4．4.1 对数函数的概念
必备知识·探新知
基础知识
知识点
对数函数
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
思考：(1)对数函数的定义域为什么是(0，＋∞)?
(2)对数函数的解析式有何特征？
提示：(1)ax＝N?logaN＝x，真数为幂值N，而N>0，故式子logax中，x>0.
(2)①a>0，且a≠1；②logax的系数为1；③自变量x的系数为1.
基础自测
1．下列函数是对数函数的是( D )
A．y＝2＋log3x
B．y＝loga(2a)(a＞0，且a≠1)
C．y＝logax2(a＞0，且a≠1)
D．y＝lnx
[解析] 判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．
2．(2021·山东临沂高一期末测试)函数y＝lg(3x－2)的定义域是( D )
A．[1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．[，＋∞)
D．(，＋∞)
[解析] 要使函数y＝lg(3x－2)有意义，应满足3x－2>0，∴x>，故选D．
3．对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为y＝log2x．
[解析] 设对数函数为y＝logax，则4＝loga16，
∴a4＝16，
∴a＝2，∴y＝log2x.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 对数函数概念
例1
下列函数表达式中，是对数函数的有( B )
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[分析] (1)对数概念对底数、真数、系数的要求是什么？
[解析] 根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现在底数上，
∴①不是对数函数；
由于②中底数a∈R不能保证a>0且a≠1，
∴②不是对数函数；
由于⑤、⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，
∴⑤、⑦也不是对数函数；
由于⑥中log4x系数为2，
∴⑥不是对数函数；
只有③、④符合对数函数的定义．
[归纳提升] 对于对数概念要注意以下两点：
(1)在函数的定义中，a>0且a≠1.
(2)在解析式y＝logax中，logax的系数必须为1，真数必须为x，底数a必须是大于0且不等于1的常数．
【对点练习】?
指出下列函数中，哪些是对数函数？
①y＝5x；
②y＝－log3x；
③y＝log0.5；
④y＝logx；
⑤y＝log2(x＋1)．
[解析] ①是指数函数；②中log3x的系数为－1，
∴②不是对数函数；③中的真数为，∴③不是对数函数；⑤中的真数是(x＋1)，∴⑤不是对数函数；∴只有④是对数函数．
题型二 对数函数的定义域
例2 (1)函数f(x)＝＋ln(x＋1)的定义域为(－1，2)；
(2)函数f(x)＝的定义域为(－，0)∪(0，＋∞)．
[分析] 依据使函数有意义的条件列出不等式组→解不等式组→写出函数的定义域．
[解析] (1)若使函数式有意义需满足条件：?解得－1
(2)由题意有解得x>－且x≠0，则函数的定义域为(－，0)∪(0，＋∞)．
[归纳提升] 定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域，常规为：①分母不能为零，②0的零次幂与负指数次幂无意义，③偶次方根的被开方式(数)非负，④求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性．
【对点练习】?
求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－2)＋；
(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．
[解析] (1)要使函数有意义，需满足解得x>2且x≠3.
∴函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需满足
解得－1∴函数的定义域为(－1，0)∪(0，4)．
题型三 对数函数在实际问题中的应用
例3 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤多少次，才能使产品达到市场要求？(参考数据lg2＝0.301
0，lg3＝0.477
1)
[解析] 设过滤y次后杂质含量为x，
则x＝0.02(1－)y，即50x＝()y，
则y＝log(50x)，
令x＝0.001，则y＝log0.05＝log
＝－＝
＝≈10.42，
所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求．
[归纳提升] 建立对数函数模型解决应用问题
对数运算是求指数的运算，因此要建立对数函数模型，可设指数变量为y，利用指数与对数的互化得到对数函数解析式，再利用已知数据或计算工具计算解题．
【对点练习】?
某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，求该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)．
[解析] 设经过y年后公司的研发资金为x，
则x＝130(1＋12%)y，即＝1.12y，
所以y＝log1.12，令x＝200，
所以y＝log1.12＝log1.12＝≈3.8，
所以到2021年，公司研发资金开始超过200万元．
课堂检测·固双基
1．下列函数中，是对数函数的是( D )
A．y＝logxa(x>0且x≠1)
B．y＝log2x－1
C．y＝2lg8x
D．y＝log5x
[解析] A、B、C都不符合对数函数的定义，故选D．
2．已知对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为( B )
A．y＝log2x
B．y＝log3x
C．y＝logx
D．y＝logx
[解析] 设对数函数为y＝logax，则2＝loga9，
∴a2＝9，∴a＝3，∴y＝log3x，故选B．
3．函数f(x)＝ln(1－x)的定义域是( D )
A．(0，1)
B．[0，1)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，1)
[解析] 由1－x>0得x<1，故选D．
4．函数y＝ln(3－x)＋的定义域为[1，3)．
[解析] 要使函数有定义，则，解得1≤x<3，故函数定义域为[1，3)．
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-4．4.2 对数函数的图象和性质
第1课时 对数函数的图象和性质(一)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
对数函数的图象及性质
0＜a＜1
a＞1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是减函数
在(0，＋∞)上是增函数
思考1：(1)对于对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝
logx，y＝logx，…，为什么一定过点(1，0)?
(2)在下表中，？处y的范围是什么？
底数
x的范围
y的范围
a>1
x>1
？
0？
0x>1
？
0？
提示：(1)当x＝1时，loga1＝0恒成立，即对数函数的图象一定过点(1，0)．
(2)
底数
x的范围
y的范围
a>1
x>1
y>0
0y<0
0x>1
y<0
0y>0
知识点2
反函数
指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们定义域与值域正好互换．
思考2：函数y＝log2x与y＝()x互为反函数吗？
提示：不是，同底数的指数函数与对数函数互为反函数．
基础自测
1．下列说法正确的个数是( C )
(1)对数函数的图象都过定点(0，1)．
(2)对数函数的图象都在y轴的右侧．
(3)若对数函数y＝log2ax是减函数，则0A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 对于(1)，对数函数的图象都过定点(1，0)，不正确；对于(2)，由对数函数的图象可知正确；对于(3)，由对数函数的单调性可知，0<2a<1，所以02．函数y＝log2x在区间(0，2]上的最大值是( B )
A．2
B．1
C．0
D．－1
[解析] y＝log2x在(0，2]上单调递增，
∴ymax＝1，故选B．
3．函数y＝log3x与y＝logx的图象关于x轴对称．
4．(2020·河南永城实验中学高一期末测试)函数y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2，0)．
[解析] 令x－1＝1，∴x＝2，则y＝0，故函数y＝
loga(x－1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2，0)．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 利用对数函数的单调性比较大小
例1
比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln0.3，ln2；
(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
[分析] (1)底数相同时如何比较两个对数值的大小？
(2)底数不同、真数相同时如何比较两个对数值的大小？
(3)底数和真数均不同时，应如何比较两个对数值的大小？
[解析] (1)因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上是增函数，且0.3＜2，所以ln0.3＜ln2.
