数学：11.3探索三角形全等的条件(1)同步练习（苏科版七年级下）
【基础演练】
一、填空题
1. 如图,AC=DB,∠1=∠2,则△______≌△DCB,∠ABC=∠___ __.
2. 如图，若，添加条件 ，可使得≌
3. 如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则__________≌__________．
二、选择题
4．如图,BE⊥AC,垂足为D,且AD=CD,BD=ED,若∠ABC=54°,则∠E等于( )
A.25° B.27° C.30° D.45°
5. 如图，，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6.如图，AC=AB，AD平分∠CAB，E在AD上，则图中能全等的三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
三、解答题
7. 如图，已知，，和全等吗？为什么？
8. 如图，已知，AD=AB，和全等吗？为什么？
9. 如图，已知AB＝AC，AE＝AD，∠1＝∠2，你能说明△ABD≌△ACE吗？
10. 如图，A、E、B、D在同直线上，在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，AC∥DF。
（1）△ABC和△DEF全等吗？为什么？
（2）你还可以得到的结论是 （写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其它字母）
11. 如图，直线AB、CD相交于O点，且OA=OB，OC=OD，BD和AC平行吗 为什么
12. 已知EF是AB上的两点，AE=BF，AC∥BD，且AC=DB， CF和DE相等吗？为什么？
【能力提升】
13. 如图，，，你能说明吗？
14.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．相等吗？为什么？
参考答案
1. △ABC≌△DCB,∠ABC=∠DCB；
2. 答案不唯一，如AB=AC.
3. △ABD, △ACD；
4．B．
5. A.
6. C．
7.解：在△ABC和△DEF中
∴△ABE≌△ACD（SAS）.
8.略.
9. 解：∵∠1＝∠2，∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS）
10. 解：（1）∵AC∥DF，∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS）
（2）答案不惟一，如：AE＝DB，∠C＝∠F，BC∥EF等．
11.提示：先说明△AOC≌△BOD .
12.提示：先说明△ACF≌△BDE .
13.提示：先说明△ABD≌△CDB .
14.提示：先说明△ADE≌△CDG .
O
E
A
B
D
C
第5题图
第4题图
第6题图
第7题图
第8题图
第9题图
第10题图
第11题图
第12题图
2
1
D
C
B
A
第13题图11.3探索三角形全等的条件(Ａ卷)
一、选择题:(每小题2分,共30分)
1.下列说法中正确的个数为 ( )
(1)所有的等边三角形都全等; (2)两个三角形全等,它们的最大边是对应边
(3)两个三角形全等,它们的对应角相等; (4)对应角相等的三角形是全等三角形
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列说法中,错误的是 ( )
A.全等三角形的面积相等; B.全等三角形的周长相等
C.面积相等的三角形全等; D.面积不等的三角形不全等
3.在△ABC和△A′B′C′,如果满足条件( ),可得△ABC≌△A′B′C′. （ ）
A.AB=A′B′,AC=A′C′,∠B=∠B′; B.AB=A′B′,BC=B′C′,∠A=∠A′
C.AC=A′C′,BC=B′C′,∠C=∠C′; D.AC=A′C′,BC=B′C′,∠B=∠B′
4.如图1所示,已知AB=CD,AD=CB,AC、BD相交于O,则图中全等三角形有 ( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
5.不能使两个直角三角形全等的条件是 ( )
A.一条直角边及其对角对应相等; B.斜边和一条直角边对应相等
C.斜边和一锐角对应相等 D.两个锐角对应相等
6.如图2所示,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于D,BC=BD,结果AC=3cm,那么AE+DE= ( )
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
7.如图3所示,已知EA⊥AB,BC∥EA,EA=AB=2BC,D为AB的中点, 则下面式子不能成立的是( )
A.DE=DC B.DE⊥AC C.∠CAB=30° D.∠EAF=∠ADF
