第3章 圆锥曲线与方程
3．1 椭 圆
3．1.1 椭圆的标准方程
必备知识·自主学习
导思
1.椭圆是如何定义的？2．椭圆的标准方程有哪些？
1.椭圆的定义
(1)文字语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆，两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距．
(2)集合语言：
P＝{M|MF1＋MF2＝2a，2a>F1F2}．
定义中的常数不满足2a>F1F2时点的轨迹是什么？
提示：(1)当PF1＋PF2＝2a
(2)当PF1＋PF2＝2a＝F1F2时，P的轨迹为以F1，F2为端点的线段．
2．椭圆的标准方程
椭圆标准方程的两种形式
焦点位置
标准方程
焦点
焦距
焦点在x轴上
＋＝1(a＞b＞0)
F1(－c，0)，F2(c，0)
2c(c>0)
焦点在y轴上
＋＝1(a＞b＞0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c(c>0)
(1)从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？
提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．
(2)在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？
提示：不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．( )
(2)已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．( )
(3)平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．( )
(4)平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆．( )
提示：(1)×.因为2a＝F1F2＝8，动点的轨迹是线段F1F2，不是椭圆．
(2)×.2a(3)√.符合椭圆的定义．
(4)×.平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
2．已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1或＋＝1
C．＋y2＝1
D．＋y2＝1或x2＋＝1
【解析】选D.由题可知b2＝a2－c2＝1，当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋x2＝1.
3．(教材二次开发：例题改编)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)两焦点间的距离为2，且过点A，则椭圆C的标准方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
【解析】选B.由题意知椭圆C的焦点坐标为，由椭圆的定义得2a＝＋
＝＋＝＋＝2，
所以a＝，b＝＝2.因此椭圆C的标准方程为＋＝1.
关键能力·合作学习
类型一 求椭圆的标准方程(数学运算)
1．(2021·瓦房店高二检测)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆的两个焦点，过点F1的直线l交椭圆于M，N两点，若△MF2N的周长为8，则椭圆方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
【解析】1.选A.因为F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆的两个焦点，所以c＝1，又根据椭圆的定义，△MF2N的周长＝4a＝8，得a＝2，进而得b＝，所以椭圆方程为＋＝1.
2．(2021·南昌高二检测)在平面直角坐标系xOy中，已知动点P(x，y)到两定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和是10，则点P的轨迹方程是( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
【解析】2．选A.由于动点P(x，y)到两定点F1(－4，0)，F2(4，0)的距离之和为10>F1F2，故P点的轨迹为椭圆，所以2a＝10，a＝5，c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，所以P点的轨迹方程为＋＝1.
3．(2021·武汉高二检测)已知圆心为，半径为2的圆经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的三个顶点，则椭圆C的标准方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
【解析】3．选B.由题意可得圆的方程为(x－1)2＋y2＝4，令x＝0，可得y＝±，令y＝0，可得x＝－1或3，由椭圆的焦点在x轴上及椭圆的对称性可得a＝3，b＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
待定系数法求椭圆标准方程的步骤
(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是在两个坐标轴上都有可能．
(2)设方程．
①依据上述判断设方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)；
②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).
(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组．
(4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即为所求．
类型二 椭圆定义及其应用(直观想象、数学运算)
角度1 用定义法求椭圆的标准方程
【典例】已知定点A(0，－2)，点B在圆C：x2＋y2－4y－32＝0上运动，C为圆心，线段AB的垂直平分线交BC于点P，则动点P的轨迹E的方程为________．
【思路导引】先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，利用椭圆的定义，作出判断．
【解析】如图，由题意，得PA＝PB，
所以PA＋PC＝PB＋PC＝r＝6＞AC＝4，
所以点P的轨迹E是以A，C为焦点的椭圆，其中c＝2，a＝3，所以b＝，
所以椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
角度2 利用椭圆的定义解决焦点三角形问题
【典例】已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在椭圆C上，且∠PF1F2＝60°，则△PF1F2的面积是( )
A．5
B．
C．5
D．
【思路导引】PF1＋PF2＝6，F1F2＝4.用余弦定理可解出PF1，再套用面积公式．
【解析】选D.由题意可得a＝3，c＝＝2.
设PF1＝m，PF2＝n，则m＋n＝6①，
由余弦定理得，cos
∠PF1F2＝＝，即m2－n2－4m＋16＝0②，由①②解得m＝，n＝，故△PF1F2的面积是m·F1F2·sin
60°＝××4×＝.
1．椭圆定义的应用
(1)实现椭圆上的点与两个焦点连线长度之间的相互转化．
(2)将椭圆上的点与两焦点连线的和看成一个整体，求解定值问题．
2．椭圆定义解题的整体思想
对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2，如已知∠F1PF2，可利用S＝PF1·PF2sin
∠F1PF2把PF1·PF2看成一个整体，运用公式PF＋PF＝(PF1＋
PF2)2－2PF1·PF2及余弦定理求出PF1·PF2，而无需单独求出PF1和PF2，这样可以减少运算量．
1．已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若AF2＝2F2B，AB＝BF1，则C的方程为( )
A．＋y2＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
【解析】选B.如图，由已知可设F2B＝n，
则AF2＝2n，BF1＝AB＝3n，由椭圆的定义有2a＝BF1＋BF2＝4n，所以AF1＝2a－AF2＝2n.在△AF1B中，由余弦定理推论得cos
∠F1AB＝＝.
在△AF1F2中，由余弦定理得4n2＋4n2－2·2n·2n·＝4，解得n＝.所以2a＝4n＝2，所以a＝，所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以所求椭圆C的方程为＋＝1.
2．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若F2A＋F2B＝12，则AB＝( )
A．6
B．7
C．5
D．8
【解析】选D.椭圆＋＝1对应的a＝5，
由题意可得，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝2a，
则三角形ABF2的周长为4a＝20，若F2A＋F2B＝12，
则AB＝20－12＝8.
3．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4，则∠F1PF2的大小为________．
【解析】由＋＝1，知a＝3，b＝，
所以c＝，所以PF2＝2a－PF1＝2，
所以cos
∠F1PF2＝
eq
\f(PF＋PF－F1F,2PF1·PF2)
＝－，
所以∠F1PF2＝120°.
答案：120°
类型三 与椭圆有关的轨迹问题(逻辑推理)
【典例】1.已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP的中点Q的轨迹方程为________．
【思路导引】1.点Q为OP的中点?点Q与点P的坐标关系?代入法求解．
【解析】1.设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，又
eq
\f(x,4)
＋
eq
\f(y,8)
＝1.
所以＋＝1，
即x2＋＝1.
答案：x2＋＝1
2．一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
【思路导引】2．由圆的相切及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹．
【解析】2．由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3，0)，R1＝1；Q2(3，0)，R2＝9.
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图．
由题设有MQ1＝1＋R，MQ2＝9－R，
所以MQ1＋MQ2＝10>Q1Q2＝6.
由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法
(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义法求解．
(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程．
(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点轨迹的方程．
类型四 求轨迹方程(数学运算)
【典例】1.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A．＋＝1(x≠0)
B.
＋＝1(x≠0)
C．＋＝1(x≠0)
D．＋＝1(x≠0)
【思路导引】1.根据三角形的周长和顶点，得到点A到两个顶点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．
【解析】1.选B.因为△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0，4)，所以BC＝8，AB＋AC＝20－8＝12，因为12＞8，所以点A到两个顶点的距离之和等于定值，所以点A的轨迹是椭圆．因为a＝6，c＝4，所以b2＝20，所以椭圆的方程是＋＝1(x≠0).
2．设定点A(6，2)，P是椭圆＋＝1上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
【思路导引】2．利用中点坐标公式表示P点和M点的坐标的关系，用代入法求得轨迹方程．
【解析】2．设M(x，y)，P(x1，y1).因为M为线段AP的中点，
所以因为
eq
\f(x,25)
＋
eq
\f(y,9)
＝1，所以点M的轨迹方程为＋＝.
代入(相关点)法求轨迹方程的步骤
(1)分析所求动点与已知动点坐标间关系；
(2)用所求曲线上的动点坐标表示已知曲线上的动点；
(3)代入已知曲线方程整理可得所求轨迹方程．
已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQ―→＝OM―→＋ON―→，求动点Q的轨迹方程．
【解析】设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)，则点N的坐标为(0，y0).
因为OQ―→＝OM―→＋ON―→，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0，2y0)，则x0＝x，y0＝.
又点M在圆C上，所以x＋y＝4，即x2＋＝4.
所以动点Q的轨迹方程是＋＝1.
课堂检测·素养达标
1．方程＋＝10化简的结果是( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
【解析】选B.方程＋＝10表示动点M(x，y)到两个定点(±2，0)的距离之和为定值10，
且10＞2＋2，由椭圆的定义可得：动点M的轨迹是椭圆，且2a＝10，c＝2，所以b2＝a2－c2＝52－22＝21.
所以椭圆的方程为：＋＝1.
2．已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A．＋＝1
B．＋y2＝1
C．＋＝1
D．＋x2＝1
【解析】选A.c＝1，a＝2，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆的方程为＋＝1.
3．(2021·聊城高二检测)椭圆＋＝1的左右焦点为F1，F2，P为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，则△MF1N的周长为( )
A．8
B．10
C．16
D．22
【解析】选C.因为F1关于P的对称点为M，关于F2的对称点为N，所以PF2为△F1MN的中位线，
所以MF1＋MN＝2PF1＋2PF2＝2(PF1＋PF2)＝2×2a＝12，
F1N＝2F1F2＝4c＝4＝4，
所以△MF1N的周长为12＋4＝16.