(2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.
(3)因为0＞log0.23＞log0.24，所以＜，
即log30.2＜log40.2.
(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
[归纳提升] 比较对数值大小时常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小．
【对点练习】?
(1)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则( D )
A．b＜a＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
(2)(2021·遵义高一检测)已知：a＝log65，b＝π0.3，c＝ln，则下列结论正确的是( D )
A．aB．bC．cD．c[解析] (1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且3.6＞2，所以log23.6＞log22＝1，
因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，且3.2＜3.6＜4，所以log43.2＜log43.6＜log44＝1，
所以log43.2＜log43.6＜log23.6，即b＜c＜a.
(2)a＝log65π0＝1，c＝lna>c，故选D．
题型二 对数函数的图象
例2 已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是
( B )
A．a4B．a3C．a2D．a3[分析] 由图象来判断参数的大小情况，需要抓住图象的本质特征和关键点．根据图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，利用logaa＝1，结合图象判断．
[解析] 在图中作一条直线y＝1.
由，得loga3x＝1，所以x＝a3.所以直线y＝1与曲线C3：y＝loga3x的交点坐标为(a3，1)．
同理可得直线y＝1与曲线C4，C1，C2的交点坐标分别为(a4，1)，(a1，1)，(a2，1)．
由图象可知a3[归纳提升]
1．对数函数底数对图象的影响
其中a，b，c，d是图象对应的对数函数的底数，根据图象，其大小关系为02．关于定点问题
求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．
【对点练习】?
(1)已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx在同一坐标系中的图象可能是( B )
(2)利用作图工具作出的a＝1.5，4，时的对数函数y＝logax的图象如图所示，请你判断对应于C1，C2，C3的a的值分别为( C )
A．1.5，4，
B．4，1.5，
C．，1.5，4
D．，4，1.5
[解析] (1)由lga＋lgb＝0得ab＝1，
则f(x)与g(x)的单调性一致，故选B．
(2)由于对数函数的图象规律知C1为减函数，对应a1＝，C2图象在x＝1的右侧高于C3，所以a2题型三 与对数函数相关的定义域和值域
角度1 求函数的定义域
例3 函数y＝的定义域是( D )
A．[1，＋∞)
B．(，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(，1]
[解析] 由题意得∴
∴角度2 简单的值域问题
例4 若函数f(x)＝logax(0[解析] 由题意得f(x)max＝logaa＝1，
f(x)min＝loga(2a)＝1＋loga2，
∴1＝3×(1＋loga2)，∴a＝.
[归纳提升] 1.求对数型函数的定义域时常用的模型
2．与对数函数值域相关的问题
(1)利用对数函数的单调性求值域是解决问题的主要方法．
(2)若底数中含有字母，需要对字母分大于1，小于1大于0两种情况讨论．
【对点练习】?
(1)函数y＝的定义域为[－1，＋∞)；
(2)若函数f(x)＝4＋log2x在区间[1，a]上的最大值为6，则a＝4．
[解析] (1)要使函数有意义，须使
即解得x≥－1.
(2)∵y＝log2x是R上的增函数，
∴x＝a时f(x)取最大值，即f(x)max＝4＋log2a＝6，即a＝4.
题型四 反函数
例5 (1)已知函数f(x)＝2x的反函数为y＝g(x)，则g()的值为( A )
A．－1
B．1
C．12
D．2
(2)若f(x)为y＝3－x的反函数，则f(x－1)的图象大致是( C )
[分析] (1)由已知函数解析式求得x，再把x与y互换可得原函数的反函数．
[解析] (1)由y＝f(x)＝2x，得x＝log2y，∴原函数的反函数为g(x)＝log2x，则g()＝log2＝－1.故选A．
(2)由y＝3－x.解得x＝－log3y，∴该函数的反函数为y＝－log3x，即f(x)＝－log3x，而f(x－1)的图象是f(x)的图象右移1个单位，故选C．
[归纳提升] 互为反函数的函数的性质
(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数．
(2)互为反函数的定义域与值域互换．
(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．
【对点练习】?
若函数g(x)是函数f(x)＝()x，x∈[－2，1]的反函数，则函数g(x)的定义域为[，4]．
[解析] 函数f(x)＝()x，x∈[－2，1]的值域为[，4]，
因为函数g(x)是其反函数，
所以函数g(x)的定义域为[，4]．
课堂检测·固双基
1．(2020·山东金乡县高一期中测试)已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若其图象过点(6，3)，则f(2)的值为( B )
A．－2
B．2
C．
D．－
[解析] 由题意得3＝loga8，
∴a3＝8，∴a＝2.
∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log24＝2.
2．(2020·河北沧州市高一期中测试)函数y＝＋lg(2x＋1)的定义域( D )
A．(，3]
B．(，3)
C．(－，3]
D．(－，3)
[解析] 由题意得，∴－3．y＝2x与y＝log2x的图象关于( B )
A．x轴对称
B．直线y＝x对称
C．原点对称
D．y轴对称
[解析] 函数y＝2x与函数y＝log2x是互为反函数，故它们的图象关于直线y＝x对称．
4．对数函数y＝logax与y＝logbx的图象如图，则( C )
A．a<0，b<0
B．a<0，b>0
C．01
D．0[解析] y＝logbx为增函数，故b>1，y＝logax为减函数，故05．若loga＜1，则a的取值范围为0＜a＜或a＞1．
[解析] loga＜1即loga＜logaa，当a＞1时，函数y＝logax在定义域内是增函数，所以loga＜logaa总成立；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域内是减函数，
由loga＜logaa，得a＜，故0＜a＜.
故a的取值范围为0＜a＜或a＞1.
