第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
【素养目标】
1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象)
2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模)
3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理)
4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算)
5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理)
【学法解读】
在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异．
第1课时 不等关系与比较大小
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
不等式与不等关系
不等式的定义所含的两个要点．
(1)不等符号＜，＞，__≤__，__≥__或≠．
(2)所表示的关系是__不等关系__．
思考1：不等式“a≤b”的含义是什么？只有当“a＜b”与“a＝b”同时成立时，该不等式才成立，是吗？
提示：不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“a＜b或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．
知识点2
比较两实数a，b大小的依据
思考2：(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？
(2)若“b－a＞0”，则a，b的大小关系是怎样的？
提示：(1)是 (2)b＞a
基础自测
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2．( √ )
(2)若x2＝0，则x≥0．( √ )
(3)若x－1≤0，则x＜1．( × )
(4)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．( √ )
[解析] (1)不等式x≥2表示x＞2或x＝2，即x不小于2．
(2)若x2＝0，则x＝0，所以x≥0成立．
(3)若x－1≤0，则x＜1或者x＝1，即x≤1．
(4)任意两数之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种，没有其他大小关系．
2．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系( C )
A．T＜40
B．T＞40
C．T≤40
D．T≥40
3．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系为__x2＋2＞3x__．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 用不等式(组)表示不等关系
例1 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件．若把提价后商品的售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？
[分析] 由“这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件”确定售价变化时相应每天的利润，由“每天的利润不低于300元”确定不等关系，即可列出不等式．
[解析] 若提价后商品的售价为x元，则销售量减少×10件，因此，每天的利润为(x－8)·[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以用不等式表示为(x－8)·[100－10(x－10)]≥300．
[归纳提升] 将不等关系表示成不等式的思路
(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．
(2)用适当的不等号连接．
【对点练习】?
用一段长为30
m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18
m，要求菜园的面积不小于110
m2，靠墙的一边长为x
m，试用不等式表示其中的不等关系．
[解析] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x
m，而墙长为18
m，所以0＜x≤18，
这时菜园的另一条边长为＝(15－)(m)．
因此菜园面积S＝x·(15－)，依题意有S≥110，
即x(15－)≥110，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
题型二 比较实数的大小
例2 已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小．
[解析] 方法一(作差法)：(＋)－(＋)
＝(－)＋(－)
＝＋＝
＝．
∵a，b为正实数，∴＋＞0，＞0，(－)2≥0，
∴≥0，∴＋≥＋．
方法二(作商法)：＝
＝＝
＝＝1＋≥1．
∵＋＞0，＋＞0，∴＋≥＋．
方法三(平方后作差)：∵(＋)2＝＋＋2，(＋)2＝a＋b＋2，
∴(＋)2－(＋)2＝．
∵a＞0，b＞0，∴≥0．
又＋＞0，＋＞0，故＋≥＋．
[归纳提升] 比较大小的方法
1．作差法的依据：a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b．
步骤：作差—变形—判断差的符号—得出结论．
注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或多个因式的积的形式．
2．作商法的依据：b＞(＜)0时，＞1?a＞(＜)b；＝1?a＝b；＜1?a＜(＞)b．
步骤：作商—变形—判断商与1的大小—得出结论．
注意：作商法的适用范围较小，且限制条件较多，用的较少．
3．介值比较法：(1)介值比较法的理论根据：若a＞b，b＞c，则a＞c，其中b是a与c的中介值．(2)介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值．
【对点练习】?
当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解析] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)
＝(3x2＋1)(x－1)．
因为x≤1，所以x－1≤0，
而3x2＋1＞0．
所以(3x2＋1)(x－1)≤0，
所以3x3≤3x2－x＋1．
题型三 不等式的实际应用
例3 某矿山车队有4辆载重为10
t的甲型卡车和7辆载重为6
t的乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运360
t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
[分析] 首先用变量x，y分别表示甲型卡车和乙型卡车的车辆数，然后分析已知量和未知量间的不等关系：(1)卡车数量与驾驶员人数的关系；(2)车队每天运矿石的数量；(3)甲型卡车的数量；(4)乙型卡车的数量．再将不等关系用含未知数的不等式表示出来，要注意变量的取值范围．
[解析] 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则
即
[归纳提升] 用不等式组表示不等关系的方法
首先要先弄清题意，分清是常量与常量、变量与变量、函数与函数还是一组变量之间的不等关系；然后类比等式的建立过程找到不等词，选准不等号，将量与量之间用不等号连接；最后注意不等式与不等关系的对应，不重不漏，尤其要检验实际问题中变量的取值范围．
【对点练习】?
