第四章 指数函数与对数函数
4．1 指 数
【素养目标】
1．弄清()n与的区别，掌握n次方根的运算．(数学抽象)
2．能够利用a＝进行根式与分数指数幂的互化．(数学运算)
3．通过对根指数n的讨论学会运用分类讨论的思想方法．(逻辑推理)
【学法解读】
本节的重点是根式与分数指数幂的概念及性质和分数指数幂的运算法则，以及法则的推广，这同时也是简化计算的一个方面．在学习中应采用类比的方法经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．
4．1.1 n次方根与分数指数幂
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
n次方根
定义
一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N
个数
n是奇数
a＞0
x＞0
x仅有一个值，记为
a＜0
x＜0
n是偶数
a＞0
x有两个值，且互为相反数，记为±
a＜0
x不存在
思考1：正数a的n次方根一定有两个吗？
提示：不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数，当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数．
知识点2
根式
(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，
a叫做被开方数．
(2)性质：(n＞1，且n∈N
)
①()n＝a.
②＝
思考2：()n与中的字母a的取值范围是否一样？
提示：取值范围不同．式子()n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子中，a∈R.
知识点3
分数指数幂的意义(a>0，m，n∈N
，且n>1)
正分数指数幂
a＝
负分数指数幂
a－＝＝
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
思考3：为什么分数指数幂的底数规定a>0?
提示：(1)当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则a，a－无意义；
(2)当a＝0时，a0无意义．
知识点4
有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈Q)
(1)aras＝ar＋s.
(2)(ar)s＝ars.
(3)(ab)r＝arbr.
思考4：同底数幂相除ar÷as，同次的指数相除分别等于什么？
提示：(1)ar÷as＝ar－s；
(2)＝()r.
基础自测
1.等于( B )
A．2
B．－2
C．±2
D．－8
[解析] ＝＝－2.
2．下列各式正确的是( A )
A．()3＝a
B．()4＝－7
C．()5＝|a|
D．＝a
[解析] ()3＝a，()4＝7，
()5＝a，＝|a|＝，故选A．
3．4－可化为( C )
A．8
B．2
C．
D．2
[解析] 4－＝＝＝＝.
4．若a>0，n，m为实数，则下列各式中正确的是( D )
A．am÷an＝a
B．an·am＝am·n
C．(an)m＝am＋n
D．1÷an＝a0－n
[解析] 由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确，故选D．
5．若有意义，则实数x的取值范围为(－∞，6]．
[解析] 要使式子有意义，应满足6－x≥0，
∴x≤6.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 n次方根的概念
例1
(1)16的平方根为±4，－27的5次方根为；
(2)已知x7＝6，则x＝；
(3)若有意义，则实数x的取值范围是[2，＋∞)．
[分析] 解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求．
[解析] (1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为.
(2)∵x7＝6，∴x＝.
(3)要使有意义，则需x－2≥0,
即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．
[归纳提升] (1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数；
(2)()n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．
【对点练习】?
计算下列各值：
(1)27的立方根是3；
(2)256的4次算术方根是4；
(3)32的5次方根是2．
[解析] (1)∵33＝27，
∴27的立方根是3.
(2)∵(±4)4＝256，
∴256的4次算术方根为4.
(3)∵25＝32，
∴32的5次方根为2.
题型二 利用根式的性质化简或求值
例2 化简：
(1)；
(2)(a>b)；
(3)()2＋＋.
[解析] (1)＝|3－π|＝π－3.
(2)＝|a－b|＝a－b.
(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.
原式＝a－1＋|1－a|＋1－a
＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
[归纳提升] n为奇数时，()n＝＝a，a为任意实数均可；n为偶数时，a≥0，()n才有意义，且()n＝a；而a为任意实数均有意义，且＝|a|.
【对点练习】?
求下列各式的值：
(1)；
(2)(a≤1)；
(3)＋.
[解析] (1)＝－2.
(2)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.
(3)＋＝a＋|1－a|＝
题型三 根式与分数指数幂的互化
例3 (1)用根式的形式表示下列各式(x>0)．
①x；②x－.
(2)把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.
①；②；③；④.
[解析] (1)①x＝；
②x－＝.
(2)①＝a.
②＝＝a－.
③＝()＝ba－＝a－b.
④＝＝a＝a3.
[归纳提升] 根式与分数指数幂互化的规律
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
【对点练习】?
(1)化简()－的结果是( A )
A．
B．
C．3
D．5
(2)用分数指数幂表示下列各式：
①(a>0，b>0)；
②(a>0，b>0)．
[解析] (1)()
－＝＝.
(2)①＝＝1.
②＝＝＝＝a－b.
题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值
例4 (1)计算：(2)0＋2－2·(2)－－(0.01)0.5＝；
(2)化简：÷÷.
[分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算．
[解析] (1)原式＝1＋×()－()＝1＋－＝.
(2)原式＝÷÷
＝÷÷
＝a÷(a)÷(a－2)
＝a÷a÷a－
＝a－÷a－＝a－＋＝a.
[归纳提升] 1.幂的运算的常规方法
(1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数；
(2)化根式为分数指数幂；
(3)化小数为分数．
2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求
利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．
【对点练习】?
计算下列各式(式中字母均为正数)．
①(5x－y)·(－x－1y)·(－xy－)；
②(0.064)
－－(－)0＋[(－2)3]
－＋16－0.75；
③－＋＋[(0.064)－2.5]－π0.
[解析] ①原式＝[5×(－)×(－)]x－y·x－1y·xy－
＝x－－1＋y＋－
＝x－y.
②原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3
＝－1＋＋
＝.
③原式＝()－()＋()＋()×(－2.5)×－1＝－＋＋()－1－1＝3.
课堂检测·固双基
1．化简[(－)2]－的结果是( C )
A．－
B．
C．
D．－
[解析] [(－)2]
－＝3－＝＝＝.