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9
-第2课时 对数函数的图象和性质(二)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
对数型复合函数的单调性
复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．
对于对数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．
知识点2
对数型复合函数的值域
对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；
(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝logau的单调性求解．
基础自测
1．函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是( C )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，1)
C．(0，1)
D．(1，＋∞)
[解析] 由对数函数的单调知识易知02．已知函数f(x)＝2logx的值域为[－1，1]，则函数f(x)的定义域是( A )
A．
B．[－1，1]
C．
D．∪[，＋∞)
[解析] 由－1≤2logx≤1，得－1≤－2log2x≤1.
解得≤x≤.
3．(2020·大连市高一期末测试)函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递减区间是( A )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(3，＋∞)
[解析] 令x2－2x－3>0，
∴(x－3)(x＋1)>0，
∴x<－1或x>3.∴f(x)的定义域(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
令u＝x2－2x－3，
函数f(x)的单调递减区间即为u＝x2－2x－3在(－∞，－1)∪(3，＋∞)上的递减区间．故选A．
4．已知log0.3(3x)A．(，＋∞)
B．(－∞，)
C．(－，)
D．(0，)
[解析] 因为函数y＝log0.3x在(0，＋∞)上单调递减，所以原不等式等价于解得x>.
5．函数f(x)＝logax(0A．0
B．1
C．2
D．a
[解析] ∵0关键能力·攻重难
题型探究
题型一 对数型复合函数的单调性
例1
讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
[分析] 求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集．
[解析] 由3x2－2x－1>0，得函数的定义域为{x|x>1或x<－}．
当a>1时，若x>1，∵y＝logau为增函数，又u＝3x2－2x－1为增函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
若x<－，∵u＝3x2－2x－1为减函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数．
当01，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数，
若x<－，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
[归纳提升] 1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．
2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单调性之间的关系(见下表).
函数
单调性
y＝f(μ)
增函数
增函数
减函数
减函数
μ＝g(x)
增函数
减函数
增函数
减函数
y＝f[g(x)]
增函数
减函数
减函数
增函数
【对点练习】?
(2020·河北沧州市高一期末测试)函数f(x)＝log
(x2－3x－10)的单调递增区间为( A )
A．(－∞，－2)
B．(－∞，)
C．(－2，)
D．(5，＋∞)
[解析] 由题意，得x2－3x－10>0，
∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5.
令u＝x2－3x－10，
函数f(x)的单调递增区间即为函数u＝x2－3x－10在(－∞，－2)∪(5，＋∞)上的单调递减区间，又u＝x2－3x－10在(－∞，－2)上递减，故选A．
题型二 对数型复合函数的值域
例2 求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)y＝log(3＋2x－x2)．
[解析] (1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R.
∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.
∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．
(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4.
∵u>0，∴0又y＝logu在(0，＋∞)上是减函数，
∴logu≥log4＝－2，
∴y＝log(3＋2x－x2)的值域为{y|y≥－2}．
[归纳提升] 1.与对数函数有关的复合函数值域：求与对数函数有关的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元法)．
2．对于形如y＝loga
f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤：①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取值范围；④利用y＝logau的单调性求解．
【对点练习】?
函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( A )
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
[解析] ∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴log2(3x＋1)>log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)．
题型三 对数型复合函数的奇偶性
例3 (2020·云南泸西县一中高一期中测试)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明．
[分析] (1)函数奇偶性判断的方法是什么？
(2)对数的运算法则是什么？
[解析] (1)由题意得，
∴－1∴函数f(x)的定义域为(－1，1)．
(2)由(1)知函数f(x)的定义域为(－1，1)关于原点对称．
∴f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]
＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
[归纳提升] (1)对数函数本身不具有奇偶性，但与有些函数复合后，就具有了奇偶性，如y＝log2|x|就是偶函数．这类函数奇偶性可利用函数奇偶性的定义，并结合对数的运算性质来判断．
(2)判断函数奇偶性，有时需将函数式化简或利用定义的等价形式判断，如f(－x)＝±f(x)?f(－x)±f(x)＝0?＝±1(f(x)≠0)，其中f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)－f(x)＝0多用于对数型函数奇偶性的判断，＝±1多用于指数型函数奇偶性的判断．
【对点练习】?
函数f(x)＝lg是( A )
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
[解析] 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．
又f(－x)＝lg
＝lg＝lg(＋x)
＝lg()－1
＝－lg＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
误区警示
忽视对数函数的定义域
例4 若函数y＝loga(2－ax)在x∈[0，1]上是减函数，则a的取值范围是( B )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(0，2)
D．(1，＋∞)
[错解] 错解一：因为函数f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上是减函数，根据对数函数在0错解二：令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上为减函数，则需y＝logau为增函数，从而得a>1，故选D．
[错因分析] 在求解时，已经掌握了利用复合函数单调性“同增异减”法则进行解答，但是忽视了对数函数的定义域问题，考虑问题不全面，犯了知识性和能力性的双重错误．
[正解] 令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，又根据对数函数定义域要求u＝2－ax在[0，1]上恒大于零，当x∈[0，1]时，umin＝2－a>0，解得a<2.
根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上为减函数，则需y＝logau为增函数，所以a>1.
综上可得1[方法点拨] 对数型函数是考查定义域问题的重点函数．因此，在解决真数中含参数的对数问题时，一定要保证真数大于0.忽略这一点，可能会使所求参数范围扩大致误．如本例中，u＝2－ax在x∈[0，1]时一定要保证u>0才有意义，请学生重点关注．
学科素养
综合应用所学知识分析解决问题的能力
例5 已知f(x)＝ln是奇函数．
(1)求m；
(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明．
[分析] (1)题目给定的关键条件是f(x)是奇函数，一般考虑用f(－x)＝－f(x)，f(－1)＝－f(1)，f(0)＝0(当0、－1在定义域中时)等，它是从反面考查函数奇偶性的判定．
[解析] (1)f(－x)＝ln＝ln，－f(x)＝－ln＝ln.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即ln＝ln，得∴m＝－1.
(2)f(x)在(1，＋∞)上单调递减．证明：由(1)知f(x)＝ln＝ln(1＋)．任取x1，x2满足1＜x1＜x2，
∵(1＋)－(1＋)
＝－＝.
