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第二章
基本初等函数Ⅰ
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为，所以，故选C.
2．若函数是偶函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由是偶函数，可的，，所以，故选.
3．下列函数中既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】选项A中，对数函数是减函数，但不具有奇偶性，选项A错误
选项B中，是增函数减去减函数，根据单调性的性质可知，函数为增函数，所以选项B错误
选项C中，函数在和都是减函数，但不是在定义域内的减函数，所以选项C错误
选项D中，，，为奇函数，且时，，所以为减函数，所以选项D正确，故选D.
4．函数与（且）的图象经过同一个定点，则的值是（
）
A．4
B．-1
C．3
D．
【答案】D
【解析】因为函数（且）经过定点，函数（且）的图象经过定点，由题意知，即，故，故选D.
5．已知函数，若，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】的定义域为，且在单调递增，所以可化为：
，解得：.故a的取值范围是.故选C.
6．函数的单调递减区间为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由，解得或.当时，为减函数，而的底数为，所以为增区间.当时，为增函数，而的底数为，所以为减区间.故选C.
7．若实数，，互不相等，且满足，则（
）
A．
B．
C．，
D．，
【答案】D
【解析】设，则，，，根据指数、对数函数图象易得：，，即，，故选D.
8．已知，则下列不等式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】,∴函数为单调减函数，为单调增函数，为单调减函数，为单调增函数，
∴，，，
，故ABD错误，C正确.故选C.
9．函数的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意，，其定义域为，
有，即函数为奇函数，排除，
又由，
，所以，有，函数在不会是减函数，排除，
故选．
10．定义在上的函数，满足，当时，，当时，，则的值等于（
）
A．405
B．404
C．810
D．808
【答案】B
【解析】因为定义在上的函数，满足，所以函数的周期为5，
因为，所以，，
，，
所以，
因为函数的周期为5，，所以，故选B
11．设是非零实数，已知，则（
）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】A
【解析】因为，所以，所以
，，
所以
，故选A
12．已知函数的定义域为，图象恒过点，对任意当时，都有，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为，不妨设，则，
令，在R上递增，
又，所以不等式，
即为，即，所以，
则，解得
，故选D.
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．求值：______.
【答案】6
【解析】原式.故答案为：6.
14．已知，且，则的值是_________；
【答案】.
【解析】由得，，则，
所以，又，所以.故答案为：.
15．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为_______.
【答案】
【解析】根据题意，函数是上的增函数，
则必有，解可得，即的取值范围为，故答案为：．
16．若函数同时满足：（1）对于定义域上的任意，恒有；（2）对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中：①；②；③；④，能被称为“理想函数”的有______(填相应的序号).
【答案】④
【解析】若满足：（1）对于定义域上的任意，恒有；可知是奇函数；
若满足：（2）对于定义域上的任意，，当时，恒有，可知是减函数，所以即是奇函数又是减函数的函数就是“理想函数”.
对于①：是奇函数，在和单调递减，但在定义域内不是减函数，不符合理想函数的定义，故①不正确；
对于②是偶函数，在单调递减，在单调递增，不符合理想函数的定义，故②不正确；
对于③：是奇函数，因为和都是增函数，所以在上单调递增，不符合理想函数的定义，故③不正确；
对于④：作出分段函数的图象如图所示：由图知：图象关于原点对称是奇函数，且在上单调递减，符合理想函数的定义，故④正确；
故答案为：④.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）化简：；
（2）计算：
【解析】（1）原式
（2）原式
18．（12分）已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）求时的值．
【解析】（1）∵
令，则，
根据二次函数的性质可知，当即时，函数取得最小值
（2）∵，即，
∴或
∴或
19．（12分）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增.
（1）求和的值；
（2）求满足不等式的a的取值范围.
【解析】（1）∵幂函数，∴，解得.
又∵幂函数在上单调递增，
∴，解得，
∵，∴或或，
当或时，，图象关于原点对称，不合题意；
当时，，图象关于y轴对称，符合题意.
综上，.
（2）由（1）可得，
∴，而函数在和上均单调递减，
且当时，，当，
∴满足不等式的条件为或或，
解得或，
故满足不等式的a的取值范围为.
20．（12分）定义在上的奇函数，已知当时，＝．
（1）求在上的解析式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，时，，
所以，解得，
所以时，，
当时，，
所以，
又，
所以，，
即在上的解析式为.
（2）因为时，，
所以可化为，整理得，
令，根据指数函数单调性可得，
与都是减函数，
所以也是减函数，
，
所以，
故数的取值范围是.
21．（12分）设，且)，其图象经过点，又的图象与的图象关于直线对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的值；
（3）若在区间上的值域为，且，求的值.
【解析】（1）因为，且的图象经过点，
所以，所以，所以.
（2）因为，所以，
所以10，所以，所以.
（3）因为的图象与的图象关于直线对称，
所以，且为增函数，
所以在区间上的值域为，
因为，所以，所以，
所以.
22．（12分）已知函数，若点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函的相关函数.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）对任意的，的图象总在其相关函数图象的上方，求实数的取值范围.
【解析】（1）依题意，，则，解得，
所以所求不等式的解集为；
（2）因为在函数上，所以，即，所以的相关函数为，
∵对任意的，的图象总在其相关函数图象的上方，
∴当时，恒成立，
即恒成立，
由，，，得，
∴在此条件下，即时，恒成立，即恒成立，即恒成立，
∴，解得，故实数的取值范围为.
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基本初等函数Ⅰ
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（
）
A．
B．
C．
D．
2．若函数是偶函数，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．下列函数中既是奇函数，又在定义域内为减函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．函数与（且）的图象经过同一个定点，则的值是（
）
A．4
B．-1
C．3
D．
5．已知函数，若，则a的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
6．函数的单调递减区间为（
）
A．
B．
C．
D．
7．若实数，，互不相等，且满足，则（
）
A．
B．
C．，
D．，
8．已知，则下列不等式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．函数的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
10．定义在上的函数，满足，当时，，当时，，则的值等于（
）
A．405
B．404
C．810
D．808
11．设是非零实数，已知，则（
）
A．
B．
C．2
D．3
12．已知函数的定义域为，图象恒过点，对任意当时，都有，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．求值：______.
14．已知，且，则的值是_________；
15．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为_______.
16．若函数同时满足：（1）对于定义域上的任意，恒有；（2）对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数中：①；②；③；④，能被称为“理想函数”的有______(填相应的序号).
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）化简：；
（2）计算：.
18．（12分）已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）求时的值．
19．（12分）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增.
（1）求和的值；
（2）求满足不等式的a的取值范围.
20．（12分）定义在上的奇函数，已知当时，＝．
（1）求在上的解析式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21．（12分）设，且)，其图象经过点，又的图象与的图象关于直线对称.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的值；
（3）若在区间上的值域为，且，求的值.
22．（12分）已知函数，若点在函数图象上运动时，对应的点在函数图象上运动，则称函数是函的相关函数.
（1）当时，解关于的不等式；
（2）对任意的，的图象总在其相关函数图象的上方，求实数的取值范围.
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