第5章 导数及其应用
5．1 导数的概念
5．1.1 平均变化率
必备知识·自主学习
导思
1.什么是平均变化率？2.平均变化率的意义是什么？
平均变化率
(1)表示：函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为．
(2)意义：平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．
微提醒 函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率也可为，要注意分子、分母的匹配．
(1)平均变化率只能是正数吗？
提示：不一定．平均变化率可正、可负、可以为0.
(2)平均变化率不能准确量化一段曲线的陡峭程度吗？
提示：平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但当Δx很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的变化量Δx可取任意实数．( )
(2)利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，效果是“粗糙不精确的”．( )
(3)平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在相应区间上越“陡峭”，反之亦然．( )
提示：(1)×.在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的变化量Δx可以是正数，也可以是负数，但不为0.
(2)√ (3)√
2．自变量x从2变到3时，函数f(x)＝3x－1的函数值的增量与相应自变量的增量之比等于( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
【解析】选D.自变量x从2变到3时，函数f(x)＝3x－1的函数值的增量为8－5＝3，故增量之比等于3.
3．某物体的位移公式为s＝s(t)，从t0到t0＋Δt这段时间内下列理解正确的是( )
A．(t0＋Δt)－t0称为函数值增量
B．t0称为函数值增量
C．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)称为函数值增量
D．称为函数值增量
【解析】选C.由自变量的变化量、函数值的变化量、平均变化率的概念易得C正确．
4．若函数f(x)＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m等于________.
【解析】平均变化率为＝＝＝m＋1，令m＋1＝3，得m＝2.
答案：2
关键能力·合作学习
类型一 求函数的平均变化率(数学运算)
1．函数f(x)＝在[2，6]上的平均变化率为________．
2．求y＝f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．
【解析】1.因为Δy＝f(6)－f(2)，
所以
＝
＝＝－.
答案：－
2．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－(2x＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
所以函数f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝4x0＋2Δx，当x0＝1，Δx＝时，平均变化率为4×1＋2×＝5.
1．求函数y＝f(x)从x0到x的平均变化率的步骤
(1)求自变量的改变量Δx＝x－x0.
(2)求函数值的改变量Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0).
(3)求平均变化率＝.
2．求平均变化率的注意点
(1)要注意Δx，Δy的值可正、可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常数函数，则Δy＝0.
(2)求点x0附近的平均变化率可用表示．
提醒：平均变化率一定是相对某一区间而言的，一般地，区间不同，平均变化率也不同．
【补偿训练】
已知一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在时间[3，3＋Δt]内的平均速度是( )
A．(5＋Δt)(m/s) B．[5＋(Δt)2](m/s)
C．[5(Δt)2＋Δt](m/s)
D．5(Δt)2(m/s)
【解析】选A.因为Δs＝1－(3＋Δt)＋(3＋Δt)2－(1－3＋32)
＝(Δt)2＋5Δt，所以物体在时间[3，3＋Δt]内的平均速度是
＝＝(Δt＋5)(m/s).Ｋ
类型二 函数平均变化率的应用(数学抽象)
【典例】1.在山地自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s(t)＝t＋t2(位移单位：m，时间单位：s).则10
s后的0.1
s内运动员的平均速度为________.
2．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝πr3.
(1)求半径r关于体积V的函数r(V).
(2)求体积V从0
L增加到1
L和从1
L增加到2
L时，半径r的平均变化率(精确到0.01).
【思路导引】1.
??Δs＝s(10.1)－s(10)，Δt＝0.1.
2．(1)求半径r关于体积V的函数r(V)?V＝πr3.
(2)半径r(V)的平均变化率??Δr，ΔV.
【解析】1.Δs＝(10＋0.1)＋(10＋0.1)2－10－102＝2.11，
所以＝＝21.1(m/s).
故10
s后的0.1
s内运动员的平均速度为21.1
m/s.
答案：21.1
m/s
2．(1)因为V＝πr3，所以r3＝，r＝，
所以r(V)＝.
(2)函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率为
＝＝≈0.62(dm/L)，
函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率为
＝＝－≈0.16(dm/L).
1．典例2(2)的求解结果可说明什么意义？
【解析】显然体积V从0
L增加到1
L时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．
2．典例2(1)改为求气球半径r关于表面积S的函数r(S).
【解析】因为S＝4πr2，所以r＝＝.
所以r(S)＝.
平均变化率的应用
提醒：解决问题仍需抓住本质，利用平均变化率的概念解题．
正弦函数y＝sin
x在区间和内的平均变化率较大的是________．
【解析】Δy1＝sin
－sin
0＝，所以正弦函数y＝sin
x在区间上的平均变化率为＝，
又因为Δy2＝sin
－sin
＝1－，
所以正弦函数y＝sin
x在区间上的平均变化率为＝＝(2－)，
因为1>2－，故>(2－)，所以前者大．
答案：
课堂检测·素养达标
1．函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝( )
A．f(x0＋Δx)
B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·Δx
D．f(x0＋Δx)－f(x0)
【解析】选D.Δy看作相对于f(x0)的“增量”，
可用f(x0＋Δx)－f(x0)代替．
2．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间[3，3＋Δt]中，相应的平均速度等于( )
A．6＋Δt
B．12＋Δt＋
C．12＋2Δt
D．12
【解析】选C.＝
＝12＋2Δt.
3．向半径为r的球内吹气，如果球的半径增加Δr，那么球的体积增量ΔV等于多少？
【解析】由球的体积计算公式得ΔV＝[(r＋Δr)3－r3]＝·[3r2＋3r·Δr＋(Δr)2]Δr.
4．某商户2019年上半年的销售收入如图所示，试说明该商户1月到2月和2月到6月的经营情况．
【解题指南】求解此类问题，学会识图是关键．
【解析】1月到2月，销售收入的平均变化率为＝4(万元/月)，
2月到6月，销售收入的平均变化率为＝1.5(万元/月).因为4＞1.5，故可说明该商户1月到2月的销售情况较好，2月到6月销售迟缓．
PAGE
-
7
-5．1.2 瞬时变化率——导数
必备知识·自主学习
导思
1.什么是割线的斜率？什么是切线的斜率？两者有何联系？2.导数和导函数如何定义的？
1．曲线上某点处的割线与切线
名称
割线
切线
定义
设点Q为曲线C上不同于P的一点，则直线PQ称为曲线的割线
当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线
斜率
设曲线C上一点P(x，f(x))，另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝
当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时，无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率
微提醒 经历割线逼近切线的过程，体会“局部以直代曲”和“无限逼近”的数学思想．
2．瞬时速度和瞬时加速度
(1)瞬时速度
如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度；
(2)瞬时加速度：如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度．
微提醒 瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率．
3．导数
某点处的导数
定义
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．可用符号“→”表示“无限趋近于”
几何意义
导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率
微提醒 (1)f′(x0)是一种新的记号，表示函数f(x)在x＝x0处的导数．
(2)瞬时速度：运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即v(t)＝S′(t).
(3)瞬时加速度：运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即a(t)＝v′(t).
4．导函数
(1)导函数的定义
若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数．
(2)f′(x0)的意义
f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．
微提醒 f′(x)也是一个函数，称为f(x)的导函数．
(1)曲线在某一点处的切线与曲线只能有一个公共点吗？
提示：不是．如y＝x3在点(1，1)处的切线与曲线有2个公共点．
(2)求f(x)在x＝x0处的导数的一般步骤是什么？
提示：①求Δy；②求；③当Δx→0时，＝→A(常数)，则常数A即为f(x)在x＝x0处的导数．
(3)如何理解f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)?
提示：f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是函数f′(x)在x＝x0处的函数值，而不是f(x0)的导数．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点x＝x0处的函数值．( )
(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值．( )
(3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．( )
(4)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．( )
提示：(1)×.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值．
(2)×.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线倾斜角的正切值．
(3)√.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
(4)×.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，不是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．
2．一质点按规律s＝2t3运动，则其在t＝2时的瞬时速度等于( )
A．2
B．8
C．16
D．24
【解析】选D.Δs＝2×(2＋Δt)3－2×23
＝24Δt＋12(Δt)2＋2(Δt)3，
所以＝24＋12Δt＋2(Δt)2，
当Δt→0时，→24.
3．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x0)＞0
B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0
D．f′(x0)不存在
【解析】选B.切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－，
即f′(x0)＝－＜0.
4．一个物体的运动满足速度方程v(t)＝4t2＋2t－3(速度单位：m/s，时间单位：s)，且v′(5)＝42
m/s2，其实际意义是________________________．
【解析】物体在5
s时的瞬时加速度为42
m/s2，即此刻每经过1
s，物体运动的速度增加42
m/s.
答案：物体在5
s时的瞬时加速度是42
m/s2
5．函数y＝x2＋1在x＝2处的导数为________．
【解析】＝＝
＝Δx＋4，
当Δx→0时，Δx＋4→4，
所以y＝x2＋1在x＝2处的导数为4.
答案：4
关键能力·合作学习
类型一 利用定义求导数(数学抽象、数学运算)
【典例】1.已知点P(2，8)是曲线y＝2x2上一点，则P处的瞬时变化率为________．
2．已知函数f(x)在x＝x0处的导数为11，则当Δx→0时，→________．
3．求函数y＝f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
【思路导引】1.瞬时变化率?，Δx→0?Δy，Δx.
2．f(x)在x＝x0处的导数为11?f′(x0)＝11.
3．导数?，Δx→0?Δx，Δy.
【解析】1.Δy＝2(2＋Δx)2－2×22＝8Δx＋2(Δx)2，＝＝8＋2Δx，当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数8.