由1＜x1＜x2知，x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0，
∴(1＋)－(1＋)＞0，即1＋＞1＋＞0，
又y＝lnx为增函数，∴ln(1＋)＞ln(1＋)，
即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
[归纳提升] (1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种：
①由f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)直接列关于参数的方程(组)，解之得结果．
②由f(－a)＝f(a)或f(－a)＝－f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验．
(2)用定义证明形如y＝loga
f(x)函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．
课堂检测·固双基
1．(2021·江苏宿迁市高一期末测试)函数f(x)＝lg(3x－1)＋的定义域为( C )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，1]
C．(0，1]
D．[0，1]
[解析] 由题意得，
∴，∴0故选C．
2．(2020·贵州遵义市高一期末测试)设a＝20.3，b＝0.32，c＝log20.3，则a、b、c的大小关系是( C )
A．aB．bC．cD．c[解析] a＝20.3>20＝1，
b＝0.32∈(0，1)，c＝log20.3∴c3．已知函数f(x)＝log2为奇函数，则实数a的值为1．
[解析] f(x)是奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝log2＋log2＝log2＝0.
即＝1，
所以a2＝1，a＝±1，当a＝－1时，＝－1<0不满足真数为正的条件，∴a＝1.
4．函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在[2，3]上的最大值为1，则a＝3．
[解析] 当a＞1时，f(x)的最大值是f(3)＝1，
则loga3＝1，∴a＝3＞1，∴a＝3符合题意；
当0＜a＜1时，f(x)的最大值是f(2)＝1，
则loga2＝1，∴a＝2＞1.∴a＝2不合题意．
5．已知函数f(x－1)＝lg.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x＋1)．
[解析] (1)令t＝x－1，则x＝t＋1.
由题意知>0，即0所以f(t)＝lg＝lg.
故f(x)＝lg(－1(2)lg≥lg(3x＋1)?≥3x＋1>0(－10，得x>－.因为－10.
由≥3x＋1，得x＋1≥(3x＋1)(1－x)，
即3x2－x≥0，x(3x－1)≥0，解得x≥或x≤0，
又x>－，－1故原不等式的解集为(－，0]∪[，1)．
PAGE
-
9
-4．4.3 不同函数增长的差异
必备知识·探新知
基础知识
知识点
三种函数的性质及增长速度比较
指数函数
对数函数
一元一次函数
解析式
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝kx(k>0)
单调性
在(0，＋∞)上单调递增
图象(随x的增大)
逐渐与y轴平行
逐渐与x轴平行
直线逐渐上升
增长速度(随x的增大)
y的增长速度越来越快
y的增长速度越来越慢
y值逐渐增加
增长关系
存在一个x0，当x>x0时，ax>kx>logax
思考：存在一个x0，当x>x0时，为什么ax>xn>logax(a>1，n>0)一定成立？
提示：当a>1，n>0时，由y＝ax，y＝xn，y＝logax的增长速度，存在x0，当x>x0时，三个函数的图象由上到下依次为指数，幂，对数，故一定有ax>xn>logax.
基础自测
1．下列说法正确的个数是( C )
(1)函数y＝logx的衰减速度越来越慢．
(2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．
(3)若a>1，n>0，对于任意x0∈R，一定有ax0>x.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 对于(1)，由函数y＝logx的图象可知其衰减速度越来越慢，正确；对于(2)，一次函数的图象是直线，因此其增长速度不变，正确；对于(3)，如23<32，错误．故选C．
2．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件时，日均销售100件，当单价每增加1元时，日均销售量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，日利润最大( B )
A．8元/件
B．10元/件
C．12元/件
D．14元/件
3．甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( D )
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
4．下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是①．
①y＝ex ②y＝lnx ③y＝7x ④y＝e－x
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 函数模型的增长差异
例1
四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1
024
32
768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是y2．
[分析] 从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．
[解析] 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．
[归纳提升] 三种函数模型的增长规律：
(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．
(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．
(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.
【对点练习】?
下面是f(x)随x的增大而得到的函数值表：
x
2x
x2
2x＋7
log2x
1
2
1
9
0
2
4
4
11
1
3
8
9
13
1.585
4
16
16
15
2
5
32
25
17
2.322
6
64
36
19
2.585
7
128
49
21
2.807
8
256
64
23
3
9
512
81
25
3.170
10
1
024
100
27
3.322
试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
(2)各函数增长速度快慢有什么不同？
[解析] (1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大．
(2)由图表可以看出：各函数增长速度快慢不同，其中f(x)＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝x2，增长的幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7增长速度不变；增长速度最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小．
题型二 指数函数、对数函数与幂函数模型比较
例2 已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，在同一坐标系下作出了它们的图象，结合图象比较f(8)，g(8)，f(2
020)，g(2
020)的大小．
[分析] 已知条件：指数函数解析式f(x)＝2x和幂函数解析式g(x)＝x3.
条件分析：由函数解析式列表、描点、连线，可得函数图象，由两函数图象的交点，分析函数值的大小情况．
[解析] 列表：
x
…
－1
0
1
2
3
…
f(x)
…
1
2
4
8
…
g(x)
…
－1
0
1
8
27
…
描点、连线，得如图所示图象：
则函数f(x)＝2x对应的图象为C2，函数g(x)＝x3对应的图象为C1.
∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，
f(9)＝512，g(10)＝1
000，f(10)＝1
024，
∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
∴1020.
从图象上知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(2
020)>g(2
020)>g(8)>f(8)．
[归纳提升] 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
【对点练习】?
函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
[解析] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.
(2)当0f(x)；当x1g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)．当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
题型三 函数模型的选择
例3 为净化湖水的水质，市环保局于2019年年底在管辖区湖水中投入一些水生植物，这些植物在水中的蔓延速度越来越快，2020年经两次实地测量得到表中的数据
月份x/月
1
2
3
4
5
植物面积y/m2
24
36
现有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝mx2＋n(m>0)可供选择．
(1)分别求出两个函数模型的解析式．
(2)若市环保局在2019年年底投放了11
m2的水生植物，试判断哪个函数模型更合适？并说明理由．
(3)经过长期实地测量，刚开始植物覆盖面积增长的速度越来越快，基本符合(2)中所选函数模型的增长特点，但是当植物覆盖到一定面积后，其面积的增长速度又变得很慢，最后稳定在一个值左右．试用所学的知识解释这些现象的成因．你从中得到了什么启示？
[解析] (1)由已知得?
所以y＝×()x.
由已知得?
所以y＝x2＋.
(2)若用模型y＝×()x，则当x＝0时，y1＝，
若用模型y＝x2＋，则当x＝0时，y2＝，
易知，使用模型y＝×()x更为合适．
(3)刚开始植物覆盖的面积符合所选函数模型的增长特点，因为指数函数模型的增长速度越来越快，因此植物覆盖的面积增长也越来越快．当植物覆盖到一定程度后，由于湖水中营养物质、氧气含量等因素限制了植物的生长，因此覆盖面积的增长变慢，直至稳定在一定范围之内．
从中可以得到以下启示：
数学模型只能从数学角度解释实际问题，而实际问题中的影响因素往往比较多，因此数学模型要与其他学科的知识相结合，才能更准确地解释实际问题．(答案不唯一)
【对点练习】?
