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第2章
有理数
考向1
有理数的基础概念
考点1.正数和负数：
1．一袋大米的标准重量为，把一袋重的大米记为，则一袋重的大米记为
A．
B．
C．
D．
【分析】根据正、负数的意义列式计算即可得解．
【解答】解：，
，
多于标准重量的面粉记作，
低于标准重量的面粉记作．
故选：．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2．检查四个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下：，，，．其中质量最好的是
A．
B．
C．
D．
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答．
【解答】解：根据题意可得：超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数；
观察图表，找绝对值最小的．易得最小，
故选：．
【点评】本题考查了绝对值、有理数的减法在实际中的应用．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
3．检测4袋茶叶的质量，超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从重量的角度来看，最接近标准的那一袋是
A．
B．
C．
D．
【分析】由已知和要求，只要求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的那一袋．
【解答】解：通过求4袋茶叶质量的绝对值得：
，，，，
的绝对值最小．
所以这袋茶叶的质量是最接近标准的．
故选：．
【点评】本题考查了正数和负数，有理数的运算，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中表示的实际意义．
4．在0.2、、10、、、中，负数的个数有
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
【分析】根据小于0的是负数即可求解．
【解答】解：在0.2、、10、、、中，负数有、、、，负数的个数有4个．
故选：．
【点评】此题主要考查了正数和负数的意义，判断一个数是正数还是负数，关键是看它比0大还是比0小．
5．某批优质大米的袋上标有质量为的字样，若从中任意挑出两袋，则它们的质量最多相差 0.6 ．
【分析】根据可得最重为25.3，最轻为24.7，所以可求得最多相差0.6，可得出答案．
【解答】解：由可得最重为，最轻为，所以最多相差，
故答案为：0.6．
【点评】本题主要考查正负数的意义，正确理解是解题的关键．
6．检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数，得到的结果依次是，，3，5，从轻重的角度看，最接近标准的工件是第 1 个．
【分析】比较各个工件克数的绝对值，绝对值最小的工件最接近标准，从而得出结论．
【解答】解：因为，，，，
由于最小，所以从轻重的角度看，质量是的工件最接近标准工件．
故答案：1
【点评】本题考查了正负数在生活中的应用．理解从轻重的角度看，绝对值最小的工件最接近标准工件是解决本题的关键．
7．一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前为正，返回为负，他的记录如下（单位：米），，，，，，，．守门员全部练习结束后，他共跑了 54 米．
【分析】求出所有数的绝对值的和即可．
【解答】解：由题意可得：
（米，
答：守门员全部练习结束后，他共跑了54米．
故答案为：54．
【点评】本题考查了正数和负数，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量．
8．宜宾叙州区水泥厂仓库6天内进出水泥的吨数如下
“”表示进库，“”表示出库）
、、、、、．
（1）经过这6天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？
（2）经过这6天，仓库管理员结算发现库里还存200吨水泥，那么6天前，仓库里存有水泥多少吨？
（3）如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费．
【分析】（1）根据有理数的加法运算，可得答案；
（2）根据有理数的减法运算，可得答案；
（3）根据装卸都付费，可得总费用．
【解答】解：（1）
．
答：仓库里的水泥减少了，减少了65吨；
（2）（吨
答：6天前，仓库里存有水泥265吨；
（3）
（元
答：这6天要付1305元的装卸费．
【点评】本题考查了正数和负数，（1）有理数的加法是解题关键；（2）剩下的减去多运出的就是原来的，（3）装卸都付费．
9．空气质量指数是国际上普遍采用的定量评价空气质量好坏的重要指标，空气质量指数不超过50则空气质量评估为优．下表记录了我市11月某一周7天的空气质量指数变化情况．规定：空气质量指数50记为零，空气质量指数超过50记为正，空气质量指数低于50记为负．
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
解答以下问题：
（1）根据表格可知，星期四空气质量指数为 32 ，星期六比星期二空气质量指数高 ；
（2）求这一周7天的平均空气质量指数．
【分析】（1）根据空气质量指数50记为零，与50相加可得星期四的指数，星期六星期二可得星期六比星期二空气质量指数高的指数；
（2）将表中数据相加后计算平均数与50相加可得结论．