为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1
900本科技类书籍和1
620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．设组建中型图书角x个，用不等式组将题目中的不等关系表示出来，并求有哪些符合题意的组建方案．
[解析] 因为组建中型图书角x个，所以组建小型图书角为(30－x)个，
则
解这个不等式组得18≤x≤20．
由于x只能取正整数，
∴x的取值是18,19,20．
当x＝18时，30－x＝12；
当x＝19时，30－x＝11；
当x＝20时，30－x＝10．
故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．
课堂检测·固双基
1．下列说法正确的是( C )
A．某人月收入x不高于2
000元可表示为“x＜2
000”
B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x＞y”
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
[解析] A应为x≤2
000，B应为x＜y，D应为y≤a，故选C．
2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则( C )
A．a＞b
B．a＜b
C．a≥b
D．a≤b
[解析] a－b＝3x2－x＋1－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a－b≥0即a≥b，故选C．
3．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度是每秒4米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100米以外的安全区，导火索的长度x(厘米)应该满足的不等式为( C )
A．4×2x≥100
B．4×2x≤100
C．4×2x＞100
D．4×2x＜100
[解析] 由条件知，4×2x＞100，故选C．
4．用不等式表示下面的不等关系：
(1)a与b的积是非负数：__ab≥0__；
(2)m与n的和大于p：__m＋n＞p__；
(3)某学校规定学生离校时间t在16点到18点之间：__16≤t≤18__．
5．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是__x＜y__．
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-第2课时 不等式性质
必备知识·探新知
基础知识
知识点
不等式的性质
性质1 a＞b?__b＜a__；(对称性)
性质2 a＞b，b＞c?__a＞c__；(传递性)
性质3 a＞b?__a＋c＞b＋c__；(同加保序性)
推论：a＋b＞c?__a＞c－b__；(移项法则)
性质4 a＞b，c＞0?__ac＞bc__，(乘正保序性)a＞b，c＜0?ac＜bc；(乘负反序性)
性质5 a＞b，c＞d?__a＋c＞b＋d__；(同向相加保序性)
性质6 a＞b＞0，c＞d＞0?__ac＞bd__；(正数同向相乘保序性)
性质7 a＞b＞0?__an＞bn__(n∈N，n≥2)．(非负乘方保序性)
思考：(1)性质3的推论实际就是解不等式中的什么法则？
(2)性质4就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？
(3)使用性质6,7时，要注意什么条件？
提示：(1)移项法则．
(2)不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向．
(3)各个数均为正数．
基础自测
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若a＞b，则ac2＞bc2．( × )
(2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( × )
(3)设a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3．( √ )
(4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d．( × )
[解析] (1)由不等式的性质，ac2＞bc2?a＞b；反之，c＝0时，a＞bac2＞bc2．
(2)相乘需要看是否而相加与正、负和零均无关系．
(3)符合不等式的可乘方性．
(4)取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足a＋c＞b＋d，但不满足a＞b，故此说法错误．
2．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是( C )
A．a－c＞b－d
B．ac＞bd
C．a＋c＞b＋d
D．a＋d＞b＋c
3．已知m＞n，则( D )
A．m2＞n2
B．＞
C．mx2＞nx2
D．m＋x＞n＋x
[解析] 利用不等式同加保序性可知D正确．
4．用不等号“＞”或“＜”填空：
(1)如果a＞b，c＜d，那么a－c__＞__b－d；
(2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac__＜__bd；
(3)如果a＞b＞0，那么__＜__；
(4)如果a＞b＞c＞0，那么__＜__．
[解析] (1)∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a－c＞b－d．
(2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0．∵a＞b＞0，∴－ac＞－bd，∴ac＜bd．
(3)∵a＞b＞0，∴ab＞0，＞0，∴a·＞b·＞0，
∴＞＞0，∴()2＞()2，即＜．
(4)∵a＞b＞0，所以ab＞0，＞0．于是a·＞b·，即＞，即＜．∵c＞0，∴＜．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 不等式性质的应用
例1 (1)若a＜b＜0，则下列结论正确的是( C )
A．a2＜b2
B．ab＜b2
C．＞
D．ac2＞bc2
(2)若＜＜0，有下面四个不等式：①|a|＞|b|，②a＜b，③a＋b＜ab，④a3＞b3，则不正确的不等式的个数是( C )
A．0
B．1
C．2
D．3
[分析] (1)通过赋值可以排除A，D，根据不等式的性质可判断B，C正误．
(2)利用性质进行变形、并判断．
[解析] (1)若a＜b＜0，对于A选项，当a＝－2，b＝－1时，不成立；对于B选项，等价于a＞b，故不成立；对于C选项，＜＜0，故选项正确；对于D选项，当c＝0时，不正确．
(2)由＜＜0可得b＜a＜0，从而|a|＜|b|，①②均不正确；a＋b＜0，ab＞0，则a＋b＜ab成立，③正确；a3＞b3，④正确．
故不正确的不等式的个数为2．
[归纳提升] 判断关于不等式的命题真假的两种方法
(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．
(2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．
【对点练习】?
设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是( C )
A．a2＜b2
B．ab2＜a2b
C．＜
D．＜
[解析] 当a＜0，b＞0时，a2＜b2不一定成立，故A错．因为ab2－a2b＝ab(b－a)，b－a＞0，ab符号不确定，故B错．－＝＜0，所以＜，故C正确．D中与的大小不能确定．
题型二 利用不等式的性质证明不等式
例2 设a＞b＞c，求证：＋＋＞0．
[分析] 不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式成立．
[证明] 因为a＞b＞c，所以－c＞－b．
所以a－c＞a－b＞0，所以＞＞0．
所以＋＞0．又b－c＞0，
所以＞0．所以＋＋＞0．
[归纳提升] 利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
【对点练习】?
