11.2全等三角形学案 (2)

§11.2 全等三角形
教学目标
教学知识点
1.全等三角形的性质.
2.利用全等三角形的特征解决一些实际问题.
能力训练要求
掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质，并能进行简单的推理和计算，解决一些实际问题.
情感与价值观要求
联系学生的生活环境，创设情景，使学生通过观察、操作、交流和反思，获得必需的数学知识，激发学生的学习兴趣.
教学重点
全等三角形的性质及其应用.
教学难点
正确地识别全等三角形的对应元素.
教学方法
讲练结合法.
教具准备
投影片三张
第一张：观察的图案
第二张：做一做
第三张：议一议
教学过程
一、巧设现实情景，引入新课
前面我们研究了全等图形及其应用.现在来观察下面这两个图形
1.观察图（1）花边图案，它可以看成是由哪个图形经过怎样的变换产生的？
2.图（2）呢？
图（1）花边图案可以看成是由经过平移得到的.这五个是全等的.
图（2）可以看作是由一个三角形绕着中心点旋转得到的，这四个三角形是全等的.
二、讲授新课
剪一剪：
请你剪两个能重合的三角形
全等三角形是全等图形的一种，哪位同学来概括：什么是全等三角形？
能够完全重合的两个三角形，就是全等三角形.
△ABC与△DEF重合，这时，点A与点D重合.点B与点E重合.我们把这样互相重合的一对点就叫做对应顶点；AB边与DE边重合，这样互相重合的边就叫做对应边；∠A与∠D重合，它们就是对应角.
你能找出其他的对应点、对应边和对应角吗？
点C与点F是对应点，BC边与EF边是对应边，CA边与FD边也是对应边.
∠B与∠E是对应角，∠C与∠F也是对应角.
做一做：
用两块全等的三角板重合放在桌面上，让其中一块绕一个顶点旋转，共有几种不同的位置关系，画出图形并说出对应元素.
一块三角板绕一个顶点旋转，有以下四种位置关系.
不论哪种图形，点A与点A是对应顶点，点B与点E是对应顶点，点C与点D是对应顶点；AB边与AE边是对应边，AC边与AD边、DE边与CB边也是对应边；∠BAC与∠DAE是对应角，∠B与∠E，∠C与∠ADE是对应角.
还有其他的位置关系，但对应元素是一样的.
对，不论两个三角尺中的其中一个绕一个顶点如何旋转，两个三角尺的位置关系虽有变化，但对应元素不变.
下面我们来观察、归纳并总结规律 .
图5－84
（1）AD的对应边是___________，∠E的对应角是___________.
（2）DE的对应边是___________，∠DAE的对应角是___________.
图5－85
（3）FE的对应边是___________，∠D的对应角是___________.
（4）AD的对应边是_________，CD的对应边是_________，∠D的对应角是___________.
由（1）~（3）你发现什么规律？由（4）呢？
（1）AD的对应边是AB.∠E的对应角是∠C.
（2）DE的对应边是BC.∠DAE的对应角是∠CAB.
（3）FE的对应边是AC.∠D的对应角是∠B.
由以上可知：全等三角形对应边所对的角是对应角.
（4）AD的对应边是BC.CD的对应边是AB.∠D的对应角是∠B.
由上可知：全等三角形的两条对应边所夹的角是对应角.
由于两个三角形的位置关系不同，还可以根据具体情况而选择.如：有公共边的，公共边一定是对应边；有公共角的，公共角一定是对应角等等.
平行、垂直都有符号表示，那么全等用什么符号来表示呢？
如图，△ABC与△XYZ全等，我们把它记作：“△ABC≌△XYZ”.读作“△ABC全等于△XYZ”.即这两个三角形能够完全重合.
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.如图：点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点，记作：△ABC≌△DEF.
图5－87
另外，我们还可以用一些记号来标注对应角、边，这样可以帮助我们分析图形.如图5－87很明显知道：∠C与∠F是对应角，AB与DE是对应边.
大家现在仔细观察两个全等三角形的变换过程.
图5－88
在这个变换过程中，哪些是不变的量，哪些是变化的量？
在这个变换的过程中，两个三角形的边、角没有发生变化，只是它们的位置关系有所变化.
变化两个全等三角形的位置关系，而不变它们的边和角，这说明两个全等三角形的对应边、对应角相等.
由此我们得到了全等三角形的性质：
全等三角形的对应边，对应角相等.
如图
△ABC≌△FDE.则∠A=∠F，∠B=∠D，∠C=∠E，AB=DF，AC=EF，BC=DE.