明清时期，古镇河口因水运而繁华．若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x(小时)、货船距石塘的距离为y(千米)，则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是( A )
课堂检测·固双基
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是( D )
A．y＝100x
B．y＝log100x
C．y＝x100
D．y＝100x
[解析] 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100x的增长速度最快．
2．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为( A )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
[解析] 作出散点图，观察得A．
3．专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( D )
[解析] 由题意可知y＝(1＋10.4%)x，故选D．
4．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图，给出下列四种说法：
①前三年中产量增长的速度越来越快；
②前三年中产量增长的速度越来越慢；
③第三年后这种产品停止生产；
④第三年后产量保持不变．
其中说法正确的是②③．
[解析] 由t∈[0，3]的图象，联想到幂函数y＝xa(0PAGE
-
7
-4．5 函数应用(二)
【素养目标】
1．结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系．(直观想象，数学抽象)
2．结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．(逻辑推理，数学运算)
3．理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．(数学建模)
【学法解读】
本节在学习中首先利用方程的解引出函数的零点，体现数学素养中的数学抽象，再把函数的零点、方程的解与函数的图象与x轴交点横坐标三者统一，结合函数的图象及性质会判断函数零点问题，对函数的实际应用问题，学生应学会对问题进行分析，灵活运用所学过的数学知识，建立“量”与“量”之间的函数关系，把实际问题转化为函数问题，通过对函数问题的解决达到解决实际问题的目的．
4．5.1 函数的零点与方程的解
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
函数的零点
(1)函数f(x)的零点是使f(x)＝0的实数x．
(2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系．
思考1：(1)函数的零点是点吗？
(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)＝0根的个数有什么关系？
提示：(1)不是，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根．
(2)相等．
知识点2
函数的零点存在定理
(1)条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，f(a)f(b)<0；
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．
思考2：(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)<0?
提示：(1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数．
(2)不一定，如f(x)＝x2在区间(－1，1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.
基础自测
1．函数f(x)＝4x－6的零点是( C )
A．
B．(，0)
C．
D．－
[解析] 令4x－6＝0，得x＝，
∴函数f(x)＝4x－6的零点是.
2．(2021·广州荔湾区高一期末测试)函数f(x)＝x－2＋log2x，则f(x)的零点所在区间为( B )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
[解析] f(1)＝－1＋log21＝－1，f(2)＝log22＝1，
∴f(1)·f(2)<0，故选B．
3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( B )
A．a＜1
B．a＞1
C．a≤1
D．a≥1
[解析] 函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，即方程x2＋2x＋a＝0没有实数根，所以Δ＝4－4a＜0，得a＞1.
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数有2个零点．
[解析] 令ax2＋bx＋c＝0，Δ＝b2－4ac，∵a·c<0，
∴b2－4ac>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等实根，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c(a·c<0)有2个零点．
5．求下列函数的零点．
(1)f(x)＝x2－5x－6；
(2)f(x)＝x3－7x＋6；
(3)f(x)＝()x－4；
(4)f(x)＝lnx－1.
[解析] (1)令x2－5x－6＝0，得(x－6)(x＋1)＝0，∴x1＝－1，x2＝6，∴函数f(x)的零点为－1，6.
(2)令x3－7x＋6＝0，得x3－x－6x＋6＝0，
∴x(x＋1)(x－1)－6(x－1)＝0，
∴(x－1)(x2＋x－6)＝0，∴(x－1)(x＋3)(x－2)＝0，
∴x1＝－3，x2＝1，x3＝2.
∴函数f(x)的零点为－3，1，2.
(3)令()x－4＝0，得()x＝4，∴x＝－2.
∴函数f(x)的零点为－2.
(4)令lnx－1＝0，得lnx＝1，∴x＝e.
∴函数f(x)的零点为e.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 求函数的零点(方程的根)
例1
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－x2－4x－4；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝4x＋5；
(4)f(x)＝log3(x＋1)．
[分析] 求函数的零点，就是求相应方程的实数根．
[解析] (1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，
所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝－2.
(2)令＝0，解得x＝1，
所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝1.
(3)令4x＋5＝0，显然方程4x＋5＝0无实数根，所以函数f(x)不存在零点．
(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，
所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝0.
[归纳提升] 1.正确理解函数的零点：
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点?方程f(x)＝0的实根?函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
【对点练习】?
(1)求下列函数的零点：
①f(x)＝x2－2x－3零点为3，－1；
②g(x)＝lgx＋2零点为．
(2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝－6.
[解析] (1)①f(x)＝(x－3)(x＋1)，令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴f(x)的零点为3和－1，
②由lgx＋2＝0得，lgx＝－2，∴x＝.
故g(x)的零点为.
(2)由条件知，
∴，∴，
∴f(1)＝a＋b－4＝－6.
题型二 判断零点所在的区间
例2 (2020·江西宜丰中学高一期末测试)函数f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为( C )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
[分析] 根据函数零点的存在性原理判断函数零点所在的区间．
[解析] f(1)＝1－9＝－8<0，
f(2)＝ln2＋8－9＝ln2－1<0，
f(3)＝ln3＋27－9＝ln3＋18>0，
∴f(2)·f(3)<0，
∴函数f(x)的零点所在的区间为(2，3)．
[归纳提升] 判断函数零点所在区间的方法：
一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．
【对点练习】?
函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( C )
A．(－2，－1)
B．(－1，0)
C．(0，1)
D．(1，2)
[解析] f(－2)＝e－2－2－2＝e－2－4＝－4<0，
f(－1)＝e－1－1－2＝－3<0，
f(0)＝e0－2＝1－2<0，f(1)＝e－1>0，
∴f(0)·f(1)<0，∴函数f(x)的零点所在的一个区间为(0，1)．
题型三 函数零点个数问题
例3 函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1A．x1<2，2B．x1>2且x2>5
C．x1<2，x2>5
D．25
[分析] f(x)的图象是由g(x)＝(x－2)(x－5)的图象向下平移1个单位得到的，由g(x)的零点可判断x1，x2的取值范围．
[解析] 作出函数g(x)＝(x－2)(x－5)的图象如图，将y＝g(x)的图象向下平移1个单位即得y＝f(x)的图象，由图象易知x1<2，x2>5，故选C．
[归纳提升] 判断函数y＝f(x)的零点的个数的方法
(1)解方程法，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数．
(2)借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断．
(3)如果函数图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y＝h(x)－g(x)的函数，可依据函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数y＝h(x)－g(x)的零点的个数．
【对点练习】?