若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞．
[证明] 因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0．
又因为a＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0．
所以(a－c)2＞(b－d)2＞0．所以0＜＜．
又因为e＜0，所以＞．
题型三 利用不等式的性质求范围
例3 已知－1＜x＜4,2＜y＜3．
(1)求x－y的取值范围．
(2)求3x＋2y的取值范围．
[解析] (1)因为－1＜x＜4,2＜y＜3，
所以－3＜－y＜－2，
所以－4＜x－y＜2．
(2)由－1＜x＜4,2＜y＜3，得－3＜3x＜12,4＜2y＜6，
所以1＜3x＋2y＜18．
[归纳提升] 利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
【对点练习】?
已知1＜a＜6,3＜b＜4，求a－b，的取值范围．
[解析] ∵3＜b＜4，∴－4＜－b＜－3．
∴1－4＜a－b＜6－3，即－3＜a－b＜3．
又＜＜，∴＜＜，
即＜＜2．
误区警示
错用同向不等式性质
例4 已知12＜a＜60,15＜b＜36，的取值范围是__＜＜4__．
[错解] ∵12＜a＜60,15＜b＜36，∴＜＜，
∴＜＜．故填＜＜．
[错因分析] 把不等式的同向不等式(正项)相乘的性质用到了除法，从而导致错误．
[正解] ∵15＜b＜36，∴＜＜，又12＜a＜60，∴＜＜，∴＜＜4，故填＜＜4．
[方法点拨] 若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围．
学科素养
不等关系的实际应用
不等关系是数学中最基本的部分关系之一，在实际问题中有广泛应用，也是高考考查的重点内容．
例5 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( B )
A．ax＋by＋cz
B．az＋by＋cx
C．ay＋bz＋cx
D．ay＋bx＋cz
[分析] 本题考查实际问题中不等关系的建立及利用不等式的性质比较大小．
[解析] 方法一：因为x＜y＜z，a＜b＜c，所以ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)＞0，故ax＋by＋cz＞az＋by＋cx；同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)＜0，故ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz．又az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(a－b)(z－y)＜0，故az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx．
综上可得，最低的总费用为az＋by＋cx．
方法二：采用特殊值法进行求解验证即可，若x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13．由此可知最低的总费用是az＋by＋cx．
[归纳提升] 对于不等关系判断问题的求解，一般需要通过作差进行推理论证，对运算能力要求较高，但对于具有明确不等关系的式子进行判断时，特殊值法是一种非常值得推广的简便方法．
课堂检测·固双基
1．(2021·湖北省黄石一中检测)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( B )
A．＞
B．＜
C．＞
D．＜
[解析] 因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，
所以＞＞0．
又a＞b＞0，所以＞，所以＜．
2．(2020·湖北省宜昌市七校期末联考)已知a＞b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是( D )
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
[解析] 令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A、B，C．由不等式的性质5知，D一定成立．
3．给定下列命题：
①0＞a＞b?a2＞b2；②a2＞b2?a＞b＞0；③a＞b?＜1；④a＞b?a3＞b3．
其中真命题的个数是( B )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 对于①，由0＞a＞b可知，0＜－a＜－b，则由性质7可知，(－b)2＞(－a)2，即b2＞a2，故①错误；对于②，性质7不具有可逆性，故②错误；对于③，只有当a＞0且a＞b时，＜1才成立，故③错误；对于④，因为a＞b，所以a－b＞0，所以a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)[(a＋)2＋]＞0，故a3＞b3，④正确．
4．若a＞b＞0，则__＜__(n∈N＋)．(填“＞”或“＜”)
[解析] ∵a＞b＞0，∴an＞bn＞0，
∴＞，即＜．
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-2.2 基本不等式
【素养目标】
1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象)
2．理解并掌握基本不等式及其变形．(逻辑推理)
3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(数学运算)
4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．(逻辑推理)
5．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．(数学运算)
【学法解读】
1．本节学习时，学生先复习完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2，由(a－b)2≥0可得a2－2ab＋b2≥0，即a2＋b2≥2ab．然后以，分别代替a，b推得基本不等式，从代数观点认识基本不等式．
2．借助教材“探究”中的问题，使学生从几何角度认识基本不等式．
3．重点掌握应用基本不等式求最值的前提条件，通过具体实例强化公式的应用技巧．
第1课时 基本不等式
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
重要不等式与基本不等式
思考1：(1)基本不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？
(2)基本不等式成立的条件“a，b＞0”能省略吗？请举例说明．
提示：(1)a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．
(2)不能，如≥是不成立的．
知识点2
基本不等式与最值
已知x，y都为正数，则
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值____．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值__2__．
思考2：应用基本不等式求最值的关键是什么？
提示：依定值去探求最值，探求的过程中常需依具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换．
基础自测
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．( × )
(2)当a＞0，b＞0时，a＋b≥2．( √ )
(3)当a＞0，b＞0时，ab≤()2．( √ )
(4)函数y＝x＋的最小值是2．( × )
[解析] (1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式≥成立的条件是a＞0，b＞0．
(2)基本不等式的变形公式．
(3)基本不等式的变形公式．
(4)当x＜0时，x＋是负数．
2．下列不等式正确的是( C )
A．a＋≥2
B．(－a)＋(－)≤－2
C．a2＋≥2
D．(－a)2＋(－)2≤－2
3．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是__a＝1__．
4．已知x＞0，求x＋的最小值．
[解析] 因为x＞0，所以x＋≥2＝2，
当且仅当x＝，即x2＝1，x＝1时，等号成立，因此所求的最小值为2．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 利用基本不等式判断命题真假
例1 (1)下列不等式一定成立的是( C )
A．＞(x＞0)
B．x＋≥2(x≠0)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D．＞1(x∈R)
(2)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( B )
A．a＜b＜＜
B．a＜＜＜b
C．a＜＜b＜
D．＜a＜＜b
[解析] (1)选项A中，x2＋≥x(当且仅当x＝时，x2＋＝x)，故选项A不正确；选项B中，x＋≥2(x＞0)，x＋≤－2(x＜0)，故选项B不正确；选项C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故选项C正确；选项D中，x2＋1≥1，则0＜≤1，故选项D不正确．
(2)解法一：∵0＜a＜b，∴a＜＜b，排除A，C两项，又－a＝(－)＞0，即＞a，排除D项，故选B．
解法二：取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜b．
【对点练习】?