8.具备下列条件的两个三角形,可以证明它们全等的是 ( )
A.一边和这边上的高对应相等; B.两边和第三边上的中线对应相等
C.两边和其中一边的对角对应相等 D.直角三角形的叙边对应相等
9.△ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB边的取值范围是 ( )
A.1
10.下列三角形中,能全等的是( )
(1)一腰和顶角对应相等的两个等腰三角形; (2)一腰和一个角分别相等的两个等腰三角形;(3)有两边分别相等的两个直角三角形; (4)两条直角边对应相等的两个直角三角形
A.(1)(3) B.(2)(4) C.(1)(4) D.(1)(3)(4)
11.如图4所示,BO是△ABC的中线,延长BO到D,使OD=BO,连结AD, 则图中全等三角形有 ( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
13.在△ABC和△A′B′C′中,①AB=A′B′,②BC=B′C′,③AC=A′C′,④∠A=∠A′,⑤∠B=∠B′,⑥∠C=∠C′,则下列条件中不能保证△ABC≌△A′B′C ′的是 ( )
A.①②③ B.①②⑤ C.①⑤⑥ D.①②④
14.如图5所示,△ABC中,∠BAC=90°,BC的垂直平分线交AB于D,AC=6,BC=10,则△ADC的周长是 ( )
A.12 B.14 C.15 D.16
15.如图7所示,△ABC是不等边三角形,DE=BC,分别以D、E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以画出 ( )
A.8个 B.6个 C.4个 D.2个
二、填空题:(每小题2分,共20分)
16.如图8所示,OA平分∠BAC,∠B=∠C,则图形全等三角形共有_____对,它们分别是________________________________________________________.
17.如图9所示,点C、F在BE上,∠1=∠2,BC=EF,请补充条件:___________(写出一个即可),使△ABC≌△DEF.
18.如图10所示,△ABC是直角三角形,BC为斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACD重合,如果AP=3,那么PD=________.
19.如图11,已知AC=DB,要使得△ABC≌△DCB,只需增加的一个条件是______.
20.如图12,∠1=∠2,请补充条件___________(写一个即可),使△ABC∽△ADE.
21.如图13所示,已知AB=AC,EB=EC,AE的延长线交BC于D,那么图中的全等三角形共有__________对.
22.如图14所示,BA ⊥AC, DC ⊥AC, 要使△ABC ≌△CDA, 现已有__________ 和________条件,还需添加什么条件(最直接的)才能保证结论成立
(1)AB=CD(SAS);(2)_________________( );
(3)________________( ); (4)__________________( )
23.如图15所示,小明不慎将一块三角形玻璃打碎成两块, 要想换一块同样的三角形玻璃,小明将带第______块去玻璃店.
24.如图16所示,已知AB=AC,AE=AD,BD、CE相交于O,要想证明OD=OE,应当先证明△________≌_______,再证△______≌△________,要想证明∠BAO=∠CAO, 应当先证△______≌△______,再证△______≌△________,再证△_______≌△_______.
25.如图17所示,如果AD是BC边上的高,又是∠BAC的平分线,那么△ABD≌△ACD,其根据是___________;如果AD是BC边上的高,又是BC边的上的中线,那么△ABD ≌△ACD,其根据是___________.
三、解答题:(每题10分,共50分)
26.如图18所示,在△ABC中,AB=AC,CE、BD是高,试证明CE=BD.
27.如图19所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB+BD=AC,求∠B:∠C的值.
28.如图20所示,已知AB=DC,AE=DF,CE=FB,求证:AF=DE.
29.如图所示,已知△ACB、△FCD都是等腰直角三角形,且C在AD上,AF 的延长线与BD交于E,请你在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等的过程.
30.如图所示,已知AB⊥BC,DC⊥BC,E在BC上,且AE=AD,AB=BC.
求证:CE=CD.
Ａ卷答案
一、1.B 2.C 3.C 4.C 5.D 6.B 7.C 8.B 9.D 10.C 11.A 12. C 13.D 14.B 15.C
二、16.4;△AOB≌△AOC,△ADB≌△AEC,△AOE≌△AOD,△BOE≌△COD.