【解答】解：（1）星期四空气质量指数为：，
星期六比星期二空气质量指数高：，
故答案为：32，32；
（2），
，
，
答：这一周7天的平均空气质量指数为56．
【点评】本题考查了正数和负数．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
10．第66路公交车沿东西方向行驶，如果把车站的起点记为0，向东行驶记为正，向西行驶记为负，其中一辆车从车站出发以后行驶的路程如下表（单位：
序号
1
2
3
4
5
6
7
路程
（1）该车最后是否回到了车站？为什么？
（2）该辆车离开出发点最远是多少千米？
（3）若每千米耗油0.2升，每升油价是7.5元，则从地出发到收工时油费是多少元？
【分析】（1）把七个数值相加，再根据有理数加减混合运算的法则计算，计算结果是正数，则是离开车站向东，是负数，则是离开车站向西，等于0，则是回到车站；
（2）求出各站点离开出发点的距离，即可求出最远路程；
（3）求出所有路程的绝对值的和，然后再乘以0.2，再乘以7.5即可．
【解答】解：（1），
，
．
，
，
回到了车站；
（2）；
；
；
；
；
；
离开出发点最远是；
（3），
，
．
（元．
从地出发到收工时油费是81元．
【点评】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解题的关键．
考点2.有理数和无理数：
1．下面的说法正确的是
A．正有理数和负有理数统称有理数
B．整数和分数统称有理数
C．正整数和负整数统称整数
D．有理数包括整数、自然数、零、负数和分数
【分析】整数和分数统称为有理数，注意0既不是正数也不是负数，结合选项可判断出答案．
【解答】解：、正有理数、0和负有理数统称有理数，故本选项错误；
、整数和分数统称为有理数，故本选项正确；
、整数还包括0，故本选项错误；
、零属于自然数的范围，这样的表达不正确，故本选项错误．
故选：．
【点评】此题考查了有理数的知识，属于基础题，解答本题关键是掌握有理数的定义，要特别注意0的归类，0是有理数，是整数，是自然数．
2．下列各数：，，5.1120194，0，，3.14，其中有理数有
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
【分析】根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）．
【解答】解：，，5.1120194，0，，3.14，其中有理数有，5.1120194，0，，3.14，有5个．
故选：．
【点评】考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
3．在，，，2，0，4，5，中，非负数有
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
【分析】根据非负数的定义即可解决问题．
【解答】解：在，，，2，0，4，5，中，非负数有，2，0，4，5，一共5个．
故选：．
【点评】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的分类，属于中考常考题型．
4．下列各数：，1.010010001，，0，，（每两个2之间多一个，，其中有理数的个数是
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】根据有理数分为整数和分数，进而可得答案．
【解答】解：，1.010010001，，0，，（每两个2之间多一个，，其中有理数有：，1.010010001，，0，，个数是5．
故选：．
【点评】此题主要考查了有理数，关键是掌握有理数的分类．
5．在，，，，0.1010010001中，正分数共有 2 个．
【分析】根据正分数的定义即可求解．
【解答】解：在，，，，0.1010010001中，正分数有，0.1010010001，共有2个．
故答案为：2．
【点评】考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
6．在，2020，，0，，，，中，正整数有个，负数有个，则的值为 5 ．
【分析】根据正整数，负分数的定义得出它们的个数，再代入计算即可．
【解答】解：正整数有2020，，共2个；
负数有，，，共1个；
，，
．
故答案为：5．
【点评】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解题的关键．
7．下列等式：，，，具有的结构特征，我们把满足这一特征的一对有理数，称为“共生有理数对”，记作．如：数对，都是“共生有理数对”．
（1）在两个数对，中，“共生有理数对”是 ．
（2）若是“共生有理数对”，则 “共生有理数对”；（填“是”或“不是”
（3）从，两题中任选一题作答．
．请再写出一对“共生有理数对” ．（要求：不与题目中已有的“共生有理数对”重复）
．是否存在“共生有理数对”
，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“共生有理数对”的定义即可判断；
（2）根据“共生有理数对”的定义即可判断；
（3）根据“共生有理数对”的定义即可解决问题．
【解答】解：（1），，
，
不是“共生有理数对”，
，，
，
是“共生有理数对”；
故答案为：；
（2）是．
理由：，
是“共生有理数对”
是“共生有理数对”，
故答案为：是；
（3）．或等．
故答案为是，或；
．不存在，
，，
，
不存在“共生有理数对”
．
【点评】本题考查有理数的混合运算、“共生有理数对”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．把下列各数的序号填在相应的横线上：