4．(2021·定远高二检测)设定点F1、F2，动点P满足PF1＋PF2＝a＋，则点P的轨迹是( )
A．椭圆
B．线段
C．不存在
D．椭圆或线段
【解析】选D.当a>0时，由均值不等式的结论有：a＋≥2＝6，当且仅当a＝3时等号成立．
当a＋＝6时，点P的轨迹表示线段F1F2，
当a＋>6＝F1F2时，点P的轨迹表示以F1，F2为焦点的椭圆．
5．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△F1PF2的面积＝______．
【解析】由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝.
因为PF1＋PF2＝2a＝6且PF1∶PF2＝2∶1，
所以PF1＝4，PF2＝2，所以PF＋PF＝F1F，
所以△PF1F2是直角三角形，故△F1PF2的面积为PF1·PF2＝×4×2＝4.
答案：4
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12
-3．1.2 椭圆的几何性质
第1课时 椭圆的几何性质
必备知识·自主学习
导思
1.椭圆的几何性质主要有哪些？2．椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
1.椭圆的几何性质
(1)如何从方程形式判断曲线的对称性？
提示：在曲线的方程里，
①如果把x换成－x而方程不变，那么曲线关于y轴对称．
②如果把y换成－y而方程不变，那么曲线关于x轴对称．
③如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．
(2)在椭圆的性质中，哪些是与位置无关的？哪些是与位置有关的？
提示：与位置无关的，如长轴长、短轴长、焦距；与位置有关的，如顶点坐标、焦点坐标等．
2．椭圆的离心率
(1)定义：焦距与长轴长的比．
(2)记法：e＝．
(3)范围：0(4)e与椭圆形状的关系：e越接近1，椭圆越扁平，e越接近0，椭圆越接近于圆．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是a.( )
(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( )
(3)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为＋＝1.( )
(4)设F为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距).( )
提示：(1)×.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是2a.
(2)×.离心率
e
越小c就越小，这时b就越接近于a，椭圆就越圆．
(3)×.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为＋＝1或者＋＝1.
(4)√.椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.
2．(2021·宁波高二检测)椭圆＋＝1的长轴长、焦距分别为( )
A．2，1
B．4，2
C．，1
D．2，2
【解析】选B.由椭圆＋＝1，可得a2＝4，b2＝3，所以a＝2，b＝，又由c＝＝1，所以椭圆的长轴长为2a＝4，焦距为2c＝2.
3．(教材二次开发：例题改编)已知椭圆＋＝1，F1为左焦点，A为右顶点，B1，B2分别为上、下顶点，若F1，A，B1，B2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.由题设圆的半径r＝，则b2＋＝，即a2－c2＝ac?e2＋e－1＝0，解得e＝.
4．(2021·南京高二检测)在平面直角坐标系xOy中，点A，点P是椭圆＋y2＝1上的一个动点，则PA的最大值与最小值的积为________．
【解析】设点P的坐标为，则－2≤x≤2，y2＝1－，
所以PA＝＝＝＝.
当x＝－时，PA取最小值；当x＝2时，PA取最大值3.因此PA的最大值与最小值的积为3×＝.
答案：
关键能力·合作学习
类型一 椭圆的几何性质(逻辑推理、数学运算)
1．椭圆C：4x2＋y2＝16的长轴长，短轴长，焦点坐标依次为( )
A．8，4，(±2，0)
B．8，4，(0，±2)
C．4，2，(±2，0)
D．4，2，(0，±2)
【解析】1.选B.椭圆C：4x2＋y2＝16，即＋＝1，所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，焦点坐标为(0，±2).
2．若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大值、最小值分别为( )
A．3，1
B．2＋，2－
C．2，1
D．＋1，－1
【解析】2．选A.椭圆C：＋＝1，a＝2，c＝1，
可得该椭圆上的点到两焦点距离的最大值、最小值分别为a＋c＝3，a－c＝1.
3．(2021·广州高二检测)已知椭圆＋＝1(a>0，b>0)的离心率为，直线y＝kx与该椭圆交于A，B两点，分别过点A，B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于( )
A．±
B．±
C．±
D．±2
【解析】3．选A.联立?(b2＋a2k2)x2＝a2b2，
则x＝±，由题意知＝c①，
因为e＝＝，所以a＝2c，b＝＝c，
代入①可得＝c2?k＝±.
类型二 求椭圆的离心率(数学运算)
【典例】1.(2021·邢台高二检测)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－
B．2－
C．
D．－1
【思路导引】1.设PF2＝m，则根据平面几何知识可求F1F2，PF1，再结合椭圆定义可求离心率．
【解析】1.选D.在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，
设PF2＝m，则2c＝F1F2＝2m，PF1＝m，
又由椭圆定义可知2a＝PF1＋PF2＝(＋1)m，
则离心率e＝＝＝＝－1.
2．(2021·阆中高二检测)已知椭圆C：＋＝1的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若∠ABF＝90°，则椭圆C的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
【思路导引】2．根据∠ABF＝90°可知kAB·kBF＝－1，转化成关于a，b，c的关系式，再根据a，b和c的关系进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．
【解析】2．选A.根据题意得A，B，F，
因为∠ABF＝90°，所以kAB·kBF＝－1，
即×＝－1，
所以＝1，即b2＝ac.
又因为c2＝a2－b2，所以c2－a2＋ac＝0，等号两边同除以a2得2＋－1＝0，即e2＋e－1＝0，
所以e＝－(舍)或e＝.
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
(2021·银川高二检测)已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1的焦距为4，则C的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选C.由题意得a2－4＝4，所以a2＝8，所以|a|＝2，
所以椭圆的离心率为e＝＝.
类型三 由椭圆的性质求椭圆的标准方程(数学运算)
【典例】求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；
(3)求经过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．
【思路导引】(1)焦点位置不确定，分两种情况求解．
(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．
(3)方法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系．再用待定系数法求解．
方法二：设与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)
【解析】(1)若焦点在x轴上，则a＝3，
因为e＝＝，所以c＝，
所以b2＝a2－c2＝9－6＝3.
所以椭圆的方程为＋＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，
因为e＝＝＝＝，解得a2＝27.
所以椭圆的方程为＋＝1.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0).
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，
OF为斜边A1A2的中线(高)且OF＝c，A1A2＝2b，
所以c＝b＝4，所以a2＝b2＋c2＝32，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)方法一：由题意知e2＝1－＝，
所以＝，即a2＝2b2，
设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
将点M(1，2)代入椭圆方程得＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
方法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，
即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等．
2．在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．
1．椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，且经过点A(3，2)，则其标准方程为______________．
【解析】设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，上焦点为F1(0，2)，下焦点为F2(0，－2)，根据椭圆的定义知，2a＝AF1＋AF2＝3＋＝8，即a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12，因此，椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
2．根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程．
(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点构成正三角形，且半焦距为6.
【解析】(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).依题意有解得
所以椭圆方程为＋＝1.
同样地可求出当焦点在y轴上时，
椭圆方程为＋＝1.
故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意，有得
所以所求的椭圆方程为＋＝1.
备选类型 分类讨论思想在椭圆中的应用(数学抽象)
【典例】(2021·北京高二检测)已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为( )
A．3
B．或3
C．
D．或
【思路导引】分5>m，5【解析】选B.由题意知m>0，
当5>m时，a＝，b＝，c＝，
所以e＝＝＝，解得m＝3；
当5所以e＝＝＝，解得m＝.
利用椭圆的离心率求参数，解题时要注意对椭圆焦点的位置进行分类讨论．
(2021·西安高二检测)已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m等于( )
A．2
B．2或
C．2或6
D．2或8
【解析】选D.若焦点在x轴上时，a2＝，b2＝，根据e＝＝?＝?＝?＝，即＝?m＝2；若焦点在y轴上时，a2＝，b2＝即＝?m＝8，所以m等于2或8.
课堂检测·素养达标
1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )
A．(－1，0)，(1，0)
B．(－6，0)，(6，0)
C．(－，0)，(，0)
D．(0，－)，(0，)
【解析】选D.方程化为标准方程形式为x2＋＝1，其焦点在y轴上，由于a2＝6，所以a＝，所以长轴的端点坐标为(0，)和(0，－).
2．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选A.化椭圆方程为标准形式得＋y2＝1，
所以a2＝4，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝3，所以e＝＝.
3．(2021·南昌高二检测)已知焦点在y轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝( )
A．3或－
B．3
C．－
D．6－9
【解析】选B.根据题意，椭圆的焦点在y轴上，
所以a2＝m＋9，b2＝9，可得c2＝a2－b2＝m，
又因为椭圆的离心率为，
所以＝?＝＝，解得m＝3.
4．(教材二次开发：练习改编)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为________．
【解析】由椭圆的定义可得，AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a.
又因为AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4，
所以4a＝4，解得a＝，
又因为e＝＝，所以c＝1，
所以b2＝a2－c2＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
5．(2021·合肥高二检测)椭圆＋＝1的焦点在x轴上，则它的离心率e的取值范围是________．
【解析】因为椭圆的焦点在x轴上，故可得5a>4a2＋1，解得a∈.
又e＝＝，
又对勾函数y＝4a＋在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当a＝时，y＝5；a＝时，y＝4；a＝1时，y＝5，故y＝4a＋∈[4，5)，则1－∈，则e∈.