若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是( D )
A．a2＋b2＞2ab
B．a＋b≥2
C．＋＞
D．＋≥2
[解析] 对于A，若a＝b时，a2＋b2＝2ab，则A中的不等式不恒成立．当a＜0，b＜0时，选项B，C不成立，故选D．
题型二 利用基本不等式求最值
例2 (1)当x＞0时，求＋4x的最小值；
(2)当x＜0时，求＋4x的最大值；
(3)已知4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，求a的值．
[解析] (1)∵x＞0，∴＞0,4x＞0．
∴＋4x≥2＝8．
当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，
∴当x＞0时，＋4x的最小值为8．
(2)∵x＜0，∴－x＞0．
则＋(－4x)≥2＝8，
当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号．
∴＋4x≤－8．
∴当x＜0时，＋4x的最大值为－8．
(3)4x＋≥2＝4，
当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号，∴a＝36．
[归纳提升] 在利用基本不等式求最值时要注意三点
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备．
【对点练习】?
(1)若0＜x＜1，则的取值范围是__(0，]__；
(2)已知a＞0，b＞0，＋＝4，则a＋b的最小值为__1__．
[解析] (1)由0＜x＜1知3－2x＞0，
故＝·≤·＝，当且仅当x＝时，上式等号成立．
所以0＜≤．
(2)由＋＝4，得＋＝1．
所以a＋b＝(＋)(a＋b)＝＋＋≥＋2＝1．当且仅当a＝b＝时取等号．
题型三 利用基本不等式证明不等式
例3 已知a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c．
[解析] ∵a，b，c＞0，∴利用基本不等式可得＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，∴＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
[归纳提升] 利用基本不等式证明不等式的思路
利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题时要时刻注意等号能否取到．
【对点练习】?
已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，证明：＋＋≥9．
[解析] ＋＋＝＋＋
＝3＋(＋)＋(＋)＋(＋)
≥3＋2＋2＋2＝9．
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
课堂检测·固双基
1．下列不等式成立的是( A )
A．ab≤
B．ab≥
C．a＋b≥2
D．a＋b≤2
[解析] a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab，即≥ab．
2．设a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是( C )
A．a－b＜0
B．0＜＜1
C．＜
D．ab＞a＋b
[解析] 由基本不等式知≤，
∵a＞b＞0，∴＜，故选C．
3．对于任意正数a，b，A是a，b的算术平均数，G是a，b的几何平均数，则A与G的大小关系是__A≥G__．
4．已知x＞0，y＞0，且xy＝100，则x＋y的最小值为__20__．
[解析] x＋y≥2＝2＝20(当且仅当x＝y＝10时取等号)．
5．已知a，b∈R，求证：ab≤()2．
[证明] ∵()2－ab＝－ab
＝＝≥0，
∴()2≥ab，
即ab≤()2．
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-
1
-第2课时 基本不等式的应用
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 均值不等式的灵活运用
例1 (1)已知x＞2，求x＋的最小值；
(2)已知＋＝1(x＞0，y＞0)，求x＋y的最小值．
[解析] (1)∵x＞2，∴x－2＞0，
∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．
∴x＋的最小值为6．
(2)∵x＞0，y＞0，∴x＋y＝(x＋y)·(＋)＝4＋2(＋)
≥4＋4＝8．当且仅当＝，即x＝y＝4时取等号，x＋y的最小值为8．
[归纳提升] 利用基本不等式求最值的策略
【对点练习】?
(1)若x＜0，求＋3x的最大值；
(2)设x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．
[解析] (1)因为x＜0，所以＋3x＝－[(－)＋(－3x)]
≤－2＝－12，当且仅当－＝－3x，即x＝－2时等号成立，所以＋3x的最大值为－12．
(2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x．
∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0，y＝，
∴x＋y＝x＋＝x＋
＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18．
当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立．
∴x＋y的最小值是18．
解法二：由2x＋8y＝xy及x＞0，y＞0，得＋＝1．
∴x＋y＝(x＋y)(＋)
＝＋＋10≥2＋10＝18．
当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立．
∴x＋y的最小值是18．
题型二 利用基本不等式求参数范围
例2 已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于( B )
A．10
B．9
C．8
D．7
[解析] 因为a＞0，b＞0，所以2a＋b＞0，所以要使＋≥恒成立，
只需m≤(2a＋b)(＋)恒成立，
而(2a＋b)(＋)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9．
[归纳提升] 1．恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax．将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式．
2．运用基本不等式求参数的取值范围问题在高考中经常出现，在解决此类问题时，要注意发掘各个变量之间的关系，探寻思路，解决问题．
【对点练习】?