①，②3，③，④，⑤0，⑥，⑦0.6，⑧
（1）整数有： ②、⑤、⑥、⑧
（2）分数有：
（3）负数有：
（4）正数有：
（5）非负数有：
（6）有理数有：
【分析】根据有理数的概念及其分类可得．
【解答】解：（1）整数有：3；0；；．
故答案为：②、⑤、⑥、⑧；
（2）分数有：；；；0.6．
故答案为：①、③、④、⑦；
（3）负数有：；；．
故答案为：①、③、⑥；
（4）正数有：3；；0.6；．
故答案为：②、④、⑦、⑧；
（5）非负数有：3；；0；0.6；．
故答案为：②、④、⑤、⑦、⑧；
（6）有理数有：，3，，，0，，0.6．
故答案为：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧
【点评】本题主要考查有理数，解题的关键是熟练掌握有理数的概念及其分类．
考点3.数轴：
1．点、、、在数轴的位置如图所示，其中点、到原点的距离相等，点、之间的距离为2．若点表示的数为，则点所表示的数为
A．
B．
C．
D．
【分析】先表示出点所表示的数，再根据互为相反数求出点表示的数，做出选择即可．
【解答】解：点表示的数为，，因此点表示的数为，点与点表示的数互为相反数，因此点表示的数为，
故选：．
【点评】考查数轴表示数，理解绝对值、相反数的意义是解决问题的前提．
2．已知、两数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】先根据数轴上点的位置，判断、的大小，再根据加减乘法的符号法则判断两数的和、差、积．
【解答】解：由图知：，
所以，，．
所以选项、、错误，
因为同号得正，所以，选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了有理数的大小比较、有理数的加减乘法的符号法则．掌握有理数的运算法则是解决本题的关键．
3．如图，已知数轴上三点，，表示的数分别是，，．若，，则原点的位置应该在
A．点与点之间，更靠近点
B．点与点之间，更靠近点
C．点与点之间，更靠近点
D．点与点之间，更靠近点
【分析】根据数轴上点的与原点的距离即可求解．
【解答】解：，
，，
又，
且，
所以，，，
所以数轴原点的位置应该在点与点之间，更靠近点．
故选：．
【点评】本题考查了数轴，解决本题的关键是确定题中三个数的正负．
4．如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点，，，对应的数分别是数，，，，且，那么数轴上原点的位置应在
A．点
B．点
C．点
D．点
【分析】此题用排除法进行分析：分别设原点是点或或或．
【解答】解：若原点是，则，，此时，和已知不符，排除；
若原点是点，则，，此时，已知不符，排除，
若原点是点，则，，此时，和已知相符，正确．
故数轴的原点应是点．
故选：．
【点评】此题主要考查了数轴知识点，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．注意学会用排除法．
5．如图，在数轴上有，，，四个整数点（即各点均表示整数），且，若，两点表示的数分别为和6，点为的中点，那么该数轴上的整数中，离线段的中点最近的是
A．2
B．1
C．0
D．
【分析】根据、两点在数轴上所表示的数，求得的长度，然后根据，求得、的长度，从而找到的中点所表示的数．
【解答】解：如图，，
，
，
，
，
，
，
，
点所表示的数是：．
离线段的中点最近的整数是2．
故选：．
【点评】本题考查了数轴、比较线段的长短．灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
6．若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的3倍，我们称点是的“好点“；若点到点的距离是点到点的距离的3倍，我们称点是的“好点”，若数轴上点表示数，点表示数10，点在点、之间，且其中一个点恰好是另两个点的“好点”，则点表示的数是 或16或1或 ．
【分析】设点表示的数是，当点是的“好点“，当点是的“好点“，列方程即可得到结论．
【解答】解：设点表示的数是，
当点是的“好点“，
则，
，
解得：或；
当点是的“好点“，
则，
，或，
解得：或；
点表示的数是或16或1或，
故答案为或16或1或．
【点评】本题考查了一元一次方程，数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程时间速度，认真理解新定义，由定义列出方程是本题的关键．
7．有理数，在数轴上的位置如图所示，下列各式：①，②，③，④，正确的有 2 个．
【分析】观察数轴、位置，得出，，在数轴上找出、的相反数并分析得出正确答案．
【解答】解：根据题意得：，且，
①，正确；
②，错误；
③，错误；
④，正确；
正确的有①④，共2个；
故答案为：2．
【点评】此题考查了数轴和有理数的运算，解决此类问题首先要掌握正负数的概念以及有理数的运算法则，题目整体较为简单，学生需要注意运算的正确性．
8．小明在纸上画了一条数轴，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示3的点重合，若该数轴上，两点之间的距离为8，且，两点在上述折叠中也互相重合，则点表示的数为 或5 ．
【分析】设点表示的数为，则点表示的数为或，由，两点在折叠中重合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设点表示的数为，则点表示的数为或，
依题意，得：或，
解得：或．
故答案为：或5．