17.AC=DF 18.3; 19.∠ACB=∠DBC 20.∠D=∠B 21.3 22.AC=CA, ∠BAC= ∠DCA=90°. (2)∠BCA=∠DAC(ASA) (3)∠B=∠D(AAS) (4)BC=DA(HL)
23.② 24.△ADB≌△AEC,△BOE≌△COD;△ADB≌△AEC,△BOE≌△COD, △AOE≌△AOD. 25.ASA,SAS
三、
26.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵CE、BD是高,
∴∠CEB=∠BDC=90°,
在△CEB和△BDC中,∠EBC=∠DCB,∠CEB=∠BDC,BC=CB,
∴△CEB≌△BDC, ∴CE=BD.
27.解:在AC上截取AB′=AB,在△ABD和△AB′D中,AB=AB′,∠1=∠2,AD=AD,
∴△ABD≌△AB′D,∴BD=B′D,∠B=∠3,
∵AB+BD=AC,AC=AB′+B′C,
∴AB′+B′D=AB′+B′C,
∴B′D=B′C,∴∠4=∠C,
∵∠3=∠4+∠C,∴∠3=2∠C,
∴∠B= 2∠C,∴∠B:∠C=2:1
28.证明:如答图所示,∵AB=DC,AE=DF,又∵CE=BF,∴CE+EF=FB+EF,即BE=CF,
∴△AEB≌△DFC,∴∠AEF=∠DFE,
在△AEF和△DFE中,AE=DF,∠AEF=∠DEF,EF=FE,
∴△AEF≌△DFE.∴AF=DE.
29.有△ACF≌△BCD.
证明:∵△ABC为等腰直角三角形,∴∠ACB= 90°,AC=BC,
∵△CFD为等腰直角三角形,∴∠FCD=90°,CF=CD,
在△ACF和△BCD中, AC=BC,∠ACF=∠BCD,CF=CD,
∴△ACF≌△BCD.
30.证明:作AF⊥直线CD,交CD的延长线于F,
∵AB⊥BC,CF⊥BC,∴四边形ABCF是矩形,
∵AB=BC,∴四边形ABCF是正方形,∴AB=AF=BC=CF,
∵∠ABE= ∠AFD=90°,在Rt△ABE和Rt△AFD中,AE=AD,AB=AF,
∴Rt△ABE≌Rt△AFD,∴BE=FD,
∵BC= CF,
∴BC-BE=CF-DF,即EC=CD.11.3探索三角形全等的条件(4)同步练习
【基础演练】
一、选择题
1.如图所示，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是（ ）．
A．PD=PE B．OD=OE C．∠DPO=∠EPO D．PD=OD
2.如图所示，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，作法的合理顺序是（ ）．
（1）作射线OC；
（2）在OA和OB上，分别截取OD，OE，使OD=OE；
（3）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C．
A．（1）（2）（3） B．（2）（1）（3） C．（2）（3）（1） D．（3）（2）（1）
3.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，则下列四个结论：①AD上任意一点到C，B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF，其中正确的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形（ ）.
A.不全等 B.不一定全等 C.全等 D.无法确定
二、填空题
5.如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是 .
6. 如图，点D、E分别在线段AB、AC上， BE、CD相交于点O，AE＝AD，要使△ABE≌△ACD，需添加一个条件是____________________（只要写一个条件）.
7. 如图，点在的平分线上，若使，则需添加的一个条件
是 （只写一个即可，不添加辅助线）.
8.如图所示，直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路．现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 处.
三、解答题
9.如图，已知∠AOB，求作射线OP，使∠AOP=∠BOP.
10.如图所示，有块三角形厚铁板，为了实际生产需要，工人师傅要把∠MAN平分，现在他手边只有一把尺子和一根细绳，你能帮工人师傅想个办法吗 并说说你的根据．
11．已知：在△ABC中，AB=AC．
（1）按照下列要求画出图形：
①作∠BAC的平分线交BC于点D；
②过D作DE⊥AB，垂足为点E；
③过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（2）根据上面所画的图形，可以得到哪些相等的线段（AB=AC除外）？说明理由．
12. 已知：是的角平分线，是上的一点，交于，交于，是上的另一点，连结、，你能说明吗
【能力提升】
13. 如图所示，∠B=∠D=90°，C是BD中点，CM平分∠AMD，判断AC是否平分∠MAB，说明理由．
14.如图（1）所示，△ABC中，∠BAC=90°AB =AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D， CE⊥AE于E．
（1）你能说明BD=DE+CE吗
（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD>CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何 请直接写出结果，不需证明；
参考答案
1. D．
2. C．
3. D．
4. C.
5.3.
