4.4 一次函数的应用同步练习 2021-2022学年 北师大版八年级数学上册（Word版 含答案）

4.4
一次函数的应用
一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）
1．已知点（﹣4，y1），（2，y2）在直线y＝﹣+b上，则y1与y2大小关系是（　　）
A．y1＞y2
B．y1＝y2
C．y1＜y2
D．不能比较
2．已知y﹣3与x成正比例，且x＝2时，y＝7，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y＝2x+3
B．y＝2x﹣3
C．y﹣3＝2x+3
D．y＝3x﹣3
3．若直线y＝不经过第四象限，则（　　）
A．m＞0，n＜0
B．m＜0，n＜0
C．m＜0，n＞0
D．m＞0，n≤0
4．若函数y＝2x+3与y＝3x﹣2b的图象交x轴于同一点，则b的值为（　　）
A．﹣3
B．﹣
C．9
D．﹣
5．如图所示的图象是直线ax+by+c＝0的图象，则下列条件中正确的为（　　）
A．a＝b，c＝0
B．a＝﹣b，c＝0
C．a＝b，c＝1
D．a＝﹣b，c＝1
6．小敏从A地出发向B地行走，同时小聪从B地出发向A地行走，如图，相交于点P的两条线段l1、l2分别表示小敏、小聪离B地的距离ykm与已用时间xh之间的关系，则小敏、小聪行走的速度分别是（　　）
A．3km/h和4km/h
B．3km/h和3km/h
C．4km/h和4km/h
D．4km/h和3km/h
7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有（　　）个．
A．4
B．5个
C．7个
D．8个
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
8．已知x﹣3y＝3，则7+6y﹣2x＝　
　．
9．已知三点（3，5），（t，9），（﹣4，﹣9）在同一条直线上，则t＝　
　．
10．二元一次方程组的解满足方程x﹣2y＝5，那么k的值为　
　．
11．已知等边△ABC的两个顶点的坐标为A（0，4），B（0，﹣2），则点C的坐标为　
　．
12．一次函数y＝2x+b与两坐标轴围成三角形的面积为4，则b＝　
　．
13．已知一次函数y＝﹣x+3，当0≤x≤2时，y的最大值是　
　．
14．如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点A．当y＜3时，x的取值范围是　
　．
三、解答题（共58分）
15．直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的表达式．
（2）若直线AB上有一动点C，且S△BOC＝2，求点C的坐标．
16．已知：点A（﹣4，0），点B（6，0），点C（3，m），若三角形ABC的面积是20，求m的值．
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+5的图象经过点A（1，4），点B是一次函数y＝kx+5的图象与正比例函数的图象的交点．
（1）求点B的坐标．
（2）求△AOB的面积．
18．A、B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数．
（1）甲的速度为　
　，乙的速度为　
　；
（2）求出：l1和l2的关系式；
（3）问经过多长时间两人相遇．
19．某商场代销甲、乙两种商品，其中甲种商品的进价为120元/件，售件为130元/件，乙种商品的进价为100元/件，售件为150元/件．
（1）若商场用36000元购进这两种商品，销售完后可获得利润6000元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）若商场要购进这两种商品共200件，设购进甲种商品x件，销售后获得的利润为W元，试写出利润W（元）与x（件）函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；并指出购进甲种商品件数x逐渐增加时，利润W是增加还是减少？
参考答案与试题解析
一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）
1．已知点（﹣4，y1），（2，y2）在直线y＝﹣+b上，则y1与y2大小关系是（　　）
A．y1＞y2
B．y1＝y2
C．y1＜y2
D．不能比较
【分析】根据一次函数图象的增减性进行填空．
【解答】解：∵直线y＝﹣+b中的﹣＜0，
∴该直线是y随x的增大而减小，
∵点A（﹣4，y1）和点B（2，y2）都在直线y＝﹣+b上，
∴2＞﹣4，
∴y2＜y1．
故选：A．
2．已知y﹣3与x成正比例，且x＝2时，y＝7，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y＝2x+3
B．y＝2x﹣3
C．y﹣3＝2x+3
D．y＝3x﹣3
【分析】已知y﹣3与x成正比例，且当x＝2时y＝7，用待定系数法可求出函数关系式．
【解答】解：y﹣3与x成正比例，即：y＝kx+3，
且当x＝2时y＝7，则得到：k＝2，
则y与x的函数关系式是：y＝2x+3．
故选：A．
3．若直线y＝不经过第四象限，则（　　）