【点评】本题考查了数轴以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．如图，数轴上两点、对应的数分别为、1，点为数轴上一点，且点到点、的距离之和为15，则点对应的数为 7 ．
【分析】设点对应的数为，根据数轴上右边的数总大于左边的数，分别表示出和，根据题意列方程，求解即可．
【解答】解：设点对应的数为
点到点、的距离之和为15，点、对应的数分别为、1
点对应的数为7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了数轴的简单应用，明确数轴上两点间的距离的表示，并正确列式，是解题的关键．
10．出租车司机小王“十一”长假期间的一天下午，全是在一条南北走向的大道上营运，规定从出车点出发，向北为正，向南为负，这天下午的行车里程（单位：如下：
，，，，，，，，，．
（1）将最后一位乘客送到目的地后，小王在下午出车地点的什么地方？与下午出车地点相距多少千米？
（2）若一辆出租车的耗油量是，则这天下午这辆出租车的耗油量是多少升？
【分析】（1）由于规定向北为正，向南为负，只需将所给的各数相加，若结果为正，则在出发地点的北面；若结果为负，则在出发地点的南面，并且结果的绝对值即为最后与出发点的距离．
（2）将所给的各数的绝对值相加，所得的结果乘以0.18即为总的耗油量．
【解答】解：（1）．
所以小王在下午出车点的南边，与下午出车地点相距9
．
（2），
．
答：这天下午这辆出租车的耗油量为19.98
．
【点评】此题主要考查数轴，正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．
11．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点”
操作一：
（1）左右折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 3 表示的点重合；
操作二：
（2）左右折叠纸面，使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①对折中心点所表示的数为 ．对折后5表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上、两点之间距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？
【分析】（1）1与重合，可以发现1与互为相反数，因此表示的点与3表示的点重合；
（2）①表示的点与3表示的点重合，则折痕点为1，因此5表示的点与数表示的点重合；
②由①知折痕点为1，且、两点之间距离为11，则点表示，表示．
【解答】解：（1）与重合，
折痕点为原点，
表示的点与3表示的点重合．
故答案为：3．
（2）①由表示的点与表示3的点重合，
可确定折痕点是表示1的点，
表示的点与数表示的点重合．
故答案为：1，．
②由题意可得，、两点距离对称点的距离为．
因为对折中心点所表示的数为1的点，
，．
所以、两点表示的数分别是，6.5．
【点评】考查了数轴上点的对称，通过点的对称，发现对称点的规律，题目设计新颖，难易程度适中，适合课后训练．
12．已知一个数轴上有，，三点，它们所表示的数分别为2，，．
（1）若点是线段的中点，请直接写出的值；
（2）若，求出的值；
（3）若，求的值．
【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解；
（2）先求出的长，进一步得到的值；
（3）先根据题意求得，进一步得到的值．
【解答】解：（1）；
（2）因为，两点在数轴上所表示的数分别为2，．
所以，，
所以，
所以或；
（3）因为，，
所以，
所以，
因为点所表示的数是2，
所以或．
【点评】考查了数轴，两点间的距离运算，在解答的过程中一定要结合图形，另外第三问需要分类讨论，否则会造成漏解．
考点4.绝对值与相反数：
1．若，那么等于
A．0
B．
C．
D．
【分析】先根据非负数的性质求出、的值，再代入进行计算即可．
【解答】解：，
，，
解得，，
原式．
故选：．
【点评】本题考查的是非负数的性质，即任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．如果表示有理数，那么下列说法中正确的是
A．和互为相反数
B．和一定不相等
C．一定是负数
D．和一定相等
【分析】根据相反数的定义去判断各选项．
【解答】解：、和互为相反数；错误，二者相等；
、和一定不相等；错误，当时二者相等；
、一定是负数；错误，当时不符合；
、和一定相等；正确．
故选：．
【点评】本题考查了相反数的定义及性质，在判定时需注意0的界限．
3．下列各组代数式中，互为相反数的个数有
①与；②与；③与；④与．
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数的和是0．
两个多项式，如果一个多项式的各项分别与另一个多项式的各项互为相反数，则这两个代数式也互为相反数．
【解答】解：①与互为相反数；
②与互为相反数．
故选：．
【点评】本题主要考查两个代数式互为相反数的条件：一个多项式的各项分别与另一个多项式的各项互为相反数，则这两个代数式也互为相反数．
4．已知：，且，．则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，则
A．4
B．3
C．2
D．1
【分析】根据绝对值的意义分情况说明即可求解．
【解答】解：，，
、、为两个负数，一个正数，
，，，
分三种情况说明：
当，，时，，
当，，时，，
当，，时，，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查了绝对值，解决本题的关键是分情况说明．