若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是____．
[解析] 因为x＞0，所以x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，所以有＝≤＝，即的最大值为，故a≥．
题型三 基本不等式的实际应用
例3 如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36
m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)要使每间虎笼面积为24
m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
[分析] (1)已知a＋b为定值，可用基本不等式求ab的最大值．
(2)已知ab为定值，可用基本不等式求a＋b的最小值．
[解析] (1)设每间虎笼长x
m，宽y
m，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18．
设每间虎笼面积为S，则S＝xy．
方法一：由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，得xy≤，
即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长4.5m，宽3
m时，可使面积最大．
方法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y．
因为x＞0，所以9－y＞0，所以0＜y＜6，S＝xy＝(9－y)y＝(6－y)·y．因为0＜y＜6，所以6－y＞0，所以S≤·[]2＝．
当且仅当6－y＝y即y＝3时等号成立，此时x＝4.5．
故每间虎笼长4.5m，宽3
m时，可使面积最大．
(2)由条件知S＝xy＝24．
设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y．
方法一：因为2x＋3y≥2＝2＝24，
所以l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48．
当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长6
m，宽4
m时，可使钢筋网总长最小．
方法二：由xy＝24，得x＝．
所以l＝4x＋6y＝＋6y＝6(＋y)≥6×2＝48．
当且仅当＝y即y＝4时，等号成立，此时x＝6．
故每间虎笼长6
m，宽4
m时，可使钢筋网总长最小．
[归纳提升] 在应用基本不等式解决实际问题时应注意的问题
(1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域．
(3)在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值．
(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．
【对点练习】?
如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18
000
cm2，四周空白的宽度为10
cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5
cm．怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？
[解析] 设矩形广告牌的高为x
cm，宽为y
cm，则每栏的高和宽分别为(x－20)cm，()cm(x＞20，y＞25)，两栏面积之和为2(x－20)·＝18
000，
由此得y＝＋25，
∴广告牌的面积S＝xy＝x(＋25)＝＋25x，
整理得S＝＋25(x－20)＋18
500．
∵x－20＞0，∴S≥2＋18
500＝24
500．
当且仅当＝25(x－20)时等号成立，此时有(x－20)2＝14
400，
解得x＝140，代入y＝＋25，得y＝175．
即当x＝140，y＝175时，S取得最小值为24
500．
故当广告牌的高为140
cm，宽为175
cm时，可使矩形广告牌的面积最小．
误区警示
易错问题——忽略等号成立的条件或等号成立的一致性
例4 已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则＋的最小值为( B )
A．1＋
B．3＋2
C．3
D．4
[错解] ∵x＞0，y＞0，
∴1＝x＋2y≥2，∴8xy≤1．
∴xy≤，∴≥8．
∵＋≥2＝4．
故＋的最小值为4．
[错因分析] 上述在求解过程中使用了两次基本不等式：x＋2y≥2，＋≥2，但这两次取等号的条件需满足x＝2y与x＝y，自相矛盾，所以等号取不到．
[正解] ∵x＋2y＝1，x＞0，y＞0，
∴＋＝(x＋2y)(＋)＝3＋＋≥3＋2(当且仅当＝，即x＝y时，等号成立)．
∴x＝－1，y＝1－．
故当x＝－1，y＝1－时，＋有最小值，为3＋2．
[方法点拨] 连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立．
学科素养
基本不等式求最值
基本不等式在解决数学问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．
例5 求函数y＝的最大值．
[分析] 把看成一个整体→函数转化为用来表示→找出其内在的形式特点→用基本不等式来处理．
[解析] 设t＝≥0，
则x＝t2－2．
于是y＝(t≥0)．
当t＝0时，y＝0．
当t＞0时，y＝≤＝．
当且仅当2t＝，
即t＝时，y有最大值为．
由＝，
解得x＝－．
即x＝－，y有最大值为．
[归纳提升] 利用基本不等式求最值时，需满足“一正，二定，三相等”的条件，如果形式不满足，要首先化简整理，使其变为满足条件的形式，进而求得最值．
课堂检测·固双基
1．若x＞5，则x＋的最小值为( C )
A．6
B．8
C．9
D．3
[解析] 令t＝x－5，则t＞0，
x＋＝t＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2，x＝7时，
函数f(x)＝x＋(x＞5)的最小值为9．
2．设x＞0，y＞0，x＋y＝4，则＋的最小值为____．
[解析] ∵x＋y＝4，∴＋＝(＋)(x＋y)＝(5＋＋)，又x＞0，y＞0，则＋≥2＝4(当且仅当＝时取等号)，则＋≥×(5＋4)＝．
3．已知x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为____．
[解析] xy＝x·4y≤()2＝，当且仅当x＝4y＝时取等号．
4．建造一个容积为8
m3，深为2
m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2,80元/m2，那么水池的最低总造价为__1_760__元．
[解析] 设池底一边长为x
m，总造价为y元．
则y＝4×120＋2(2x＋2×)×80＝320(x＋)＋480(x＞0)．
因为x＋≥2＝4，当且仅当x＝即x＝2时取等号，所以ymin＝480＋320×4＝1
760(元)．
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1
-2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
【素养目标】
1．理解一元二次方程与二次函数的关系．(数学抽象)
2．掌握图象法解一元二次不等式．(直观想象)
3．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(数学抽象)
4．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．(数学运算)
5．会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式．(逻辑推理)
6．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算)
【学法解读】
在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习中，可以先以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境，使学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式的概念；然后进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序．
第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__一元二次不等式__．
一元二次不等式的一般形式是：
__ax2＋bx＋c＞0(a≠0)__或__ax2＋bx＋c＜0(a≠0)__．
思考1：(1)不等式x2＋＞0是一元二次不等式吗？
(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？
提示：(1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式．
(2)不可以，若a＝0，就不是二次不等式．
知识点2
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
无实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＞x2或x＜x1}
{x|x≠－}
R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
?