答案：8
2．当Δx→0时，
＝·(－2)→－2·f′(x0)，
又f′(x0)＝11，所以→－22.
答案：－22
3.＝＝3－Δx，
当Δx→0时，→3.
求导时应关注的两点技巧
(1)写出函数，确定x0的值．
(2)分析Δx趋于0时，在中，只要有意义，就可以把“Δx趋于0”看作“Δx＝0”以确定的值．
提醒：函数f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)就是其在点(x0，f(x0))处的瞬时变化率．
求函数y＝f(x)＝3x－在x＝1处的导数f′(1).
【解析】因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝3(1＋Δx)－－1＝2＋3Δx－
＝3Δx＋，
所以＝＝3＋，
当Δx→0时，→5，所以f′(1)＝5.
类型二 曲线上一点处的切线方程(数学运算)
【典例】1.已知抛物线y＝ax2＋bx－7过点(1，1)，且在点(1，1)处的抛物线的切线方程为y＝4x－3，求a，b的值．
2．求曲线y＝f(x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线方程．
【思路导引】1.切线方程?切点的坐标，斜率?横坐标为1的点处的导数?，Δx→0.
2．先求函数值的增量Δy，再求，当Δx→0时，得f′(x).
【解析】1.＝＝＝2ax＋b＋a·Δx，当Δx→0时，→2ax＋b，
所以f′(x)＝2ax＋b，所以f′(1)＝2a＋b，依据题意可得解得a＝－4，b＝12.
2．因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2Δx＋
(Δx)2，所以＝2＋Δx，当Δx→0时，f′(1)＝2.
所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
求曲线上一点处切线方程的三个步骤
提醒：注意问题是求在某一点处的切线方程还是求过某一点处的切线方程．
【拓展延伸】求过曲线y＝f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤
(1)设切点(x0，f(x0)).
(2)利用所设切点求斜率k＝f′(x0).
(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率．
(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k.
(5)根据点斜式写出切线方程．
(6)将切线方程化为一般式．
已知抛物线y＝2x2，则抛物线在x＝1处的切线方程为________．
【解析】因为＝＝＝4＋2Δx，当Δx→0时，4＋2Δx→4，所以f′(1)＝4.因为
x＝1，所以f(1)＝2，切点为(1，2)，所以切线方程为y－2＝4(x－1)，
即4x－y－2＝0.
答案：4x－y－2＝0
类型三 求切点的坐标(数学运算)
【典例】已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．
【思路导引】切线互相平行?斜率相等?在x0处的导数相等?，Δx→0?检验．
【解析】对于曲线y＝x2－1在x＝x0处，
＝
eq
\f([（x0＋Δx）2－1]－（x－1）,Δx)
＝＝2x0＋Δx，
当Δx→0时，→2x0.
即y＝x2－1在x＝x0处的导数y′＝2x0.
对于曲线y＝1－x3在x＝x0处，
＝
eq
\f([1－（x0＋Δx）3]－（1－x）,Δx)
＝
eq
\f(－3xΔx－3x0（Δx）2－（Δx）3,Δx)
＝－3x－3x0·Δx－(Δx)2，
当Δx→0时，→－3x，
即y＝1－x3在x＝x0处的导数y′＝－3x，
又y＝1－x3与y＝x2－1在x＝x0处的切线互相平行，
所以2x0＝－3x，
解得x0＝0或x0＝－.
当x0＝0时，两条切线的斜率k＝0，
当x0＝－时，两条切线的斜率k＝－，均符合题意，所以x0＝0或－.
切点问题的处理方法
(1)借斜率先求横坐标：由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标．
(2)与几何知识相联系：解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，两直线平行或垂直与斜率的关系等．
提醒：函数在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率就是函数在x＝x0处的导数．
已知曲线y＝x2上某一点的切线满足下列条件，求此点坐标．
(1)平行于直线y＝4x－5.
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0.
(3)与x轴正半轴成135°的倾斜角．
【解析】设P(x0，y0)是满足条件的点．
＝
eq
\f(（x0＋Δx）2－x,Δx)
＝2x0＋Δx，
当Δx→0时，2x0＋Δx→2x0.
(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，
所以2x0＝4，得x0＝2，y0＝4，即P(2，4).
(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，
所以2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，即P.
(3)因为切线与x轴正半轴成135°的倾斜角，
所以k＝－1，则2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，
即P.
课堂检测·素养达标
1．已知曲线y＝－x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．165°
【解析】选C.因为点P在曲线y＝f(x)＝－x2－2上，所以＝＝－Δx－1，当Δx→0时，－Δx－1→－1.所以在点P处的切线斜率为k＝f′(1)＝－1，所以在点P处的切线的倾斜角为135°.
2．曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为________．
【解析】＝＝＝，
当Δx→0时，→－.所以切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.
答案：x＋2y＋4＝0
3．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为________．
【解析】因为Δy＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)＋1－3x－6x0－1＝6x0·Δx＋3(Δx)2＋6Δx，
所以＝6x0＋3Δx＋6，
当Δx→0时，→6x0＋6，
故6x0＋6＝0，
所以x0＝－1，y0＝－2.
答案：(－1，－2)
4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋7，则f(6)＋f′(6)＝__________.
【解题指南】f′(6)即在点P处切线的斜率，f(6)可利用直线方程求值．
【解析】f(6)＋f′(6)＝－×6＋7＋＝.
答案：
PAGE
-
11
-5．2 导数的运算
5．2.1 基本初等函数的导数
必备知识·自主学习
导思
1.如何用导数的定义求基本初等函数的导数？2.基本初等函数的导数公式是什么？
1.几个常见函数的导数
f(x)
kx＋b
C(C为常数)
x
x2
x3
f′(x)
k
0
1
2x
－
3x2
微提醒 常数的导数为0.
2．基本初等函数的导数公式
(xα)′＝αxα－1(α为常数)
(ln
x)′＝
(ax)′＝ax__ln__a(a＞0，且a≠1)
(sin
x)′＝cos
x
(logax)′＝(a＞0，且a≠1)
(cos
x)′＝－sin
x
(ex)′＝ex
(1)函数f(x)＝ax的导数与函数f(x)＝ex的导数之间有什么关系？
提示：f(x)＝ex是底数为e的指数函数，是特殊的指数函数，所以其导数f′(x)＝ex也是f′(x)＝ax
ln
a当a＝e时的特殊情况．
(2)函数f(x)＝logax与f(x)＝ln
x的导数之间有何关系？
提示：f(x)＝ln
x是f(x)＝logax的一个特例，f(x)＝ln
x的导数也是f(x)＝logax的导数的特例．
(3)若f′(x)＝ex，则f(x)＝ex这种说法正确吗？
提示：不正确．由导数定义可知f(x)＝ex＋C(其中C为任意实数)，都有f′(x)＝ex.
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)f(x)＝0，则f′(x)＝0.( )
(2)若f(x)＝ln
x，则f′(e)＝1.( )
(3)若(3x)′＝x·3x－1.( )
(4)(x4)′＝x4ln
4.( )
提示：(1)√.因为f(x)＝0是一个常数函数，所以f′(x)＝0.
(2)×.f(x)＝ln
x时，f′(x)＝，所以f′(e)＝≠1.
(3)×.函数y＝3x是指数函数，其导数应为(3x)′＝3xln
3.
(4)×.函数y＝x4是幂函数，其导数为(x4)′＝4x3.
2．若函数y＝10x，则y′|x＝1等于( )
A．
B．10
C．10ln
10
D．
【解析】选C.因为y′＝10xln
10，所以y′|x＝1＝10ln
10.
3．(教材练习改编)曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．
【解析】k＝
＝
＝
＝[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.
答案：3
关键能力·合作学习
类型一 利用导数公式计算导数(数学抽象、数学运算)
1．f(x)＝a3(a>0，a≠1)，则f′(2)＝( )
A．8
B．12
C．8ln
3
D．0
【解析】选D.f(x)＝a3(a>0，a≠1)是常数函数，
所以f′(x)＝0，所以f′(2)＝0.
2．已知f(x)＝，则f′(1)＝( )
A．1
B．－1
C．3
D．－3
【解析】选D.f(x)＝＝x－3，所以f′(x)＝－3x－4，
所以f′(1)＝－3.
3．(多选题)下列结论正确的为( )
A．y＝ln
2，则y′＝
B．y＝，则y′|x＝3＝－
C．y＝2x，则y′＝2x·ln
2
D．y＝log2x，则y′＝
【解析】选BCD.由导数的运算公式可知，有y＝ln
2，则y′＝0，所以选项A错误，其他选项均正确．
运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项
(1)对于简单的函数，直接套用公式；
(2)对于较为复杂，不能直接套用公式的，可先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再求导．
【补偿训练】
1.已知f(x)＝xα(α∈Q
)，若f′(1)＝，则α等于( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选D.因为f(x)＝xα，所以f′(x)＝αxα－1，
所以f′(1)＝α＝.
2．函数f(x)＝sin
x，则f′(6π)＝________．
【解析】f′(x)＝cos
x，所以f′(6π)＝1.
答案：1
类型二 导数公式的应用(数学抽象、数学运算)
【典例】求过曲线y＝sin
x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．
四步
内容
理解题意
条件：①曲线y＝sin
x；②曲线y＝sin
x上点P结论：求与过这点的切线垂直的直线方程
思路探求
先求切线的斜率，再求垂线的斜率，最后求出垂线的方程
书写表达
因为y＝sin
x，所以y′＝cos
x，曲线在点P处的切线斜率是：y′|x＝cos
＝，所以过点P且与过这点的切线垂直的直线的斜率为－，故所求的直线方程为y－＝－，即2x＋y－－＝0.