答案：
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12
-第2课时 椭圆方程及性质的应用
必备知识·自主学习
导思
1.直线与椭圆的位置关系有哪些？2．弦长公式是什么？
1.点与椭圆的位置关系
设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如表所示：
位置关系
满足条件
P在椭圆外
eq
\f(x,a2)
＋
eq
\f(y,b2)
>1
P在椭圆上
eq
\f(x,a2)
＋
eq
\f(y,b2)
＝1
P在椭圆内
eq
\f(x,a2)
＋
eq
\f(y,b2)
<1
2.直线与椭圆的位置关系
判断直线和椭圆位置关系的方法
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：联立消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；
当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离．
(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？
(2)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1有怎样的位置关系？
提示：(1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．
(2)直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，点(0，1)在椭圆＋＝1的内部，因此直线与椭圆相交．
3．弦长公式
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
弦长公式①：AB＝·．
弦长公式②：AB＝·．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．( )
(2)直线－y＝1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为.( )
(3)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．( )
(4)直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．( )
提示：(1)√.根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大．
(2)√.由－y＝1得y＝－1，代入＋y2＝1，解得两交点坐标A(0，－1)，B(2，0).AB＝＝.
(3)×.因为P(b，0)在椭圆内部，过点P作不出椭圆的切线．
(4)√.直线y＝k(x－a)(k≠0)过点(a，0)且斜率存在，所以直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．
2．直线y＝kx－k＋1(k≠0)与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
【解析】选A.直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1(k≠0)过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此直线必与椭圆相交．
3．(2021·沈阳高二检测)椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.设A，B，
由得x2－2bx＋b－1＝0，
则x1＋x2＝.设线段AB的中点为C，则xC＝.
将xC＝代入y＝1－x得到yC＝.
因为kOC＝＝＝，故＝.
4．(教材二次开发：习题改编)椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是多少？
【解析】设直线x＋2y＋c＝0与椭圆＋＝1相切．
由消去x整理得8y2＋4cy＋c2－16＝0.
由Δ＝16(32－c2)＝0得c＝±4．
当c＝4时，符合题意(c＝－4舍去).
即x＋2y＋4＝0与椭圆＋＝1相切，椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离即为两条平行线之间的距离d＝＝.
关键能力·合作学习
类型一 直线与椭圆的位置关系(数学运算)
1．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．2个
B．至多一个
C．1个
D．0个
2．已知椭圆E：＋＝1，直线l：y＝x＋m与椭圆E有两个公共点，则实数m的取值范围是__________．
【解析】1.选A.由题意得＞2，
所以m2＋n2<4.所以－2所以点P(m，n)在椭圆＋＝1内，故过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有2个交点．
2．由消去y得3x2＋4mx＋2m2－8＝0.
因为直线l与椭圆E有两个公共点，
所以Δ＝16m2－12(2m2－8)>0，
解得－2＜m＜2，
所以实数m的取值范围是(－2，2).
答案：(－2，2)
直线与椭圆位置关系的判断方法
【补偿训练】
在平面直角坐标系Oxy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．
【解析】由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，
整理得x2＋2kx＋1＝0，
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，所以k的取值范围为∪.
类型二 弦长及中点弦问题(数学运算)
【典例】过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．
(1)求此弦所在的直线方程．
(2)求此弦长．
四步
内容
理解题意
条件：已知椭圆方程及椭圆内一点结论：求弦所在直线的方程及相应的弦长
思路探求
(1)方法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．方法二：点差法(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解．
书写表达
【解析】(1)方法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2).代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝.又M为AB的中点，所以＝＝2，解得k＝－.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.方法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).又M(2，1)为AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16.两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.所以＝－＝－，即kAB＝－.又直线AB过点M(2，1)，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－4x＝0，所以x1＋x2＝4，x1x2＝0，所以AB＝·＝·＝2.注意书写的规范性：联立方程组消元时，由于方程中常常含有参数，所以运算量较大，此时消元一定要谨慎，否则将导致后面无法正常求解．
题后反思
解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，由①－②得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.
直线被椭圆截得的弦长的求法思路
(1)求两交点坐标，转化为两点间距离．
(2)用公式来求．
设直线斜率为k，直线与椭圆两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|.
提醒：在解决直线与椭圆相交问题时，一般要消元化为一元二次方程，常用根与系数的关系，此时易忽视对所化一元二次方程判断判别式大于0.
已知动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－.
(1)试求动点P的轨迹方程C；
(2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M，N两点，当MN＝时，求直线l的方程．
【解析】(1)设动点P的坐标是(x，y)，
由题意得，kPA·kPB＝－.
所以·＝－，
化简整理得＋y2＝1.
故P点的轨迹方程C是＋y2＝1(x≠±).
(2)设直线l与曲线C的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由
得(1＋2k2)x2＋4kx＝0.
所以x1＋x2＝，x1·x2＝0.
MN＝·＝，
整理得k4＋k2－2＝0，
解得k2＝1或k2＝－2(舍).
所以k＝±1，经检验符合题意．
所以直线l的方程是y＝±x＋1，
即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.
类型三 与椭圆有关的综合问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，且△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴相切，求m的值．
【思路导引】(1)根据已知条件求出a，b，从而得到椭圆方程．
(2)依据以AB为直径的圆的圆心到y轴的距离等于半径，列方程求m.
【解析】(1)由题意可得M(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
由△MF1F2为面积是1的等腰直角三角形得a2＝1，b＝c，且a2－b2＝c2，解得b＝c＝1，a＝，
则椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立?3x2－4mx＋2m2－2＝0，
有Δ＝16m2－12(2m2－2)＞0，即－＜m＜，
x1＋x2＝，x1x2＝，可得AB中点横坐标为，
AB＝·＝·＝，以AB为直径的圆与y轴相切，
可得半径r＝AB＝，即＝，
解得m＝±∈(－，)，则m的值为±.
解决直线和椭圆综合问题的注意点
(1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论．
(2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单．
(3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视．
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点(A在B上方)，若AF⊥BF，则椭圆C的离心率为________．
【解析】由椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，AF⊥BF，
可知三角形OAF是正三角形，A，
所以FB＝c，
由椭圆的定义可得c＋c＝2a，可得e＝＝＝－1.
答案：－1
类型四 椭圆方程及其性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】如图所示，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0，)，且离心率e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l：x＝my－1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．
【思路导引】(1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a2＝b2＋c2即可求出a，b，c的值，从而可得椭圆E的方程．
(2)方法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G与圆心的距离d与圆的半径r进行比较，若d>r，则点G在圆外；若d＝r，则点G在圆上；若d方法二：只需判断·的符号，若·＝0，则点G在圆上；若·>0，则点G在圆外；若·<0，则点G在圆内．
【解析】(1)由已知得
解得
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)方法一：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0).
由
得(m2＋2)y2－2my－3＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，从而y0＝.
所以GH2＝＋y＝＋y＝
(m2＋1)y＋my0＋.
＝＝＝＝(1＋m2)(y－y1y2)，
故GH2－＝my0＋(1＋m2)y1y2＋＝－＋＝>0，所以GH>，
故点G在以线段AB为直径的圆外．
方法二：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝，＝.
由
得(m2＋2)y2－2my－3＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
从而·＝＋y1y2＝
＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋＝＋＋＝>0，
所以cos
〈，〉>0.
又，不共线，所以∠AGB为锐角．
故点G在以线段AB为直径的圆外．
解决与椭圆有关的综合问题的思路
直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．
椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－，0)和F2(，0)，且椭圆过点.
(1)求椭圆方程；
(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．
【解析】(1)由题意设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
将c＝，a2＝b2＋c2，代入椭圆方程得＋＝1，
又因为椭圆过点，得＋＝1，
解得b2＝1，所以a2＝4.所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)是定值．设直线MN的方程为x＝ky－，
联立直线MN和椭圆的方程
得(k2＋4)y2－ky－＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2，0)，y1y2＝－，
y1＋y2＝，则·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋k(y1＋y2)＋＝0，所以∠MAN＝.
课堂检测·素养达标
1．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( ).
A．m>1
B．m>1且m≠3
C．m>3
D．m>0且m≠3
【解析】选B.在椭圆＋＝1中，m>0且m≠3，
而直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，
则化简可得x2＋4mx＋m＝0，
所以Δ＝2－4m＝12m>0，
可得m>1或m<0，又因为m>0且m≠3，
得m>1且m≠3.
2．如果椭圆＋＝1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A．x－2y＝0
B．x＋2y－4＝0
C．2x＋3y－12＝0
D．x＋2y－8＝0
【解析】选D.设这条弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则
eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,36)＋\f(y,9)＝1，,\f(x,36)＋\f(y,9)＝1，))
两式相减再变形得＋k＝0.
又弦中点为(4，2)，故k＝－，故这条弦所在的直线方程为y－2＝－(x－4)，整理得x＋2y－8＝0.
3．过椭圆＋＝1的左焦点且斜率为1的弦AB的长是____．
【解析】椭圆的左焦点为(－4，0)，由
得34x2＋200x＋175＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以AB＝×
＝×＝.
答案：
4．已知椭圆＋＝1(a＞)的左、右焦点分别为F1，F2.过左焦点F1作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是________．
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则
eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1，,\f(x,a2)＋\f(y,b2)＝1，))
两式相减得＝－，
所以＝－·，所以＝＝4，
所以a2＝2b2＝4，所以a＝2.