?
思考2：如何用图解法解一元二次不等式？
提示：图解法解一元二次不等式的一般步骤：
(1)将原不等式化为标准形式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
(2)求Δ＝b2－4ac；
(3)若Δ＜0，根据二次函数的图象直接写出解集；
(4)若Δ≥0，求出对应方程的根，画出对应二次函数的图象，写出解集．
基础自测
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)mx2－5x＜0是一元二次不等式．( × )
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R．( × )
(3)设二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，且x1＜x2，则一元二次不等式f(x)＞0的解集不可能为{x|x1＜x＜x2}．( × )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)或ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则方程ax2＋bx＋c＝0无实根．( √ )
[解析] (1)当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实根．则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为?．
(3)当二次项系数小于0时，不等式f(x)＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}．
(4)当Δ＜0时，一元二次不等式的解集为空集，此时方程无实根．
2．不等式x2＜2的解集是__{x|－＜x＜}__．
3．不等式(2x－5)(x＋3)＜0的解集为__{x|－3＜x＜}__．
[解析] 将原不等式转化为或，
∴－3＜x＜．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 解一元二次不等式
例1 解下列不等式．
(1)2x2－3x－2＞0；
(2)x2－4x＋4＞0；
(3)－x2＋2x－3＜0；
(4)－3x2＋5x－2＞0．
[分析] 根据三个二次之间的关系求解即可．
[解析] (1)因为Δ＞0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，
所以不等式2x2－3x－2＞0的解集为
{x|x＜－或x＞2}．
(2)因为Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，
所以不等式x2－4x＋4＞0的解集为{x|x≠2}．
(3)原不等式可化为x2－2x＋3＞0，
由于Δ＜0，方程x2－2x＋3＝0无解，
所以不等式－x2＋2x－3＜0的解集为R．
(4)原不等式可化为3x2－5x＋2＜0，
由于Δ＞0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1，
所以不等式－3x2＋5x－2＞0的解集为
{x|＜x＜1}．
[归纳提升] 解一元二次不等式的步骤
(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式．
(2)计算相应的判别式．
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．
(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
【对点练习】?
(1)已知集合M＝{x|－3＜x＜5}，N＝{x|x2－2x－8＜0}，则M∩N＝( C )
A．{x|－2＜x＜5}
B．{x|－3＜x＜4}
C．{x|－2＜x＜4}
D．{x|－3＜x＜5}
(2)函数y＝的自变量的取值范围是( C )
A．{x|x＜－4或x＞3}
B．{x|－4＜x＜3}
C．{x|x≤－4或x≥3}
D．{x|－4≤x≤3}
(3)下列不等式中解集为R的是( C )
A．2x2－3x－2＞0
B．x2－4x＋4＞0
C．－x2＋4x－5＜0
D．－3x2＋5x－2＞0
题型二 三个“二次”的关系
例2 已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为{x|－＜x＜}，求p，q的值并求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
[分析] 由一元二次不等式的解集，可得相应二次函数与x轴的交点，再利用根与系数的关系求待定系数．
[解析] 因为x2＋px＋q＜0的解集为{x|－＜x＜}，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得解得
所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－x2＋x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3．即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
[归纳提升] 注意已知条件的含义和根与系数关系的应用：
①一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根．
②由一元二次方程根与系数的关系列方程组求参数．
【对点练习】?
若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．
[解析] 因为不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，所以a＜0，且－3,4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系可得，
即
所以不等式bx2＋2ax－c－3b≥0可化为－ax2＋2ax＋15a≥0，即x2－2x－15≥0，解得x≤－3或x≥5，故所求不等式的解集为{x|x≤－3或x≥5}．
题型三 解含有参数的一元二次不等式(对判别式的讨论)
例3 解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0．
[分析] 二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．
[解析] 对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ＝a2－16＝(a＋4)(a－4)．
①当a＞4或a＜－4时，Δ＞0，方程2x2＋ax＋2＝0的两根为x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)，
∴原不等式的解集为{x|x＜(－a－)或x＞(－a＋)}．
②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，
∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．
③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，
∴原不等式的解集为{x|x≠1}．
④当－4＜a＜4时，Δ＜0，方程无实根，故原不等式的解集为R．
[归纳提升] 在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a＞0，a＝0，a＜0；
(2)关于不等式对应方程的根的讨论：两根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)；
(3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2．
【对点练习】?