或者：△ABC≌△FDE
接下来，我们分组来议一议
如图，是一个等边三角形，你能把它分成两个全等的三角形吗？你能把它分成三个，四个全等的三角形吗？
因为等边三角形的各边都相等，各个角都为60°，根据全等三角形的对应边、对应角相等，所以可做一个角的角平分线.这样就把一个等边三角形分为两个全等的三角形.
对折这个等边三角形，使一个角的两边重合.这时我看到，对折后的两个三角形重合.说明丙同学说得正确.
利用丁同学的折纸方法，可把这个等边三角形分成三个全等的三角形.（如图（2））
［生子］利用折纸的方法也可以把这个等边三角形分成四个全等的三角形.（如图（3））
图5－91
我们通过观察、操作，找到了分割一个等边三角形为两个全等的三角形，或三个全等的三角形，或四个全等的三角形的方法.在这一过程中，进一步理解了全等三角形的有关概念及性质.
下面我们通过做练习来熟悉掌握全等三角形的性质.
三、课堂练习
1.在图5－92中找出两对全等的三角形，并指出其中的对应角和对应边.
图5－92
答案：如图5－92右图所示：△OAB≌△OCD.
它的对应角为：∠A=∠C、∠B=∠D、∠AOB=∠COD
它的对应边为：OA=OC、OB=OD、AB=CD.
△OEF≌△OGH
它的对应角为：∠OEF=∠OGH、∠OFE=∠OHG、∠EOF=∠GOH
它的对应边为：OE=OG、OF=OH、EF=GH.
2.找出由七巧板拼成的图案中的全等三角形.
图5－93
答案：图中的全等三角形有：两个最大的直角三角形，即①和②；两个最小的直角三角形，即③和④.
3.如图5－94，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°.求出△AEC各内角的度数.
图5－94
解：在△ABC中，∠ACB=85°，∠B=30°，根据三角形的内角和等于180°可得：∠BAC=65°
因为△ABC≌△AEC 所以∠CAE=∠BAC=65°,∠E=∠B=30°，∠ACE=∠ACB=85°
答：△AEC的内角的度数分别为65°、30°、85°.
四、课时小结
我们学习了全等三角形的有关概念及其性质.
全等三角形是能够完全重合的两个三角形，两个三角形大小、形状完全相同，尽管两个三角形的位置各异，但移动或旋转后，可以完全重合.
“≌”是用来表示全等的符号.两个三角形重合后，相互重合的边是对应边，相互重合的顶点是对应顶点、相互重合的角是对应角.在记两个三角形全等时，要把对应的顶点的字母写在对应的位置上.
识别全等三角形的对应边、对应角的关键并正确识别它们的对应顶点.
五、课后作业
（一）课本P135 练一练、习题11.2 1、2
（二）1.课堂作业：P136 3、4
2.预习提纲
三角形全等的条件是什么？
六、活动与探究
1.拿一张纸对折后，剪成两个全等的三角形，把这两个三角形一起放在下列图中△ABC的位置上，试一试，如果其中一个三角形不动，怎样移动另一个三角形，能够得到下列图中的各图形.
图5－95
［过程］通过学生动手操作，体会图形变换的思想，使他们了解经过图形变换，图形的一些性质改变了，而另一些性质仍然保留下来.在本题中，图形的位置变化了，但形状、大小都没有改变，即变换前后的图形全等.
［结果］图（1）是把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离，可以变到△ECD的位置.
图（2）是把△ABC以BC为轴翻折180°，可以变到△DBC的位置.
图（3）是把△ABC以点A为中心旋转180°，可以变到△AED的位置.
图（4）是把△ABC沿直线AB向下移动线段AD的长的距离，可以变到
△DEF的位置.
图（5）是把△ABC以B为中心旋转180°后，沿直线BC向上移动线段BD那样长的距离，可以变到△EDF的位置.
图（6）是把△ABC以A为中心旋转∠BAD的度数.可以变到△ADE的位置.
图（7）是把△ABC翻折180°后平移，使边BC为两个三角形的公共边，这样可以变到△DCB的位置.
图（8）是把△ABC绕点A旋折180°后，再旋转使∠A为这两个三角形的公共角，即可变到△ADE的位置.
图（9）是把△ABC绕边AC的中点旋转180°，可变到△CDA的位置.
板书设计
§11.2全等三角形
一、全等三角形的有关概念
对应顶点
对应边
对应角
二、做一做、练一练
三、全等三角形的符号
“≌”
注意：
四、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
五、议一议
六、课堂练习
七、课时小结
八、课后作业