5.3.2三角函数的诱导公式-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第一册导学案

高中数学必修第一册
§5．3．2三角函数的诱导公式
导学目标：
(1)借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切）．
（预习教材P130~
P135，回答下列问题）
回忆：诱导公式（一）——（四）
诱导公式（一）诱导公式（二）
诱导公式（三）
诱导公式（四）
思考：我们知道，，，那么我们可否得到和相等呢？
请设计一个证明方法？
【知识点一】诱导公式（五）——与的三角函数关系　
（1）如下图：给定一个角，借助于单位圆，请作出角的终边与角的终边；
（2）设角的终边与单位圆的交点坐标为，请写出角的终边与单位圆的交点的坐标；
（3）根据三角函数的定义，分别写出角与角的三角函数值，看看有何结论．
结论：
诱导公式（五）
自我检测1：
；
．
【知识点二】诱导公式（六）——与的三角函数关系　
你能根据所学的知识，推导出诱导公式（六）
自我检测2：
；
．
【知识点三】六组诱导公式的作用与记忆方法
(1)诱导公式（一）～（六）揭示了终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系．
正确使用诱导公式，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
(2)这六组诱导公式可归纳为“”的三角函数值与的三角函数值之间的关系．当为偶数时得角的同名三角函数值，当k为奇数时得角的异名三角函数值，然后在前面加上一个把角看成锐角时原三角函数值的符号．
可简记为：奇变偶不变，符号看象限．
题型一　诱导公式的推广
【例1-1】根据所学的知识，你能推导出与的结果吗？
题型二　利用诱导公式求值
【例2-1】若，且，________．
【例2-2】已知角的终边在第二象限，且与单位圆交于点，求的值．
题型三
已知角和所求角间的关系——角的变换
【例3-1】已知，且
，求的值．
【例3-2】已知，求
的值．
【例3-3】求的值．
1．化简：
(　　)
A．　
B．
C．
D．
2．已知，则的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
3．
若角是的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　)
A．
B．
C．
D．
4．的值为________．
5．已知，则
．
§5．3．2三角函数的诱导公式答案
导学目标：
(1)借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切）．
（预习教材P130~
P135，回答下列问题）
回忆：诱导公式（一）——（四）
诱导公式（一）诱导公式（二）
诱导公式（三）
诱导公式（四）
思考：我们知道，，，那么我们可否得到和相等呢？
请设计一个证明方法？
【知识点一】诱导公式（五）——与的三角函数关系　
（1）如下图：给定一个角，借助于单位圆，请作出角的终边与角的终边；
（2）设角的终边与单位圆的交点坐标为，请写出角的终边与单位圆的交点的坐标；
（3）根据三角函数的定义，分别写出角与角的三角函数值，看看有何结论．
结论：
诱导公式（五）
自我检测1：
；
．
【知识点二】诱导公式（六）——与的三角函数关系　
你能根据所学的知识，推导出诱导公式（六）
自我检测2：
；
．
【知识点三】六组诱导公式的作用与记忆方法
(1)诱导公式（一）～（六）揭示了终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系．
正确使用诱导公式，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
(2)这六组诱导公式可归纳为“”的三角函数值与的三角函数值之间的关系．当为偶数时得角的同名三角函数值，当k为奇数时得角的异名三角函数值，然后在前面加上一个把角看成锐角时原三角函数值的符号．
可简记为：奇变偶不变，符号看象限．
题型一　诱导公式的推广
【例1-1】根据所学的知识，你能推导出与的结果吗？
【答案】；．
题型二　利用诱导公式求值
【例2-1】若，且，________．
【答案】因为cos(π＋α)＝－，所以cos
α＝，因为α∈，所以sin
α＝－＝－，
所以tan＝tan＝tan＝＝＝＝＝．
【例2-2】已知角的终边在第二象限，且与单位圆交于点，求的值．
【答案】因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P，
所以a2＋＝1(a<0)，所以a＝－，所以sin
α＝，cos
α＝－，
所以原式＝＝－·＝×＝2．
题型三
已知角和所求角间的关系——角的变换
【例3-1】已知，且
，求的值．
【答案】设β＝53°－α，γ＝37°＋α，那么β＋γ＝90°，从而γ＝90°－β．
于是sin
γ＝sin(90°－β)＝cos
β．
因为－270°<α<－90°，所以143°<β<323°．
由sin
β＝>0，得143°<β<180°．
所以cos
β＝－＝－＝－，
所以sin(37°＋α)＝sin
γ＝－．
【例3-2】已知，求
的值．
【答案】
【例3-3】求的值．
【答案】
1．化简：
(　　)
A．　
B．
C．
D．
【答案】B
2．已知，则的值等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
3．
若角是的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
4．的值为________．
【答案】0
5．已知，则
．
【答案】
-
1
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