6.AB＝AC.
7.AO=BO .
8.4处.
9～11.略.
12. 提示:根据角的平分线上一点到角的两边距离相等,可得PD=PE.再说明△DPF≌△EPF.
13. 提示:过点C作CN⊥AM,垂足为N,则CN=CD=CB. 再说明△ABC≌△ANC.
14.（1）提示: 先说明△ABD≌△CAE,从而得BD=AE=AD+DE=CE+DE.
（2）DE =CE+ BD,说理方法同(1).
（3）DE =CE+ BD,说理方法同(1).
第3题图
第2题图
第1题图
第8题图
第7题图
第6题图
第5题图
O
B
A
第9题图
第10题图
第12题图
第13题图
第14题图数学：11.3探索三角形全等的条件(3)同步练习（苏科版七年级下）
【基础演练】
一、填空题
1. 如图，线段AC与BD交于点O，且OA=OC, 请你添加一个条件： ，使△OAB≌△OCD．
第3题图
2.如图，AD=BC，请你添加一个条件： ，使△DAB≌△CBA（只添一个即可）．
3.如图，已知：∠B=∠DEF，BC=EF，现要证明△ABC≌△DEF，若要以“SAS”为依据，还缺条件_____；若要以“ASA”为依据，还缺条件__________；若要以“AAS”为依据，还缺条件__ ___.
4.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：
① AD=BE；
② PQ∥AE；
③AP=BQ；
④DE=DP；
⑤ ∠AOB=60°．
恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．
二、选择题5. 如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门
框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（ ）
A.两点之间线段最短 B.长方形的对称性
C.长方形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性
6.在△ABC和△A′B′C′中①AB=A′B′, ② BC=B′C′, ③AC=A′C′, ④∠A=∠A′,⑤∠B=∠B′, ⑥∠C=∠C′，则下列哪组条件不能保证△ABC≌△A′B′C′
A．具备①②④ B．具备①②⑤ C．具备①⑤⑥ D．具备①②③
7.如图，、、、在一条直线上，，且，
，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图是5×5的正方形网络，以点D、E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出 （ ）
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
三、解答题
9.如图所示，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，试说明理由．
10.已知：如图，EC＝DF，AB=CD，AE=BF.△AEC和△BFD全等吗 为什么
11.如图，已知． 吗 为什么
【能力提升】
12.如图，AB=AC，DB=DC，EB=EC．请写出图中所有的全等三角形，并选一个说明理由．
13. 如图，已知AC，BD相交于点O，BO=DO，CO=AO，EF过点O分别交BC，AD于E，F，据此你能得出什么结论？写出思考过程．
参考答案
1. OB=OD(答案不唯一).
2.BD=AC(答案不唯一).
3.AB=DE, ∠ACB=∠DFE，∠A=∠A.
4.①,② ,③ ,⑤．
5. D.
6.A．
7.C.
8. B.
9.解: 在△ABC与△ADC中，
∴△ABC≌△ADC (SSS).
∴∠BAC=∠DAC．
因此将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．
10.解:∵AB=CD，∴AC=BD.
在△AEC与△BFD中，
∴△AEC≌△BFD (SSS).
11.提示:先说明△ABC≌△DCB,从而得∠A=∠D. ∵∠A=∠D, ∠AOD=∠DOC,∴.
12.解：△ABD≌△ACD．△ABE≌△ACE．
△DBE≌ △DCE．
以△ABD≌△ACD为例： 在△ABD与△ACD中，
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
13.答案是开放的,要两次说明三角形全等.