答案：2
5．(2021·南昌高二检测)已知直线y＝kx－1与焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(b>0)总有公共点，则椭圆C的离心率取值范围是________．
【解析】因为椭圆焦点在x轴上，所以b2<4，
因为b>0，所以0因为直线y＝kx－1与椭圆总有公共点，
所以＋≤1，因为b>0，所以b≥1，
综上1≤b<2，e＝＝＝∈.
答案：
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15
-3．2 双 曲 线
3．2.1 双曲线的标准方程
必备知识·自主学习
导思
1.双曲线的定义是什么？2．双曲线的标准方程有哪些？
1.双曲线的定义
(1)文字语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距．
(2)集合语言：
P＝{M||MF1－MF2|＝2a，0<2a (1)如何理解“绝对值”？
提示：若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．
(2)把“小于F1F2”改为“等于F1F2”或“大于F1F2”或常数为0，结果如何？
提示：①若将“小于F1F2”改为“等于F1F2”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于F1F2”改为“大于F1F2”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．③若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
2．双曲线的标准方程
如何从双曲线的标准方程判断焦点的位置？
提示：焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．( )
(2)点A(1，0)，B(－1，0)，若AC－BC＝2，则点C的轨迹是双曲线．( )
(3)双曲线－＝1的焦点在x轴上，且a>b.( )
提示：(1)×.双曲线中b2＝c2－a2，椭圆中b2＝a2－c2.
(2)×.因为AB＝2＝AC－BC，所以C点的轨迹是两条射线．
(3)×.在双曲线－＝1中，焦点在x轴上，且a>0，b>0，但是不一定a>b.
2．(教材例题改编)设动点M到点A的距离与它到点B的距离的差等于6，则M点的轨迹方程是( )
A．－＝1
B．－＝1
C．－＝1
D．－＝1
【解析】选C.因为|MA－MB|＝6<10＝|AB|，
所以M点轨迹是焦点在y轴上的双曲线的上半支，
其中a＝3，c＝5，所以b2＝＝4，
所以M点轨迹方程为－＝1.
3．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为____________.
【解析】令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解，即该圆与y轴无交点．
令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，
则符合条件的双曲线中a＝2，c＝4，
所以b2＝c2－a2＝16－4＝12，且焦点在x轴上，
所以双曲线的方程为－＝1.
答案：－＝1
关键能力·合作学习
类型一 双曲线的定义及其应用(逻辑推理)
1．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于( )
A．4
B．8
C．24
D．48
2．已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心E的轨迹方程为________．
【解析】1.选C.由题意得解得
又由F1F2＝10，可得△PF1F2是直角三角形，
则S△PF1F2＝×PF1×PF2＝24.
2．由圆A：(x＋4)2＋y2＝2，可得圆心A(－4，0)，半径＝；
由圆B：(x－4)2＋y2＝2可得圆心B(4，0)，半径＝.
设动圆的半径为R，由题意可得EA＝R＋，EB＝R－，所以EA－EB＝2＜2×4，由双曲线的定义可得，动圆的圆心E在以点A(－4，0)，B(4，0)为焦点的双曲线的右支上，
因为a＝，c＝4，所以b2＝c2－a2＝14，所以动圆圆心E的轨迹方程为－＝1(x≥).
答案：－＝1(x≥)
1．利用双曲线的定义求双曲线方程的基本步骤
(1)寻求动点M与定点F1，F2之间的关系．
(2)根据题目的条件计算是否满足|MF1－MF2|＝2a(常数，a>0).
(3)判断：若2a<2c＝F1F2，满足定义，则动点M的轨迹就是双曲线，且2c＝F1F2，b2＝c2－a2，进而求出相应a，b，c.
(4)根据F1，F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程．
2．求解双曲线中焦点三角形面积的两种方法
(1)方法一：
①根据双曲线的定义求出|PF1－PF2|＝2a；
②利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体的思想求出PF1·PF2的值；
④利用公式S△PF1F2＝×PF1·PF2sin
∠F1PF2求得面积．
(2)方法二：利用公式S△PF1F2＝×F1F2×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积．
提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1－PF2|＝2a的变形使用，二是特别注意PF＋PF与PF1·PF2的关系．
类型二 待定系数法求双曲线的标准方程(数学运算)
【典例】求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦距为26，且经过点M(0，12)；
(2)双曲线上两点P1，P2的坐标分别为(3，－4)，.
【思路导引】
(1)判断焦点的位置，由c和a的大小，利用b2＝c2－a2求得b，写出方程．
(2)设出双曲线的方程利用待定系数法求得参数，解得方程．
【解析】(1)因为双曲线经过点M(0，12)，所以M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，所以c＝13，所以b2＝c2－a2＝25.
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
则解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
把本例(2)的条件改为“双曲线过P，Q两点”，求双曲线的标准方程．
【解析】若焦点在x轴上，
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
所以解得(舍去).
若焦点在y轴上，
设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
将P，Q两点坐标代入可得
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
综上，双曲线的标准方程为－＝1.
待定系数法求方程的步骤
(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，
①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；
②与双曲线－＝1(a>0，b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．
(4)结论：写出双曲线的标准方程．
1．求c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上的双曲线的标准方程．
【解析】依题意可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0).则有解得
所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
2．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)c＝5，b＝3，焦点在x轴上；
(2)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上．
【解析】(1)因为双曲线的焦点在x轴上，c＝5，b＝3，
所以a2＝c2－b2＝16，所以双曲线的标准方程为：－＝1.
(2)因为双曲线的焦点在y轴上，
所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
因为由题设知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，
所以
所以解得a2＝20，b2＝16，
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
类型三 利用双曲线的标准方程求参数(数学运算)
【典例】1.若方程＋＝1表示双曲线，则m的取值范围是( )
A．m＜4
B．m＞9
C．4＜m＜9
D．m＜4或m>9
【思路导引】1.根据双曲线的定义可知，要使方程表示双曲线，需9－m和4－m异号，进而求得m的范围．
【解析】1.选C.因为方程＋＝1表示双曲线，
所以(9－m)(4－m)＜0，解得4＜m＜9.
2．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________.
【思路导引】2．方程－＝1表示双曲线，
则1＋k和1－k同号，进而求得k的范围．
【解析】2．方程－＝1表示双曲线，
则(1＋k)(1－k)>0，所以(k＋1)(k－1)<0，所以－1答案：(－1，1)
方程表示双曲线的条件及参数范围求法
(1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(2)对于方程－＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线．
(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围．
求满足下列条件的参数的值．
(1)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值；
(2)椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，求a的值．
【解析】(1)若焦点在x轴上，则方程可化为－＝1，
所以＋k＝32，即k＝6；
若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，
所以－k＋＝32，即k＝－6.
综上所述，k的值为6或－6.
(2)由双曲线方程知焦点在x轴上且c2＝a＋2(a＞0).
由椭圆方程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2，
即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去).
因此a的值为1.
备选类型 与双曲线有关的轨迹问题(逻辑推理、数学运算)
【典例】如图所示，在△ABC中，已知AB＝4，且三内角A，B，C满足2sin
A＋sin
C＝2sin
B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
【思路导引】建立直角坐标系，根据双曲线的定义求解．
【解析】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2，0)，B(2，0).由正弦定理，得sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝(R为△ABC的外接圆半径).
因为2sin
A＋sin
C＝2sin
B，
所以2BC＋AB＝2AC，即AC－BC＝＝2由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点).
由题意，设所求轨迹方程为－＝1(x>a)，
因为a＝，c＝2，所以b2＝c2－a2＝6.
即所求轨迹方程为－＝1(x>).
求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法
(1)列出等量关系，化简得到方程．
(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．
提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．
②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．
△ABC的顶点为A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1(x>3)
D．－＝1(x>4)
【解析】选C.由条件可得，圆与x轴的切点为T(3，0)，
由相切的性质得CA－CB＝TA－TB＝8－2＝6<10＝AB，
因此点C的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支．
由2a＝6，2c＝10，得a＝3，b＝4，
所求的双曲线方程为－＝1.
考虑到点C不在直线AB上，即x＞3.
课堂检测·素养达标
1．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A．－1B．m>－1
C．m>3
D．m<－1
【解析】选B.依题意应有m＋1>0，即m>－1.
2．已知F1(－8，3)，F2(2，3)，动点P满足PF1－PF2＝10，则点P的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．直线
D．一条射线
【解析】选D.F1，F2是定点且F1F2＝10，所以满足条件PF1－PF2＝10的点P的轨迹应为一条射线．
3．已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－y2＝1(a>0)过点，点P在双曲线C上，若PF1＝3，则PF2＝( )
A．3
B．6
C．9
D．12
【解析】选C.由左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－y2＝1(a>0)过点，可得：－＝1，解得a＝3，b＝1，c＝，a＋c＞3，点P在双曲线C上，若PF1＝3，可得点P在双曲线的左支上，则PF2＝2a＋PF1＝6＋3＝9.
4．已知双曲线的方程为x2－＝1，如图，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，则MA＋MB的最小值为________.
【解析】设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，
由双曲线的定义，得MA－MD＝2a＝2.
所以MA＋MB＝2＋MB＋MD≥2＋BD，
又B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，故BD≥CD－1＝－1，
从而MA＋MB≥2＋BD≥＋1，
当点M，B在线段CD上时取等号，即MA＋MB的最小值为＋1.
答案：＋1
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-3．2.2 双曲线的几何性质
第1课时 双曲线的几何性质
必备知识·自主学习
导思
1.双曲线的几何性质主要有哪些？2．什么叫等轴双曲线？
1.双曲线的几何性质
2.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为.