题后反思
导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
1．(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1
B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3
D．y＝2x＋1
【解析】选B.因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，所以f(1)＝－1，f′(1)＝－2，因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
2．曲线y＝在点M(3，3)处的切线方程是________．
【解析】因为y′＝－，所以y′|x＝3＝－1，
所以过点(3，3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.
答案：x＋y－6＝0
3．水波的半径以0.5
m/s的速度向外扩张，当半径为25
m时，水波面积的膨胀率是________．
【解析】因为水波的半径扩张速度为0.5
m/s，故水波面积为S＝πr2＝π(vt)2＝πt2，故水波面积的膨胀率为S′＝πt.当水波的半径为25
m时，由vt＝25，解得t＝50，即可得S′＝π×50＝25π.
答案：25π
类型三 与切线方程有关的问题(数学抽象、数学运算)
角度1 求切点坐标及参数值
【典例】若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，求切点坐标及b的值．
【思路导引】由切线的斜率即可求出切点坐标；由切点坐标即可求出b的值．
【解析】设P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝ex0，
所以ex0＝1，即x0＝0，所以点P(0，1).
由点P(0，1)在直线y＝x＋b上可知b＝1.
若点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
【解析】如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，所以ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1).
利用点到直线的距离公式得最小距离为.
角度2 与切线有关的简单应用
【典例】曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．
【解析】因为y′＝(ex)′＝ex，所以k＝e2，
所以曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.
当x＝0时，y＝－e2，
当y＝0时，x＝1，所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S＝×1×|－e2|＝e2.
答案：e2
与切线有关问题的解题策略
1．明确切点，若切点为(x0，y0)，则切线的斜率k＝f′(x0).
2．切线方程一般可用点斜式求解．
3．结合题设条件得出所求的代数式或方程．
1．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
A．(1，1)
B．(－1，－1)
C．(－1，1)
D．(1，1)或(－1，－1)
【解析】选D.切线的斜率k＝tan
π＝－1，
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，
又f′(x)＝－，所以－
eq
\f(1,x)
＝－1，所以x0＝1或－1，
所以切点坐标为(1，1)或(－1，－1).
2．已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．
【解析】依题意知，f(1)＝×1＋2＝，
f′(1)＝，所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
答案：3
3．直线y＝x＋b是曲线y＝ln
x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________．
【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln
x0.
因为y′＝(ln
x)′＝，
由题意知＝，
所以x0＝2，y0＝ln
2.由ln
2＝×2＋b，得b＝ln
2－1.
答案：ln
2－1
课堂检测·素养达标
1．若f(x)＝cos
，则f′(x)为( )
A．－sin
B．sin
C．0
D．－cos
【解析】选C.f(x)＝cos
＝，故f′(x)＝0.
2．函数y＝mx2m－n的导数为y′＝4x3，则( )
A．m＝－1，n＝－2
B．m＝－1，n＝2
C．m＝1，n＝2
D．m＝1，n＝－2
【解析】选D.因为y＝mx2m－n，所以y′＝m(2m－n)x2m－n－1，又y′＝4x3，所以
所以
即
3．(多选题)下列选项中是正确结论的有( )
A．(sin
x)′＝cos
x
B．(x)′＝x
C．(log3x)′＝
D．(ln
x)′＝
【解析】选AD.对于选项A，因为(sin
x)′＝cos
x，故正确；对于选项B，因为(x)′＝x，故错误；对于选项C，因为(log3x)′＝，故错误；对于选项D，因为(ln
x)′＝，故正确．
4．(教材二次开发：练习改编)已知f(x)＝x2，g(x)＝ln
x，若f′(x)－g′(x)＝1，求x的值．
【解析】因为f(x)＝x2，g(x)＝ln
x，
所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，
f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，
解得x＝1或x＝－(舍去)，故x＝1.
5．若质点P的运动方程是s＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8
s时的瞬时速度．
【解析】因为s′＝()′＝′＝t－，
所以s′|t＝8＝×8－＝×2－1＝，
所以质点P在t＝8
s时的瞬时速度为
m/s.
PAGE
-
9
-5．2.2 函数的和、差、积、商的导数
5．2.3 简单复合函数的导数
必备知识·自主学习
导思
1.导数的四则运算是如何进行的？有何种运算法则？2.复合函数是如何定义的？怎样求复合函数的导数？
1.导数的四则运算法则
和、差的导数
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
积的导数
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)
商的导数
′＝(g(x)≠0)
(1)如果f(x)的导数为f′(x)，c为常数，则函数f(x)＋c的导数是什么？
提示：由于常函数的导数为0，即(c)′＝0，由导数的运算法则1，得[f(x)＋c]′＝f′(x).
(2)如果f(x)的导数为f′(x)，c为常数，则函数cf(x)的导数是什么？
提示：由于常函数的导数为0，即(c)′＝0，由导数的运算法则2，得[cf(x)]′＝cf′(x).
(3)两个函数的和(差)的导数运算法则能否推广到多个函数的和(差)的导数情形？
提示：能推广．容易证明：[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f′1(x)＋f′2(x)＋…＋f′n(x).
2．复合函数及其导数
(1)定义：一般地，对于两个函数y＝f和u＝g，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f和u＝g的复合函数，记作y＝f.
(2)求导法则：对于复合函数y＝f，y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
(1)对函数y＝求导时如何选取中间变量？
提示：对于函数y＝，可令u＝3x＋1，
y＝u－4；也可令u＝(3x＋1)4，y＝.
显然前一种形式更有利于计算．
(2)函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
提示：函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)若y＝x＋，则y′＝1＋.( )
(2)若y＝x2cos
x，则y′＝－2x
sin
x．( )
(3)若y＝，则y′＝－cos
x．( )
(4)若y＝3x2－e2x，则y′＝6x－2ex.( )
提示：(1)×.由y＝x＋，得y′＝1－.
(2)×.由y＝x2
cos
x，得y′＝2x
cos
x－x2
sin
x.
(3)×.由y＝，得y′＝.
(4)×.根据导数四则运算法则，y′＝(3x2)′－(e2x)′＝6x－2e2x.
2．已知函数f(x)＝cos
x＋ln
x，则f′(1)的值为( )
A．1－sin
1
B．1＋sin
1
C．sin
1－1
D．－sin
1
【解析】选A.因为f′(x)＝－sin
x＋，
所以f′(1)＝－sin
1＋＝1－sin
1.
3．(教材例题改编)函数y＝ln
(x－2)的导数是________．
【解析】因为y＝ln
(x－2)，所以y′＝[ln
(x－2)]′＝·(x－2)′＝.
答案：y′＝
4．函数y＝是由________三个函数复合而成的．
【解析】设v＝sinx，则y＝，设u＝v2＋1，则y＝.而y＝为基本初等函数．
答案：y＝，u＝v2＋1，v＝sin
x
关键能力·合作学习
类型一 利用运算法则求函数的导数(数学抽象、数学运算)
1．设y＝－2exsin
x，则y′等于( )
A．－2excos
x
B．－2exsin
x
C．2exsin
x
D．－2ex(sin
x＋cos
x)
【解析】选D.因为y＝－2exsin
x，
所以y′＝－2exsin
x－2excos
x＝－2ex(sin
x＋cos
x).
2．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )
A．－1
B．－2
C．2
D．0
【解析】选B.因为f′(x)＝4ax3＋2bx，所以f′(1)＝4a＋2b＝2，所以f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.
3．(2021·徐州高二检测)已知函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝( )
A．－4
B．4
C．－2
D．2
【解析】选A.由f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，则f′(1)＝2×1＋2f′(1)，解得f′(1)＝－2，令x＝0，所以f′(0)＝2×0＋2f′(1)＝－4.
4．(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝.若f′(1)＝，则a＝________．
【解析】由函数的解析式可得：
f′＝＝，
则f′＝＝，
所以＝，
所以a2－2a＋1＝0，解得：a＝1.
答案：1
利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．
(2)如果待求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
【补偿训练】
1.已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选B.因为f(x)＝ax3＋3x2＋2，
所以f′(x)＝3ax2＋6x，
又f′(－1)＝3a－6＝4，所以a＝.
2.′＝________．
【解析】′＝＝.
答案：
类型二 复合函数的导数(数学抽象、数学运算)
【典例】求函数y＝x·e1－2x的导数．
四步
内容
理解题意
条件：①函数是两个函数的积②其中一个函数是复合函数结论：求函数的导函数
思路探求
利用导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则，逐步求导
书写表达
y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x×(－2)＝(1－2x)e1－2x
题后反思
解决本题关键是正确区分所给函数是怎样构成的，以及是否存在复合函数
求复合函数的导数的步骤
提醒：(1)内、外层函数通常为基本初等函数．
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数的导数时的易错点．
(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁．
1．已知f(x)＝sin
2x＋e2x，则f′(x)＝( )
A．2cos
2x＋2e2x
B．cos
2x＋e2x
C．2sin
2x＋2e2x
D．sin
2x＋e2x
【解析】选A.根据题意，f(x)＝sin
2x＋e2x，则f′(x)＝2cos
2x＋2e2x.
2．已知f(x)＝ln
(2x＋1)－ax，且f′(2)＝－1，则a＝( )
A．
B．
C．－
D．－
【解析】选A.f′(x)＝－a，
所以f′(2)＝－a＝－1，解得a＝.
