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第2章
有理数
【走进中考】
考试要求由低到高分为四个层次，依次是了解、理解、掌握、灵活运用，表中分别用字母A、B、C、D表示，这里高一级的层次要求包含低一级层次的要求
考试内容
A
B
C
D
有理数
有理数，相反数，绝对值意义，乘方的意义
√
用数轴上的点表示有理数，比较有理数的大小
√
求有理数的相反数与绝对值，|a|的含义（这里的a表示有理数）
√
有理数的加，减，乘，除，乘方及简单混合运算（以三步为主）
√
运用运算律简化运算
√
运用有理数的运算解决简单的问题
√
有理数是初中数学的基础内容，中考试题中分值约为3-6分，多以选择题，填空题，计算题的形式出现，难易度属于简单。考察内容：复数以及混合运算（期中、期末必考计算）数轴、相反数、绝对值和倒数（选择、填空）。
考向1
有理数的基础概念
考点1.正数和负数：
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
【典型例题】
例1、在-3，-1，，0，，2017各数中是正数的有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【分析】根据正数和负数的概念求解即可．
【解答】解：在-3，-1，，0，，2017各数中是正数的有、2017这2个，
故选：C．
【点评】本题考查正数和负数的概念．要注意0既不是正数，也不是负数．
【易错点拨】容易忽略掉0的判断，它既不是正数也不是负数。
考点2.有理数和无理数：
有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数{整数{正整数、0、负整数、分数{正分数、负分数}}}；?????????????????
②按正数、负数与0的关系分类：有理数{正数{正整数、正分数}、0、负数{负整数、负分数}}．
3、无理数的概念：无限不循环小数
4、无理数的分类：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
【典型例题】
例2、把下列各数填入相应的集合中：，0，7，-0.08，-53，3.14，+22，．
正整数集合：{
}
分数集合：{
}
负有理数集合：{
}
【分析】有理数包括整数和分数，正确按分类填写即可．
【解答】解：正整数集合：{7，+22…}
分数集合：{，-0.08，3.14，…}
负有理数集合：{?，-0.08，-53…}，
故答案为：7，+22；，-0.08，3.14，．
【点评】本题主要考查了有理数的分类．认真掌握正数、整数、负有理数、的负分数定义与特点．特别注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
【易错点拨】
（1）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
（2）判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
考点3.数轴：
1、数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
???????
?数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
2、数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
3、用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
【典型例题】
例3、点A，B，C在同一条数轴上，且点A表示的数为-1，点B表示的数为5．若BC=2AC，则点C表示的数为
．
【分析】AB=6，分点C在A左边和点C在线段AB上两种情况来解答．
【解答】解：AB=5-（-1）=6
C在A左边时，∵BC=2AC
∴AB+AC=2AC
∴AC=6
此时点C表示的数为-1-6=-7；
C在线段AB上时，∵BC=2AC
∴AB-AC=2AC
∴AC=2
此时点C表示的数为-1+2=1，
故答案为：-7或1．
【点评】本题考查了数轴及两点间的距离；本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
【易错点拨】注意分类讨论
考点4.绝对值与相反数：
1、相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
2、绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
?①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a
绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|={a（a＞0）0（a=0）-a（a＜0）
【典型例题】
例4、若3a-4b与a-5b互为相反数，则的值为
．
【分析】直接利用相反数的定义进而得出a，b的关系．
【解答】解：∵3a-4b与a-5b互为相反数，
∴3a-4b+a-5b=0，
则4a-9b=0，
故=．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
例5、已知|x-2|=3，则x的值为（ ）
A．-5
B．-1
C．-5，-1
D．5，-1
【分析】根据绝对值的意义即可求解．
【解答】解：|x-2|=3
x-2=±3
x=5或x=-1
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解题关键．
【易错点拨】牢记相反数相加为0，相反数的绝对值相等
考向2
有理数的运算
考点1.有理数的加法与减法：
1、有理数的加法：
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b=b+a；?
结合律（a+b）+c=a+（b+c）．
2、有理数的减法：
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
即：a-b=a+（-b）?
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；
二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【典型例题】
例6、计算（1）-17+（-33）-10-（-16）．
（2）|-7|-4+（-2）-|-4|+（-9）
【分析】（1）从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
（2）首先根据绝对值的含义和求法，求出|-7|、|-4|的值各是多少；然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1）-17+（-33）-10-（-16）
=-50-10+16
=-44
（2）|-7|-4+（-2）-|-4|+（-9）
=7-4-2-4-9
=-12
【点评】此题主要考查了有理数的加减混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
【易错点拨】
在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
考点2.有理数的乘法与除法：
1、倒数：乘积是1的两数互为倒数
2、有理数的乘法：
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．???
