2.1 认识一元二次方程同步练习 2021-2022学年 北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

2.1
认识一元二次方程
一、选择题
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．（x+1）（x﹣2）＝x（x+3）
B．x2+＝2
C．x2+2＝4
D．x2+4＝0
2．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（　　）
A．ax2+bx+c＝0
B．x2﹣＝1
C．2x+3y﹣5＝0
D．x2﹣1＝0
3．一元二次方程3x2﹣6x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．3，6，1
B．3，6，﹣1
C．3，﹣6，1
D．3，﹣6，﹣1
4．方程3x2﹣4＝﹣2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．3，﹣4，﹣2
B．3，2，﹣4
C．3，﹣2，﹣4
D．2，﹣2，0
5．根据下列表格中的对应值，判断关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，a≠0）的一个根x1的范围正确的是（　　）
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
A．﹣0.02＜x1＜0.03
B．3.24＜x1＜3.25
C．﹣0.02≤x1≤0.03
D．3.24≤x1≤3.25
6．一元二次方程2y2﹣7＝3y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2，﹣3，﹣7
B．﹣2，﹣3，﹣7
C．2，﹣7，3
D．﹣2，﹣3，7
7．下列各式（1﹣x）＝0，＝0，＝0，+x＝0，x2+3x＝0，其中一元二次方程的个数为（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
8．根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程x2+2x﹣100＝0有一个根大约是（　　）
x
9.03
9.04
9.05
9.06
9.07
x2+2x﹣100
﹣0.400
﹣0.198
0.003
0.203
0.405
A．9.025
B．9.035
C．9.045
D．9.055
二、填空题
9．若（m﹣2）﹣mx+1＝0是一元二次方程，则m的值为　
　．
10．将方程3x2+2＝5x化成一般形式为
　
　．
11．根据下表中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个解的取值范围是　
　．
x
0
0.5
1
1.5
x2﹣4x+2
2
0.25
﹣1
﹣1.75
12．若方程（m﹣1）+5x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　
　．
13．若方程（m﹣1）+2mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　
　．
14．若关于x的方程（m+1）x2﹣2x﹣2＝0是一元二次方程，则m的取值范围是　
　．
15．k　
　时，关于x的方程kx2﹣3x＝2x2+1是一元二次方程．
16．判断下列方程，是一元二次方程的有　
　．
（1）x3﹣2x2+5＝0；
（2）x2＝1；
（3）；（4）2（x+1）2＝3（x+1）；（5）x2﹣2x＝x2+1；
（6）ax2+bx+c＝0．
17．已知x与x2+12x﹣15的部分对应值如下表所示，则方程x2+12x﹣15＝0的一个根x的取值范围是　
　．
x
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+12x﹣15
﹣0.59
0.84
2.29
3.76
三、解答题
18．求关于x的一元二次方程m2﹣2mx+m（3x2﹣1）＝（m+1）x的二次项系数、一次项系数及常数项．
19．试证明关于x的方程（m2﹣8m+17）x2+2mx+2＝0，无论m取何值，该方程总是一元二次方程．
20．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+（a2﹣1）x+2＝0的一次项系数为0，请你求出a的值．
21．已知关于x的一元二次方程m（x﹣1）2＝﹣3x2+x的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m的值为多少？
22．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2．
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程．
23．对于任意实数k，方程（k2+1）x2﹣2（k+a）2x+k2+4k+b＝0总有一个根是1
（1）求实数a，b；
（2）求另一个根的范围．
24．观察下表：
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
5x2﹣24x+28
28
17.25
9
3.25
0
﹣0.75
1
5.25
12
从表中你能得出方程5x2﹣24x+28＝0的根是多少吗？如果能，写出方程的根；如果不能，请写出方程根的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．（x+1）（x﹣2）＝x（x+3）
B．x2+＝2
C．x2+2＝4
D．x2+4＝0
【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A．（x+1）（x﹣2）＝x（x+3），化简后是一元一次方程，不符合题意；
B.，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C．x2+2＝4，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、x2+4＝0，是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
2．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（　　）
A．ax2+bx+c＝0
B．x2﹣＝1
C．2x+3y﹣5＝0
D．x2﹣1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