3．(2021·徐州高二检测)下列求导运算正确的是( )
A．(2x2)′＝2x
B．(ex)′＝ex
C．(ln
x)′＝－
D．′＝1＋
【解析】选B.(2x2)′＝4x，(ex)′＝ex，(ln
x)′＝，′＝1－，只有B正确．
类型三 导数运算法则的综合应用(数学抽象、数学运算)
角度1 与切线有关的问题
【典例】曲线y＝ln
(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A．
B．2
C．3
D．0
【思路导引】可先设出曲线的切点坐标，求出与直线2x－y＋3＝0平行的切线方程，这两直线间的距离即为所求．
【解析】选A.设曲线y＝ln
(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
因为y′＝，所以y′|x＝x0＝＝2，
解得x0＝1，所以y0＝ln
(2－1)＝0，即切点坐标为(1，0).所以切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝ln
(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
本例中的条件变为“曲线y＝ln
(2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值．
【解析】由题意可知，设切点P(x0，y0)，则y′|x＝x0＝＝2，所以x0＝1，即切点P(1，0)，
所以＝2，解得m＝8或－12.
即实数m的值为8或－12.
eq
\a\vs4\al(
角度2)
与参数有关的问题
【典例】设f(x)＝ln
(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0，0)点相切．求a，b的值．
【思路导引】由曲线过(0，0)点可求得b的值；利用导数的几何意义求出切线的斜率，结合已知条件列等式可求得a的值．
【解析】由曲线y＝f(x)过(0，0)点，可得ln
1＋1＋b＝0，故b＝－1.
由f(x)＝ln
(x＋1)＋＋ax＋b，得f′(x)＝＋＋a，则f′(0)＝1＋＋a＝＋a，此即为曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线的斜率．由题意，得＋a＝，故a＝0.
利用导数的几何意义解题时的注意点
(1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出．
(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组．
(3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．
(4)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．
1．已知函数f(x)＝aex＋x＋b，若函数f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋3，则ab的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】选B.因为f′(x)＝aex＋1，所以f′(0)＝a＋1＝2，解得a＝1，f(0)＝a＋b＝1＋b＝3，
所以b＝2，所以ab＝2.
2．设P是曲线y＝x－x2－ln
x上的一个动点，记此曲线在P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．
【解析】由y＝x－x2－ln
x，得y′＝1－x－(x＞0)，
因为1－x－＝1－≤1－2＝－1，
当且仅当x＝1时等号成立．
所以y′≤－1，即曲线在P点处的切线的斜率小于或等于－1，
所以tan
θ≤－1，又θ∈[0，π)，
所以θ∈.
答案：
课堂检测·素养达标
1．函数f(x)＝ex＋x
sin
x－7x在x＝0处的导数等于( )
A．－6
B．6
C．－4
D．－5
【解析】选A.f′(x)＝(ex)′＋(x
sin
x)′－(7x)′
＝ex＋sin
x＋x
cos
x－7，
所以f′(0)＝e0－7＝－6.
2．下列函数不是复合函数的是( )
A．y＝－x3－＋1
B．y＝cos
C．y＝
D．y＝(2x＋3)4
【解析】选A.A中的函数是一个代数式函数，运用导数的四则运算求导，B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cos
u的复合函数，C中的函数可看作函数u＝ln
x，y＝的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数．
3．(多选题)(2021·长沙高二检测)已知函数f(x)＝x2＋f(0)·x－f′(0)·cos
x＋2，其导函数为f′(x)，则下列正确的是( )
A．f(0)＝－1
B．f′(0)＝1
C．f(0)＝1
D．f′(0)＝－1
【解析】选BC.因为f(x)＝x2＋f(0)·x－f′(0)·cos
x＋2，所以f(0)＝2－f′(0)，因为f′(x)＝2x＋f(0)＋f′(0)·sin
x，所以f′(0)＝f(0)，故f′(0)＝f(0)＝1.
4．(教材练习改编)已知f(x)＝ln
(3x－1)，则f′(1)＝________．
【解析】因为f′(x)＝，所以f′(1)＝＝.
答案：
5．设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________．
【解析】令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，a＝2.
答案：2
【补偿训练】
曲线y＝2sin
x＋cos
x在点(π，－1)处的切线方程为( )
A．x－y－π－1＝0
B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0
D．x＋y－π＋1＝0
【解析】选C.因为y′＝2cos
x－sin
x，所以y′|x＝π＝2cos
π－sin
π＝－2，则y＝2sin
x＋cos
x在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.
6．求函数y＝sinnx
cosnx的导数．
【解析】y′＝(sinnx)′cosnx＋sinnx(cosnx)′
＝n
sinn－1x·(sinx)′·cos
nx＋sinnx·(－sinnx)·(nx)′
＝n
sinn－1x·cosx·cos
nx－sinnx·sinnx·n
＝n
sinn－1x(cosx
cos
nx－sin
x
sin
nx)
＝n
sinn－1x
cos[(n＋1)x].
PAGE
-
11
-5．3 导数在研究函数中的应用
5．3.1 单调性
必备知识·自主学习
导思
1.函数的单调性与导函数值的正负有关系吗？如果有，有何种关系？2.函数图象的变化趋势与导数值的大小有何关系？
1.函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负之间的关系
在某个区间(a，b)上的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
函数f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)<0
函数f(x)在(a，b)上单调递减
(1)如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？
提示：f(x)是常数函数．
(2)在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的什么条件？
提示：充分不必要条件，如f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)＝3x2≥0.
(3)若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？
提示：f′(x)≥0(或f′(x)≤0).
2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一个函数f在某一范围内导数的绝对值为，则
函数值的变化
函数的图象
越大
在这一范围内变化得较快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
在这一范围内变化得较慢
比较“平缓”
某一范围内函数图象比较陡峭，是否导数值就较大？
提示：不是．导数值有正有负，当函数在某一区间为增函数，且图象较为陡峭时，其切线斜率即导数值越来越大；当函数在某一区间为减函数，且图象较为陡峭时，其切线斜率即导数值为负值，其绝对值越来越大，而导数值越来越小．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)函数f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)＜0，则函数f(x)在这个区间上单调递减．( )
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )
(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( )
(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．( )
提示：(1)√.函数f(x)在区间(a，b)上都有f′(x)＜0，所以函数f(x)在这个区间上单调递减，故正确．
(2)×.切线的“陡峭”程度与|f′(x)|的大小有关，故错误．
(3)√.函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致．
(4)√.若f′(x)≥0(≤0)，则函数f(x)在区间内单调递增(减)，故f′(x)＝0不影响函数单调性．
2．(教材练习改编)函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为__________．
【解析】因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1.
由f′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0.
所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).
答案：(0，＋∞)
3．求函数y＝x2－4x＋a的单调区间．
【解析】y′＝2x－4，令y′＞0，得x＞2；令y′＜0，得x＜2，所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2).
关键能力·合作学习
类型一 导数与函数图象的关系(数学抽象、数学直观)
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则( )
A．f′(3)>0
B．f′(3)<0
C．f′(3)＝0
D．f′(3)的正负不确定
【解析】选B.由图象可知，函数f(x)在(1，5)上单调递减，则在(1，5)上有f′(x)<0，故f′(3)<0.
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
【解析】选D.因为函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，所以当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.
3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的( )
【解析】选C.由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如表：
x
(-1,b)
(b,a)
(a,1)
f(x)
↘
↗
↘
f'(x)
-
+
-
由表可知函数y＝f′(x)的图象，当x∈(－1，b)时，在x轴下方；当x∈(b，a)时，在x轴上方；当x∈(a，1)时，在x轴下方．
通过图象研究函数的单调性的方法
(1)观察原函数的图象，重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
(2)观察导函数的图象，重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．
【补偿训练】
1.已知y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是如图所示的( )
【解析】选C.本题考查根据导函数与原函数的关系判断图象增减的大致趋势．由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如表所示：
x
(-∞,0)
(0,2)
(2,+∞)
f'(x)
+
-
+
f(x)
↗
↘
↗
由表可知f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，故满足条件的只有C.
2．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为( )
【解析】选C.因为f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1，4)上为增函数，所以当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.
类型二 利用导数求函数的单调区间(数学抽象、数学运算)
角度1 不含参数的函数的单调性
【典例】函数y＝x2·ex的单调递增区间为________．
【思路导引】先求导数，再令导函数>0，解得的区间即为所求．
【解析】y′＝2x·ex＋x2ex＝(x2＋2x)ex，由y′>0，ex>0得x2＋2x>0，即x>0或x<－2.
答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)
在本例中条件不变，求其单调递减区间．
【解析】y′＝2x·ex＋x2ex＝(x2＋2x)ex，由y′<0，ex>0得x2＋2x<0，即－2
角度2 含参数的函数的单调性
【典例】讨论函数f(x)＝x2－a
ln
x(a≥0)的单调性．
【解析】函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝，设g(x)＝2x2－a，由g(x)＝0得2x2＝a.当a＝0时，f′(x)＝2x>0，函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数；
当a>0时，由g(x)＝0得x＝或x＝－(舍去).
当x∈时，g(x)<0，即f′(x)<0；
当x∈时，g(x)>0，即f′(x)>0.
所以当a>0时，函数f(x)在区间上为减函数，在区间上为增函数．
综上，当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)；当a>0时，函数f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.
含有参数的函数单调性问题的处理方法
(1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误．
(2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2)
B．(0，3)
C．(1，4)
D．(2，＋∞)
【解析】选D.因为f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f′(x)＞0得(x－2)ex＞0，所以x＞2.
所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞).
2．讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln
x(a≥0)的单调性．
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－＝.