2．已知m<，则化简的结果为( C )
A．
B．－
C．
D．－
[解析] ∵m<，∴3m－2<0，排除A，B，
又(3m－2)2>0，所以为正，所以选C．
3．若2＜a＜3，化简＋的结果是( C )
A．5－2a
B．2a－5
C．1
D．－1
[解析] 由于2＜a＜3，所以2－a＜0，3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1，故选C．
4．以下说法正确的是( C )
A．正数的n次方根是正数
B．负数的n次方根是负数
C．0的n次方根是0(其中n>1且n∈N
)
D．负数没有n次方根
[解析] 对于A，正数的偶次方根中有负数，∴A错误；
对于B，负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，
∴B错误；
对于C，当n>1且n∈N
时，0的n次方根是0，
∴C正确；
对于D，n为奇数时，负数的奇次方根是负数，∴D错误．
5．(2021·江苏、苏州市高一期中测试)求值：＝．
[解析] ＝＝.
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-4．1.2 无理数指数幂及其运算性质
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．
思考1：2
eq
\s\up3()
一定是实数吗？
提示：根据无理指数幂的定理2
eq
\s\up3()
是实数．
知识点2
实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)
(1)aras＝ar＋s．(2)(ar)s＝ars．(3)(ab)r＝arbr．
思考2：指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？
提示：
基础自测
1．下列说法正确的个数是( B )
(1)无理数指数幂有的不是实数．
(2)指数幂ax(a>0)中的x只能是有理数．
(3)(3
eq
\s\up3()
)
eq
\s\up3()
＝9.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] (1)无理数指数幂对应一个确定的实数，不正确；
(2)指数幂ax(a>0)中的x是任意实数，不正确；
(3)(3
eq
\s\up3()
)
eq
\s\up3()
＝3
eq
\s\up3()
×
eq
\s\up3()
＝32＝9，正确，故选B．
2．aa＝a．
3．()
eq
\s\up3()
＝n
eq
\s\up3()
m－
eq
\s\up3()
．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 无理数指数幂的运算
例1
计算下列各式：
[解析] (1)原式＝(3×2)3＝36×22＝2
916.
(2)原式＝a＋－π＝a－.
[归纳提升] 关于无理数指数幂的运算
(1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算．
(2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留．
【对点练习】?
计算下列各式：
[解析] (1)原式＝(π
eq
\s\up3()
－)2＝(π)2＝π3.
(2)原式＝(m－)12＝(m)12＝m2π.
题型二 指数幂运算的综合应用
例2 已知a＋a－＝3，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3).
[分析] 利用完全平方差公式求(1)(2)，利用立方差公式求(3)．
[解析] (1)将a＋a－＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.
(2)将a＋a－1＝7两边平方，有a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47.
(3)由于a－a－＝(a)3－(a－)3，所以有
＝＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.
[归纳提升] (1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过a＋a－＝3解出a的值代入求值，则非常复杂．
(2)解决此类问题的一般步骤是
【对点练习】?
已知x－y＝6，xy＝16，求的值．
[解析] ∵＝
＝，
又x－y＝6，xy＝16，
∴(x＋y)2＝(x－y)2＋4xy＝62＋4×16＝100.
∴x＋y＝10或x＋y＝－10.
当x＋y＝10时，原式值为＝3，
当x＋y＝－10时，原式值为＝－.
BBBB误区警示
因忽略幂底数的范围而导致错误
例3 化简(1－a)[(a－1)－2(－a)]＝(－a)．
[错解] (1－a)[(a－1)－2·(－a)]
＝(1－a)(a－1)－1·(－a)＝－(－a).
[错因分析] 忽略了题中有(－a)，即相当于告知－a≥0，故a≤0，这样，[(a－1)－2]≠(a－1)－1.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件．
[正解] 由(－a)知－a≥0，故a－1<0.
∴(1－a)[(a－1)－2(－a)]＝(1－a)(1－a)－1·(－a)＝(－a).
[方法点拨] 在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求．
学科素养
用换元法处理指数幂中的化简与证明问题
例4 设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，求证：＝＋.
[分析] 根据已知条件3a＝4b＝6c，设一个参数t，用含t的式子表示a，b，c，从而找到a，b，c之间的关系．
[解析] 令3a＝4b＝6c＝t(t>0)，则3＝t，2＝t，6＝t.
因为3×2＝6，所以t·t＝t，
即＋＝，所以＝＋.
[归纳提升] 对于指数幂等式的证明问题常常是将指数幂化为同底，利用指数幂相等的规律进行证明．解决此类问题的关键是通过指数运算进行等价代换，以及利用参数找到已知与结论的联系，这样才能使问题迅速得到解决．
课堂检测·固双基
1．下列能正确反映指数幂的推广过程的是( A )
A．整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂
B．有理数指数幂→整数指数幂→无理数指数幂
C．整数指数幂→无理数指数幂→有理数指数幂
D．无理数指数幂→有理数指数幂→整数指数幂
2．计算(2
eq
\s\up3()
)－的结果是( D )
A．
B．－
C．2
D．
[解析]
(2
eq
\s\up3()
)－＝2－1＝，故选D．
3.·＝( A )
A．a
B．a
C．a
D．a
[解析] 原式＝a·a＝a＋＝a，故选A．
4．设x∈R且x≠0，若x＋x－1＝3，则x8＋x－8的个位数字是( D )
A．2
B．5
C．6
D．7
[解析] x＋x－1＝3?x2＋x－2＝7?x4＋x－4＝47?x8＋x－8＝472－2，故选D．
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-4．2.1 指数函数的概念
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
指数函数
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R．
思考1：(1)为什么指数函数的底数a>0，且a≠1?
(2)指数函数的解析式有什么特征？
提示：(1)①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．
②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义．
③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.