(1)椭圆中要求a>b>0，在双曲线中a，b是否也要满足该条件？
提示：不是，在双曲线中，a，b没有大小关系，只需a>0，b>0.
(2)双曲线离心率对双曲线形状有何影响？
提示：以双曲线－＝1(a＞0，b＞0)为例．
e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．( )
(2)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．( )
(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关．( )
(4)离心率是的双曲线为等轴双曲线．( )
提示：(1)√.双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同，但是位置不一样．
(2)×.双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x；双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
(3)×.等轴双曲线的渐近线方程都是y＝±x.
(4)√.等轴双曲线的离心率是.
2．双曲线－＝1的顶点坐标是( )
A．(±5，0)
B．(±5，0)或(0，±3)
C．(±4，0)
D．(±4，0)或(0，±3)
【解析】选A.因为双曲线的顶点在x轴上，又因为a＝5，所以顶点为(－5，0)和(5，0).
3.双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是( )
A．y＝±3x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
【解析】选C.令x2－＝0，则y＝±x.
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
【解析】选B.因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线为y＝±x，
因为两条渐近线互相垂直，所以－2＝－1得a＝b，
因为双曲线焦距为4，所以c＝2，
由c2＝a2＋b2可知2a2＝8，所以a＝2，所以实轴长为2a＝4.
关键能力·合作学习
类型一 双曲线的几何性质(逻辑推理、直观想象)
1．双曲线－＝1的左顶点到其渐近线的距离为( )
A．2
B．
C．
D．3
2．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±x
3．已知双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线为y＝x，则实数a＝__________.
【解析】1.选C.由双曲线－＝1，得a2＝9，b2＝16，
所以双曲线－＝1的左顶点坐标为(－3，0)，
其一条渐近线方程为y＝x，即4x－3y＝0.
由对称性得左顶点到其渐近线的距离为
d＝＝.
2．选C.e＝＝，
又因为在双曲线中，c2＝a2＋b2，
所以e2＝＝1＋＝，
故＝，
所以双曲线C：－＝1的渐近线方程为
y＝±x＝±x.
3．双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线为y＝x，
可得＝，解得a＝1.
答案：1
由双曲线方程研究几何性质的注意点
(1)把双曲线方程化为标准形式，确定a，b的值是关键．
(2)由方程可以求焦距、实(虚)轴长、离心率、渐近线方程．
(3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为虚半轴长．
(4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用．
如过双曲线－＝1的左焦点F1(－c，0)垂直于x轴的弦AB，则AB＝.
(5)双曲线中c2＝a2＋b2，易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆．
【补偿训练】
已知双曲线的方程为－＝1，则下列关于双曲线说法正确的是( )
A．虚轴长为4
B．焦距为2
C．离心率为
D．渐近线方程为2x±3y＝0
【解析】选D.根据题意，依次分析选项：
对于A，双曲线的方程为－＝1，其中b＝3，虚轴长为6，则A错误；对于B，双曲线的方程为－＝1，其中a＝2，b＝3，则c＝＝，则焦距为2，则B错误；对于C，双曲线的方程为－＝1，其中a＝2，b＝3，则c＝＝，则离心率为e＝＝，则C错误；对于D，双曲线的方程为－＝1，其中a＝2，b＝3，则渐近线方程为2x±3y＝0，则D正确．
类型二 利用双曲线的几何性质求双曲线的方程(数学运算)
【典例】1.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )
A．－＝1
B．－＝1
C．－y2＝1
D．x2－＝1
2．渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)的双曲线的方程为__________.
【思路导引】1.△OAF是边长为2的等边三角形求c和点A的坐标渐近线的斜率求a，b
【思路导引】2．方法一：待定系数法求解，分焦点在x轴和y轴上两种情况求解．
方法二：巧设参数λ，代入点的坐标，求解即可．
【解析】1.选D.不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，)，所以＝，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2－＝1.
【解析】2．方法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，
若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)，则＝. ①
因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1. ②
联立①②，无解．若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则＝. ③
因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1. ④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，
可设双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0).
因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
巧设双曲线方程的方法与技巧
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0).
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0).
(3)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ(4)与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).
(5)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1，2)；
(2)与双曲线－＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；
(3)过点(2，0)，与双曲线－＝1离心率相等．
【解析】(1)由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1，2)的坐标代入方程解得λ＝－32.
因此所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).
由点M(3，－2)在双曲线上，得－＝λ，得λ＝－2.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去).
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
类型三 双曲线的离心率问题(数学运算)
【典例】1.双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与C在第一象限交于点P.若∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A．＋1
B．
C．
D．－1
【思路导引】1.先设F1F2＝2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，利用∠PF1F2＝30°，求出PF1，PF2，根据双曲线的定义求得a，c之间的关系，则双曲线的离心率可得．
【解析】1.选A.设F1F2＝2c，由题意知△F1F2P是直角三角形，又因为∠PF1F2＝30°，所以PF1＝c，PF2＝c，
所以PF1－PF2＝c－c＝2a，
所以e＝＝＝＋1.
2．(2020·全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
【思路导引】2．根据双曲线的几何性质可知，BF＝，AF＝c－a，即可根据斜率列出等式求解即可．
【解析】2．依题可得，＝3，而BF＝，AF＝c－a，即＝3，变形得c2－a2＝3ac－3a2，化简可得，e2－3e＋2＝0，解得e＝2或e＝1(舍去).
答案：2
1．求双曲线离心率的常见方法
(1)依据条件求出a，c，再计算e＝.
(2)依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e＝求离心率．
2．求离心率的范围技巧
(1)根据条件建立a，b，c的不等式．
(2)通过解不等式得或的范围，求得离心率的范围．
1．(2021·合肥高二检测)如图所示，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，OF1为
半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则离心率为( )
A．－1
B．
C．＋1
D．
【解析】选C.连接AF1，则∠F1AF2＝90°，∠AF2B＝60°.
所以AF1＝c，AF2＝c，所以c－c＝2a，
所以e＝＝＝＋1.
2．已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，tan
∠F1MF2＝2，则双曲线E的离心率为( )
A．2
B．2
C．
D．
【解析】选C.不妨设M(－c，y)，y>0，代入双曲线方程得y＝，所以M，F1F2＝2c，tan
∠F1MF2＝＝2，b2－ac＝0，即c2－ac－a2＝0，e2－e－＝0，
＝0，所以e＝.
类型四 双曲线的实际应用问题(数学建模)
【典例】由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6
km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4
km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4
s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1
km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？
【思路导引】建立平面直角坐标系，表示每个点的坐标，根据条件中的数量关系得到点P在线段BC的垂直平分线上和以A，B为焦点的双曲线的右支上，求出方程并联立方程求解即可得到结果．
【解析】设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2)，因为PB＝PC，所以点P在线段BC的垂直平分线上，又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，
所以直线PD的方程为y－＝(x＋4)①
又PB－PA＝4，
所以点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
所以双曲线方程为－＝1(x≥2)②
联立①②，得P点坐标为(8，5)，
所以kPA＝＝，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°.
本题考查平面直角坐标系的应用，考查直线方程和双曲线方程在实际中的应用，根据实际问题建立合适的坐标系并求得满足条件的方程是本题的关键．
如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有三个监测点A、B、C，且OA＝OB＝OC＝30
km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒(注：信号每秒传播V0千米).
(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
(2)若已知C点与A点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与监测中心O的距离；
(3)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？
【思路导引】(1)根据题意，其轨迹满足双曲线的定义，故直接写出方程即可；
(2)AC垂直平分线与双曲线的交点，即为所求点；
(3)根据两点之间的距离公式，将问题转化为求二次函数的最小值即可．
【解析】(1)设观察员可能出现的位置的所在点为P，因为A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒，
故PB－PA＝×V0＝40故点P的坐标满足双曲线的定义，
设双曲线方程为－＝1(x<0).
由题可知2a＝40，2c＝60，解得b2＝c2－a2＝500，
故点P的轨迹方程为－＝1(x<0).
(2)因为A，C，
设AC的垂直平分线方程为y＝kx，
则k×＝－1，
则AC的垂直平分线方程为y＝－x，联立－＝1(x<0)，可得x2＝，故x＝－20，y＝20，
故观察员遇险地点坐标为，与监测中心O的距离为＝20(km).
(3)设轨迹上一点为P，则＝＝，又因为－＝1，
可得x2＝y2＋400，代入可得PC＝＝≥＝20，当且仅当y＝时，取得最小值20.故扫描半径r至少是20
km.
课堂检测·素养达标
1．已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则( )
A．实轴长为4，虚轴长为2
B．实轴长为8，虚轴长为4
C．实轴长为2，虚轴长为4
D．实轴长为4，虚轴长为8
【解析】选B.双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1，
可得a＝4，b＝2，所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4.
2．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±x的是( )
A．x2－＝1
B．－y2＝1
C．－x2＝1
D．y2－＝1
【解析】选D.从选项知，焦点在y轴上的双曲线有－x2＝1与y2－＝1，而－x2＝1的渐近线方程是y＝±2x，y2－＝1的渐近线方程是y＝±x，可知D项正确．
3．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选D.因为双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，所以3b＝4a，所以9(c2－a2)＝16a2，所以e＝＝.