【解答】解：A、a＝0，b≠0时，是一元一次方程，故A错误；
B、是分式方程，故B错误；
C、是二元一次方程，故C错误；
D、是一元二次方程，故D正确．
故选：D．
3．一元二次方程3x2﹣6x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．3，6，1
B．3，6，﹣1
C．3，﹣6，1
D．3，﹣6，﹣1
【分析】找出所求的系数及常数项即可．
【解答】解：一元二次方程3x2﹣6x﹣1＝0的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3，﹣6，﹣1．
故选：D．
4．方程3x2﹣4＝﹣2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．3，﹣4，﹣2
B．3，2，﹣4
C．3，﹣2，﹣4
D．2，﹣2，0
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：方程3x2﹣4＝﹣2x可变形为方程3x2+2x﹣4＝0，
二次项系数是3、一次项系数是2、常数项是﹣4，
故选：B．
5．根据下列表格中的对应值，判断关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，a≠0）的一个根x1的范围正确的是（　　）
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
A．﹣0.02＜x1＜0.03
B．3.24＜x1＜3.25
C．﹣0.02≤x1≤0.03
D．3.24≤x1≤3.25
【分析】观察表格可知，随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在3.24～3.25之间由负到正，故可判断ax2+bx+c＝0时，对应的x的值在3.24～3.25之间．
【解答】解：根据表格可知，ax2+bx+c＝0时，对应的x的值在3.24～3.25之间．
故选：B．
6．一元二次方程2y2﹣7＝3y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．2，﹣3，﹣7
B．﹣2，﹣3，﹣7
C．2，﹣7，3
D．﹣2，﹣3，7
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再得出答案即可．
【解答】解：2y2﹣7＝3y，
2y2﹣3y﹣7＝0，
所以一元二次方程2y2﹣7＝3y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，﹣7，
故选：A．
7．下列各式（1﹣x）＝0，＝0，＝0，+x＝0，x2+3x＝0，其中一元二次方程的个数为（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【分析】根据一元二次方程：未知数的最高次数是2、二次项系数不为0、方程两边是整式方程、含有一个未知数，可以判断选项中的方程是否为一元二次方程．
【解答】解：下列各式（1﹣x）＝0，＝0，＝0，+x＝0，x2+3x＝0，是一元二次方程的是：＝0，x2+3x＝0，
故选：A．
8．根据下面表格中列出来的数据，你猜想方程x2+2x﹣100＝0有一个根大约是（　　）
x
9.03
9.04
9.05
9.06
9.07
x2+2x﹣100
﹣0.400
﹣0.198
0.003
0.203
0.405
A．9.025
B．9.035
C．9.045
D．9.055
【分析】根据函数y＝x2+2x﹣100的图象与x轴的交点的横坐标就是方程x2+2x﹣100＝0的根来解决此题．
【解答】解：方程x2+2x﹣100＝0的一个根就是函数y＝x2+2x﹣100的图象与x轴的一个交点，
即关于函数y＝x2+2x﹣100，y＝0时x的值，
由表格可得：当x的值是9.05时，函数值y与0最接近．因而方程的解介于9.04与9.05之间，
故选：C．
二、填空题
9．若（m﹣2）﹣mx+1＝0是一元二次方程，则m的值为　﹣2　．
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：m＝﹣2．
故答案是：﹣2．
10．将方程3x2+2＝5x化成一般形式为
　3x2﹣5x+2＝0　．
【分析】把5x移到方程的左侧得到一元二次方程的一般形式．
【解答】解：移项得3x2﹣5x+2＝0．
故答案为3x2﹣5x+2＝0．
11．根据下表中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个解的取值范围是　0.5＜x＜1　．
x
0
0.5
1
1.5
x2﹣4x+2
2
0.25
﹣1
﹣1.75
【分析】根据函数的增减性，可得答案．
【解答】解：由x＝0.5，时x2﹣4x+2＝0.25，x＝1时，x2﹣4x+2＝0＝﹣1，y随x的增加而减小，得
x2﹣4x+2＝0时，0.5＜x＜1．
故答案为：0.5＜x＜1．
12．若方程（m﹣1）+5x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　﹣1　．
【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：∵方程（m﹣1）+5x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，
∴，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．若方程（m﹣1）+2mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　﹣1　．
【分析】让x的次数为2，系数不等于0列式求值即可．
【解答】解：∵（m﹣1）+2mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，
∴m2+1＝2，m﹣1≠0，
解得m＝±1，m≠1，
∴m＝﹣1，
故答案为﹣1．
14．若关于x的方程（m+1）x2﹣2x﹣2＝0是一元二次方程，则m的取值范围是　m≠﹣1　．
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数，可得答案．
【解答】解：由关于x的方程（m+1）x2﹣2x﹣2＝0是一元二次方程，得
m+1≠0，
解得m≠﹣1，
则m的取值范围是m≠﹣1，
故答案为：m≠﹣1．
15．k　≠2　时，关于x的方程kx2﹣3x＝2x2+1是一元二次方程．
【分析】把
方程化成一般形式，由二次项系数不为0确定k的值．
【解答】解原方程可化为：
（k﹣2）x2﹣3x﹣1＝0
∵方程是一元二次方程，
∴k﹣2≠0
故k≠2．