(2)①a>0，且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1.
知识点2
指数型函数模型
形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a>0且a≠1)的函数是指数型函数模型．
思考2：设原有量为N，每次的增长量为p，经过x次增长，该量增长到y，则x，y之间满足的关系式是什么？
提示：y＝N(1＋p)x(x∈N)．
基础自测
1．下列函数中一定是指数函数的是( C )
A．y＝2x＋1
B．y＝x2
C．y＝3－x
D．y＝－2·3x
[解析] 只有y＝3－x＝()x符合指数函数的概念，A，B，D选项中函数都不符合y＝ax(a＞0，且a≠1)的形式．
2．按复利计算利率的储蓄，存入银行2万元，如果年息3%，5年后支取，本利和为人民币( B )
A．2(1＋0.3)5万元
B．2(1＋0.03)5万元
C．2(1＋0.3)4万元
D．2(1＋0.03)4万元
3．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝()x．
[解析] 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
由f(2)＝2得a2＝2，∴a＝或－(舍去)．
∴f(x)＝()x.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 指数函数的概念
例1
(1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是( B )
A．y＝(－4)x
B．y＝πx
C．y＝－4x
D．y＝ax＋2(a>0，a≠1)
(2)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( C )
A．a＝1或2
B．a＝1
C．a＝2
D．a>0且a≠1
[分析] 利用指数函数的定义进行判断．
[解析] (1)函数y＝(－4)x的底数－4<0，故A中函数不是指数函数；函数y＝πx的系数为1，底数π>1，故B中函数是指数函数；
函数y＝－4x的系数为－1，故C中函数不是指数函数；
函数y＝ax＋2＝a2·ax的系数为a2，故D中函数不是指数函数，故选B．
(2)由题意，得，
解得a＝2，故选C．
[归纳提升] 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：
(1)底数a为大于0且不等于1的常数；
(2)指数位置是自变量x；
(3)ax的系数是1.
2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件．
【对点练习】?
(1)下列函数中是指数函数的是( D )
A．y＝2·()x
B．y＝xx
C．y＝3－
D．y＝()x
(2)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则( C )
A．a＝1或－1
B．a＝1
C．a＝－1
D．a>0且a≠1
[解析] (1)由指数函数定义可知，函数y＝()x是指数函数，故选D．
(2)由条件知解得a＝－1.
题型二 指数函数解析式
例2 (1)指数函数y＝f(x)的图象经过点(π，)，则f(－π)＝．
(2)指数函数y＝f(x)的图象经过点(－2，)，那么f(4)·f(2)＝64．
[解析] (1)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则aπ＝，
∴f(－π)＝a－π＝＝＝.
(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则a－2＝，∴a＝2.
∴f(x)＝2x，∴f(4)·f(2)＝24·22＝26＝64.
[归纳提升] 求指数函数解析式的步骤
(1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0且a≠1)．
(2)利用已知条件求底数a.
(3)写出指数函数的解析式．
【对点练习】?
(1)若点(a，27)在函数y＝()x的图象上，则的值为( A )
A．
B．1
C．2
D．0
(2)若指数函数y＝f(x)的图象经过点(－2，)，
则f(－)＝．
题型三 指数型函数的实际应用
角度1 增长型指数函数模型
例3 随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3
000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为( B )
A．3
000×1.06×7元
B．3
000×1.067元
C．3
000×1.06×8元
D．3
000×1.068元
[解析] 由题意知，2021年底该地区农民人均收入为3
000×(1＋6%)7＝3
000×1.067，故选B．
角度2 衰减型指数函数模型
例4 调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2
mg/ml.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8
mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过__________小时后才可以驾驶机动车．( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 设n小时后才可以驾车，据题意得
0．8(1－50%)n≤0.2，∴0.5n≤，∴n≥2，
即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车，故选B．
[归纳提升] 关于指数型函数模型
设原有量为N，每次的增长(衰减)率为p，经过x次增长(衰减)，该量增长到y，则y＝N(1±p)x(x∈N)．
【对点练习】?
已知某种产品的生产成本每年降低25%.若该产品2017年底的生产成本为6
400元/件，那么2020年底的生产成本为2_700元/件．
[解析] 2020年底生产成本6
400×(1－25%)3＝2
700元．
课堂检测·固双基
1．下列函数中，是指数函数的是( D )
A．y＝(－8)x
B．y＝2x2－1
C．y＝ax
D．y＝(2a－1)x(a>，且a≠1)
2．若指数函数f(x)的图象过点(3，8)，则f(x)的解析式为( B )
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝2x
C．f(x)＝()x
D．f(x)＝x
3．(2020·吉林乾安七中高一期中测试)指数函数f(x)的图象经过点(2，4)，则f(3)＝8．
[解析] 设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
由题意，得4＝a2，∴a＝2.
∴f(x)＝2x，∴f(3)＝23＝8.
4．若函数y＝(k＋2)ax＋2－b(a＞0，且a≠1)是指数函数，则k＝－1，b＝2．
[解析] 根据指数函数的定义，得，解得.
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1
-4．2.2 指数函数的图象和性质
第1课时 指数函数的图象和性质(一)
必备知识·探新知
基础知识
知识点
指数函数的图象和性质
0＜a＜1
a＞1
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
在R上是减函数
在R上是增函数
思考：(1)对于指数函数y＝2x，y＝3x，y＝()x，y＝()x，…，为什么一定过点(0，1)?