(1)当a＝0时，f′(x)＝，由f′(x)＞0，得x＞1，
由f′(x)＜0，得0＜x＜1.
所以f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
(2)当a＞0时，f′(x)＝，
因为a＞0，所以－＜0.
由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1.
所以f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
类型三 与单调性有关的参数问题(数学运算、逻辑推理)
【典例】已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．
四步
内容
理解题意
条件:①f(x)=x3-ax-1②f(x)为单调增函数结论:求实数a的取值范围
思路探求
f(x)为单调递增函数→f'(x)≥0恒成立→分离参数求a的范围
书写表达
由已知得f'(x)=3x2-a,因为f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数,所以f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立,因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a=0时,f'(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数,所以a≤0.
题后反思
若函数f(x)在区间(a,b)上是单调递增(或递减)函数,则f'(x)≥0(或f'(x)≤0).
已知函数y＝f(x)在(a，b)上的单调性，求参数的范围的方法
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；
(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解；
(3)分离参数法．由f′(x)≥0或f′(x)≤0将所求参数分离到一侧，另一侧为不含参数的函数．只要求出其最值，即可求参数范围．
1．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．，
B．[－，]
C．(－∞，－)，(，＋∞)
D．(－，)
【解析】选B.f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，由Δ＝4a2－12≤0得－≤a≤.
2．若函数y＝a(x3－x)的单调递减区间为，则a的取值范围是( )
A．a>0
B．－1C．a>1
D．0【解析】选A.因为y′＝3a
＝3a，
当－0.
课堂检测·素养达标
1．函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间为( )
A．(－∞，－1]，[0，1]
B．[－1，0]，[1，＋∞)
C．[－1，1]
D．(－∞，－1)，[1，＋∞)
【解析】选A.因为y′＝4x3－4x＝4x(x－1)(x＋1)，所以令y′<0，则有x(x－1)(x＋1)<0，可得x<－1或02．(多选题)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，正确的是( )
【解析】选ABC.A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．
3．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞)
B．a＝1
C．(－∞，1]
D．(0，1)
【解析】选A.因为f′(x)＝3x2－2ax－1，
且f(x)在(0，1)内单调递减，
所以不等式3x2－2ax－1≤0在(0，1)内恒成立，
所以f′(0)≤0，且f′(1)≤0，所以a≥1.
4．(教材练习改编)已知函数f(x)＝x2－x，则f(x)的单调递增区间为________．
【解析】因为f′(x)＝x－1，令f′(x)>0，解得x>1，故f(x)的单调递增区间是(1，＋∞).
答案：(1，＋∞)
5．求函数f(x)＝3x2－2ln
x的单调区间．
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝.令f′(x)>0，即>0，
因为x>0，所以x>，所以函数f(x)的单调递增区间是.令f′(x)<0，即<0，
因为x>0，所以0PAGE
-
10
-5．3.2 极大值与极小值
必备知识·自主学习
导思
1.什么是函数的极小(大)值点？2.什么是函数的极小(大)值？如何求函数的极值？
1．极大值
微提醒 极大值是个局部的概念，是函数在某点处的值与其附近左右两侧的函数值比较的结果．
2．极小值
微提醒 函数的极值不是惟一的，极大值与极小值之间无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值．
3．极值点、极值的定义
(1)极小值点、极大值点统称为极值点．
(2)极小值、极大值统称为极值．
(1)导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
提示：不一定．例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件．
(2)极值刻画的是函数的整体性质还是局部性质？
提示：极值反映了函数在某一点附近的函数值的大小情况，刻画的是函数的局部性质．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)一个函数在一个区间的端点不能取得极值．( )
(2)一个函数在给定的区间上一定有极值．( )
(3)函数极大值一定比极小值大．( )
提示：(1)√.函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义．
(2)×.在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点．
(3)×.极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．
2．(教材练习改编)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
【解析】选C.由导数与函数极值的关系知，当f′(x0)＝0时，在x0的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x)在x＝x0处取得极大值；若在x0的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x)在x＝x0处取得极小值，设y＝f′(x)图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．
3．函数f(x)＝x＋2cos
x在上的极大值点为( )
A．0
B．
C．
D．
【解析】选B.f′(x)＝1－2sin
x．令f′(x)＝0，
因为x∈，所以x＝，当x∈时f′(x)＜0，
当x∈时，f′(x)＞0.所以x＝是f(x)在上的极大值点．
关键能力·合作学习
类型一 求函数的极值(点)(数学抽象、数学运算)
1．函数y＝2－x2－x3的极值情况是( )
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值也无极小值
D．既有极大值又有极小值
【解析】选D.y′＝－2x－3x2，令y′＝0，得x1＝－，x2＝0.当x<－时，y′<0；当－0；
当x>0时，y′<0.
故当x＝－时，函数y有极小值；当x＝0时，函数y有极大值．
2．(多选题)定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是( )
A．－3是f(x)的一个极小值点
B．－2和－1都是f(x)的极大值点
C．f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞)
D．f(x)的单调递减区间是(－∞，－3)
【解析】选ACD.当x＜－3时，f′(x)＜0，x∈(－3，＋∞)时，f′(x)≥0，所以－3是极小值点，无极大值点，单调递增区间是(－3，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－3).
3．(多选题)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是( )
A．y＝x3
B．y＝x2＋1
C．y＝|x|
D．y＝2x
【解析】选BC.对于A，y′＝3x2≥0，所以y＝x3单调递增，无极值；对于B，y′＝2x，x＞0时y′＞0，x＜0时y′＜0，所以x＝0为极值点；对于C，根据图象，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以C符合；对于D，y＝2x单调递增，无极值．
函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．
【补偿训练】
1.当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )
A．y＝x3＋6x2＋9x
B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x
D．y＝x3＋6x2－9x
【解析】选B.因为三次函数过原点，故可设为y＝x3＋bx2＋cx，所以y′＝3x2＋2bx＋c.
又x＝1，3是y′＝0的两个根，
所以
即
所以y＝x3－6x2＋9x，又y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，且当x＝1时，y极大值＝4，
当x＝3时，y极小值＝0，满足条件．
2．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．
【解析】由f′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2.
列表：
x
(-∞,0)
0
(0,2)
2
(2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以当x＝2时，f(x)取得极小值．
答案：2
类型二 求含参数的函数的极值(数学抽象、数学运算)
【典例】设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0).
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
四步
内容
理解题意
条件:函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0)结论:(1)y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值;(2)函数f(x)的单调区间与极值点.
思路探求
(1)根据导数的几何意义及已知条件建立关于a,b的方程组,从而可求出a,b的值;(2)求单调区间时,要注意对参数a的讨论.
四步
内容
书写表达
(1)f′(x)＝3x2－3a，因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，所以即解得(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，当a<0时，f′(x)>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值点．当a>0时，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如表：x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增f(－)单调递减f()单调递增因此，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，)，此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点．
题后反思
利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论，在存在极值的情况下，求出极值．
已知函数的极值情况求参数时的注意问题
(1)待定系数法：根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．
1．若函数f(x)＝x－a
ln
x(a∈R)，求函数f(x)的极值．
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝.
(1)当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值．
(2)当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝a.
当0＜x＜a时，f′(x)＜0；当x＞a时，f′(x)＞0.
所以f(x)在x＝a处取得极小值，且f(a)＝a－a
ln
a，无极大值．
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a
ln
a，无极大值．
2．(2021·徐州高二检测)
已知函数f(x)＝x3－(a＋2)x2＋2ax＋(a∈R).
(1)若函数f(x)在x＝2处取得极小值1，求实数a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
【解析】(1)因为f(x)在x＝2时的极小值是1，
所以f(2)＝1，即f(2)＝×23－(a＋2)×22＋4a＋＝1，解得a＝1.
当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋2x＋，则f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2).
当x∈(－∞，1)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(1，2)时，f′(x)<0.
满足函数f(x)在x＝2处取得极小值．
故a＝1.
(2)由f(x)＝x3－(a＋2)x2＋2ax＋，得f′(x)＝x2－(a＋2)x＋2a.
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝a.
当a＝2时，f′(x)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a<2时，由f′(x)>0，解得x2，由f′(x)<0，解得a所以函数f(x)在(－∞，a)，(2，＋∞)上单调递增，在(a，2)上单调递减；
当a>2时，由f′(x)>0，解得x<2或x>a，由f′(x)<0，解得2所以函数f(x)在(－∞，2)，(a，＋∞)上单调递增，在(2，a)上单调递减．
综上：当a＝2时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
当a<2时，函数f(x)在(－∞，a)，(2，＋∞)上单调递增，在(a，2)上单调递减；
当a>2时，函数f(x)在(－∞，2)，(a，＋∞)上单调递增，在(2，a)上单调递减．
类型三 函数极值的综合应用(数学运算、逻辑推理)
角度1 已知极值点求参数值
【典例】若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________．
【思路导引】先由x＝1处取得极值10，即f′(1)＝0且f(1)＝10，进而即可求出a，b的值．
【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
依题意得即
解得或
但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以不符合题意，应舍去．
而当时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.
答案：4 －11
本例条件不变，试求f(x)的极大值．
【解析】由典例可知f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，
f′(x)＝3x2＋8x－11，显然，当x∈时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，所以x＝－是f(x)的极大值点，其极大值为f＝60.
角度2 与参数相关的极值问题
【典例】已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
【解析】f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
因为函数f(x)既有极大值又有极小值，
所以方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，
所以Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．
2．根据导数的几何意义，可直接得到曲线上某一点处的切线的斜率．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标．
1．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________．
【解析】因为y＝ex＋ax，
所以y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，
即x＝ln
(－a)，又因为x＞0，所以－a＞1，即a＜－1.