第1题图
D
O
C
B
AB
第2题图
A
B
C
E
D
O
P
Q
第4题图
第5题图
第8题图
第7题图
第9题图
第10题图12
第11题图
第12题图
第13题图数学：11.3探索三角形全等的条件(2)同步练习（苏科版七年级下）
【基础演练】
一、填空题
1. (1)如图,已知△ABC中AD平分∠BAC,∠ABD=∠ACD,则再由“___ ___”, 就可判定△ABD≌△ACD.
(2)如图,已知AD∥BC,∠ABC=∠CDA,则可由“AAS”直接判定△___ ____ ≌△____ ____；
(3)如图,已知△ABC中,AD是BC边上的高,要根据“AAS”证明△ABC≌△ACD, 还需加条件
∠_________=∠__________.
2. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，
那么最省力的方法是带 去配.
3. 如图，已知在△ABE和△ACD中，AB = AC，要使△ABE ≌ △ACD，还需添加一个条件，这个条件可以是 ___.
4. 如图，AD⊥BC，AD平分∠BAC，那么ΔABD≌ΔACD，其根据是 .
二、选择题
5. 如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（ ）
A.甲乙 B.甲丙 C.乙丙 D.乙
6.如图，D在AB上，E在AC上，且∠B＝∠C，那么补充下列一个条件后，仍不能判定△ABE与△ACD全等的是( )
A.AD＝AE B.∠AEB＝∠ADC C.BE＝CD D.AB＝AC
7. 如图,AD∥BC,AD=BC,AC与BD交于点O,EF过点O并分别交AD、BC于E、F, 则图中的全等三角形共有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D. 4对
8. 如图，已知AB∥CD，AB=CD,AE=FD,则图中的全等三角形有 （ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
三、解答题
9. 已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB＝DE，BF＝CE.△ABC和△DEF全等吗？为什么？
10.如图,CD⊥AB, BE⊥AC,垂足分别为D、E,BE交CD于F,且AD=DF, AC和 BF相等吗？为什么？
11. 如图,已知∠A=∠C,AF=CE,DE∥BF,△ABF和△CDE全等吗？为什么？
12. 如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．
【能力提升】13. 已知：如图，三点在同一条直线上，，，．
△ABC和△CDE全等吗？为什么？
14.如图，已知：∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，试说明：⑴△ABE≌△ACF；⑵BM=CN.
15.已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为．
（1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；
（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形
不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出
所有这样的三角形；若不能，请说明理由．
（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，
一个内角为”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共
有 个．
参考答案
1. (1)AAS，(2)ABC，CDA，(3)B，C.
2.③.
3.∠C=∠B.
4.ASA.
5. C.
6. B.
7. C.
8. C.
9.解：∵BF＝CE，∴BC=EF.
∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠B=∠E.
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS）
10.提示：先说明△ABE≌△ACD.
11.提示：先说明∠1=∠2.
12.提示：先说明△BDE≌△CDF.
13.略.
14.略.
15.（1）略；（2）能．（3）3．
第1题图
A
C
B
D
第3题图
第4题图
第2题图
第6题图
第7题图
第8题图
第9题图
第10题图
第11题图
A
B
C
D
F
E
第12题图
A
D
B
C
E
第13题图
A
F
B
C
M
E
N
第14题图
图1
第15题图11.3探索三角形全等的条件(B卷)
(综合应用创新训练题,共90分，时间：60分钟)
一、实践应用题:(每小题5分,共20分)
1、如图所示,某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块,现要到玻璃店去配一块大小,形状完全相同的玻璃,那么他可以带哪块去
2、选做其中一题
A: 一次战役中,我军阵地与敌军碉堡隔河相望(如图所示),需要知道碉堡与我军阵地的距离,在不能过河测量又没任何测量工作的情况下,一个战士想出来这样一个办法;他面向碉堡的位置站好,然后调整帽子, 使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部,然后,他转过一个角度,保持刚才的姿态,这时视线落在了自己所在岸的某一点上, 接着他用步测的办法量出自己与那个点的距离,这个距离就是他与碉堡间的距离,你能解释其中的道理吗
B:如图所示,有两个长度相同的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度为DF相等,求∠ABC+∠DFE的度数.