(1)f(x)＝的零点个数为( B )
A．3
B．2
C．1
D．0
(2)若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(0，1]．
[解析] (1)当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)；
当x>0时，由f(x)＝－2＋lnx＝0得x＝e2.
∴函数的零点个数为2.
(2)当x>0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.
因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点，
令f(x)＝0得a＝2x，
因为0<2x≤20＝1，所以0所以实数a的取值范围是(0，1]．
题型四 一元二次方程根的分布问题
例4 (2020·天津市河西区高一期末测试)已知函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
(1)若f(x)有且只有一个零点，求实数m的值；
(2)若f(x)有两个零点，且均比－1大，求m的取值范围．
[分析] (1)f(x)有且只有一个零点，即方程x2＋2mx＋3m＋4＝0有两个相等实数根；
(2)f(x)有两个零点，且均比－1大，即方程x2＋2mx＋3m＋4＝0在(－1，＋∞)上有两个实数根．
[解析] (1)由题意可知方程x2＋2mx＋3m＋4＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0，
即m2－3m－4＝0，
∴m＝－1或m＝4.
(2)由题意得，
解得－5∴实数m的取值范围是(－5，－1)．
[归纳提升] 解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解．
【对点练习】?
若方程kx2－(2k＋1)x－3＝0的两根x1，x2满足－1[解析] 函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3的图象是连续曲线，则由题意可知f(－1)·f(1)<0且f(1)·f(3)<0，
即解得k<－4或k>2.
故实数k的取值范围是{k|k<－4或k>2}．
课堂检测·固双基
1．函数f(x)＝x3－x的零点个数是( D )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1，即函数的零点为－1，0，1，共3个．
2．(2021·广东省肇庆市模拟)“m<1”是“函数f(x)＝x2＋x＋m有零点”的( C )
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] ∵函数f(x)＝x2＋x＋m有零点，∴方程x2＋x＋m＝0有解，则Δ＝1－4m≥0，解得m≤，由于m≤?m<1，m<1m≤，
∴“m<1”是“函数f(x)＝x2＋x＋m有零点”的必要不充分条件．
3．(2020·天津和平区高一期中测试)函数f(x)＝2x＋x的零点所在的一个区间是( C )
A．(1，2)
B．(0，1)
C．(－1，0)
D．(－2，－1)
[解析] f(1)＝2＋1＝3>0，
f(2)＝4＋2＝6>0，
f(0)＝20＝1>0，
f(－1)＝－1＝－<0，
∴f(－1)·f(0)<0，故选C．
4．设函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在闭区间[a，b]内有1个根．
[解析] 由f(a)·f(b)<0知f(x)＝0在[a，b]上至少有一个实数根，又f(x)在[a，b]上为单调函数，从而可知必有唯一实数根．
5．函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．
[解析] 由题意知方程x2－ax－b＝0的两个根是2和3，
∴a＝5，b＝－6，
∴g(x)＝－6x2－5x－1，
由－6x2－5x－1＝0，
解得x1＝－，x2＝－.
∴函数g(x)的零点是－，－.
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9
-4．5.2 用二分法求方程的近似解
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法．
思考1：是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？
提示：不是，只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点．
知识点2
用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)：
若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]；
若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]．
(4)判断是否达到精确度ε：
即若|a－b|＜ε，则得到零点的近似值为a(或b)；否则重复(2)～(4)．
思考2：零点的近似解只能是区间的端点a或b吗？
提示：不是，区间的端点可以，区间的中点也可以，实际上区间上的任意一个值都可以．
基础自测
1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是( C )
[解析] 由二分法的定义，可知只有当函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)<0，即函数的零点是变号零点时，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合，因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．
2．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是( C )
A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x|
D．f(x)＝ln
x
[解析] 对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值不异号，所以不能用二分法求零点的近似值．
3．(2021·河南永城实验中学高一期末测试)用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( A )
A．[－2，1]
B．[－1，0]
C．[0，1]
D．[1，2]
[解析] f(－2)＝(－2)3＋5＝－8＋5＝－3<0，
f(1)＝1＋5＝6>0，
∴f(－2)·f(1)<0，故选A．
4．函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( D )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 函数f(x)的图象通过零点时，穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象可知，函数
f(x)有3个变号零点，故选D．
5．方程3x＋m＝0的根在(－1，0)内，则m的取值范围为(0，3)．
[解析] 解法一：∵f(x)＝3x＋m单调递增，∴只要满足，即可解得0解法二：由3x＋m＝0得m＝－3x，∵x∈(－1，0)，∴－3x∈(0，3)，∴m∈(0，3)．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 对二分法概念的理解
例1
(1)下面关于二分法的叙述，正确的是( B )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循
D．只有在求函数的零点时才用二分法
(2)观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( A )
[分析] (1)怎样用二分法求函数的零点？
(2)函数具有零点与该函数的图象有何关系？
[解析] (1)只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右的函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；二分法有规律可循，可以通过计算机或计算器来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错．
(2)由图象可得，A中零点左侧与右侧的函数值符号不同，故可用二分法求零点．
[归纳提升] 运用二分法求函数的零点需具备的两个条件：(1)函数图象在零点附近连续不断；(2)在该零点左右函数值异号．
【对点练习】?
(1)对于二分法求得的近似解，精确度ε说法正确的是( B )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
(2)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( B )
[分析] 解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
[解析] (1)由精确度ε定义知，ε越大，零点的精确度越低．(2)利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
题型二 用二分法求函数的零点近似值(方程近似解)问题
例2 (1)(多选题)用二分法求函数f(x)＝5x＋7x－2的一个零点，其参考数据如下：
x
0.062
5
0.093
75
0.125
0.156
25
0.187
5
f(x)
－0.456
7
－0.180
9
0.097
8
0.379
7
0.664
7
根据上述数据，可得f(x)＝5x＋7x－2的一个零点近似值(精确度0.05)为( BCD )
A．0.625
B．0.093
75
C．0.125
D．0.096
(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1，3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是(1，2)．
[解析] 设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，
所以方程2x＋3x－7＝0下一个有根的区间是(1，2)．
[归纳提升] 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
【对点练习】?