答案：(－∞，－1)
2．已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．
【解析】f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．
所以
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞).
课堂检测·素养达标
1．函数f(x)＝－的极值点为( )
A．0
B．－1
C．0或1
D．1
【解析】选D.因为f′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝1.
又当x＞1时f′(x)＞0，0＜x＜1时f′(x)＜0，
所以1是f(x)的极小值点．
又x＜0时f′(x)＜0，故x＝0不是函数的极值点．
2．(教材练习改编)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．x＝a是函数y＝f(x)的极小值点
B．当x＝－a或x＝b时，函数f(x)的值为0
C．函数y＝f(x)关于点(0，c)对称
D．函数y＝f(x)在(b，＋∞)上单调递增
【解析】选D.结合导数与函数单调性的关系可知，A中，在x＝a附近，f′(x)<0，故x＝a不是极小值点；B中，导数为0时，函数值不一定为0；C中，导函数的对称性与原函数的对称性没有关系；D中，当x＞b时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．
3．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
【解析】选D.令y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，y′＜0；当x＞－1时，y′＞0.故当x＝－1时，y取得极小值．
4．已知函数f(x)＝(x2－mx－m)ex＋2m(m∈R，e是自然对数的底数)在x＝0处取得极小值，则m＝________，这时f(x)的极大值是________．
【解析】由题意知f′(x)＝[x2＋(2－m)x－2m]ex.
由f′(0)＝－2m＝0，解得m＝0.则f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝－2，
故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－2，0)，
所以函数f(x)在x＝－2处取得极大值，且有f(－2)＝4e－2.
答案：0 4e－2
5．求函数f(x)＝的极大值．
【解析】函数定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＝＝，
令f′(x)＝0，得x＝，
当00，当x>时，f′(x)<0，
所以f(x)在x＝处取得极大值f()＝.
PAGE
-
12
-5．3.3 最大值与最小值
第1课时 最大值与最小值
必备知识·自主学习
导思
1.函数的极小(大)值与函数的最小(大)值有何关系？2.如何求函数在某一闭区间上的最小(大)值？
1.函数的最大值与最小值
前提
在函数定义域I内存在x0
条件
对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)
对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)
结论
f(x0)为最大值
f(x0)为最小值
微提醒 函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是定义域内所有函数值中的最大者，最小值必须是定义域内所有函数值中的最小者．
2.求f(x)在[a，b]上的最值的两个步骤
第一步：求f(x)在(a，b)上的极值；
第二步：将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．
微提醒 最值不一定是极值，极值也不一定是最值．
结合图形观察y＝f(x)在[a，b]上的最值可能出现在哪里．
提示：最值可能出现在极值点或者区间端点处．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值．( )
(2)闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值．( )
(3)若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值．( )
(4)若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值.
( )
提示：(1)×.函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值．
(2)×.闭区间上的连续的单调函数只有最值，没有极值.
(3)×.
(4)√.若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值．
2．函数f(x)＝－x2＋4x＋7在x∈[3，5]上的最大值和最小值分别是( )
A．f(2)，f(3)
B．f(3)，f(5)
C．f(2)，f(5)
D．f(5)，f(3)
【解析】选B.因为f′(x)＝－2x＋4，
所以当x∈[3，5]时，f′(x)<0，
故f(x)在[3，5]上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5).
3．(教材例题改编)函数y＝x4－4x＋3在区间[－2，3]上的最小值为( )
A．72
B．36
C．12
D．0
【解析】选D.因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4.令y′＝0，解得x＝1.当x<1时，y′<0，函数单调递减；当x>1时，y′>0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.而当x＝－2时，y＝27，当x＝3时，y＝72，所以当x＝1时，函数y＝x4－4x＋3取得最小值0.
关键能力·合作学习
类型一 求函数的最值(数学抽象、数学运算)
1．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)( )
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
【解析】选D.f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1，1)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值．
2．函数f(x)＝在区间[2，4]上的最小值为( )
A．0
B．
C．
D．
【解析】选C.f′(x)＝＝，当x∈[2，4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在区间[2，4]上是单调递减函数，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.
3．函数f(x)＝2x－cos
x在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值
B．有极值
C．有最大值
D．有最小值
【解析】选A.f′(x)＝2＋sin
x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
求函数最值的四个步骤
第一步，求函数f(x)的定义域．
第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
第三步，列出关于x，f(x)，f′(x)的变化情况表．
第四步，求极值、端点值，确定最值．
警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
【补偿训练】
1.函数y＝3x－4x3在区间[0，2]上的最大值是( )
A．1
B．2
C．0
D．－1
【解析】选A.设f(x)＝3x－4x3，所以f′(x)＝－12x2＋3＝3(1＋2x)(1－2x).
因为x∈[0，2]，所以当x＝时，f′(x)＝0.
又f(0)＝0，f＝1，f(2)＝－26，
所以函数y＝3x－4x3在区间[0，2]上的最大值是1.
2．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为( )
A．16
B．12
C．32
D．6
【解析】选C.因为f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，
由f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝24，f(2)＝－8，
可知M－m＝24－(－8)＝32.
类型二 含参数的最值问题(数学抽象、数学运算)
【典例】已知函数f(x)＝ln
x－ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间．
(2)当a>0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值．
四步
内容
理解题意
条件：已知函数f(x)＝ln
x－ax(a∈R).结论：(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值．
思路探求
(1)求导，求单调区间．(2)讨论函数在[1，2]上的单调性，求最值．
书写表达
(1)f′(x)＝－a(x＞0)，①当a≤0时，f′(x)＝－a＞0，即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞).②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，当0时，f′(x)＝＜0，故函数f(x)的单调递增区间为，
书写表达
单调递减区间为.(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1，2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln
2－2a.②当≥2，即02－a.所以当2时，最小值是f(1)＝－a；当ln
2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln
2－2a.综上可知，当02时，函数f(x)的最小值是－a；当a≥ln
2时，函数f(x)的最小值是ln
2－2a.
题后反思
求函数的单调区间一定要注意函数的定义域；求最值时一定研究函数的单调性．
1．含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
2．已知函数最值求参数值(范围)的思路
已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围．
1．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为( )
A．－5
B．－11
C．－29
D．－37
【解析】选D.由f′(x)＝6x2－12x>0得x<0或x>2，
由f′(x)<0得0所以f(x)在[－2，0]上为增函数，在[0，2]上为减函数，
所以f(x)max＝f(0)＝m＝3，所以f(x)＝2x3－6x2＋3.
又f(－2)＝－37，f(2)＝－5，所以f(x)min＝－37.
2．已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
【解析】f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a).
若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0.若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±.
因为x∈[0，1]，则只考虑x＝的情况．
(1)若0＜＜1，即0＜a＜1，
则当x＝时，f(x)有最大值f()＝2a.(如表所示)
x
0
(0，)
(，1)
1
f'(x)
+
0
-
f(x)
0
↗
2a
↘
3a－1
(2)若≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0，1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.
综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0；
当0＜a＜1，x＝时，f(x)有最大值2a；
当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
类型三 与最值有关的综合问题(数学运算、逻辑推理)
角度1 求参数的范围
【典例】若函数f(x)＝2x2－ln
x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________．
【思路导引】利用函数的最小值点与区间的关系求范围．
【解析】函数f(x)＝2x2－ln
x，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝4x－＝，
令f′(x)＝0得，x＝，由题意可知：
解得1≤k＜，所以实数k的取值范围是：1≤k＜.
答案：
本例中的函数不变，试求函数在区间上的最小值．
【解析】函数f(x)＝2x2－ln
x，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝4x－＝，令f′(x)＝0得，x＝.
所以当0当x>时，f′>0，函数单调递增．
所以当a≤时，函数有最小值fmin＝f＝2a2－ln
a；
当a>时，函数有最小值fmin＝f＝＋ln
2.
角度2 证明不等式
【典例】当x＞0时，证明：不等式ln
(x＋1)＞x－x2.
【思路导引】利用导数证明不等式，首先要构造不等式两边式子的差为新函数f(x)＝ln
(x＋1)－x＋x2.因此要证明原不等式，即证f(x)＞0在x＞0时恒成立．
【证明】设f(x)＝ln
(x＋1)－x＋x2，则f′(x)＝－1＋x＝.当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)≥0，且仅当x＝0时f′(x)＝0，
所以f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．
于是当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0，
所以当x＞0时，不等式ln
(x＋1)＞x－x2成立．
1．关于与最值有关的参数问题
一般从单调区间对参数的影响，最值的大小对参数的影响两个方面讨论．关键是弄清函数的单调性，函数的单调性决定了函数的单调区间及最值的取值．
2．证明不等式f(x)＞g(x)，x∈(a，b)的步骤
(1)将要证明的不等式f(x)＞g(x)移项可以转化为证明f(x)－g(x)＞0；
(2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，研究F(x)的单调性；
(3)若[f(x)－g(x)]′＞0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是增函数．只需保证F(a)＞0；
(4)若[f(x)－g(x)]′＜0，说明函数F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b)上是减函数．只需保证F(b)＞0.
1．函数f(x)＝x2＋2ax＋1在[0，1]上的最小值为f(1)，则a的取值范围为________．
【解析】f′(x)＝2x＋2a，f(x)在[0，1]上的最小值为f(1)，
说明f(x)在[0，1]上单调递减，
所以当x∈[0，1]时，f′(x)≤0恒成立，即2x＋2a≤0.
所以a≤－x.所以a≤－1.