解关于x的不等式：x2－2ax＋2≤0．
[解析] 因为Δ＝4a2－8，所以Δ＜0，即－＜a＜时，原不等式对应的方程无实根．又二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为?．
当Δ＝0时，即a＝±时，原不等式对应的方程有两个相等实根．
当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}；
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}．当Δ＞0，即a＞或a＜－时，原不等式对应的方程有两个不等实数，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．
综上所述，当－＜a＜时，原不等式的解集为?；
当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}；
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；
当a＞或a＜－时，原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．
题型四 解含有参数的一元二次不等式(对根的大小的讨论)
例4 解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0．
[解析] 方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则：
当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；
当a＝－1时，原不等式解集为?；
当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
【对点练习】?
解关于x的不等式：x2－3ax－18a2＞0．
[解析] 将x2－3ax－18a2＞0变形得(x－6a)(x＋3a)＞0，
方程(x－6a)(x＋3a)＝0的两根为6a，－3a．
所以(1)当a＞0时，6a＞－3a，
原不等式的解集为{x|x＜－3a或x＞6a}．
(2)当a＝0时，6a＝－3a＝0，
原不等式的解集为{x|x≠0}．
(3)当a＜0时，6a＜－3a，
原不等式的解集为{x|x＜6a或x＞－3a}．
课堂检测·固双基
1．求下列不等式的解集：
(1)(x＋2)(x－3)＞0；(2)3x2－7x≤10；
(3)－x2＋4x－4＜0；(4)x2－x＋＜0；
(5)－2x2＋x≤－3；(6)x2－3x＋4＞0．
[解析] (1)(x＋2)(x－3)＝0的两根为x1＝－2，x2＝3，
所以原不等式的解集为{x|x＞3或x＜－2}．
(2)原不等式等价于(x＋1)(3x－10)≤0，所以原不等式的解集是{x|－1≤x≤}．
(3)原不等式等价于x2－4x＋4＞0，即(x－2)2＞0，所以原不等式的解集是{x|x≠2}．
(4)因为x2－x＋＝(x－)2≥0，所以原不等式的解集为?．
(5)原不等式等价于(x＋1)(2x－3)≥0，所以原不等式的解集是{x|x≥或x≤－1}．
(6)因为x2－3x＋4＝(x－)2＋＞0，所以原不等式的解集为R．
2．当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0?
(1)y＝3x2－6x＋2；
(2)y＝25－x2；
(3)y＝x2＋6x＋10；
(4)y＝－3x2＋12x－12．
[解析] (1)使y＝3x2－6x＋2的值等于0的x的取值集合是{，}；
使y＝3x2－6x＋2的值大于0的x的取值范围是{x|x＜或x＞}；使y＝3x2－6x＋2的值小于0的x的值为．
(2)令25－x2＝0，则x＝±5，又由y＝25－x2图象的开口方向向下，故x＝±5时，函数的值等于0，当－5＜x＜5时，函数值大于0；当x＞5或x＜－5时，函数值小于0．
(3)令x2＋6x＋10＝0，则方程无解，又由y＝x2＋6x＋10图象的开口方向朝上，故无论x为何值，函数值均大于0．
(4)令－3x2＋12x－12＝0，则x＝2，又由y＝－3x2＋12x－12图象的开口方向朝下，故x＝2时，函数的值等于0，当x≠2时，函数值小于0．
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-第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用
必备知识·探新知
1．简单的分式不等式的解法
2．一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立?ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立?
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．
3．利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；
(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 简单分式不等式的解法
例1 解不等式：
(1)＜0；(2)≥0；(3)＞1．
[解析] (1)原不等式可化为(x＋1)(2x－1)＜0，∴－1＜x＜，
故原不等式的解集为{x|－1＜x＜}．
(2)原不等式可化为≤0，
∴
∴即－＜x≤1．
故原不等式的解集为{x|－＜x≤1}．
(3)原不等式可化为－1＞0，
∴＞0，∴＞0，则x＜－2．
故原不等式的解集为{x|x＜－2}．
[归纳提升] 简单分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可．
【对点练习】?
解下列不等式．
(1)≥0；(2)＞1．
[解析] (1)原不等式可化为
解得
∴x＜－或x≥，
∴原不等式的解集为{x|x＜－或x≥}．
(2)原不等式可化为＞0，
化简得＞0，
即＜0，
∴(2x＋1)(x＋3)＜0，解得－3＜x＜－．
∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜－}．
题型二 不等式的恒成立问题
例2 已知不等式mx2－2x＋m－2＜0，若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围．
[分析] 本题的易错之处在于忽略对二次项系数为0的讨论，即使不符合题意，也要规范地解答，这是解题过程的完整性．
[解析] 对于所有实数x都有不等式mx2－2x＋m－2＜0恒成立，即函数y＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方．当m＝0时，－2x－2＜0，显然对任意x不能恒成立；
当m≠0时，由二次函数的图象可知有解得m＜1－．
综上可知，m的取值范围是{m|m＜1－}．
[归纳提升] 求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法
1．利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题．
当未说明不等式为一元二次不等式时，有
(1)不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立?或
(2)不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立?或
2．分离自变量和参变量，利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题．
通过等价变形，将参变量分离出来，转化为y＞a(或＜a，或≥a，或≤a)恒成立问题：
(1)若y在定义域内存在最大值m，则y＜a(或y≤a)恒成立?a＞m(或a≥m)；
(2)若y在定义域内存在最小值m，则y＞a(或y≥a)恒成立?a＜m(或a≤m)．
【对点练习】?