(2)观察指数函数的图象，思考：在下表中，？处y的范围是什么？
底数
x的范围
y的范围
a>1
x>0
？
x<0
？
0
x>0
？
x<0
？
提示：(1)当x＝0时，a0＝1(a≠0)恒成立，即指数函数的图象一定过点(0，1)．
(2)
底数
x的范围
y的范围
a>1
x>0
y>1
x<0
00x>0
0x<0
y>1
基础自测
1．下列说法正确的个数是( C )
(1)指数函数的图象都在x轴的上方．
(2)若指数函数y＝ax是减函数，则0(3)对于任意的x∈R，一定有3x>2x.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 对于(1)，由指数函数的性质可知正确．
对于(2)，由指数函数的单调性可知正确．
对于(3)，由y＝3x，y＝2x的图象可知，当x<0时，3x<2x，故(3)不正确．
2．函数y＝(－1)x在R上是( D )
A．增函数
B．奇函数
C．偶函数
D．减函数
[解析] ∵0<－1<1，∴函数y＝(－1)x在R上是减函数．
3．函数y＝2－x的图象是( B )
[解析] 函数y＝2－x＝()x过点(0，1)，且在R上是减函数，故选B．
4．函数y＝1－2x，x∈[0，1]的值域是( B )
A．[0，1]
B．[－1，0]
C．
D．
[解析] ∵0≤x≤1，∴1≤2x≤2，
∴－1≤1－2x≤0，选B．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 指数函数的图象
例1
如图所示是下列指数函数的图象：
(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.
则a，b，c，d与1的大小关系是( B )
A．aB．bC．1D．a[分析] 根据指数函数的底数与图象间的关系来进行判断．
[解析] 可先分为两类，(3)(4)的底数一定大于1，(1)(2)的底数一定小于1，然后再由(3)(4)比较，c，d的大小，由(1)(2)比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，且当底数越小，图象向下越靠近x轴，故选B．
[归纳提升] 指数函数图象的变化规律
指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．
【对点练习】?
(1)如图所示是指数函数的图象，已知a的值取，，，，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a依次为( D )
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
[解析] 按规律，C1，C2，C3，C4的底数a依次增大，故选D．
(2)若函数y＝ax＋(b－1)(a＞0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有( D )
A．a＞1且b＜1
B．0＜a＜1且b≤1
C．0＜a＜1且b＞0
D．a＞1且b≤0
[解析] 由函数图象不过第二象限知a>1，且x＝0时，a0＋(b－1)≤0，∴b≤0，故选D．
题型二 与指数函数有关的定义域、值域问题
例2 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；
(2)y＝()－|x|；
(3)y＝.
[分析] 定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值集合，值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解．
[解析] (1)由题意知x－4≠0，所以x≠4，所以函数的定义域为{x|x∈R，x≠4}．因为≠0，所以2≠1，所以函数的值域为{y|y>0，且y≠1}．
(2)由题意知函数的定义域为R.
因为|x|≥0，所以y＝()－|x|＝()|x|≥()0＝1，所以函数的值域为{y|y≥1}．
(3)由题意知1－()x≥0，所以()x≤1＝()0，所以x≥0，所以函数的定义域为{x|x≥0，x∈R}．因为y关于x单调递增，所以函数的值域为{y|y≥0}．
[归纳提升] 1.函数单调性在求函数值域中的应用
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(a)≤f(x)≤f(b)，值域为[f(a)，f(b)]．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是减函数，则f(a)≥f(x)≥f(b)，值域为[f(b)，f(a)]．
2．函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域．
函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．
(2)值域．
①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
【对点练习】?
求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；
(2)y＝()x2－2x－3；
(3)y＝5.
[解析] (1)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，
∴y＝的定义域为(－∞，0]．
由0<2x≤1，得－1≤－2x<0，∴0≤1－2x<1，
∴y＝的值域为[0，1)．
(2)y＝()x2－2x－3的定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴()x2－2x－3≤()－4＝16.
又∵()x2－2x－3>0，
故函数y＝()x2－2x－3的值域为(0，16]．
(3)由2x－4>0，得x>2，故函数的定义域为{x|x>2}，
因为>0，所以y＝5>1，故函数的值域为{y|y>1}．
题型三 幂式大小的比较
例3 比较下列各题中两个值的大小．
(1)1.82.2，1.83； (2)0.7－0.3，0.7－0.4；
(3)1.90.4，0.92.4;
(4)()，().
[分析] (1)(2)利用指数函数的单调性比较；(3)借助中间量1进行比较；(4)借助中间量()进行比较．
[解析] (1)∵1.82.2，1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，
∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数，
又2.2<3，
∴1.82.2<1.83.
(2)∵y＝0.7x在R上为减函数，
又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.
(3)∵1.90.4>1.90＝1，0.92.4<0.90＝1，
∴1.90.4>0.92.4.
(4)∵＝()<()0＝1，∴()<()，
∵y＝()x在R上为减函数，又>，
∴()<()，∴()<().
[归纳提升] 1.比较幂值大小的三种类型及处理方法
2．解指数不等式的类型及应注意的问题
(1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分为01两种情况分类讨论．
(2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．
3．函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧
当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0【对点练习】?
比较下列每组中两个数的大小：
(1)1.72.5，1.73；
(2)0.8－0.1，0.8－0.2；
(3)()－0.5，()－0.5；
(4)1.70.3，0.93.1.
[解析] (1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7>1，∴指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.
(2)考查函数y＝0.8x，由于0<0.8<1，
∴指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．
∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2.
(3)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝()x与y＝()x的图象，如图所示，当x＝－0.5时，观察图象可得()－0.5＞()－0.5.
(4)由指数函数的性质得
1．70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1，
∴1.70.3>0.93.1.