答案：(－∞，－1]
2．设【解析】f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
－1
(－1，0)
0
(0，a)
a
(a，1)
1
f′(x)
＋
－
＋
f(x)
b－1－a
?↗
b
?↘
b－a3
?↗
1－a＋b
从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，当x＝a时，f(x)取得极小值－＋b，而f(0)>f(a)，又f(1)>f(－1)，故只需比较f(0)与f(1)，f(－1)与f(a)的大小．
因为f(0)－f(1)＝a－1>0，所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.
又因为f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)<0，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，所以－a＝－.所以a＝.故所求函数的解析式是f(x)＝x3－x2＋1.
3．证明不等式x－sin
x＜tan
x－x，x∈.
【证明】令f(x)＝tan
x－2x＋sin
x，x∈，
则f′(x)＝′－(2x)′＋(sin
x)′
＝－2＋cosx＝
＝＝＝.
因为x∈，所以1－cosx＞0，cos
x＋sin2x＞0，
所以f′(x)＞0，所以f(x)在上单调递增，
所以f(x)＞f(0)＝0，即tanx－2x＋sin
x＞0，
即x－sin
x＜tan
x－x.
课堂检测·素养达标
1．下列结论正确的是( )
A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定在x＝a和x＝b时取得
D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
【解析】选D.函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．
2．如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则( )
A．函数f(x)没有最大值也没有最小值
B．函数f(x)有最大值，没有最小值
C．函数f(x)没有最大值，有最小值
D．函数f(x)有最大值也有最小值
【解析】选C.由函数图象可知，函数只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值．
3．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为( )
A．f(a)－g(a)
B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b)
D．f(b)－g(a)
【解析】选A.令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)，又f′(x)＜g′(x)，故F′(x)＜0，
所以F(x)在[a，b]上单调递减，
所以F(x)max≤F(a)＝f(a)－g(a).
4．(教材练习改编)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________．
【解析】f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
则f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
所以f(x)min＝k－76＝－71.
答案：－71
5．求函数f(x)＝sin
2x－x，x∈的最值．
【解析】f′(x)＝2cos
2x－1，令f′(x)＝0，得cos
2x＝，
又因为x∈，所以2x∈[－π，π].
所以2x＝±.所以x＝±.
所以函数f(x)在上的两个极值分别为
f＝－，f＝－＋.
又f＝－，f＝.
比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－.
【补偿训练】
求函数y＝f(x)＝x4－2x2＋5在区间[－2，2]上的最大值与最小值．
【解析】先求导数，得y′＝4x3－4x.
令y′＝0，即4x3－4x＝0，解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
x变化时，y′，y的变化情况以及f(－2)，f(2)的值如表：
x
－2
(－2，－1)
－1
(－1，0)
0
(0，1)
1
(1，2)
2
y′
－
0
＋
0
－
0
＋
y
13
?↘
4
?↗
5
?↘
4
?↗
13
从表格知，当x＝±2时，函数有最大值13；
当x＝±1时，函数有最小值4.
PAGE
-
13
-第2课时 生活中的优化问题举例
关键能力·合作学习
类型一 平面几何中的最值问题(数学建模、数学运算)
【典例】1.如图所示，半径为2的⊙M切直线AB于点O，射线OC从OA出发绕着O点顺时针旋转到OB，旋转过程中，OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PnO的面积为S＝f(x)，那么f(x)的图象是如图中的( )
2．将边长为1
m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是( )
A．
B．
C．
D．
3．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________.
【思路导引】建立函数模型，应用导数求最值．
【解析】1.选A.由所给的图示可得，当x≤π时，弓形PnO的面积为S＝f(x)＝
S扇形PnO－S△MPO＝2x－2sin
x，其导数为f′(x)＝2－2cos
x，由余弦函数的性质知，此值越来越大，即f(x)的图象上升得越来越快，由此可以排除B，C；再由所给图示的对称性知，弓形PnO的面积先是增加得越来越快，然后是增加得越来越慢，直到增加率为0，由此可以排除D.
2．选A.如图所示，设AD＝x
m(0＜x＜1)，
则DE＝AD＝x
m，
所以梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝(3－x)m，
又S△ADE＝x2(m2)，所以梯形的面积为(m2)，所以S＝×(0于是S′＝－×，
令S′＝0得x＝或3(舍去)，当x∈时，S′＜0，S递减，当x∈时，S′＞0，S递增．故当x＝时，S的最小值是.
3．要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为米，
因此新墙壁总长度L＝2x＋(x>0)，
则L′＝2－，
令L′＝0，得x＝±16.
因为x>0，所以x＝16.
当x>16时，L′>0，L递增，
当0所以当x＝16时，Lmin＝64，此时堆料场的长为32米．
答案：32米，16米
1．利用导数解决优化问题的基本思路
2.关于平面图形中的最值问题
平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．
如图是一块地皮OAB，其中OA，AB是直线段，曲线段OB是抛物线的一部分，且点O是该抛物线的顶点，OA所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量，OA＝2
km，AB＝
km，∠OAB＝.现要从这块地皮中划一个矩形CDEF来建造草坪，其中点C在曲线段OB上，点D，E在直线段OA上，点F在直线段AB上，设CD＝a
km，矩形草坪CDEF的面积为f
km2.
(1)求f，并写出定义域．
(2)当a为多少时，矩形草坪CDEF的面积最大？
【解析】(1)以O为原点，OA边所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，过点B作BG⊥OA于点G，在直角△ABG中，AB＝，∠OAB＝，所以AG＝BG＝1，又因为OA＝2，所以OG＝1，则B，设抛物线OCB的标准方程为y2＝2px，代入点B的坐标，得p＝，所以抛物线的方程为y2＝x.
因为CD＝a，所以AE＝EF＝a，则DE＝2－a－a2，
所以f＝a＝－a3－a2＋2a，定义域为.
(2)f′＝－3a2－2a＋2，令f′＝0，得a＝.当00，f在上单调递增；
当类型二 立体几何中的最值问题(数学运算、直观想象)
【典例】请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x
cm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
【解析】设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0(1)因为S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1
800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)根据题意有V＝(x)2(60－2x)＝2x2(30－x)(0所以V′＝6x，
由V′＝0得，x＝0(舍)或x＝20.
所以当x∈时V′＞0；当x∈时V′＜0，所以当x＝20时取得极大值，也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为＝＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
关于立体几何中的最值问题
(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际问题相关的问题．
(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．
如图所示的某种容器的体积为90π
cm3，它是由圆锥和圆柱两部分组合而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为r
cm.圆锥的高为h1
cm，母线与底面所成的角为45°；圆柱的高为h2
cm.已知圆柱底面造价为2a元/cm2，圆柱侧面造价为a元/cm2，圆锥侧面造价为a元/cm2.
(1)将圆柱的高h2表示为底面圆半径r的函数，并求出定义域．
(2)当容器造价最低时圆柱的底面圆半径r为多少？
【解析】(1)因为圆锥的母线与底面所成的角为45°，所以h1＝r，
圆锥的体积为V1＝πr2h1＝πr3，圆柱的体积为V2＝πr2h2.因为V1＋V2＝90π，所以V2＝πr2h2＝90π－πr3，所以h2＝＝－.因为V1＝πr3<90π，所以r<3.因此0所以h2＝－，定义域为{r|0(2)圆锥的侧面积S1＝πr·r＝πr2，
圆柱的侧面积S2＝2πrh2，底面积S3＝πr2.
容器总造价为y＝aS1＋aS2＋2aS3＝2πr2a＋2πrh2a＋2πr2a＝2πa(r2＋rh2＋r2)＝2πa＝.令f(r)＝r2＋，则f′(r)＝2r－.
令f′(r)＝0，得r＝3.
当00，f(r)在(3，3)上为单调递增的．因此，当且仅当r＝3时，f(r)有最小值，即y有最小值，为90πa元．
所以总造价最低时，圆柱的底面圆半径为3
cm.
类型三 实际生活中的最值问题(数学建模)
角度1 用料最省、费用最少问题
【典例】1.某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48
m3，高为
3
m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱壁每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为( )
A．900元
B．840元
C．818元
D．816元
2．(2021·苏州高二检测)某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．
【思路导引】结合导数进行求解．
【解析】1.选D.设箱底一边的长度为x
m，箱子的总造价为l元，根据题意，得
l＝15×＋12×2＝240＋72(x>0)，
l′＝72，令l′＝0解得x＝4或x＝－4(舍去)，
当04时，l′>0.
故当x＝4时，l取得最小值为816.
2．设仓库与车站相距x千米，依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数，
于是由2＝得k1＝20；
由8＝10k2得k2＝.
所以两项费用之和为y＝＋(x>0)，
y′＝－＋，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去).
当05时，y′>0.所以当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．所以当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
答案：5
若本例1箱壁每平方米的造价为8元，
则箱子的最低总造价为多少？
【解析】设箱底一边的长度为x
m，箱子的总造价为l元，根据题意，得l＝15×＋8×2＝240＋48，
l′＝48，
令l′＝0解得x＝4或x＝－4(舍去)，
当04时，l′>0.
故当x＝4时，l取得最小值为624.
角度2 利润最大问题
【典例】树人中学2019级高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某商场销售的商品A进行市场销售量调研，通过对该商品一个阶段的调研得知，发现该商品每日的销售量g(x)(单位：百件)与销售价格x(元/件)近似满足关系式g(x)＝＋2(x－5)2，其中2(1)求函数g(x)的解析式．
(2)若该商品A的成本为2元/件，根据调研结果请你试确定该商品销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润(单位：百元)最大．
【思路导引】(1)由题意将(3，10)代入函数解析式，建立方程，即可求出g(x)的解析式．
(2)商场每日销售该商品所获得的利润＝每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．
【解析】(1)由题意，10＝＋2(3－5)2，解得a＝2，故g(x)＝＋2(x－5)2(2＜x＜5).