若关于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≤0恒成立，求实数a的取值范围．
[解析] 若a＝0时，原不等式为－2x－2≤0不恒成立，所以a≠0．
当a≠0时，则应有
即
整理得解得a＝－2．
所以实数a的值为－2．
题型三 一元二次方程根的分布
例3 已知方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0有两实根，如果两实根都大于1，求实数m的取值范围．
[解析] 设方程两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝．
因为两根均大于1，所以x1－1＞0，x2－1＞0，
故有
即解得
所以m≥25．
故实数m的取值范围是{m|m≥25}．
[归纳提升] 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布情况如下，其中x1，x2为该方程两根：
(1)x1，x2一正一负?x1x2＜0．
(2)x1＞0，x2＞0?
(3)x1＜0，x2＜0?
【对点练习】?
(2021·陕西汉中高二期末)要使关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是__{a|－2＜a＜1}__．
[解析] 设两根为x1＞1，x2＜1，则x1－1＞0，x2－1＜0，
∴
即
即解得－2＜a＜1．
题型四 一元二次不等式的应用
例4 恩格尔系数(记为n)是指居民的食物支出占家庭消费总支出的比重．根据某镇家庭抽样调查的统计，2003年每户家庭平均消费支出总额为1万元，其中食品消费额为0.6万元．预测2003年后，每户家庭平均消费支出总额每年增加3
000元，如果到2005年该镇居民生活状况能达到小康水平(即恩格尔系数n满足40%＜n≤50%)，则这个镇每户食品消费额平均每年的增长率至多是多少(精确到0.1%)?
[解析] 设食品消费额的年平均增长率为x(x＞0)，则2005年，食品消费额为0.6(1＋x)2万元，消费支出总额为1＋2×0.3＝1.6(万元)．依题意得40%＜≤50%，
即
又x＞0，解得
因此－1＜x≤－1．
因为－1≈0.033＝3.3%，－1≈0.155＝15.5%，所以该镇居民的生活如果在2005年达到小康水平，那么他们的食品消费额的年增长率就应在3.3%到15.5%的范围内取值，不包括3.3%但包括15.5%，也就是说，平均每年的食品消费额增长率至多是15.5%．
[归纳提升] 一元二次不等式解决实际应用问题的步骤
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系．
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式(组)问题．
(3)解这个一元二次不等式(组)，得到实际问题的解．
【对点练习】?
有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的28%，问桶的容积最大为多少升？
[解析] 设桶的容积为x升，显然x＞8．
依题意，得(x－8)－≤28%·x．
由于x＞8，因而原不等式化简为9x2－150x＋400≤0，
即(3x－10)(3x－40)≤0．
因此≤x≤，从而8＜x≤．
故桶的容积最大为升．
误区警示
不等式恒成立时忽略首项系数的符号特征
例5 要使函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，求m的取值范围．
[错解] 二次函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负，则必须图象开口向下，且与x轴无公共点．
∴?m＜0，所求范围为m＜0．
[错因分析] 只有一元二次不等式才有相应判别式的研究，本题中的函数由于首项系数含有参数，因此可能不是一元二次型，因此必须讨论m的取值．解答本题时容易出错的地方是直接默认函数为一元二次型而采用判别式法处理．
[正解] 函数y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒为负值，即不等式mx2＋mx＋(m－1)＜0对一切实数x恒成立，于是
①当m＝0时，－1＜0恒成立；
②当m≠0时，要使其恒成立，则有
解得m＜0．
综上，m的取值范围为{m|m≤0}．
[方法点拨] 忽略对疑似二次型问题的首项系数的讨论是二次型问题的常见且典型的错误，因此要注重对首项系数的讨论．
课堂检测·固双基
1．不等式≥0的解集是( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 原不等式可化为
解得－≤x＜，
故其解集为．故选B．
2．若x∈{x|1＜x＜2}时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求m的取值范围．
[解析] 设y＝x2＋mx＋4，图象开口向上，因为当x∈{x|1＜x＜2}时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，所以需满足x＝1与x＝2时的函数值同时小于或等于0，
即解得m≤－5．
3．国家原计划以2
400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%．
[解析] 设税率调低后，税收总收入为y元．
y＝2
400m(1＋2x%)·(8－x)%
＝－m(x2＋42x－400)(0＜x≤8)．
依题意，得y≥2
400m×8%×78%，
即－m(x2＋42x－400)≥2
400m×8%×78%，
整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2．
根据x的实际意义，知0＜x≤8，
所以x的范围为0＜x≤2．
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