A．m＞0，n＜0
B．m＜0，n＜0
C．m＜0，n＞0
D．m＞0，n≤0
【分析】直线y＝（a﹣2）x+a﹣4不经过第四象限，即直线经过第一、三象限或经过第一、二、三象限，根据一次函数图象与系数的关系即可求解．
【解答】解：∵直线y＝不经过第四象限，
∴＞0，且﹣＞0，
解得m＞0，n≤0
故选：D．
4．若函数y＝2x+3与y＝3x﹣2b的图象交x轴于同一点，则b的值为（　　）
A．﹣3
B．﹣
C．9
D．﹣
【分析】本题可先求函数y＝2x+3与x轴的交点，再把交点坐标代入函数y＝3x﹣2b，即可求得b的值．
【解答】解：在函数y＝2x+3中，当y＝0时，x＝﹣，即交点（﹣，0），
把交点（﹣，0）代入函数y＝3x﹣2b，
求得：b＝﹣．
故选：D．
5．如图所示的图象是直线ax+by+c＝0的图象，则下列条件中正确的为（　　）
A．a＝b，c＝0
B．a＝﹣b，c＝0
C．a＝b，c＝1
D．a＝﹣b，c＝1
【分析】首先将直线整理成一般形式，然后根据图象确定a、b的关系及c的值．
【解答】解：由ax+by+c＝0得：y＝﹣x﹣，
∵图象过原点，
∴c＝0，
∵图象过二、四象限，且与坐标轴的夹角为45°，
∴a＝b，
故选：A．
6．小敏从A地出发向B地行走，同时小聪从B地出发向A地行走，如图，相交于点P的两条线段l1、l2分别表示小敏、小聪离B地的距离ykm与已用时间xh之间的关系，则小敏、小聪行走的速度分别是（　　）
A．3km/h和4km/h
B．3km/h和3km/h
C．4km/h和4km/h
D．4km/h和3km/h
【分析】观察函数图象得到小敏、小聪相遇时，小聪走了4.8千米，接着小敏再用2.8小时﹣1.6小时＝1.2小时到达B点，然后根据速度公式计算他们的速度．
【解答】解：小敏从相遇到B点用了2.8﹣1.6＝1.2小时，
所以小敏的速度＝＝4（千米/时），
小聪从B点到相遇用了1.6小时，
所以小聪的速度＝＝3（千米/时）．
故选：D．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有（　　）个．
A．4
B．5个
C．7个
D．8个
【分析】以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P2，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P3．
【解答】解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个．
故选：A．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
8．已知x﹣3y＝3，则7+6y﹣2x＝　1　．
【分析】根据等式的性质，可得6y﹣2x的值，再根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：x﹣3y＝3，
方程两边都乘以﹣2，得
6y﹣2x＝﹣6，方程两边都加7，得
7+6y﹣2x＝﹣6+7＝1，
故答案为：1．
9．已知三点（3，5），（t，9），（﹣4，﹣9）在同一条直线上，则t＝　5　．
【分析】先求出过点（3，5），（﹣4，﹣9）的直线解析式，再把（t，9）代入解析式即可求出t的值．
【解答】解：设过点（3，5），（﹣4，﹣9）的直线解析式为y＝kx+b（k≠0），
则，解得，，故过点（3，5），（﹣4，﹣9）的直线解析式为y＝2x﹣1．
把（t，9）代入得：9＝2t﹣1，
解得：t＝5．
10．二元一次方程组的解满足方程x﹣2y＝5，那么k的值为　　．
【分析】先利用加减消元法解二元一次方程组，再将它的解代入方程x﹣2y＝5，即可求出k的值．
【解答】解：，
①+②，得4x＝12k，
解得x＝3k，
①﹣②，得2y＝﹣2k，
解得y＝﹣k，
所以原方程组的解为．
把代入方程x﹣2y＝5，得
×3k﹣2（﹣k）＝5，
解得k＝．
故答案为．
11．已知等边△ABC的两个顶点的坐标为A（0，4），B（0，﹣2），则点C的坐标为　（3，1）或（﹣3，1）　．
【分析】作CH⊥AB于H，根据点A和B的坐标，得AB＝6．根据等腰三角形的三线合一的性质，得AH＝BH＝3，再根据勾股定理求得CH＝3，从而写出点C的坐标．
【解答】解：作CH⊥AB于H．
∵A（0，4），B（0，﹣2），
∴AB＝6．
∵△ABC是等边三角形，
∴AH＝BH＝3，
AC＝AB＝6，
∴CH＝＝3，
OH＝1，
∴C（3，1）；
同理，当点C在第三象限时，C（﹣3，1）．
故答案为：（3，1）或（﹣3，1）．
12．一次函数y＝2x+b与两坐标轴围成三角形的面积为4，则b＝　±4　．
【分析】根据一次函数y＝2x+b与两坐标轴由交点，可用b表示出这两点的坐标；
且围成三角形的面积为4，利用三角形面积公式可求出b的值．
【解答】解：直线y＝2x+b与x轴的交点坐标是﹣，与y轴的交点坐标是（0，b），
根据三角形的面积是4，得到|﹣|?|b|＝4，即＝4，
解得b＝±4．
故填±4．
13．已知一次函数y＝﹣x+3，当0≤x≤2时，y的最大值是　3　．
【分析】先根据一次函数的性质判断出函数y＝﹣x+3的增减性，再根据x取最小值时y最大进行解答．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+3中k＝﹣1＜0，