课堂检测·固双基
1．函数f(x)＝πx与g(x)＝()x的图象关于( C )
A．原点对称
B．x轴对称
C．y轴对称
D．直线y＝－x对称
[解析] 设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝()x的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝()x的图象关于y轴对称，选C．
2．若函数f(x)＝(2a－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是( C )
A．(0，1)
B．(1，＋∞)
C．(，1)
D．(－∞，1)
[解析] 由已知，得0<2a－1<1，则3．(2021·安徽合肥众兴中学高一期末测试)函数y＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点( D )
A．(0，1)
B．(1，1)
C．(2，0)
D．(2，2)
[解析] 令x－2＝0，即x＝2，y＝a0＋1＝2，故选D．
4．已知函数f(x)为指数函数，且f(－)＝，则f(－2)＝．
[解析] 设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，
∴＝a－＝，
∴＝，∴a＝3.
∴f(x)＝3x，∴f(－2)＝3－2＝.
5．函数y＝2x(x≥0)的值域是[1，＋∞)．
[解析] ∵y＝2x在[0，＋∞)上为增函数，
∴x≥0即y≥20，
∴值域为[1，＋∞)．
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-第2课时 指数函数的图象和性质(二)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
比较幂的大小
比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断．
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
知识点2
有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域
形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域．
求形如y＝af(x)的函数的值域，应先求出u＝f(x)的值域，再由单调性求出y＝au的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．
求形如y＝f(ax)的函数的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．
(2)判断复合函数的单调性
令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，那么复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．
(3)研究函数的奇偶性
一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性．
二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．
基础自测
1．已知>，则a，b的大小关系是( B )
A．1>a>b>0
B．aC．a>b
D．1>b>a>0
[解析] 因为y＝在(0，＋∞)上是单调递减函数，>，所以a2．设f(x)＝，x∈R，那么f(x)是( D )
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
[解析] 因为f(－x)＝＝＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
又当x>0时，f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，
故选D．
3．若2x＋1＜1，则x的取值范围是( D )
A．(－1，1)
B．(－1，＋∞)
C．(0，1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)
[解析] 不等式2x＋1＜20，因为y＝2x是定义域R上的增函数，所以x＋1＜0，即x＜－1.
4．当x∈[－1，1]时，函数f(x)＝3x－2的值域是( C )
A．[1，]
B．[－1，1]
C．[－，1]
D．[0，1]
[解析] 因为f(x)＝3x－2是[－1，1]上的增函数，所以3－1－2≤f(x)≤3－2，
即－≤f(x)≤1.
5．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为m[解析] ∵a＝∈(0，1)，
∴f(x)＝ax为减函数，故由am>an，解得m关键能力·攻重难
题型探究
题型一 指数型函数的单调性
例1
讨论函数f(x)＝()x2－2x的单调性，并求其值域．
[分析] 此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可根据复合函数的单调性对其讨论．
[解析] 解法一：∵函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，
设x1、x2∈(－∞，＋∞)且有x1∴f(x2)＝()x－2x3，f(x1)＝()x－2x1.＝eq
\f(（\f(1,3)）x－2x2,（\f(1,3)）x－2x1)＝()x－x－2(x2－x1)＝()(x2－x1)(x2＋x1－2)．
(1)当x1又∵x2－x1>0，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)<0，则知()(x2－x1)(x2＋x1－2)>1.又对于x∈R，f(x)>0恒成立．
∴f(x2)>f(x1)．∴函数f(x)在(－∞，1]上单调递增．
(2)当1≤x12，即有x1＋x2－2>0.
又∵x2－x1>0，∴(x2－x1)(x1＋x2－2)>0，则知0<()(x2－x1)(x2＋x1－2)<1，
∴f(x2)综上，函数f(x)在区间(－∞，1]上是增函数；在区间[1，＋∞)上是减函数．
∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，0<<1，∴0<()x2－2x≤()－1＝3.∴函数f(x)的值域为(0，3]．
解法二：∵函数f(x)的定义域为R，令u＝x2－2x，则g(u)＝()u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1，在(－∞，1)上是减函数，g(u)＝()u在其定义域内是减函数，
∴函数f(x)在(－∞，1]内为增函数．
又g(u)＝()u在其定义域内为减函数，而u＝x2－2x＝(x－1)2－1在[1，＋∞)上是增函数．
∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数．求值域同解法一．
[归纳提升] (1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]单调性．
【对点练习】?
求函数f(x)＝2x2－6x＋17的定义域、值域、单调区间．
[解析] 函数f(x)的定义域为R.令t＝x2－6x＋17，则y＝2t.∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8在(－∞，3)上是减函数，而y＝2t在其定义域内是增函数，∴函数f(x)在(－∞，3)上为减函数．又∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8在[3，＋∞)上为增函数，而y＝2t在其定义域内是增函数，∴函数f(x)在[3，＋∞)为增函数．∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，而y＝2t在其定义域内是增函数，
∴f(x)＝2x2－6x＋17≥28＝256，∴函数f(x)的值域为[256，＋∞)．
题型二 指数型复合函数的奇偶性
例2 (2021·湖南师大附中测试)设函数f(x)＝kax－a－x(a>0，且a≠1)是定义在R上的奇函数．
(1)求k的值；
(2)若f(1)>0，试判断函数的单调性(不需证明)，并求不等式f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0的解集．
[解析] (1)方法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即k－1＝0，∴k＝1.
当k＝1时，f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f(x)，
故k＝1符合题意．
方法二：∵f(－x)＝ka－x－ax，－f(x)＝－kax＋a－x，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)在定义域R上恒成立，
∴解得k＝1.
(2)∵f(1)＝a－>0，又a>0，且a≠1，∴a>1.
∴y＝ax，y＝－a－x都是R上的增函数，
∴f(x)是R上的增函数．
故f(x2＋2x)＋f(4－x2)>0?f(x2＋2x)>－f(4－x2)＝f(x2－4)?x2＋2x>x2－4?x>－2.
∴f(x)在R上单调递增，且不等式的解集为{x|x>－2}．
[归纳提升] 指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，求解时一般利用函数奇偶性的定义．
【对点练习】?
已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，即a＋＝0，∴a＝－.
