3.3.1抛物线及其标准方程（教案）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章
圆锥曲线的方程
3.3
抛物线
3.3.1
抛物线及其标准方程
教学设计
一、教学目标
1.
掌握抛物线的定义、标准方程及其推导过程.
2.
进一步理解解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力.
二、教学重难点
1.
教学重点
抛物线的定义和标准方程.
2.
教学难点
抛物线的标准方程的推导.
三、教学过程
（一）新课导入
思考：如果动点M到定点F的距离与M到定直线l（不过点F）的距离之比为k，当时，点M的轨迹为椭圆；当时，点M的轨迹为双曲线.那么，当时，即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？
（二）探索新知
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
根据抛物线的几何特征，如图，取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为.
设是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合.
因为，，所以.将上式两边平方并化简，得.①
从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都是方程①的解，以方程①的解为坐标的点与抛物线的焦点的距离和它到准线的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上.我们把方程①叫做抛物线的标准方程.它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是，准线是的抛物线.
抛物线的标准方程有哪些不同的形式？
图形
标准方程
交点坐标
准线方程
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例1
（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知拋物线的焦点是，求它的标准方程.
解：（1）因为，抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以它的焦点坐标是，准线方程是.
（2）因为抛物线的焦点在轴负半轴上，且，所以抛物线的标准方程是
例2
一种卫星接收天线如左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图（1）.已知接收天线的口径（直径）为4.8
m，深度为1
m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.
解：如图（2），在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即拋物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上.
设抛物线的标准方程是.
由已知条件得，点的坐标是，
代人方程，得，即.
所以，所求抛物线的标准方程是，焦点坐标是.
（三）课堂练习
1.抛物线的焦点坐标是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：抛物线的方程可化为，可知焦点在轴上，且，所以焦点坐标是.故选D.
2.已知抛物线的准线方程为，则实数的值为(
)
A.8
B.
C.
D.
答案：C
解析：因为抛物线的准线方程为，所以，解得，故选C.
3.若动点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：依题意可知，点到点的距离等于点到直线的距离，因此其轨迹是抛物线，且，顶点在原点，焦点在轴正半轴上，所以其方程为，故选D.
4.已知点，抛物线的焦点为，准线为，线段交抛物线于点，过点作准线的垂线，垂足为.若，则___________.
答案：
解析：由抛物线的定义可得.又，所以点为线段的中点，即，所以，解得.
5.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）经过点；
（2）焦点为直线与坐标轴的交点.
答案：（1）当抛物线的标准方程为时，
将点代入，得，
即所求抛物线的标准方程为；
当抛物线的标准方程为时，
将点代入，得，
即所求抛物线的标准方程为.
综上，抛物线的标准方程为或.
（2）令，得；令，得，
所以抛物线的焦点坐标为或.
当焦点为时，设抛物线的标准方程为，
则，解得，此时抛物线的标准方程为.
当焦点为时，设抛物线的标准方程为，
则，解得，此时抛物线的标准方程为.
综上，抛物线的标准方程为或.
（四）小结作业
小结：抛物线的定义及标准方程.
作业：
四、板书设计
3.3.1
抛物线及其标准方程
1.
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
2.
标准方程：
图形
标准方程
交点坐标
准线方程
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