4．已知双曲线C：－＝1的离心率为，O为坐标原点，过右焦点F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N，且△OMN为直角三角形，若S△ONM＝，则双曲线C的方程为( )
A．－＝1
B．－＝1
C．－y2＝1
D．－＝1
【解析】选C.由于双曲线C的离心率为e＝＝＝，所以＝，可得a＝b，c＝2b，设点M，N分别为直线y＝x，y＝－x上的点，且MN⊥ON，
则直线MN的方程为y＝，
联立解得
所以点N，
则ON＝＝b，
易知∠MON＝，所以MN＝ON
tan
＝×b＝3b，
所以S△ONM＝ON·MN＝b2＝，
解得b＝1，所以a＝，因此双曲线C的方程为－y2＝1.
5．(教材二次开发：练习改编)已知双曲线－＝1的离心率是，求n的值．
【解析】当焦点在y轴上时，，解得n＝12，
当焦点在x轴上时，双曲线标准方程为－＝1，
解得n＝－6，
综上得n＝12，或n＝－6.
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15
-3．3 抛 物 线
3．3.1 抛物线的标准方程
新课程标准
学业水平要求
1.了解抛物线的定义及焦点、准线的概念．2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．
1.结合教材实例掌握抛物线的定义．(数学抽象)2．掌握抛物线标准方程中参数p的几何意义，会求抛物线的标准方程．(数学运算)3．通过抛物线概念的引入和抛物线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力．(数学运算)
必备知识·自主学习
导思
1.什么叫作抛物线？2．抛物线的标准方程有哪些？
1.抛物线的定义
文字语言：平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．
定义中为什么要求直线l不经过点F?
提示：当直线l经过点F时，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的一条直线，而不是抛物线．
2.抛物线的标准方程
由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0).
现将这四种抛物线对应的标准方程、图形、焦点坐标及准线方程列表如下：
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
焦点坐标
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
p的几何意义
焦点到准线的距离
二次函数的图象也是抛物线，与本节所学抛物线相同吗？
提示：不完全相同．当抛物线的开口向上或向下时可以看作是二次函数的图象，当开口向左或向右时不能看作二次函数的图象．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)抛物线的方程都是二次函数．( )
(2)准线方程为y＝4的抛物线的标准方程是x2＝－16y.( )
(3)抛物线的开口方向由一次项确定．( )
提示：(1)×.当抛物线是开口向上或向下时，该曲线也是二次函数的图象；当抛物线是开口向右或向左时，该曲线不是二次函数的图象．
(2)√.由题意可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，因为抛物线的准线方程为y＝＝4，所以p＝8，
所以该抛物线的标准方程为x2＝－16y.
(3)√.一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上，故该说法正确．
2．已知抛物线x2＝4y上的一点M到此抛物线的焦点的距离为2，则点M的纵坐标是( )
A．0
B．
C．1
D．2
【解析】选C.根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0，1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线定义，得yM＋1＝2，解得yM＝1.
3．已知定点A，F为抛物线y2＝6x的焦点，P为抛物线上的动点，则PF＋PA的最小值为( )
A．5
B．4.5
C．3.5
D．不能确定
【解析】选C.如图所示，过点P作PM⊥准线l，垂足为M，
则PF＝PM当且仅当A，P，M三点共线时，
PF＋PA取得最小值AM＝2＋＝3.5.
关键能力·合作学习
类型一 求抛物线的标准方程(数学运算)
【典例】1.顶点在原点，准线与y轴垂直，且经过点(，－1)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－2x
B．y2＝2x
C．x2＝2y
D．x2＝－2y
【解析】选D.因为抛物线顶点在原点，准线与y轴垂直，且经过点(，－1)，所以设抛物线的标准方程为x2＝－2py，p＞0，把点(，－1)代入，得2＝2p，解得p＝1，
所以抛物线方程为x2＝－2y.
2．(多选题)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，MF＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程可能为( )
A．y2＝x
B．y2＝2x
C．y2＝4x
D.
y2＝16x
【解析】选CD.易知抛物线的焦点为F.由抛物线的定义，得M.设N点坐标为(0，2).
因为圆过点N(0，2)，所以NF⊥NM，
即×＝－1.①
设＝t，则①式可化为t2－4t＋8＝0，
解得t＝2，即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8.
3．求焦点在直线x－2y－4＝0上的抛物线的标准方程．
【解析】当焦点在y轴上时，已知方程x－2y－4＝0，
令x＝0，得y＝－2，所以所求抛物线的焦点为(0，－2)，设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，
由－＝－2，得2p＝8，
所以所求抛物线的标准方程为x2＝－8y；
当焦点在x轴上时，已知x－2y－4＝0，
令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(4，0)，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，
由＝4，得2p＝16，
所以所求抛物线的标准方程为y2＝16x.
综上，所求抛物线的标准方程为x2＝－8y或y2＝16x.
抛物线标准方程的求法
(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．
(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值．
【补偿训练】
根据下列条件分别求抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.
【解析】(1)双曲线方程可化为－＝1，
左顶点为(－3，0)，
由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且－＝－3，
所以p＝6，所以抛物线的方程为y2＝－12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，
由抛物线定义，得5＝AF＝.
又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
类型二 抛物线的定义及其应用(逻辑推理)
【典例】1.(多选题)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为( )
A．4
B．－2
C．－4
D．2
【解析】选AC.由题可设抛物线的标准方程为x2＝
－2py(p>0)，由定义知点P到准线的距离为4，故＋2＝4，所以p＝4，所以x2＝－8y.将点P的坐标代入x2＝－8y，得m＝±4.
2．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(4，0)
B．(2，0)
C．(0，2)
D．(0，－2)
【解析】选B.因为圆心到直线x＋2＝0的距离等于到抛物线焦点的距离，所以定点为(2，0).
3．已知动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹是________．
【解析】设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹是抛物线．
答案：抛物线
抛物线的判断方法
(1)定义判断：可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离．
(2)方程判断：求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程．
1．(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝( )
A．2
B．3
C．6
D．9
【解析】选C.设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|＝xA＋＝12，即12＝9＋，解得p＝6.
2．若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．
【解析】由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1，2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0).
类型三 抛物线的实际应用(数学建模)
【典例】河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5
m时，水面宽为8
m，一小船宽4
m，高2
m，载货后船露出水面上的部分高0.75
m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
【思路导引】
以桥的顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系后，利用已知条件求出抛物线方程，然后求解．
【解析】以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系(图略).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，
－5)在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为0.75
m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2
m时，小船开始不能通航．
求抛物线实际应用问题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)设出合适的抛物线标准方程．
(3)通过计算求出抛物线的标准方程．
(4)求出需要求出的量．
(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题．
如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12米，镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米．
【解析】如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口直径．
由已知，得A点坐标是(2，6)，
设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
则36＝2p×2，p＝9.
所以所求抛物线的标准方程是y2＝18x，
焦点坐标是F.因为盛水和食物的容器在焦点处，所以A，F两点间的距离即为每根铁筋长．
AF＝＝6.5，故每根铁筋的长度是6.5米．
备选类型 抛物线的最值问题(数学运算)
【典例】已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4，2)，求PA＋PF的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．
【思路导引】利用抛物线的定义，把|PF|转化为到准线的距离．
【解析】如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，
则PA＋PF＝PA＋PN≥AB，
当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．
所以(PA＋PF)min＝AB＝4＋1＝5.
此时yP＝2，代入抛物线得xP＝1，所以P(1，2).
在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A．
B．3
C．
D．
【解析】选A.由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．如图所示，
所以点P到准线x＝－的距离d＝PF，
易知点A(0，2)在抛物线y2＝2x的外部，
连接AF，交y2＝2x于点P′，
欲使所求距离之和最小，只需A，P′，F共线，
所以其最小值为AF＝＝.
课堂检测·素养达标
1．对抛物线x2＝4y，下列描述正确的是( )
A．开口向上，焦点为(0，1)
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1，0)
D．开口向右，焦点为
【解析】选A.抛物线x2＝4y开口向上，焦点为(0，1).
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )
A．FP1＋FP2＝FP3
B．FP＋FP＝FP
C．2FP2＝FP1＋FP3
D．FP＝FP1·FP3
【解析】选C.如图所示，由定义知FP1＝x1＋，FP2＝x2＋，FP3＝x3＋，
由2x2＝x1＋x3知，2FP2＝FP1＋FP3.
3．若抛物线y2＝x的焦点与椭圆＋＝1的左焦点重合，则m的值为( )
A．－
B．
C．－2
D．2
【解析】选A.抛物线y2＝x的焦点坐标为，
椭圆＋＝1，因为a2＝7，b2＝3，
所以c2＝a2－b2＝4，
所以椭圆的左焦点坐标为(－2，0)，
因为抛物线y2＝x的焦点与椭圆＋＝1的左焦点重合，
所以＝－2，所以m＝－.
4．抛物线y2＝4mx(m>0)的焦点到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的方程为________．
【解析】抛物线y2＝4mx(m>0)的焦点为F(m，0)，双曲线－＝1的渐近线方程为3x±4y＝0，则F(m，0)到渐近线的距离为＝＝3?m＝5，
所以抛物线的方程为y2＝20x.
答案：y2＝20x
5．如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．求抛物线E的方程．
【解析】依题意，OB＝8，∠BOy＝30°.
设B(x，y)，则x＝OBsin
30°＝4，
y＝OBcos
30°＝12.
因为点B(4，12)在x2＝2py上，
所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.
故抛物线E的方程为x2＝4y.