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
3、有理数的除法：
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b=a??
（b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
【典型例题】
例7、|-5|÷（）×0.8×（）
【分析】根据有理数的乘除法法则进行计算即可．
【解答】解：|-5|÷（）×0.8×（）
=5×()××
=-7．
【点评】本题主要考查了有理数的乘除法，熟记有理数的乘除法法则是解答本题的关键．
【易错点拨】有理数的乘除运算顺序必须从左往右依次进行
考点3.有理数的乘方：
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
【典型例题】
例8、计算
【分析】先计算乘方，再计算乘除运算即可得．
【解答】解：
【点评】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
【易错点拨】
（1）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
（2）由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
考点4.有理数的混合运算：
1、有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
2、进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【典型例题】
例9、计算：
【分析】原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值．
【解答】解：原式=．
【点评】此题考查了有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【易错点拨】
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
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有理数
【走进中考】
考试要求由低到高分为四个层次，依次是了解、理解、掌握、灵活运用，表中分别用字母A、B、C、D表示，这里高一级的层次要求包含低一级层次的要求
考试内容
A
B
C
D
有理数
有理数，相反数，绝对值意义，乘方的意义
√
用数轴上的点表示有理数，比较有理数的大小
√
求有理数的相反数与绝对值，|a|的含义（这里的a表示有理数）
√
有理数的加，减，乘，除，乘方及简单混合运算（以三步为主）
√
运用运算律简化运算
√
运用有理数的运算解决简单的问题
√
有理数是初中数学的基础内容，中考试题中分值约为3-6分，多以选择题，填空题，计算题的形式出现，难易度属于简单。考察内容：复数以及混合运算（期中、期末必考计算）数轴、相反数、绝对值和倒数（选择、填空）。
考向1
有理数的基础概念
考点1.正数和负数：
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
【典型例题】
例1、在-3，-1，，0，，2017各数中是正数的有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【易错点拨】容易忽略掉0的判断，它既不是正数也不是负数。
考点2.有理数和无理数：
有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数{整数{正整数、0、负整数、分数{正分数、负分数}}}；?????????????????
②按正数、负数与0的关系分类：有理数{正数{正整数、正分数}、0、负数{负整数、负分数}}．
3、无理数的概念：无限不循环小数
4、无理数的分类：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
【典型例题】
例2、把下列各数填入相应的集合中：，0，7，-0.08，-53，3.14，+22，．
正整数集合：{
}
分数集合：{
}
负有理数集合：{
}
【易错点拨】
（1）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
（2）判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
考点3.数轴：
1、数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
???????
?数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
2、数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
3、用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
【典型例题】
例3、点A，B，C在同一条数轴上，且点A表示的数为-1，点B表示的数为5．若BC=2AC，则点C表示的数为
．
【易错点拨】注意分类讨论
考点4.绝对值与相反数：
1、相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-”，如a的相反数是-a，m+n的相反数是-（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
2、绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
?①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a
绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|={a（a＞0）0（a=0）-a（a＜0）
【典型例题】
例4、若3a-4b与a-5b互为相反数，则的值为
．
例5、已知|x-2|=3，则x的值为（ ）
A．-5
B．-1
C．-5，-1
D．5，-1
【易错点拨】牢记相反数相加为0，相反数的绝对值相等
考向2
有理数的运算
考点1.有理数的加法与减法：
1、有理数的加法：
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b=b+a；?
结合律（a+b）+c=a+（b+c）．
2、有理数的减法：
（1）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
即：a-b=a+（-b）?
（2）方法指引：
①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；
②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；
二是减数的性质符号（减数变相反数）；
【典型例题】
例6、计算（1）-17+（-33）-10-（-16）．
（2）|-7|-4+（-2）-|-4|+（-9）
【易错点拨】
在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
考点2.有理数的乘法与除法：
1、倒数：乘积是1的两数互为倒数
2、有理数的乘法：
（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
（2）任何数同零相乘，都得0．???
（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
（4）方法指引：
①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．
3、有理数的除法：
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b=a??
（b≠0）
（2）方法指引：
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
（2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．
【典型例题】
例7、|-5|÷（）×0.8×（）
【易错点拨】有理数的乘除运算顺序必须从左往右依次进行
考点3.有理数的乘方：
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
【典型例题】
例8、计算
【易错点拨】
（1）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
（2）由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
考点4.有理数的混合运算：
1、有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
2、进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【典型例题】
例9、计算：
【易错点拨】
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
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