3、选做其中一题
A:如图所示,要测量河两岸相对的两点A、B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC再定出BF的垂线DE,使A、C、E在同一条直线上,这时测得的DE 的长就是AB的长,写出已知和求证,并且进行证明.
B:某校七(1)班学生到野外活动,为测量一池塘两端A、B的距离, 设计出如下几种方案:
(Ⅰ)如图1所示,先在平地取一个可直接到达A、B的点C,再连结AC、BC,并分别延长AC至D,BC至E,使DC=AC,EC=BC,最后测出DE的距离即为AB之长.
(Ⅱ)如图2所示,选过B点作AB的垂线BF,再在BF上取C、D两点,使BC=CD,接着过点D作BD的垂线DE,交AC的延长线于E,则测出了DE的长即为A、B的距离.
阅读后回答下列问题:
(1)方案(Ⅰ)是否可行 答:__________理由是_________________________________.
(2)方案(Ⅱ)是否可行 答:__________理由是_________________________________.
(3)方案(Ⅱ)中作BD⊥AB,ED⊥BF的目的是________________________________,若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°,方案(Ⅱ),结论是否成立 答_______________.
4、工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图所示,∠AOB 是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合. 过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB的平分线,根据做法,结合图形写出已知、求证、证明.
二、创新题:(25分)
5.如图所示,AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,你能找出图中的全等三角形吗 如果再加上AB=AC呢
(1)一变:AD是∠BAC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,AB=AC,连接EF交AD于M,你能找出图中的全等三角形吗
(2)二变:在变形(1)的基础上,当∠BAC=90°时,你能找出图中的全等三角形吗
6.如图所示,已知点C为线段AB上一点,△ACM、△BCN是等边三角形.
(1)求证:AN=BM;
(2)若把原题中“△ACM和△BCN是两个等边三角形”换成两个正方形(如图所示),AN与BM的关系如何 请说明理由.
中考题:(每题5分,共45分)
7.如图1所示,点D在AB上,点E在AC上,CD与BE相交于点O, 且AD=AE,AB=AC,若∠B=20°,则∠C=________.
8.如图2所示,O为ABCD对角线AC、BD的交点,EF经过点O, 且与边AD、BC分别交于点E、F,若BF=DE,则图中的全等三角形最多有 ( )
A.2对 B.3对 C.5对 D.6对
9.如图3所示,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、 CE交于点H,请你添加一个适当的条件________,使△AEH≌△CEB.
10.如图所示,已知点A、E、F、C在同一条直线上,AD∥BC,AD= CB,AE=CF,求证:BE=DF.
11.如图4所示,△ABC中,已知AB=AC,要使AD=AE, 需要添加的一个条件是____________.
12.如图所示,在矩形ABCD中,F是BC边上一点,AF的延长线交DC的延长线于G,DE⊥AG于E,且DE=DC.
根据上述条件,请在图中找出一对全等三角形,并证明你的结论.
13.如图5所示,在△ABC与△DEF中,如果AB=DE,BC=EF,只要再找出∠________=∠________或_________=_________,就可证明这两个三角形全等.
14.如图所示,已知点A、B、C、D在同一条直线上,AB=CD,∠D= ∠ECA,EC=FD,求证:AE=BF.
15.如图所示,若AC、BD、EF两两互相平分于点O, 请写出图中的一对全等三角形(只需写一对即可)_________.
Ｂ卷答案
1、带③去.
解:③中已知两角及其夹边作三角形是成立的,即已知:∠A、∠B及AB,求作的△ABC是惟一的,因此,应带③去.
2、
A:解:∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,
在△ADB和△ADC中,∠ADB= ∠ADC=90°,∠DAB=∠DAC,AD=AD,
∴△ADB≌△ADC,∴BD=CD.
B:解:∵AC⊥AB,ED⊥DF,∴∠CAB=∠FDE=90°.
在Rt△ABC和Rt △DEF中,BC=EF,AC=DF,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF,∴∠BCA=∠EFD,
∵AC⊥AB,∴∠ABC+ ∠BCA=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°.
3、A:已知:AB⊥BF,ED⊥BF,垂足分别为B,D,AE交BF于C,BC=DC.
求证:DE=AB.