(1)已知f(x)＝－lnx在区间(1，2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精确度0.2)，则最多需要将区间等分的次数为( A )
A．3
B．4
C．5
D．6
(2)用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600
0)≈0.200
f(1.587
5)≈0.133
f(1.575
0)≈0.067
f(1.562
5)≈0.003
f(1.556
25)≈－0.029
f(1.550
0)≈－0.060
据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)为1.562_5．
[解析] (1)由用二分法求函数零点近似值的步骤可知分一次f()＞0，区间长度|2－|＝0.5＞0.2，
分二次，f()＞0，区间长度|2－|＝0.25＞0.2，
分三次f()＜0，区间长度|－|＝＜0.2，
所以最多分三次可以使x0的近似值达到精确度0.2.
(2)由参考数据知，f(1.562
5)≈0.003>0，f(1.556
25)≈－0.029<0，即f(1.562
5)·f(1.556
25)<0，且1.562
5－1.556
25＝0.006
25<0.01，∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.562
5.
题型三 二分法思想的实际应用
例3 现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同且合标准，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？
[解析] 先在天平左右各放4个球．有两种情况：
(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．
取剩下的4个球中的3个球放在天平的一端，取3个好球放在天平的另一端．
①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；
②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球，天平两端各放1个，无论平还是不平，均可确定“坏球”．
(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重．
从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能．
①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；
②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；
③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．
对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重．
[归纳提升] 二分法的思想除了可以用来处理生活中的对称问题，还可以处理一些不对称问题．要注意二分法的思想与实际问题之间的联系及二分法的思想的应用．
【对点练习】?
某娱乐节目有一个给选手在限定时间内猜一物品的售价的环节，某次猜一品牌手机的价格，手机价格在500～1
000元，选手开始报价1
000元，主持人回答高了；紧接着报900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你猜中了，表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上体现了“逼近”的思想，试设计出可行的猜价方案．
[解析] 取价格区间[500，1
000]的中点750元，低了；就再取[750，1
000]的中点875，高了；就取[750，875]的中点，遇到小数，则取整数，照此猜下去，可以猜价：750，875，812，843，859，851，经过6次即能猜中价格．
课堂检测·固双基
1．y＝2x－1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是( B )
A．，
B．，
C．，－
D．，－
[解析] 函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标.
2．某同学用二分法求方程lnx＋2x－6＝0的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在(2，3)之间，他用二分法操作了7次得到了方程lnx＋2x－6＝0的近似解，那么该近似解的精确度应该为( B )
A．0.1
B．0.01
C．0.001
D．0.000
1
[解析] 根据题意，该同学已经知道该方程的一个零点在(2，3)之间，区间长度为1，每使用一次二分法可以使区间长度变为原来的，则该同学第6次用二分法时，确定区间的长度为＝不能确定近似解．当他第7次使用二分法时，确定区间长度为＝确定了方程的近似解，则该近似解的精确度应该在(，)之间．故选B．
3．下列图象表示的函数中没有零点的是( A )
[解析] 由函数零点的意义可得：函数的零点是否存在体现在函数图象与x轴有无交点上．
4．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1，2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在的区间为( A )
A．(1.25，1.5)
B．(1，1.25)
C．(1.5，2)
D．不能确定
[解析] 由于f(1.25)f(1.5)＜0，则方程的解所在的区间为(1.25，1.5)．
5．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，4]上的近似零点(精确度为0.01)，验证f(2)·f(4)<0，取区间[2，4]的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是(2，3)．
[解析] ∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，
∴f(3)·f(4)>0，∴x0∈(2，3)．
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7
-4．5.3 函数模型的应用
必备知识·探新知
基础知识
知识点1
指数函数与对数函数模型
指数函数模型
y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
知识点2
解函数应用题的基本思路与步骤
1．建立函数模型解决实际问题的基本思路
2．建立函数模型解决实际问题的解题步骤
某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y.它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为：
第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型．了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定．
第二步，求解数学模型．利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答．
第三步，转译成实际问题的解．
知识点3
拟合函数模型问题
定量分析和研究实际问题时，要深入调查、研究、了解对象信息，作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程，就称为数学建模．根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型，并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合)．
1．建立拟合函数模型的步骤
(1)收集数据．
(2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图．
(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型．
(4)选择其中的几组数据求出函数模型．
(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)，若符合实际，则进入下一步．
(6)用所得函数模型解释实际问题．
2．建立拟合函数模型的一般流程
根据建立拟合函数模型的步骤，我们用如图来表示建立拟合函数模型的一般流程．
基础自测
1．某厂2008年的产值为a万元，预计产值每年以n%的速度递增，则该厂到2020年的产值(单位：万元)是( B )
A．a(1＋n%)13
B．a(1＋n%)12
C．a(1＋n%)11
D．a(1－n%)12
[解析] 2008年的产值为a万元，2009年的产值为a＋a·n%＝a(1＋n%)，2010年的产值为a(1＋n%)＋a(1＋n%)·n%＝a(1＋n%)2，…，2020年的产值为a(1＋n%)12.
2．某种细菌经30分钟个数变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝2ln_2，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1_024．
[解析] 由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝ek，
∴k＝2ln
2，∴y＝e2tln
2.
当t＝5时，y＝e2×5×ln
2＝210＝1
024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1
024.
3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到300只．
[解析] 由题意，繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，这种动物第1年有100只，
所以100＝alog2(1＋1)，
所以a＝100，
所以y＝100log2(x＋1)，
所以当x＝7时y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.
4．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
现有如下5个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；
②y＝2x－3.02；
③y＝x2－5.5x＋8;
④y＝log2x；
⑤y＝()x＋1.74.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选④(填序号)．
[解析] 画出散点图如图所示：
由图可知上述散点大致在函数y＝log2x上，故函数y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 一次函数、二次函数、分段函数模型
例1
某市“网约车”的现行计价标准是：路程在2
km以内(含2
km)按起步价8元收取，超过2
km后的路程按1.9元/km收取，但超过10
km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85元/km)．
(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用
f(x)(单位：元)表示为行程x(0(2)某乘客的行程为16
km，他准备先乘一辆“网约车”行驶8
km后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由．
[解析] (1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为f(x)＝
＝
(2)只乘一辆车的车费为f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)，
换乘2辆车的车费为2f(8)＝2(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)．
因此40.3>38.8，
所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．
[归纳提升] 1.利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、提元法及利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．
2．应用分段函数时的三个注意点
(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围．最后比较再下结论．
【对点练习】?