∴一次函数y＝﹣x+3是减函数，
∴当x最小时，y最大，
∵0≤x≤2，
∴当x＝0时，y最大＝3．
故答案为：3．
14．如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点A．当y＜3时，x的取值范围是　x＞2　．
【分析】根据一次函数的图象可直接进行解答．
【解答】解：由函数图象可知，此函数是减函数，当y＝3时x＝2，
故当y＜3时，x＞2．
故答案为：x＞2．
三、解答题
15．直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的表达式．
（2）若直线AB上有一动点C，且S△BOC＝2，求点C的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法得出解析式即可；
（2）设C点坐标，根据三角形面积公式解答即可．
【解答】解：（1）设直线解析式为y＝kx+b，可得：，
解得：，
直线解析式为：y＝2x﹣2；
（2）设C点坐标为（x，2x﹣2），
∵S△BOC＝2，
∴×2×|x|＝2，解得x＝±2，
点C的坐标为（2，2）或（﹣2，﹣6）．
16．已知：点A（﹣4，0），点B（6，0），点C（3，m），若三角形ABC的面积是20，求m的值．
【分析】以AB为底边，则AB边上的高的长度为|m|，利用三角形的面积公式公式列出关于m的方程，求出m即可．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（6，0），
∴AB＝6﹣（﹣4）＝10，
∵点C的坐标为（3，m），
∴AB边上的高为|m|，
∴，
解得m＝﹣4或m＝4，
∴m的值为﹣4或4．
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+5的图象经过点A（1，4），点B是一次函数y＝kx+5的图象与正比例函数的图象的交点．
（1）求点B的坐标．
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）利用待定系数法把A点坐标代入y＝kx+5中即可算出k的值，然后联立两个函数解析式，即可算出B点坐标；
（2）首先计算出E点坐标，根据S△AOB＝S△BOE﹣S△AOE代入相应数值进行计算即可．．
【解答】解：（1）把A（1，4）代入y＝kx+5中得：4＝k+5，
解得：k＝﹣1，
则一次函数解析式为y＝﹣x+5，
，
解得，
故B点坐标是（3，2）；
（2）当y＝0时，﹣x+5＝0，
解得：x＝5，
则E（0，5），
S△AOB＝S△BOE﹣S△AOE＝×5×3﹣×5×1＝5．
18．A、B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数．
（1）甲的速度为　15km/h　，乙的速度为　20km/h　；
（2）求出：l1和l2的关系式；
（3）问经过多长时间两人相遇．
【分析】（1）利用图象上点的坐标得出甲、乙的速度即可；
（2）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（3）利用两函数相等进而求出相遇的时间．
【解答】解：（1）如图所示：甲的速度为：30÷2＝15（km/h），
乙的速度为：（100﹣80）÷1＝20（km/h），
故答案为：15km/h；20km/h；
（2）设l1的关系式为：s1＝kt，则30＝k×2，解得：k＝15，故s1＝15t；
设s2＝at+b，将（0，100），（1，80），则
，
解得：，
故l2的关系式为s2＝﹣20t+100；
（3）当s1＝s2，则15t＝﹣20t+100，
解得：t＝．
故经过小时两人相遇．
19．某商场代销甲、乙两种商品，其中甲种商品的进价为120元/件，售件为130元/件，乙种商品的进价为100元/件，售件为150元/件．
（1）若商场用36000元购进这两种商品，销售完后可获得利润6000元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）若商场要购进这两种商品共200件，设购进甲种商品x件，销售后获得的利润为W元，试写出利润W（元）与x（件）函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；并指出购进甲种商品件数x逐渐增加时，利润W是增加还是减少？
【分析】（1）设购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据销售问题的数量关系建立方程组求出其解即可；
（1）由购进甲种商品x件，则购进乙种商品（200一x）件，由利润等于售价﹣进价建立函数关系式就可以得出结论．
【解答】解：（1）设购进甲种商品x件，乙种商品y件，由题意，得
，
解得：
答：该商场购进甲种商品240件，乙种商品72件．
（2）已知购进甲种商品x件，则购进乙种商品（200一x）件，根据题意，得
W＝（130﹣120）x+（150﹣100）（200﹣x）＝﹣40x+10000，
∵k＝﹣40＜0，
∴W随x的增大而减小．
∴当购进甲种商品的件数x逐渐增加时，利润W是逐渐减少的．