山东省烟台市芝罘区2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷(word解析版)

2020-2021学年山东省烟台市芝罘区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每题3分，共36分）
1．若x＞y，则下列式子中错误的是（　　）
A．x﹣3＞y﹣3
B．x+12＞y﹣12
C．x＞y
D．﹣9x＞﹣9y
2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3
B．4，5，6
C．9，12，15
D．1，，
3．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，下列结论错误的是（　　）
A．∠CNH＝∠BPG
B．∠BMN＝∠MNC
C．∠DNG＝∠AME
D．∠EMB＝∠END
4．下列命题是假命题的是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．平面内，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上
5．由三个正方形彼此嵌套组成一个如图所示的图案，其中每个内层正方形的顶点都是其外层正方形边的中点，在该图案上任意取点，恰好取在空白区域的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为点D．若BE＝2，则AC的长度为（　　）
A．
B．1
C．
D．2
7．某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下：
移植总数（n）
50
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数（m）
47
235
369
662
1335
3203
6335
8073
12628
成活频率（）
0.94
0.87
0.923
0.883
0.89
0.915
0.905
0.897
0.902
由此可以估计该种幼树移植成活的概率为（　　）（结果保留小数点后两位）
A．0.88
B．0.89
C．0.90
D．0.92
8．一副直角三角板如图摆放，点F在CB的延长线上，∠C＝∠DFE＝90°，若DE∥CF，则∠BEF的度数为（　　）
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
9．甲对乙说，“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁”；乙对甲说“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁”，设甲现在x岁，乙现在y岁，可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．使用手机打国内长途电话，一种计费标准为：通话时间在3分钟以内话费2元，超过3分钟后的话费如图所示．设通话时间为x（分钟），需付电话费为y（元）．根据图中y与x的变化图象，可知该种计费方式通话10分钟的话费为（　　）
A．8元
B．9元
C．10元
D．12元
11．若不等式2x+5＜1的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式4x+1＜x﹣m成立，则m的取值范围是（　　）
A．m＞5
B．m≤5
C．m＞﹣5
D．m＜﹣5
12．如图，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DE相交于点D，DF⊥AB于点F，AB＝6，AC＝4，则BF的长度是（　　）
A．
B．
C．1
D．
二、填空题（每题3分，共24分）
13．若是关于x，y的方程kx﹣y＝3的解，则k的值是
　
　．
14．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝75°，则∠B的度数为
　
　．
15．一个不透明的盒子里有若干个除颜色外其他完全相同的小球，其中12个红球．每次先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3左右，那么估计盒子中小球的个数为
　
　．
16．若方程组的解中x+y＝16，则k＝　
　．
17．如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+7交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+7的解集是
　
　．
18．已知点P（1﹣m，﹣2m+5）在第二象限，则符合条件的m的整数值的个数是
　
　．
19．如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，那么∠CFE的度数是
　
　．
20．如图，△ABD和△BCD都是边长为2的等边三角形，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿直线EF折叠，点A恰好落在边BC的中点G处，则AF的长度是
　
　．
三、解答题（本题共7个题，满分60分）
21．（8分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
22．（6分）现有一枚均匀的正方体骰子，甲乙两人做掷骰子游戏，游戏规则是：若朝上的点数小于3，则甲获胜；若朝上的点数大于3，则乙获胜．你认为这个游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？若不公平，请你设计一个游戏规则，使游戏对甲乙双方是公平的．
23．（6分）如图，点E、F分别是AB、CD上的点，AC交DE、BF于点G、H，∠A＝∠C，∠B＝∠D．若∠1＝62°，求∠2的度数．
24．（8分）如图，△ABF和△DCE中，AF、DE交于点G，点E、F在线段BC上，AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C．
（1）求证：GE＝GF；
（2）请用无刻度的直尺画出线段BC的垂直平分线（简要说明画法，保留作图痕迹，不需证明）．
25．（10分）五一前夕，某时装店老板到厂家选购A，B两种品牌的时装，若购进A品牌的时装5套，B品牌的时装6套，需要950元；若购进A品牌的时装3套，B品牌的时装2套，需要450元．
（1）求A，B两种品牌的时装每套进价分别为多少元？
（2）若1套A品牌的时装售价130元，1套B品牌的时装售价102元，时装店将购进的A，B两种时装共50套全部售出，所获利润要不少于1470元，问A品牌时装至少购进多少套？
26．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．
（1）判断△AEF的形状并证明；
（2）若BE＝1，求BC的长度．
27．（12分）如图，直线l：y＝x+b过点A（﹣3，0），与y轴交于点B，∠OAB的平分线交y轴于点C，过点C作直线AB的垂线，交x轴于点E，垂足是点D．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）求直线DE的函数关系式；
（3）设点P是y轴上一动点，当PA+PD的值最小时，请直接写出点P的坐标．
2020-2021学年山东省烟台市芝罘区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共36分）
1．若x＞y，则下列式子中错误的是（　　）
A．x﹣3＞y﹣3
B．x+12＞y﹣12
C．x＞y
D．﹣9x＞﹣9y