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12
-3．3.2 抛物线的几何性质
第1课时 抛物线的几何性质
新课程标准
学业水平要求
了解抛物线的简单几何性质．
1.依据抛物线的方程、图象研究抛物线的几何性质．(数学抽象)2．能解决与抛物线的简单几何性质相关的简单问题．(数学运算)3．能综合利用抛物线的几何性质解决相关的综合问题．(数学运算、逻辑推理)
必备知识·自主学习
导思
1.抛物线的几何性质主要有哪些？2．焦半径的性质有哪些？
抛物线的几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点坐标
F
F
F
F
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
顶点坐标
O(0，0)
离心率
e＝1
(1)抛物线的几何性质与椭圆、双曲线相比有哪些不同？
提示：抛物线的离心率等于1，只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，也没有渐近线．
(2)过焦点垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段长度是多少？
提示：这条线段是抛物线的通径，长度为2p，借助于通径可以画出较准确的抛物线．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)抛物线焦点到准线的距离等于p.( )
(2)抛物线的范围是x∈R，y∈R.( )
(3)抛物线是轴对称图形．( )
提示：(1)√.抛物线焦点到准线的距离等于＋＝p.
(2)×.抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2＝2px(p>0)的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误．
(3)√.抛物线y2＝±2px(p>0)的对称轴为x轴，抛物线x2＝±2py(p>0)的对称轴为y轴，故此说法正确．
2．抛物线y＝－x2的焦点坐标为( )
A．
B．(－4，0)
C．
D．(0，－4)
【解析】选D.因为抛物线y＝－x2，所以x2＝－16y，
所以抛物线的焦点坐标为(0，－4).
3．已知过抛物线y2＝ax(a＞0)的焦点且垂直于x轴的弦长度为2，则实数a的值为( )
A．4
B．2
C．1
D．0
【解析】选B.由题意可得焦点F，将x＝代入抛物线方程可得y2＝，解得y＝±，所以a＝2.
4．已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线y2＝2x上，则这个正三角形的边长是________．
【解析】由题意得，正三角形另外两个顶点关于x轴对称，设一个顶点坐标为
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)，y0))
，边长为a，
则有tan
＝
eq
\f(2y0,y)
，解得y0＝2，
再由正弦定理sin
＝＝，
解得a＝4.
答案：4
关键能力·合作学习
类型一 由抛物线的几何性质求标准方程(数学运算)
【典例】1.顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( )
A．x2＝16y
B．x2＝8y
C．x2＝±8y
D．x2＝±16y
【解析】选D.顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)，由顶点到准线的距离为4，知p＝8，故所求抛物线的方程为x2＝16y或x2＝－16y.
2．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A．y2＝8x
B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x
D．x2＝8y或x2＝－8y
【解析】选C.设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
依题意将x＝或x＝－代入y2＝2px或y2＝－2px，
得|y|＝p，
所以2|y|＝2p＝8，p＝4.
所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.
3．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．
【解析】因为双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
所以＝＝2，
所以b＝a，
所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0.
所以抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，
所以p＝8，
所以所求的抛物线方程为x2＝16y.
答案：x2＝16y
用待定系数法求抛物线方程的步骤
提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程．
类型二 焦点弦问题(逻辑推理)
【典例】已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求AB的值；
(2)若AB＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
四步
内容
理解题意
条件：已知抛物线方程及过抛物线焦点的直线结论：求弦长及线段的中点到准线的距离
思路探求
(1)写出直线方程，把直线方程和抛物线方程联立求得坐标，利用弦长公式求得弦长．(2)利用抛物线定义结合焦点弦的长度求得中点横坐标．
书写表达
(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan
60°＝，又F，所以直线l的方程为y＝.联立消去y得4x2－20x＋9＝0，解得x1＝，x2＝，故AB＝×＝2×4＝8.
书写表达
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义，知AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离等于3＋＝.易错关注点：①联立方程组，消元时一定要确保正确性；②会应用根与系数的关系求弦长或解决中点弦问题，避免求解交点的烦琐运算．
题后反思
提示：已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.(2)AB＝x1＋x2＋p，AF＝x1＋.(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
1．抛物线的焦半径
定义
抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为端点的线段．
焦半径公式
P(x0，y0)为抛物线上一点，F为焦点．①若抛物线y2＝2px(p＞0)，则PF＝x0＋；②若抛物线y2＝－2px(p＞0)，则PF＝－x0；③若抛物线x2＝2py(p＞0)，则PF＝y0＋；④若抛物线x2＝－2py(p＞0)，则PF＝－y0.
2.过焦点的弦长的求解方法
设过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元，由根与系数的关系求出x1＋x2即可．
过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，求弦长AB.
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得抛物线的焦点是F(1，0)，p＝2，所以直线AB的方程是y＝x－1，
联立消去y得x2－6x＋1＝0，
所以x1＋x2＝6，所以AB＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
类型三 抛物线几何性质的简单应用(数学运算)
【典例】已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作直线AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
【思路导引】(1)利用抛物线的定义求出p；
(2)求出直线FA和MN的方程，联立解方程组．
【解析】(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是4＋＝5，所以p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2).
又因为F(1，0)，所以kFA＝，
因为MN⊥FA，所以kMN＝－.
又FA的方程为y＝(x－1)，①
MN的方程为y－2＝－x，②
联立①②，解得x＝，y＝，所以点N的坐标为.
利用抛物线的性质可以解决的问题
(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．
(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．
(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．
(4)焦点：解决焦点弦问题．
已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若OA＝OB，且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程．
【解析】抛物线的焦点F，因为抛物线关于x轴对称，OA＝OB，所以△ABO为等腰三角形，所以A，B两点关于x轴对称，设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，因为△ABO的垂心恰为抛物线的焦点，所以BF⊥OA.则kBF·kOA＝－1，
即·＝－1.
又因为y＝2px0，所以x0＝p，
所以直线AB的方程为x＝.
备选类型 抛物线中的最值问题(数学抽象、直观想象)
【典例】求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小值．
【思路导引】方法一：(代数法)设出抛物线上的动点，转化为函数求最值；
方法二：(几何法)数形结合思想转化为两条平行线间的距离求解．
【解析】方法一：设A(t，－t2)为抛物线上的点，
则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝＝＝×3(t－)2＋×＝＋.
所以当t＝时，d有最小值.
方法二：如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，
由消去y得3x2－4x－m＝0，所以Δ＝16＋12m＝0，所以m＝－.
所以最小距离为＝＝.
与抛物线相关的最值的求法
(1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问
题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点．
(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决．
课堂检测·素养达标
1.
若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝( )
A．2
B．3
C．4
D．8
【解析】选D.因为椭圆的焦点为(±，0)，抛物线的焦点为，由已知可得＝，解得p＝8.
2．若抛物线x2＝8y上一点P(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则y0＝( )
A．
B．
C．1
D．2
【解析】选D.因为P(x0，y0)到焦点的距离d＝y0＋2，则y0＋2＝2y0，解得y0＝2.
3．若抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是( )
A．p＜1
B．p＞1
C．p＜2
D．p＞2
【解析】选D.设P点为抛物线上的任意一点，
则P到焦点的距离等于到准线：x＝－的距离，
显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，
所以＞1，即p＞2.
4．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
【解析】由抛物线y2＝2px(p>0)，得焦点F的坐标为，则FA的中点B的坐标为，
代入抛物线方程得，2p×＝1，所以p＝，
所以B点到准线的距离为＋＝p＝.
答案：
5．已知定点A(－3，0)，B(3，0)，动点P在抛物线y2＝2x上移动，则·的最小值等于________．
【解析】设P，则y2＝2x，因为A，B，
所以·＝·＝·＝x2＋y2－9＝x2＋2x－9＝－10，故当x＝0时，取得最小值为－9.
答案：－9
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11
-第2课时 抛物线方程及性质的应用
新课程标准
学业水平要求
掌握抛物线的几何性质及其应用．
1.结合教材实例掌握直线和抛物线的位置关系的判定方法．(逻辑推理)2．能解决与弦长、中点相关的问题．(数学运算)3．掌握直线与抛物线等相关的综合问题．(数学运算、逻辑推理)
关键能力·合作学习
类型一 直线与抛物线的位置关系(逻辑推理)
1．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则( )
A.直线与抛物线有一个公共点
B.直线与抛物线有两个公共点
C.直线与抛物线有一个或两个公共点
D.直线与抛物线可能没有公共点
【解析】选C.直线方程可化为y＝k(x－1)，因此直线恒过定点(1，0)，点(1，0)在抛物线y2＝2px(p>0)的内部，因此直线与抛物线有一个或两个公共点．
2．已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2，1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
【解析】由题意，直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，
由方程组
可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0①.
Ⅰ：当k＝0时，由方程①得y＝1，
把y＝1代入y2＝4x，得x＝，
这时，直线l与抛物线只有一个公共点.
Ⅱ：当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1).
a.由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝，所以方程①只有一个解，从而方程组(
)只有一个解，这时直线l与抛物线只有一个公共点．
b.由Δ>0，即2k2＋k－1<0，解得－1于是，当－1)有两个解，这时直线l与抛物线有两个公共点．
c.由Δ<0，即2k2＋k－1>0，解得k<－1或k>.于是k<－1或k>时，方程①没有实数解，从而方程组(
)没有解，直线l与抛物线无公共点．
综上，当k＝0或k＝－1或k＝时，直线l与抛物线只有一个公共点．
当－1当k<－1或k>时，直线l与抛物线无公共点．
直线与抛物线位置关系的判断方法
设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.