某车间生产一种仪器的固定成本为10
000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：
H(x)＝
其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)；
(2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？
(总收入＝总成本＋利润)
[解析] (1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10
000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，
∴f(x)＝
(2)当0≤x≤200时，f(x)＝－(x－150)2＋12
500，
所以当x＝150时，有最大值12
500；
当x>200时，f(x)＝30
000－100x是减函数，
f(x)<30
000－100×200<12
500.
所以当x＝150时，f(x)取最大值，最大值为12
500.
所以每月生产150台仪器时，利润最大，最大利润为12
500元．
题型二 指数函数模型的应用
例2
2011年10月31日世界人口达到70亿，假设世界人口年增长率为2.1‰，用英国经济学家马尔萨斯提出自然状态下的人口增长模型：y＝y0ert预测什么时候世界人口会翻一番？
[分析] 解指数方程，要进行指对式互化．
[解析] 由2011年世界人口数据，把y0＝70，r＝0.002
1代入马尔萨斯人口模型，得y＝70e0.002
1t.
解不等式y＝70e0.002
1t≥140得t≥≈330.
所以由马尔萨斯人口模型估算，经过330年后，即2341年世界人口达到140亿．
[归纳提升] 指数型函数问题的类型及解法
(1)指数型函数模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．
(2)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．
【对点练习】?
目前某县有100万人．经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%.请回答下列问题：
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．
[解析] (1)当x＝1时，
y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)
当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；
当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；
……
故y关于x的函数解析式为
y＝100(1＋1.2%)x(x∈N
)．
(2)当x＝10时，
y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7，
故10年后该县人口总数约有112.7万人．
(3)设x年后该县人口总数将达到120万人，
即y＝100(1＋1.2%)x＝120，
解得x＝log1.012≈16.
故大约16年后该县的人口总数将达到120万人．
题型三 对数函数模型的应用
例3 有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3－lg
x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg
2＝0.30，31.2＝3.74，31.4＝4.66)．
(1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8
100个单位时，候鸟的飞行速度是多少km/min?
(2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？
(3)若雄鸟的飞行速度为2.5
km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5
km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
[分析] (1)将x0，x代入解析式求速度．
(2)利用候鸟休息的速度为0解题．
(3)利用对数运算，两式相减构成耗氧量的商．
[解析] (1)由题意，x0＝2，x＝8
100，
得v＝log3－lg
2＝1.7，
故此时候鸟的飞行速度为1.7
km/min.
(2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，可得，0＝log3－lg
5，
即log3＝2lg
5，解得：x＝466，
故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量为466个单位．
(3)设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2，
由题意得：
两式相减可得1＝log3，解得：＝9，
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．
[归纳提升] 对数型函数问题的类型及解法
(1)对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．
(2)对数型函数应用题的解题思路：①依题意，找出或建立数学模型，②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论．
【对点练习】?
大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)与其耗氧量单位数Q之间的关系可以表示为函数v＝klog3＋b，其中k，b为常数．已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单位；而当它的游速为1.5
m/s时，其耗氧量为2
700个单位．
(1)求出游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式；
(2)求当一条鲑鱼的游速不高于2.5
m/s时，其耗氧量至多需要多少个单位．
[解析] (1)由题意可得
解得k＝，b＝0，
所以游速v与其耗氧量单位数Q之间的函数解析式v＝log3.
(2)由题意，有log3≤2.5，即log3≤5，
所以log3≤log335，
由对数函数的单调性有0<≤35，
解得0300，
故当一条鲑鱼的游速不高于2.5
m/s时，其耗氧量至多需要24
300个单位．
误区警示
忽视实际问题对定义域的限制致误
例4 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为x(件)时的成本函数为y＝10＋2x＋2x2(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润是多少？
[错解] 设该企业所能获取的最大利润为z万元，则
z＝20x－(10＋2x＋2x2)，即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，
故z的最大值为30.5，即该企业所能获取的最大利润为30.5万元．
[错因分析] 题目中的条件已经暗示了x为自然数，而该错解中却是在x＝4.5时取到的最大值30.5，这种情况在实际中是无法操作的．
[正解] 设该企业所能获取的最大利润为z万元，则z＝20x－(10＋2x＋2x2)(x∈N)，即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，故当x＝4或5时，z取最大值30，即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为30万元．
BBBB学科素养
二分法的数学思想方法是将方程的根看作函数的零点，利用连续函数的性质，将求方程根的问题转化为计算函数值，逐步逼近零点，体现了函数与方程的思想，转化思想，数形结合思想及数学推理．
例5 已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.
(1)证明：f(x)有且仅有一个零点；
(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.
[解析] (1)∵函数y＝lnx，y＝2x－6在(0，＋∞)上都是增函数，
∴f(x)＝lnx＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点，由f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(2)·f(3)<0，∴f(x)在(2，3)内至少有一个零点，
∴f(x)有且仅有一个零点．
(2)∵f(2)<0，f(3)>0，取x1＝＝，f()＝ln＋5－6＝ln－1<0，
∴f(3)·f()<0，∴f(x)的零点x0∈(，3)．
取x2＝＝，f()＝ln＋2×－6＝ln－>0，∴f()·f()<0，∴x0∈(，)．
∵|－|＝≤，∴满足题意的区间为(，)．
课堂检测·固双基
1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为( A )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
18
21
24
27
30
33
36
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
[解析] 随着自变量每增加1，函数值增加3，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．
2．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是( D )
A．y＝3x
B．y＝log3x
C．y＝x3
D．y＝3x
[解析] 几种函数模型中指数函数增长最快．
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( D )
[解析] 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，
所以y＝f(x)的图象大致为D中图象．
4．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如表所示.
时间
1
2
3
4
利润(千元)
2
3.98
8.01
15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的( B )
A．y＝log2x
B．y＝2x
C．y＝x2
D．y＝2x
[解析] 逐个检验可得答案为B．
5．某工厂生产某种产品固定成本为2
000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是2_500万元．
[解析] ∵每生产一单位产品，成本增加10万元，
∴单位产品数Q时的总成本为2
000＋10Q万元，
∵K(Q)＝40Q－Q2，
∴利润L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2
000
＝－(Q－300)2＋2
500
∴Q＝300时，利润L(Q)的最大值是2
500万元．
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