证明:∵AB⊥BF,ED⊥BF,∴∠ABC=∠EDC=90°.
又∵∠BCA=∠DCE,BC=DE,
∴△BCA≌△DCE,∴AB=DE.
B: (1)可行,由(SAS)全等识别法,证△ACB≌△DCE.
(2)可行;由(ASA)全等识别法,证△ABC≌△EDC.
(3)得∠ABC=∠EDC;成立.
4、已知:OM=ON,PM=PN.
求证:OP平分∠AOB.
证明:在△OPM和△OPN中,OM=ON,PM=PN,OP=OP,
∴△OPM≌△OPN,
∴∠POM=∠PON,故OP平分∠AOB.
5、△AED≌△AFD;△AED≌△AFD,△BED ≌△CFD,△ABD≌△ACD.
(1)答案:△ABD≌ACD,△ADE≌△ADF,△BDE≌△CDF,△AEM≌△AFM,△DEM ≌△DFM.
(2)答案:△ABD≌△ACD,△ADE≌△ADF≌△BDE≌△CDF,△AEM≌△AFM ≌△DEM≌DFM.
6、(1)证明:∵△ACM、△BCN是等边三角形,
∴∠1=∠2=60°,BC=CN,AC=CM,
∴∠1+∠3=∠2+∠3,即∠ACN=∠BCM,
在△ACN和△MCB中,AC=MC, ∠ACN=∠MCB,CN=CB,
∴△ACN≌△MCB,∴AN=MB.
(2)AN=BM.理由如下,
∵四边形ACMF、BCNE为正方形,∴AC=MC,CN= CB,∠2=∠1.
在△ACN和△MCB中,AC=MC,∠2=∠1,CN=CB,
∴△ACN≌△MCB,∴AN=BM.
7、20° 8.D 9.AH=CB(只要符合要求即求)
10、证明:如答图所示,
∵AD∥BC,∴∠A=∠C,
∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE.
在△ADF和△CBE中, AD=CB,∠A=∠C,AF=CE,
∴△ADF≌△CBE,∴DF=BE.
11、BD=CE.(只要能满足△ABD与△ACE全等的条件即可).
12、△ABF≌△DEA.
证明:∵矩形ABCD,
∴AB=CD,∴∠B=90°,AD∥BC,
∴∠AFB=∠DAE,
又∵DE=CD,∴AB=DE,
∵DE⊥AF,∴∠DAE=90°,
∴∠B=∠DEA.
在△AFB和△DAE中,∠AFB= ∠DAE,∠B=∠DEA,AB=DE,
∴△AFB≌△DAE.
13、∠B=∠DEF或AC=DF
14、证明:∵AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,∴AC=BD.
在△EAC和△FBD中,AC=BD,∠ECA= ∠D,EC=FD,
∴△EAC≌△FBD,∴AE=BF.
15、△DOF≌△BOE.11.3探索三角形全等的条件(5)同步练习
一、选择题
1. 如图，已知AB∥CD，AB=CD,AE=FD,则图中的全等三角形有（ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
2. 已知：如图，点A、E、F、D在同一条直线上，AE＝DF，AB=CD，BF⊥AD，CE⊥AD，垂足分别为F、E，则△ABF≌△DCE的依据是（ ）
A. SSS B. SAS C. ASA D. HL
3. 使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A. 一锐角对应相等 B. 两锐角对应相等 C. 一条边对应相等 D. 两条边对应相等
4. 在和中，已知，在下面判断中错误的是（ ）
A. 若添加条件，则≌
B. 若添加条件，则≌
C. 若添加条件，则≌
D. 若添加条件，则≌
二、填空题
5.如图，四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为
____ ____．
6.如图所示的方格中，连接AB、AC，则∠1+∠2＝____ ____度．
7. 如图所示， AB=AC，AD=AE，AF⊥BC于F，则图中全等的三角形有____ ____.