(2)由(1)知f(x)＝－＋，
故f(x)在R上为减函数．
(3)∵f(x)为奇函数，
∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)由(2)知f(x)在R上单调递减，
∴t2－2t>k－2t2，
即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，
∴Δ＝4＋12k<0，得k<－，
∴k的取值范围是(－∞，－)．
误区警示
对指数函数的值域运用不当
例3 已知方程9x－2·3x＋3k－1＝0有两个实数解，试求实数k的取值范围．
[错解] 令t＝3x，则方程化为t2－2t＋3k－1＝0，
因为方程有两个实数解，所以Δ>0，
(－2)2－4(3k－1)>0，解得k<.
[错因分析] 本题错的地方是换元后忽视t＝3x>0.事实上，若只考虑Δ>0，则只能保证方程t2－2t＋3k－1＝0有两个实数解，不能保证原方程有两个正实数解．
[正解] 方法一 令t＝3x，则t>0.原方程有两个实数解，即方程t2－2t＋3k－1＝0有两个正实数解，设为t1，t2，则解得即k的取值范围是(，)．
方法二：令a＝3x，
则原方程可化为3k＝－a2＋2a＋1＝－(a－1)2＋2(a>0)，
由图可知，当1<3k<2，即故实数k的取值范围是(，)．
学科素养
数形结合思想的应用——图形变换技巧
1．平移变换
当m>0时，y＝f(x－m)的图象可以由y＝f(x)的图象向右平移m个单位得到；y＝f(x＋m)的图象可以由y＝f(x)的图象向左平移m个单位得到；y＝f(x)＋m的图象可以由y＝f(x)的图象向上平移m个单位得到；y＝f(x)－m的图象可以由y＝f(x)的图象向下平移m个单位得到．
2．对称(翻折)变换
y＝f(|x|)的图象可以将y＝f(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部分不变，原y轴左侧部分去掉，画出y轴右侧部分关于y轴对称的图形而得到．y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象位于y轴上方的部分不变，而将位于y轴下方的部分翻折到y轴上方得到．y＝－f(x)的图象可将y＝f(x)的图象关于x轴对称而得到．y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象关于y轴对称得到．
例4 画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．
(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝－2x；(4)y＝2|x|；(5)y＝|2x－1|；(6)y＝－2－x.
[分析] 用描点法作出图象，然后根据图象判断．
[解析] 如图所示．
(1)y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到的．
(2)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到的．
(3)y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称．
(4)y＝2|x|的图象是由y＝2x的y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的．
(5)y＝|2x－1|的图象是由y＝2x的图象向下平移1个单位，然后将其x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的．
(6)y＝－2－x的图象与y＝2x的图象关于原点对称．
课堂检测·固双基
1．若a＝0.5，b＝0.5，c＝0.5，则a，b，c的大小关系是( B )
A．a＞b＞c
B．a＜b＜c
C．a＜c＜b
D．b＜c＜a
[解析] ∵函数y＝0.5x是R上的减函数，又∵＞＞，∴a＜b＜c，故选B．
2．已知对于任意实数a(a>0，且a≠1)，函数f(x)＝7＋ax－1的图象恒过点P，则点P的坐标是( A )
A．(1，8)
B．(1，7)
C．(0，8)
D．(8，0)
[解析] 在函数f(x)＝7＋ax－1(a>0，且a≠1)中，当x＝1时，f(1)＝7＋a0＝8.所以函数f(x)＝7＋ax－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P(1，8)．故选A．
3．已知函数f(x)＝()x，则函数y＝f(x＋1)的图象大致是( B )
[解析] f(x＋1)的图象是由f(x)向左平移1个单位得到的，故选B．
4．(2021·全国新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝1．
[解析] 因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)，故f(－x)＝－x3(a·2－x－2x)，
因为f(x)为偶函数，故f(－x)＝f(x)时
x3(a·2x－2－x)＝－x3(a·2－x－2x)，整理得到(a－1)(2x＋2－x)＝0，
故a＝1，故答案为1.
5．已知5x＋3<51－x，试求x的取值范围．
[解析] 设f(x)＝5x，则f(x)在R上是增函数，
由题意得f(x＋3)解得x<－1，即x的取值范围是(－∞，－1)．
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-4．3 对 数
【素养目标】
1．理解对数的概念．(数学抽象)
2．能够进行对数式与指数式的互化．(逻辑推理)
3．知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(数学运算)
4．理解对数的运算性质．(逻辑推理)
5．理解对数的底数和真数的取值范围．(数学运算)
6．掌握对数的基本性质及对数恒等式．(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中，利用实例使学生由指数式向对数式的转化，从而引出对数的概念．学生应由指数式与对数式的互化，进而推导出对数的运算性质，提升运算能力及逻辑推理能力．
4．3.1 对数的概念
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
对数的概念
(1)若ax＝N(a>0，且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)ax＝N?x＝logaN．
(3)常用对数：以10为底，记作lgN．
自然对数：以无理数e≈2.718
28…为底，记作lnN．
思考1：(1)式子logmN中，底数m的范围是什么？
(2)对数式logaN是不是loga与N的乘积？
提示：(1)m>0，且m≠1.
(2)不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．
知识点2
对数的基本性质
(1)负数和0没有对数．
(2)loga1＝0．
(3)logaa＝1．
思考2：请你利用对数与指数间的关系证明(1)(2)这两个结论．
提示：(1)由logaN＝x，得N＝ax，当a>0且a≠1时，ax>0，∴N>0，
∴负数和0没有对数．
(2)设loga1＝x(a>0且a≠1)，则ax＝1，
∴x＝0，即loga1＝0.
设logaa＝x，则ax＝a，∴x＝1，即logaa＝1.
知识点3
对数恒等式
alogaN＝N．
思考3：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N是如何推出来的？
提示：a0＝1?loga1＝0，
a1＝a?logaa＝1，
x＝logaN代入ax＝N得alogaN＝N.