5．当时，代数式的值等于
A．0
B．
C．0
或
D．0
或2
【分析】由已知可得，代入代数式可得答案．
【解答】解：由，得，
，
原式．
故选：．
【点评】本题考查了绝对值，得出与互为相反数是解题关键．
6．若，为实数，且，则的值为 ．
【分析】直接利用绝对值的性质得出，的值，进而得出答案．
【解答】解：，
，，
解得：，，
则．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确把握相关定义是解题关键．
7．若，则 ．
【分析】分两种情况讨论，即可得到的值，进而得出代数式的值．
【解答】解：当时，不成立；
当时，，即，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了绝对值的运用，解决问题的关键是依据的符号分类讨论．
8．已知，，则化简代数式的结果是 ．
【分析】根据已知条件得到，，根据绝对值的定义即可得到结论．
【解答】解：，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点评】此题考查了整式的加减，绝对值，判断出绝对值里边式子的正负是解本题的关键．
9．已知、、位置如图所示，试化简： ．
【分析】直接利用数轴得出，，进而化简即可．
【解答】解：由数轴可得：，，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了整式的化简、绝对值，得到，是解题关键．
考向2
有理数的运算
考点1.有理数的加法与减法：
1．计算：（1）；
（2）．
【分析】（1）根据有理数的运算法则即可求出答案；
（2）根据有理数的运算法则即可求出答案；
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
；
【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型．
2．计算
（1）．
（2）．
【分析】根据有理数的加减混合运算的法则计算即可．
【解答】解：（1）
．
（2）
．
【点评】本题考查了有理数的加减混合运算的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】根据有理数的加减运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟记有理数的加减法法则是解答本题的关键．
4．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
【分析】（1）分别求出两个正数的和，两个负数的和，再进行加减即可；
（2）分别求出两个正数的和，两个负数的和，再进行加减即可；
（3）先把同分母的两个数相加减，再把所得的结果相加减；
（4）先把负数相加，再计算加法即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟记有理数的加减法法则是解答本题的关键．
5．阅读下面文字
对于
可以如下计算：
原式
上面这种方法叫折项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，
计算：
（1）
（2）
【分析】（1）仿照题示解题过程，将整数部分相加减、分数部分相加减，再计算可得；
（2）仿照题示解题过程，将整数部分相加减、分数部分相加减，再计算可得．
【解答】解：（1）（1）
；
（2）
．
【点评】本题主要考查有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则和运算律．
6．观察下面一组等式：
，；
，；
，；
解决下列问题：
（1）化简的结果是 5 ，化简的结果是 ；
（2）求的值．
【分析】（1）根据绝对值的定义去绝对值符号即可；
（2）先去绝对值符号，再把互为相反数的项合并计算即可．
【解答】解：（1）；．
故答案为：5；．
（2）原式
．
【点评】本题主要考查了有理数的解法以及绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解答本题的关键．
7．【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】：
（1）计算： 7 ．
（2）利用数轴，写出所有符合条件的整数，使所表示的点到5和所对应的点的距离之和为7．
（3）直接写出的最小值及此时的取值范围．
（4）直接写出最小值及此时的值．
【分析】（1）利用绝对值的代数意义化简即可得到结果；
（2）利用数轴即可得到符合题意的值；
（3）根据绝对值的意义，即可解答；
（4）先找到中间点：，再根据绝对值的性质即可求出最小值及的取值情况．
【解答】解：（1），
故答案为：7；
（2）根据题意画出数轴，如图所示：
则符合条件的整数的值，，0，1，2，3，4，5．
（3）当有理数所对应的点满足：时，最小值为9；
（4）的最小值为，此时．
【点评】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
考点2.有理数的乘法与除法：
1．
【分析】直接利用有理数的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．计算：
【分析】直接利用有理数的乘法运算法则进而得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了有理数的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．
【分析】根据有理数的乘除运算解答即可．
【解答】解：
．