8. 如图所示，AD⊥BC，AB=AC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，若要证DE=DF，先证_______≌________，依据是___________，再证______≌______，依据是________．
三、解答题
9. 如图，两根钢绳一端固定在地面两个铁柱上，另一端固定在电线杆上，已知两根钢绳的长度相等，则两个铁柱到电线杆底部的距离相等吗？为什么？请说明每一步的理由．
10. 如图，已知DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为B、C，且DB=DC ，则AD是否平分∠BAC？为什么？
11. 如图所示，已知PB⊥AB，PC⊥AC，且PB=PC，D是AP上一点，由以上条件可以得到∠BDP=∠CDP吗？为什么？
12. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF。
（1）图中有几对全等的三角形？请一一列出；
（2）选择一对你认为全等的三角形进行说理.
【能力提升】
13. 如图，已知AB=AC，E，D分别是AB，AC的中点，且AF⊥BD交BD的延长线于F，AG⊥CE交CE的延长线于G，试判断AF和AG的关系是否相等，并说明理由．
14. 如图，已知：在四边形中，，， 吗 为什么
15. 如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD，那么BE与CF相等吗？为什么？
16．如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD，∠B=∠E. F是CD的中点吗 为什么
17.已知：如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F，BE=AC，DE=DC，BE和AC垂直吗？说明理由．
18.阅读下列题目：
如图所示，已知△ABC中，AB=AC．你能说明∠B=∠C吗
解：作∠BAC的平分线AD，交BC于D．由∠BAD=∠CAD，AB=AC，AD=AD，得△BAD≌△CAD．所以∠B=∠C.
试问：（1）若作AD⊥BC于D，AB=AC是否成立 请说明理由；
（2）若作BC边上的中线AD，AB=AC是否成立 请说明理由；
（3）若∠B=∠C，则AB=AC是否成立 请说明理由．
参考答案
1. C.
2. D.
3. D.
4.B.
5. 110°．
6. 45°．
7. △ABF≌△ACF，△ADF≌△AEF，△ABD≌△ACE，△ABE≌△ACD.
8. △ABD≌△ACD，HL，△AED≌△AFD，AAS.
9. 解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
∴BD≌CD.
10. 解：∵DB⊥AB，DC⊥AC，∴∠B=∠C=Rt∠.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
∴∠BAD=∠CAD.
∴AD是否平分∠BAC.
11. 解：∵PB⊥AB，PC⊥AC，∴∠ABP=∠ACP=Rt∠.
在Rt△ABP和Rt△ACP中，
∴Rt△ABP≌Rt△ACP（HL）.
∴∠APB=∠APC.
在△BDP和△CDP中，
∴△BDP≌△CDP(SAS)．
∴∠BDP=∠CDP.
12.解：（1）△ABD≌△ACD，△AED≌△AFD，△BED≌△CFD.
（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=Rt∠.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）.
13. 解：AF=AG.
∵AB=AC，E，D分别是AB，AC的中点，∴ AD=AE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE (SAS)．
∴∠ABD≌∠ACE.
在△ABF和△ACG中，
∴△ABF≌△ACG (AAS)．
∴AF=AG.
14.解：连接AC.
在Rt△ADC和Rt△ABC中，
∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL）.
∴.
15.解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴ DE=DF.
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴BE=CF.
16．解：连接AC、AD.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SAS)．
∴AC=AD(全等三角形的对应边相等)．
因为AF⊥CD，所以∠AFC= ∠AFD=90°，即△ACF和△ADF都为直角三角形．
在Rt△ACF和 Rt△ADF中，
∴Rt△ACF≌Rt△ADF(HL)．
∴CF=DF(全等三角形的对应边相等)．
17.解：BE⊥AC.
在Rt△BDE和 Rt△ACD中，
∴Rt△BDE≌ Rt△ACD (HL)．
∴∠BDE=∠CAD.
∵AD是△ABC的高，∴∠CAD+∠C=90°.
∴∠BDE +∠C=90°.
∴∠BFD=90°.
∴BE⊥AC.
18.略.
第1题图
A
B
C
D
E
F
第2题图
第5题图
第8题图
第7题图
第6题图
第9题图
A
B
C
D
第10题图
第11题图
第12题图
第13题图
第14题图
D
C
B
A
第15题图
第16题图
第17题图
第18题图