基础自测
1．将ab＝N化为对数式是( B )
A．logba＝N
B．logaN＝b
C．logNb＝a
D．logNa＝b
[解析] 根据对数定义知ab＝N?b＝logaN，故选B．
2．若log8x＝－，则x的值为( A )
A．
B．4
C．2
D．
[解析] ∵log8x＝－，∴x＝－＝2－2＝，故选A．
3．对数式loga8＝3改写成指数式为( D )
A．a8＝3
B．3a＝8
C．83＝a
D．a3＝8
[解析] 根据指数式与对数式的互化可知，把loga8＝3化为指数式为a3＝8，故选D．
4．若log2＝1，则x＝5．
[解析] ∵log2＝1，∴＝2，∴x＝5.
5．把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
(1)23＝8；(2)e＝m；(3)27－＝.
[解析] (1)log28＝3；(2)lnm＝；(3)log27＝－.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 对数的定义
例1
(1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是2(2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log125＝6.
[分析] (1)底数大于0且不等于1，真数大于0，对数式才有意义．
(2)由指、对数式互化的方法进行互化．
[解析] (1)由题意可知解得2(2)①由54＝625，得log5625＝4.
②由log216＝4，得24＝16.
③由10－2＝0.01，得lg0.01＝－2.
④由log125＝6，得()6＝125.
[归纳提升] 1.指数式与对数式互化的方法技巧
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
2．互化时应注意的问题
(1)利用对数式与指数式间的互化公式互化时，要注意字母的位置改变．
(2)对数式的书写要规范：底数a要写在符号“log”的右下角，真数正常表示．
【对点练习】?
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)3－2＝；(2)()－3＝125；
(3)log27＝－3；(4)log64＝－6(x>0，且x≠1)．
[解析] (1)log3＝－2.
(2)log125＝－3.
(3)()－3＝27.
(4)()－6＝64.
题型二 对数基本性质的应用
例2 求下列各式中的x：
(1)log3(log2x)＝0；
(2)log3(log7x)＝1；
(3)lg(lnx)＝1;
(4)lg(lnx)＝0.
[分析] 利用指数式与对数式的互化进行解答．
[解析] (1)由log3(log2x)＝0得log2x＝1，∴x＝2.
(2)log3(log7x)＝1，log7x＝31＝3，
∴x＝73＝343.
(3)lg(lnx)＝1，lnx＝10，
∴x＝e10.
(4)lg(lnx)＝0，lnx＝1，
∴x＝e.
[归纳提升] 对数性质在计算中的应用
(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
【对点练习】?
求下列各式中x的值：
(1)x＝log16；
(2)log8x＝－；
(3)log(－1)＝x.
[解析] (1)∵x＝log16，∴()x＝16，
即2－x＝24.∴－x＝4，即x＝－4.
(2)∵log8x＝－，∴x＝8－＝＝.
(3)∵log(－1)＝x，
∴(－1)x＝＝＝
＝－1，∴x＝1.
题型三 对数恒等式的应用
例3 计算：
(1)71－log375；
(2)4
(log29－log25)；
(3)alogab·logbc(a、b均为不等于1的正数，c＞0)．
[解析] (1)原式＝＝.
(2)原式＝2log29－log25＝＝.
(3)原式＝(alogab)logbc＝blogbc＝c.
[归纳提升] 运用对数恒等式时注意事项
(1)对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：
①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．
(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．
【对点练习】?
求下列各式的值：
(1)5log54；(2)3log34－2；(3)24＋log25.
[解析] (1)设5log54＝x，则log54＝log5x，∴x＝4.
(2)∵3log34＝4，∴3log34－2＝3log34×3－2＝4×＝.
(3)∵2log25＝5，∴24＋log25＝24×2log25＝16×5＝80.
课堂检测·固双基
1．下列说法：
①零和负数没有对数；
②任何一个指数式都可以化成为对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数；
④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①正确；②底数小于0的指数式不可以化成对数式；③④正确，故选
C．
2．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( B )
A．a>5或a<2
B．2C．2D．3[解析] 由题意得，
∴23．将()－2＝9写成对数式，正确的是( B )
A．log9＝－2
B．log9＝－2
C．log(－2)＝9
D．log9(－2)＝
[解析] 将()－2＝9写成对数式为log9＝－2，故选B．
4．若log2(log3x)＝0，则x＝3．
[解析] 由题意得log3x＝1，∴x＝3.
5．完成以下指数式、对数式的互化．
(1)()－2＝；(2)8＝2；
(3)log16＝－2；(4)lnx＝.
[解析] (1)∵()－2＝，∴log＝－2.
(2)∵8＝2，∴log82＝.
(3)∵log16＝－2，∴()－2＝16.
(4)∵lnx＝，∴e＝x.
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-4．3.2 对数的运算
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
对数的运算性质
条件
a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0
性质
loga(MN)＝logaM＋logaN
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
思考1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你能得到一个怎样的结论？
提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积．
知识点2
换底公式
若a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1，则有logab＝．
思考2：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示什么形式？
(2)你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论logNnMm＝logNM吗？
提示：(1)logab＝，logab＝.
(2)logNnMm＝＝＝·＝logNM.
基础自测
1．若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正确的个数是( A )
①logax·logay＝loga(x＋y)；
②logax－logay＝loga(x－y)；
③loga＝logax÷logay；
④loga(xy)＝logax·logay.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 由对数运算法则知，均不正确．故选A．
2．log62＋log63等于( A )
A．1
B．2
C．5
D．6
[解析] log62＋log63＝log6(2×3)＝log66＝1.
3．(2020·天津和平区高一期中测试)计算：log25·log32·log59＝2．
[解析] 原式＝··
＝··＝2.