(1)若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
(2)若k2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．
类型二 与弦长、中点有关的问题(数学运算)
【典例】1.已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，抛物线C的方程为________．
【思路导引】
设出抛物线方程，列方程组求得A，B两点坐标，利用中点坐标公式求得所设抛物线方程中的参数．
【解析】设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，
由方程组得交点为A(0，0)，B(a，a)，
而点P(2，2)是AB的中点，从而有a＝4，故所求抛物线的方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x
2．已知抛物线的顶点在原点，过点A(－4，4)且焦点在x轴．
(1)求抛物线方程；
(2)直线l过定点B(－1，0)，与该抛物线相交所得弦长为8，求直线l的方程．
【思路导引】
(1)设出抛物线方程，求出其中的参数．
(2)分斜率存在与不存在两种情况求解．
【解析】
(1)设抛物线方程为y2＝－2px，抛物线过点(－4，4)，42＝－2p(－4)，得p＝2，则y2＝－4x.
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1
与抛物线交于(－1，－2)，(－1，2)，弦长为4，不合题意．
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线为y＝k(x＋1)，
y2＝－4x
))
消去y得k2x2＋(2k2＋4)x＋k2＝0，x1＋x2＝－，x1x2＝1.
弦长为×＝8，解得k2＝1，
得k＝±1，所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.
中点弦问题解题策略
(1)过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，则AB所在直线的方程为________．
(2)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1①求该抛物线的方程；
②O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．
【解析】(1)方法一：设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有y＝8x1，y＝8x2，
所以(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2).
又y1＋y2＝2，所以y1－y2＝4(x1－x2)，
即4＝，所以k＝4.
所以所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，
即4x－y－15＝0.
方法二：设弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.
联立消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标，由根与系数的关系得y1＋y2＝.
又y1＋y2＝2，所以k＝4.
所以所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.
(2)①直线AB的方程是y＝2·，
与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝，
由抛物线定义得：AB＝x1＋x2＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
②由p＝4，4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，
B(4，4)；设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝
(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
类型三 抛物线性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)
【典例】如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)求抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．
【思路导引】第(1)问可以利用待定系数法解决；第(2)问关键是如何将PA与PB两条直线的倾斜角互补与直线AB的斜率联系起来．
【解析】(1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1，2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
所以kPA＝－kPB，
即＝－.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，
所以x1＝
eq
\f(y,4)
，x2＝
eq
\f(y,4)
，
从而有
eq
\f(y1－2,\f(y,4)－1)
＝－
eq
\f(y2－2,\f(y,4)－1)
，即＝－，
得y1＋y2＝－4，
故直线AB的斜率kAB＝＝＝－1.
应用抛物线性质解题的常用技巧
(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．
(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．
(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．
(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．
在平面直角坐标系xOy中，设点F(1，0)，直线l：x＝－1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
(1)求动点Q的轨迹方程；
(2)记Q的轨迹为曲线E，过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为AB，CD，设AB，CD的中点分别为点M，N，求证：直线MN过定点(3，0).
【解析】(1)因为点F(1，0)，直线l：x＝－1，所以点R是线段FP的中点，由此及RQ⊥FP知，RQ是线段FP的垂直平分线．因为PQ是点Q到直线l的距离，而PQ＝QF，所以动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝4x(x>0).
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，直线AB：x＝my＋1(m≠0)，
则消去x得y2－4my－4＝0.
于是，有yM＝＝2m，
xM＝m·yM＋1＝2m2＋1，即M(2m2＋1，2m).
同理，N.
因此，直线MN的斜率kMN＝
＝，直线MN的方程为y－2m＝(x－2m2－1)，
即mx＋(1－m2)y－3m＝0.
显然，不论m为何值，(3，0)均满足方程，所以直线MN过定点(3，0).
课堂检测·素养达标
1．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－
B．－1
C．－
D．－
【解析】选C.因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2，3)在准线上，故－＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2，0)，这时直线AF的斜率kAF＝＝－.
2．已知直线y＝kx＋m与抛物线y2＝4x相交于P，Q两点，线段PQ的中点坐标为(x0，2)，则k等于________．
【解析】由题意，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，代入抛物线的方程，
可得
eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝4x1,y＝4x2))
，
两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
所以k＝＝＝＝1.
答案：1
3．(教材二次开发：练习改编)已知抛物线y2＝8x，过动点M(a，0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若AB≤8，则实数a的取值范围是________．
【解析】将l的方程y＝x－a代入y2＝8x，
得x2－2(a＋4)x＋a2＝0，则Δ＝4(a＋4)2－4a2>0，
所以a>－2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2(a＋4)，x1x2＝a2，
所以AB＝＝≤8，
即≤1.又AB>0，所以－2答案：(－2，－1]
4．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________.
【解析】因为抛物线的焦点为F(1，0)，
设A
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,4)，y0))
，
则＝
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,4)，y0))
，＝
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,4)，－y0))
，
由·＝－4得y0＝±2，
所以点A的坐标是(1，2)或(1，－2).
答案：(1，2)或(1，－2)
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9
-第三课 圆锥曲线与方程
思维导图·构建网络
考点整合·素养提升
题组训练一 圆锥曲线的定义及应用
1．已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．以上都不对
【解析】选C.把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝.
所以动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．
所以点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．
2．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为__________．
【解析】设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
因为AB过点F1且A，B在椭圆上，如图所示，则△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝AF1＋AF2＋BF1＋BF2＝4a＝16，所以a＝4.
又离心率e＝＝，
所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝8，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
“回归定义”解题的三点应用
应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．
题组训练二 圆锥曲线的方程
1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是( )
A．＋＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
【解析】选D.由题意得，解得，
则b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.
2．抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点P在l上，线段PF与抛物线C交于点A，若＝，点A到y轴的距离为1，则抛物线C的方程为( )
A．x2＝4y
B．x2＝3y
C．x2＝2y
D．x2＝y
【解析】选C.由题可知点F，P，
因为点A到y轴的距离为1，且A在抛物线上，
所以不妨设点A，
因为＝，
所以－＝，
解得p＝或－(舍去).
所以抛物线的方程为x2＝2y.
3．已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
【解析】由题意得，解得，
则b2＝c2－a2＝3，因此双曲线方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
求圆锥曲线方程的一般步骤
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定型，后定式，再定量”的步骤．
(1)定型——二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．
(2)定式——根据“型”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0).
(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小．
题组训练三 圆锥曲线的几何性质
1．如图所示，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )
A.
B．
C．
D．
【解析】选D.由椭圆可知AF1＋AF2＝4，
F1F2＝2.
因为四边形AF1BF2为矩形，
所以AF＋AF＝F1F＝12，
所以2AF1·AF2＝(AF1＋AF2)2－(AF＋AF)＝16－12＝4，
所以(AF2－AF1)2＝AF＋AF－2AF1·AF2＝12－4＝8，
所以AF2－AF1＝2，
因此对于双曲线有a＝，c＝，
所以C2的离心率e＝＝.
2．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________．
【解析】设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2，则e1＝，e2＝.
因为e1·e2＝，
所以＝，
即＝，
所以＝.
故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.
答案：x±y＝0
求解离心率的三种方法
(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．
(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．
(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．
题组训练四 直线与圆锥曲线的位置关系
1．若点A为抛物线y＝x2的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B，C两点，则·＝( )
A．－3
B．3
C．－4
D．4
【解析】选A.由题意可得A(0，0)，抛物线的焦点为(0，1)，所以直线BC的方程为：y＝kx＋1，联立可得x2－kx－1＝0，设B，C，
则x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4，
所以y1y2＝＝k2x1x2＋k＋1，
所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k＋1
＝×＋4k2＋1＝－3.
2．(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8，P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
【解析】(1)依据题意作图如图所示：
由题设得A(－a，0)，B(a，0)，G(0，1).
则＝(a，1)，＝(a，－1).
由·＝8得a2－1＝8，即a＝3.
所以E的方程为＋y2＝1.
(2)设P，则直线AP的方程为：y＝，
即：y＝，
联立直线AP的方程与椭圆方程可得：
整理得：
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋9))
x2＋6yx＋9y－81＝0，
解得：x＝－3或x＝
eq
\f(－3y＋27,y＋9)
，
将x＝
eq
\f(－3y＋27,y＋9)
代入直线y＝可得：y＝
eq
\f(6y0,y＋9)
，
所以点C的坐标为
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3y＋27,y＋9)，\f(6y0,y＋9)))
.
同理可得：点D的坐标为
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3y－3,y＋1)，\f(－2y0,y＋1)))
，
所以直线CD的方程为：
y－
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2y0,y＋1)))
＝
eq
\f(\f(6y0,y＋9)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2y0,y＋1))),\f(－3y＋27,y＋9)－\f(3y－3,y＋1))
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3y－3,y＋1)))
，
整理可得：
y＋
eq
\f(2y0,y＋1)
＝
eq
\f(8y0\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋3)),6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－y)))
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3y－3,y＋1)))
＝
eq
\f(8y0,6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－y)))
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3y－3,y＋1)))
，
整理得：y＝
eq
\f(4y0,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－y)))
x＋
eq
\f(2y0,y－3)
＝
eq
\f(4y0,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－y)))
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))
故直线CD过定点.
直线与圆锥曲线的三种位置关系
将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：
(1)相交：Δ>0?直线与椭圆相交；Δ>0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．
(2)相切：Δ＝0?直线与椭圆相切；Δ＝0?直线与双曲线相切；Δ＝0?直线与抛物线相切．
(3)相离：Δ<0?直线与椭圆相离；Δ<0?直线与双曲线相离；Δ<0?直线与抛物线相离．
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