(2)商场每日销售该商品所获得的利润为y＝h(x)＝(x－2)g(x)＝2＋2(x－5)2(x－2)(2＜x＜5)，y′＝4(x－5)(x－2)＋
2(x－5)2＝6(x－3)(x－5).列表得x，y，y′的变化情况：
x
(2，3)
3
(3，5)
y′
＋
0
－
y
单调递增
极大值
单调递减
由表可得，x＝3是函数h(x)在区间(2，5)内的极大值点，也是最大值点．
解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数在给定区间内只有一个极值点，则根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
1．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )
A．
B．
C．
D．
【解析】选A.设锅炉的高h与底面直径d的比为
k＝，由V＝h＝·kd＝kd3，
可得d＝，h＝kd＝，
设造价为y，则y＝2π··a＋πdh·b＝··k－＋πb··，
则y′＝··k－＋πb··，令y′＝0，解得k＝，可得此时y取得最小值．故当造价最低时锅炉的高与底面直径的比为.
2.
(2020·江苏高考)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)，经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式h1＝a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h2＝－b3＋6b.已知点B到OO′的距离为40米．
(1)求桥AB的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF.且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价k(万元)(k>0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？
【解析】(1)过A，B分别作MN的垂线，垂足为A′，B′，
则AA′＝BB′＝－×403＋6×40＝160(米).
令a2＝160，得a＝80，所以AO′＝80，AB＝AO′＋BO′＝80＋40＝120(米).
(2)设O′E＝x，则CO′＝80－x，由，
得0设总造价为y，则y＝＋
k
＝(x3－30x2＋160×800)，
y′＝(3x2－60x)＝x(x－20)，
因为k>0，所以令y′＝0，得x＝0或x＝20，
所以当0当200，y单调递增．所以，当x＝20时，y取最小值，即当O′E为20米时，造价最低．
课堂检测·素养达标
1．有一长为16
m的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为( )
A．4
m2
B．8
m2
C．12
m2
D．16
m2
【解析】选D.设矩形一边长为x(0m2.
2．一个箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2·(0A．30
B．40
C．50
D．60
【解析】选B.V(x)＝－x3＋30x2，V′(x)＝－x2＋60x，
令V′(x)＝0，得x＝40(x＝0舍去)，且当0V′(x)>0，当403．(教材二次开发：例题改编)有矩形铁板，其长为6，宽为4，现从四个角上剪掉边长为x的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x＝________．
【解析】如图所示，则折叠后的长方体长为6－2x，宽为4－2x，高为x，体积V＝x，x∈，则V＝x＝4，
V′＝4，令V′＝0，
解得x＝，，则当x∈时，V′>0，V单调递增，当x∈时，V′<0，V单调递减，所以当x＝时取到最大值．
答案：
4．某厂生产某种产品x件的总成本C(x)＝1
200＋x2(单位：万元)，又知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时总利润最大．
【解析】设产品单价为m，因为产品单价的平方与产品件数x成反比，所以m2＝，(其中k为非零常数)，又生产100件这样的产品单价为50万元，所以502＝，故k＝250
000，记生产x件产品时，总利润为f(x)，
所以f(x)＝mx－C(x)＝500－1
200－x2，x>0，则f′(x)＝－x，由f′(x)>0得0225，故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，因此当x＝225时，f(x)取得最大值．
即产量定为225件时，总利润最大．
答案：225
PAGE
-
12
-阶段提升课第五课 导数及其应用
思维导图·构建网络
考点整合·素养提升
题组训练一 导数的几何意义及其应用
1．曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于( )
A．2e
B．e
C．2
D．1
【解析】选C.y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为k＝2.
2．曲线y＝(x3＋x2)ex在x＝1处的切线方程为( )
A．y＝7ex－5e
B．y＝7ex＋9e
C．y＝3ex＋5e
D．y＝3ex－5e
【解析】选A.y′＝(3x2＋2x)ex＋(x3＋x2)ex，
所以y′|x＝1＝7e，又因为当x＝1时，y＝2e，所以所求的切线方程为y－2e＝7e(x－1)，即y＝7ex－5e.
3．曲线y＝3sin
在点处的切线的斜率为( )
A．1
B．2
C．3
D．6
【解析】选C.由于y＝3sin
，所以y′＝
6cos
，于是斜率k＝y′|x＝＝6cos
＝3.
4．如果函数f(x)＝x3－6bx＋3b在区间(0，1)内存在与x轴平行的切线，则实数b的取值范围是________．
【解析】存在与x轴平行的切线，即f′(x)＝3x2－6b＝0有解，因为x∈(0，1)，所以b＝∈.
答案：
利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，①
又y1＝f(x1)，②
由①②求出x1，y1的值，
即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
题组训练二 利用导数判断函数的单调性
1．函数f(x)＝－2ln
x－x－的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞)
B．(－3，1)
C．(0，1)
D．(1，＋∞)
【解析】选C.依题意，函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－－1＋＝＝－，故当0＜x＜1时，f′(x)＞0，所以函数的单调递增区间为(0，1).
2．设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的单调区间．
【思路点拨】(1)利用导数的几何意义和求导运算建立方程组求未知数．
(2)利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性．
【解析】(1)因为f(x)＝xea－x＋bx，
所以f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.
依题设
即解得
(2)由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex.由f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及e2－x＞0知，f′(x)与1－x＋ex－1同号．
令g(x)＝1－x＋ex－1，则g′(x)＝－1＋ex－1.
所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，
g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，
g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．
故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，
从而g(x)>0，x∈(－∞，＋∞).
综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞).
利用导数的符号判断函数的增减性，进而确定函数的单调区间，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．这部分内容要注意的是f(x)为增函数?f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数?f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个．
题组训练三 利用导数研究函数的极值、最值
1．若函数y＝f(x)满足xf′(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，则( )
A．af(b)>bf(a)
B．af(a)>bf(b)
C．af(a)D．af(b)【解析】选B.设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，
所以g(x)在R上是增函数，又a>b，
所以g(a)>g(b)，即af(a)>bf(b).
2．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是( )
A．0≤a≤21
B．a＝0或a＝7
C．a<0或a>21
D．a＝0或a＝21
【解析】选A.f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，
即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1，0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1，3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．
【解析】(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在点P(1，0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3.
又因为函数过(1，0)点，即－2＋b＝0，b＝2.
所以a＝－3，b＝2，f(x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，得f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)＝0得x＝0或x＝2.
①当0②当2x
0
(0，2)
2
(2，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
3t2－6t
f(x)
2
－2
t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2.f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．
f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.
所以f(x)max＝f(0)＝2.
(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，
g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2).
在x∈[1，2)时，g′(x)<0；在x∈(2，3]时，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1，3]上恰有两个相异的实根，
则，解得－2
1．利用导数求函数极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号．
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点．
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；
②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞).
题组训练四 利用导数解决实际问题
1．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2＋2，则t＝2秒时，汽车的加速度是( )
A．14
B．4
C．10
D．6
【解析】选A.依题意v(t)＝s′(t)＝6t2－10t，所以a(t)＝v′(t)＝12t－10，故汽车在t＝2秒时的加速度为a(2)＝24－10＝14.
2．某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件，假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)＝x2＋60x＋2
050.
求：(1)日产量为75件时的总成本和平均成本；
(2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量；
(3)当日产量为75件时，总成本的瞬时变化率．
【解析】(1)日产量为75件时的总成本和平均成本分别为C(75)＝7
956.25(元)，≈106.08(元/件).
(2)当日产量由75件提高到90件时，总成本的平均改变量＝＝101.25(元/件).
(3)因为C′(x)＝x＋60，
所以当日产量为75件时的总成本的瞬时变化率为C′(75)＝97.5(元).
1．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数．
2．在解决优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定函数的定义域．
3．得出函数的最大值或最小值之后，一定要将数学问题还原成实际问题．
题组训练五 导数的综合应用
1．定义在R上的函数f(x)的导数为f′(x)，若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2
020为奇函数，则不等式f(x)＋2
020ex<0的解集为( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．
D．
【解析】选B.由题意可知，令g(x)＝，
则g′(x)＝，
因为f′(x)即g′(x)<0，所以g(x)在R上为减函数．
又因为f(x)＋2
020为奇函数，
所以f(0)＋2
020＝0，即f(0)＝－2
020，
则g(0)＝－2
020.
所以不等式f(x)＋2
020ex<0等价于g(x)所以x>0，
即不等式f(x)＋2
020ex<0的解集为x∈(0，＋∞).
2．定义在区间(0，＋∞)上函数f(x)使不等式2f(x)【解析】令g(x)＝，则g′(x)＝，
因为xf′(x)<3f(x)，则xf′(x)－3f(x)<0.
所以g′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立．
即g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
可得g(2)由2f(x)<3f(x)可得f(x)>0，则<8，
令h(x)＝，则h′(x)＝，
因为xf′(x)>2f(x)，即xf′(x)－2f(x)>0，
所以h′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
即h(x)在(0，＋∞)上单调递增．所以h(2)>h(1).
即>f(1)，即>4，
所以4<<8.
答案：(4，8)
讨论方程根的个数，研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用．问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极(最)值列出，然后再借助单调性和极(最)值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解．
PAGE
-
9
-