4．求下列各式的值：
(1)log3(27×92)；(2)lg5＋lg2；
(3)ln3＋ln；(4)log35－log315.
[解析] (1)方法一：log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7；
方法二：log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7.
(2)lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1.
(3)ln3＋ln＝ln(3×)＝ln1＝0.
(4)log35－log315＝log3＝log3＝log33－1＝－1.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 对数的运算性质的应用
例1
用logax，logay，logaz表示：
(1)loga(xy2)；(2)loga(x)；(3)loga.
[解析] (1)loga(xy2)＝logax＋logay2＝logax＋2logay.
(2)loga(x)＝logax＋loga＝logax＋logay.
(3)loga＝loga＝[logax－loga(yz2)]
＝(logax－logay－2logaz)．
[归纳提升] 对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．
【对点练习】?
用logax、logay、logaz表示下列各式：
(1)loga(x3y5)； (2)loga.
[解析] (1)loga(x3y5)＝logax3＋logay5
＝3logax＋5logay.
(2)loga＝loga－loga(yz)
＝logax－(logay＋logaz)
＝logax－logay－logaz.
题型二 利用对数的运算性质化简、求值
例2 (1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；
(2)；
(3)log535－2log5＋log57－log51.8.
[分析] 熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键．进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案．
[解析] (1)原式＝(lg5)2＋(2－lg2)lg2
＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2
＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2
＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2
＝lg5＋lg2＝1.
(2)原式＝
＝＝.
(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5
＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.
[归纳提升] 利用对数运算性质化简与求值的原则和方法
(1)基本原则：
①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．
(2)两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
【对点练习】?
计算下列各式的值：
(1)lg－lg＋lg；
(2)lg25＋lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.
[解析] (1)法一：原式＝(5lg2－2lg7)－×lg2＋(2lg7＋lg5)
＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5
＝lg2＋lg5＝(lg2＋lg5)
＝lg10＝.
法二：原式＝lg－lg4＋lg7
＝lg
＝log(·)＝lg＝.
(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2
＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2
＝2＋1＝3.
题型三 换底公式的应用
例3 (1)计算log2·log3·log5；
(2)若log34·log48·log8m＝log42，求m的值．
[分析] (1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？
(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m的值．
[解析] (1)原式＝··
＝＝－12.
(2)由题意，得··＝＝，
∴lgm＝lg3，即lgm＝lg3，
∴m＝.
[归纳提升] 关于换底公式的用途和本质：
(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．
(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．
(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab＝；logaan＝n，logambn＝logab；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．
【对点练习】?
计算下列各式的值：
(1)log89·log2732；
(2)log927；
(3)log2·log3·log5.
[解析] (1)log89·log2732＝·＝·＝·＝.
(2)log927＝＝＝＝.
(3)log2·log3·log5
＝log25－3·log32－5·log53－1
＝－3log25·(－5log32)·(－log53)
＝－15···
＝－15.
误区警示
忽视真数大于零致误
例4 解方程：log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1.
[错解] 原方程变形为log2(x＋1)－log2(x＋4)＝1，
∴log2(x＋1)－log2＝1，∴log2＝log22，
∴＝2，∴x2－2x－15＝0，∴x＝－3或x＝5，
故原方程的解为x＝－3或x＝5.
[错因分析] 解题过程中忽视对数logaN中真数N必须大于0时对数才有意义．实际上，在解答此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义．另外，在运用对数运算性质或相关公式时也要谨慎，以防出错．
[正解] ∵log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1，
∴log4＝1，
∴解得x＝5或x＝－3(舍去)．
∴方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为x＝5.
[方法点拨] 在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小就容易产生增根．故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，否则易产生增根，造成解题错误．也可以像本题的求解过程这样，在限制条件下去求解．
学科素养
转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力
例5 (1)设3x＝4y＝36，求＋的值；
(2)已知log23＝a，3b＝7，求log1256.
[分析] (1)欲求＋的值，已知3x＝36，4y＝36，由此两式怎样得到x，y，容易想到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决．
(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b＝7化为对数式解决．观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12＝3×22，56＝7×23，故还可以利用换底公式的推论loganbm＝logab，将条件中的对数式log23＝a化为指数式解答．
[解析] (1)由已知分别求出x和y，
∵3x＝36，4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
由换底公式得：x＝＝，y＝＝，
∴＝log363，＝log364，∴＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.
(2)解法一：因为log23＝a，所以2a＝3.又3b＝7，故7＝(2a)b＝2ab，故56＝23＋ab，又12＝3×4＝2a×4＝2a＋2，
从而log1256＝log2a＋223＋ab＝.
解法二：因为log23＝a，所以log32＝.又3b＝7，所以log37＝b.从而
log1256＝＝＝＝＝.
[归纳提升] 1.应用换底公式应注意的事项
(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．
2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．
3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：
思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数．
思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．
课堂检测·固双基
1．2log510＋log50.25的值为( C )
A．0
B．1
C．2
D．4
[解析] 原式＝log5100＋log50.25
＝log5(100×0.25)＝log525＝log552＝2.
2．(2021·北京丰台区高一期末测试)lg25＋lg4＋()－的值为( B )
A．
B．5
C．
D．13
[解析] 原式＝lg(25×4)＋(3－2)－
＝lg100＋3
＝2＋3＝5.
3.log612－log6＝．
[解析] 原式＝log612－log62
＝log6＝log66＝.
4．计算下列各式的值：
(1)2lg5＋lg4＋eln2＋log2；
(2)(log23＋log89)(log34＋log98＋log32)．
[解析] (1)原式＝2lg5＋2lg2＋2＋3＝2(lg5＋lg2)＋5＝7.
(2)原式＝(log23＋)(log322＋＋log32)
＝(log23＋log23)(2log32＋log32＋log32)
＝log23×log32＝.
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