【点评】此题考查有理数的乘除，关键是根据有理数的乘除运算解答．
4．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）把后两项结合，利用乘法结合律进行计算即可得解；
（2）把带分数化为假分数，除法转化为乘法，然后进行计算即可得解；
（3）先通分计算括号里面的，再根据除以一个数等于乘以这数的倒数进行计算即可得解；
（4）利用乘法分配律进行计算即可得解．
【解答】解：（1），
，
，
；
（2），
，
；
（3），
，
，
，
；
（4），
，
，
，
．
【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，利用运算定律可以使计算更加简便，（3）需要注意除法没有分配律．
5．阅读下面的解题过程：
计算
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
回答：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第 二 步，错误的原因是
，第二处是第
步，错误的原因是
．
（2）把正确的解题过程写出来．
【分析】（1）从第一步到第二步，先计算除法，再计算乘法，所以第1处是第二步，错误原因是运算顺序错误；然后根据有理数除法的运算方法，可得第2处是第三步，错误原因是得数错误．
（2）根据有理数除法、乘法的运算方法，从左向右，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是运算顺序错误，第二处是第三步，错误的原因是得数错误．
（2）
．
故答案为：二、运算顺序错误；三、得数错误．
【点评】（1）此题主要考查了有理数除法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．
（2）此题还考查了有理数乘法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
考点3.有理数的乘方：
1．县长杨皓同志在《2019年咸丰县政府工作报告》中指出，咸丰县2018年完成地方财政总收入7.77亿元（预计数），将7.77亿用科学记数法表示为 元．
A．
B．
C．
D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：7.77亿，
故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
2．在，，，，中，负数有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】直接利用相反数以及绝对值和有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：，，，，，
则负数有3个．
故选：．
【点评】此题主要考查了相反数以及绝对值和有理数的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．下列各式成立的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据乘方的定义计算可得．
【解答】解：、，此选项错误；
、，此选项错误；
、，此选项错误；
、，此选项正确；
故选：．
【点评】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握乘方的定义．
4．下列式子一定成立的是
A．
B．
C．
D．
【分析】原式各项利用乘方的意义计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：、原式，故选项错误；
、原式，故选项错误；
、原式，故选项正确；
、原式，故选项错误．
故选：．
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
考点4.有理数的混合运算：
1．计算：
（1）
（2）
【分析】（1）根据有理数的乘方、有理数的乘法和加减法可以解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘法和加减法可以解答本题．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
2．计算
（1）
（2）
【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
3．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据有理数的加法法则计算即可求解；
（2）根据乘法分配律计算；
（3）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算．
【解答】解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点评】考查了有理数混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
4．计算：
（1）
（2）
【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】考查了有理数混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
5．计算
（1）
（2）
【分析】（1）根据有理数的乘方、有理数的乘法和减法可以解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
6．计算：
（1）
（2）