16．判断下列方程，是一元二次方程的有　（2）（3）（4）　．
（1）x3﹣2x2+5＝0；
（2）x2＝1；
（3）；（4）2（x+1）2＝3（x+1）；（5）x2﹣2x＝x2+1；
（6）ax2+bx+c＝0．
【分析】根据一元二次方程的定义对6个选项逐一进行分析．
【解答】解：（1）中最高次数是3不是2，故本选项错误；
（2）符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
（3）原方程可化为x2﹣＝0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
（4）原方程可化为2x2+x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
（5）原方程可化为2x+1＝0，不符合一元二次方程的定义，故本选项错误；
（6）ax2+bx+c＝0，只有在满足a≠0的条件下才是一元二次方程，故本选项错误．
故答案为：（2）（3）（4）．
17．已知x与x2+12x﹣15的部分对应值如下表所示，则方程x2+12x﹣15＝0的一个根x的取值范围是　1.1＜x＜1.2　．
x
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+12x﹣15
﹣0.59
0.84
2.29
3.76
【分析】根据表格可得出方程x2+12x﹣15＝0的一个根x的取值范围即可．
【解答】解：∵当x＝1.1时，y＝﹣0.59，
当x＝1.2时，y＝0.84，
当x＝1.3时，y＝2.29，
当x＝1.4时，y＝3.76，
∴当y＝0时，x的值在1.1和1.2之间，
故答案为1.1＜x＜1.2．
三、解答题
18．求关于x的一元二次方程m2﹣2mx+m（3x2﹣1）＝（m+1）x的二次项系数、一次项系数及常数项．
【分析】方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
【解答】解：方程m2﹣2mx+m（3x2﹣1）＝（m+1）x，整理得：3mx2﹣（3m+1）x+m2﹣m＝0，
可得二次项系数为3m，一次项系数为﹣3m﹣1，常数项为m2﹣m．
19．试证明关于x的方程（m2﹣8m+17）x2+2mx+2＝0，无论m取何值，该方程总是一元二次方程．
【分析】根据一元二次方程的定义得到二次项系数不为零，所以该题实际上是证明m2﹣8m+17≠0．
【解答】证明：∵m2﹣8m+17＝（m﹣4）2+1＞0，
∴关于x的方程（m2﹣8m+17）x2+2mx+2＝0的二次项系数不为零，
∴关于x的方程（m2﹣8m+17）x2+2mx+2＝0，无论m取何值，该方程总是一元二次方程．
20．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+（a2﹣1）x+2＝0的一次项系数为0，请你求出a的值．
【分析】由一次项系数为0，可以求出a的值，因为二次项系数不能为0，所以a不能为﹣1，应舍去．
【解答】解：∵一次项系数为0，
∴a2﹣1＝0，
（a+1）（a﹣1）＝0，
∴a+1＝0，a﹣1＝0，
解得a1＝1，a2＝﹣1．
∵a+1≠0，
∴a＝﹣1（舍去）．
故a＝1．
21．已知关于x的一元二次方程m（x﹣1）2＝﹣3x2+x的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m的值为多少？
【分析】将方程整理为一般形式，根据二次项系数与一次项系数化为相反数，求出m的值即可．
【解答】解：方程整理得：（m+3）x2﹣（2m+1）x+m＝0，
由题意得到m+3﹣（2m+1）＝0，即m+3﹣2m﹣1＝0，
解得：m＝2．
22．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2．
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程．
【分析】（1）只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程，据此解答即可；
（2）只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程，据此解答即可．
【解答】解：（1）∵（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2是一元二次方程，
∴m2+2≠3，
解得m≠±1；
（2）∵（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2是一元一次方程，
∴，
解得m＝﹣1．
23．对于任意实数k，方程（k2+1）x2﹣2（k+a）2x+k2+4k+b＝0总有一个根是1
（1）求实数a，b；
（2）求另一个根的范围．
【分析】（1）将x＝1代入方程有（k2+1）﹣2（k+a）2+k2+4k+b＝0，根据题意知4k（1﹣a）+1+b﹣2a2＝0对于任意实数k恒成立，据此可得a＝1、b＝1；
（2）将a、b的值代入方程，并将方程变形为（x﹣1）[（k2+1）x﹣（k2+4k+1）]＝0，据此可得方程的另一个根为1+，再结合k+的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）由题意得对于任意实数k，均有（k2+1）﹣2（k+a）2+k2+4k+b＝0，
即4k（1﹣a）+1+b﹣2a2＝0对于任意实数k恒成立，
∴1﹣a＝0，即a＝1，
则b＝1；
（2）由（1）知方程为（k2+1）x2﹣2（k+1）2x+k2+4k+1＝0，
即（x﹣1）[（k2+1）x﹣（k2+4k+1）]＝0，
所以方程的另一个实数根为＝1+＝1+，（k≠0）
当k＞0时，∵k+≥2，
∴≤2，1+≤3；
当k＜0时，∵﹣k﹣≥2，k+≤﹣2，
∴≥﹣×4＝﹣2，1+≥﹣1；
所以方程的另一个根的范围是[﹣1，3]．
24．观察下表：
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
5x2﹣24x+28
28
17.25
9
3.25
0
﹣0.75
1
5.25
12
从表中你能得出方程5x2﹣24x+28＝0的根是多少吗？如果能，写出方程的根；如果不能，请写出方程根的取值范围．
【分析】根据表格中的数据，可以发现：x＝2时，5x2﹣24x+28＝0，故方程5x2﹣24x+28＝0有一个根是x＝2；又因为x＝2.5时，5x2﹣24x+28＝﹣0.75，x＝3时，5x2﹣24x+28＝1，故一元二次方程5x2﹣24x+28＝0的另一个根x的范围是2.5＜x＜3．
【解答】解：根据表格中的数据，知：
方程有一个根是x＝2；另一个根x的范围是2.5＜x＜3．