 ， 的中点.
（1）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（2）设 ，若平面 平面 ，求 的值.
【答案】（1）解：以 为坐标原点，
分别以棱 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴，
建立空间直角坐标系如图所示，
由已知可得： ， ， ，
， ， ， ，
所以点 ， ，
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
又 ， ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
设平面 和 的夹角为 ，
所以 ，
平面 和 的夹角的余弦值是 .
（2）解：因为 ，设点 的坐标为 ，
所以 ，
所以点 的坐标为 ，
所以 ， ，
由（1）可知平面 的法向量为 ，
因为平面 平面 ，所以 ，且 ，
，
，
所以 .
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 （1） 以 为坐标原点，分别以棱 ， ， 所在的直线为 ， ， 轴，
建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，然利用待定系数法求出两个平面的法向量，利用二面角的计算公式，求出平面 和 的夹角的余弦值 ；
（2）设M点的坐标，利 求出点M的坐标，然后将平面 平面 ，转化为 平面 的法向量垂直于平面 的向量，列出关于λ的方程，求解即可得到λ的值。
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