【分析】（1）根据有理数的乘除法和加减法可以解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
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精品试卷·第
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第2章
有理数
考向1
有理数的基础概念
考点1.正数和负数：
1．一袋大米的标准重量为，把一袋重的大米记为，则一袋重的大米记为
A．
B．
C．
D．
2．检查四个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下：，，，．其中质量最好的是
A．
B．
C．
D．
3．检测4袋茶叶的质量，超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从重量的角度来看，最接近标准的那一袋是
A．
B．
C．
D．
4．在0.2、、10、、、中，负数的个数有
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
5．某批优质大米的袋上标有质量为的字样，若从中任意挑出两袋，则它们的质量最多相差 ．
6．检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数，得到的结果依次是，，3，5，从轻重的角度看，最接近标准的工件是第 个．
7．一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前为正，返回为负，他的记录如下（单位：米），，，，，，，．守门员全部练习结束后，他共跑了 米．
8．宜宾叙州区水泥厂仓库6天内进出水泥的吨数如下
“”表示进库，“”表示出库）
、、、、、．
（1）经过这6天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？
（2）经过这6天，仓库管理员结算发现库里还存200吨水泥，那么6天前，仓库里存有水泥多少吨？
（3）如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费．
9．空气质量指数是国际上普遍采用的定量评价空气质量好坏的重要指标，空气质量指数不超过50则空气质量评估为优．下表记录了我市11月某一周7天的空气质量指数变化情况．规定：空气质量指数50记为零，空气质量指数超过50记为正，空气质量指数低于50记为负．
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
解答以下问题：
（1）根据表格可知，星期四空气质量指数为 ，星期六比星期二空气质量指数高 ；
（2）求这一周7天的平均空气质量指数．
10．第66路公交车沿东西方向行驶，如果把车站的起点记为0，向东行驶记为正，向西行驶记为负，其中一辆车从车站出发以后行驶的路程如下表（单位：
序号
1
2
3
4
5
6
7
路程
（1）该车最后是否回到了车站？为什么？
（2）该辆车离开出发点最远是多少千米？
（3）若每千米耗油0.2升，每升油价是7.5元，则从地出发到收工时油费是多少元？
考点2.有理数和无理数：
1．下面的说法正确的是
A．正有理数和负有理数统称有理数
B．整数和分数统称有理数
C．正整数和负整数统称整数
D．有理数包括整数、自然数、零、负数和分数
2．下列各数：，，5.1120194，0，，3.14，其中有理数有
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
3．在，，，2，0，4，5，中，非负数有
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
4．下列各数：，1.010010001，，0，，（每两个2之间多一个，，其中有理数的个数是
A．3
B．4
C．5
D．6
5．在，，，，0.1010010001中，正分数共有 个．
6．在，2020，，0，，，，中，正整数有个，负数有个，则的值为 ．
7．下列等式：，，，具有的结构特征，我们把满足这一特征的一对有理数，称为“共生有理数对”，记作．如：数对，都是“共生有理数对”．
（1）在两个数对，中，“共生有理数对”是 ．
（2）若是“共生有理数对”，则 “共生有理数对”；（填“是”或“不是”
（3）从，两题中任选一题作答．
．请再写出一对“共生有理数对” ．（要求：不与题目中已有的“共生有理数对”重复）
．是否存在“共生有理数对”
，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
8．把下列各数的序号填在相应的横线上：
①，②3，③，④，⑤0，⑥，⑦0.6，⑧
（1）整数有：
（2）分数有：
（3）负数有：
（4）正数有：
（5）非负数有：
（6）有理数有：
考点3.数轴：
1．点、、、在数轴的位置如图所示，其中点、到原点的距离相等，点、之间的距离为2．若点表示的数为，则点所表示的数为
A．
B．
C．
D．
2．已知、两数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．
3．如图，已知数轴上三点，，表示的数分别是，，．若，，则原点的位置应该在
A．点与点之间，更靠近点
B．点与点之间，更靠近点
C．点与点之间，更靠近点
D．点与点之间，更靠近点
4．如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点，，，对应的数分别是数，，，，且，那么数轴上原点的位置应在
A．点
B．点
C．点
D．点
5．如图，在数轴上有，，，四个整数点（即各点均表示整数），且，若，两点表示的数分别为和6，点为的中点，那么该数轴上的整数中，离线段的中点最近的是
A．2
B．1
C．0
D．
6．若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的3倍，我们称点是的“好点“；若点到点的距离是点到点的距离的3倍，我们称点是的“好点”，若数轴上点表示数，点表示数10，点在点、之间，且其中一个点恰好是另两个点的“好点”，则点表示的数是 ．
7．有理数，在数轴上的位置如图所示，下列各式：①，②，③，④，正确的有 个．
8．小明在纸上画了一条数轴，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示3的点重合，若该数轴上，两点之间的距离为8，且，两点在上述折叠中也互相重合，则点表示的数为 ．
9．如图，数轴上两点、对应的数分别为、1，点为数轴上一点，且点到点、的距离之和为15，则点对应的数为 ．
10．出租车司机小王“十一”长假期间的一天下午，全是在一条南北走向的大道上营运，规定从出车点出发，向北为正，向南为负，这天下午的行车里程（单位：如下：
，，，，，，，，，．
（1）将最后一位乘客送到目的地后，小王在下午出车地点的什么地方？与下午出车地点相距多少千米？
（2）若一辆出租车的耗油量是，则这天下午这辆出租车的耗油量是多少升？
11．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
左右折叠纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点”
操作一：
（1）左右折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合；
操作二：
（2）左右折叠纸面，使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①对折中心点所表示的数为 ．对折后5表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上、两点之间距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？
12．已知一个数轴上有，，三点，它们所表示的数分别为2，，．
（1）若点是线段的中点，请直接写出的值；
（2）若，求出的值；
（3）若，求的值．
考点4.绝对值与相反数：
1．若，那么等于
A．0
B．
C．
D．
2．如果表示有理数，那么下列说法中正确的是
A．和互为相反数
B．和一定不相等
C．一定是负数
D．和一定相等
3．下列各组代数式中，互为相反数的个数有
①与；②与；③与；④与．
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
4．已知：，且，．则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，则
A．4
B．3
C．2
D．1
5．当时，代数式的值等于
A．0
B．
C．0
或
D．0
或2
6．若，为实数，且，则的值为 ．
7．若，则 ．
8．已知，，则化简代数式的结果是 ．
9．已知、、位置如图所示，试化简： ．
考向2
有理数的运算
考点1.有理数的加法与减法：
1．计算：（1）；
（2）．
2．计算
（1）．
（2）．
3．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
4．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
5．阅读下面文字
对于
可以如下计算：
原式
上面这种方法叫折项法，你看懂了吗？
仿照上面的方法，
计算：
（1）
（2）
6．观察下面一组等式：
，；
，；
，；
解决下列问题：
（1）化简的结果是 ，化简的结果是 ；
（2）求的值．
7．【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】：
（1）计算： ．
（2）利用数轴，写出所有符合条件的整数，使所表示的点到5和所对应的点的距离之和为7．
（3）直接写出的最小值及此时的取值范围．
（4）直接写出最小值及此时的值．
考点2.有理数的乘法与除法：
1．
2．计算：
3．
4．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
5．阅读下面的解题过程：
计算
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
回答：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第
步，错误的原因是
，第二处是第
步，错误的原因是
．
（2）把正确的解题过程写出来．
考点3.有理数的乘方：
1．县长杨皓同志在《2019年咸丰县政府工作报告》中指出，咸丰县2018年完成地方财政总收入7.77亿元（预计数），将7.77亿用科学记数法表示为 元．
A．
B．
C．
D．
2．在，，，，中，负数有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．下列各式成立的是
A．
B．
C．
D．
4．下列式子一定成立的是
A．
B．
C．
D．
考点4.有理数的混合运算：
1．计算：
（1）
（2）
2．计算
（1）
（2）
3．计算：
（1）；
（2）；
（3）．
4．计算：
（1）
（2）
5．计算
（1）
（2）
6．计算：
（1）
（2）
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