【分析】利用不等式的基本性质（1）对A、B进行判断；利用不等式的基本性质（2）对C进行判断；利用不等式的基本性质（3）对D进行判断．
【解答】解：A．x＞y，则x﹣3＞y﹣3，所以A选项不符合题意；
B．当x＞y，则x+12＞y﹣12，所以B选项不符合题意；
C．x＞y，则x＞y，所以C选项不符合题意；
A．x＞y，则﹣9x＜﹣9y，所以D选项符合题意．
故选：D．
2．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）
A．1，2，3
B．4，5，6
C．9，12，15
D．1，，
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
【解答】解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、92+122＝152，能构成直角三角形，故符合题意；
D、12+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
3．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点M，N，过点N的直线GH与AB交于点P，下列结论错误的是（　　）
A．∠CNH＝∠BPG
B．∠BMN＝∠MNC
C．∠DNG＝∠AME
D．∠EMB＝∠END
【分析】根据两直线平行，同位角相等、内错角相等解答即可．
【解答】解：A、∵AB∥CD，∴∠CNH＝∠APN，∵∠APN＝∠BPG，∴∠CNH＝∠BPG，结论正确，不符合题意；
B、∵AB∥CD，∴∠BMN＝∠MNC，结论正确，不符合题意；
C、∵AB∥CD，∴∠DNG＝∠BPG，∵∠BPG≠∠AME，∴∠DNG≠∠AME，结论错误，符合题意；
D、∵AB∥CD，∴∠EMB＝∠END，结论正确，不符合题意；
故选：C．
4．下列命题是假命题的是（　　）
A．同位角相等，两直线平行
B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．平面内，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上
【分析】利用平行线的判定、三角形的外角的性质、角平分线的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、同位角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；
B、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，正确，是真命题，不符合题意；
C、平行于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意；
D、角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上，故原命题错误，是假命题，符合题意；
故选：D．
5．由三个正方形彼此嵌套组成一个如图所示的图案，其中每个内层正方形的顶点都是其外层正方形边的中点，在该图案上任意取点，恰好取在空白区域的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据面积法：恰好取在空白区域的概率就是空白区域的面积与总面积的比即可解答．
【解答】解：观察这个图可知：空白区域占，故其概率等于．
故选：B．
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为点D．若BE＝2，则AC的长度为（　　）
A．
B．1
C．
D．2
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出BE＝CE＝2，故可得出∠B＝∠DCE＝30°，再由三角形的内角和定理可得∠ACB＝60°，可得∠ACE＝30°，根据直角三角形含30°角的性质可得AE和AC的长．
【解答】解：如图，连接CE，
∵BC的垂直平分线交AB于E，垂足为点D，
∴BE＝CE＝2，
∴∠B＝∠DCE＝30°，
∵∠A＝90°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∴AE＝1，AC＝．
故选：A．
7．某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，实验结果统计如下：
移植总数（n）
50
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数（m）
47
235
369
662
1335
3203
6335
8073
12628
成活频率（）
0.94
0.87
0.923
0.883
0.89
0.915
0.905
0.897
0.902
由此可以估计该种幼树移植成活的概率为（　　）（结果保留小数点后两位）
A．0.88
B．0.89
C．0.90
D．0.92
【分析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.90，
故选：C．
8．一副直角三角板如图摆放，点F在CB的延长线上，∠C＝∠DFE＝90°，若DE∥CF，则∠BEF的度数为（　　）
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
【分析】本题根据一副直角三角板，可知∠DEF＝45°，∠EBC＝60°，再借助平行线的性质，先求出∠DEB＝60°，从而求出∠BEF的大小．
【解答】解：∵△ABC与△DEF为一副直角三角板，
∴∠DEF＝45°，∠EBC＝60°，
∵DE∥CF，
∴∠EBC＝∠DEB＝60°，
∴∠BEF＝∠DEB﹣∠DEF＝60°﹣45°＝15°．
故选：B．
9．甲对乙说，“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁”；乙对甲说“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁”，设甲现在x岁，乙现在y岁，可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意，有“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁”可得出：乙的年龄﹣两人的年龄差＝4，由“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁”，可得出：甲的年龄+两人的年龄差＝61．由此列出方程组求解．
【解答】解：设甲现在年龄x岁，乙现在年龄y岁，
可列方程组为，
故选：A．
10．使用手机打国内长途电话，一种计费标准为：通话时间在3分钟以内话费2元，超过3分钟后的话费如图所示．设通话时间为x（分钟），需付电话费为y（元）．根据图中y与x的变化图象，可知该种计费方式通话10分钟的话费为（　　）
A．8元
B．9元
C．10元
D．12元
【分析】设通话时间x与通话话费y之间的函数关系式为y＝kx+b，由函数图象提供的数据求出解析式，再将
x＝10代入解析式就可以求出就可以求出结论．
【解答】设通话时间x与通话话费y之间的函数关系式为y＝kx+b，由题意得，
，
解得：，
∴y＝x﹣1（x≥3），
当x＝10时，
y＝10﹣1＝9（元）．
故选：B．
11．若不等式2x+5＜1的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式4x+1＜x﹣m成立，则m的取值范围是（　　）
A．m＞5
B．m≤5
C．m＞﹣5
D．m＜﹣5
【分析】求出不等式2x+5＜1的解集，再求出不等式4x+1＜x﹣m的解集，得出关于m的不等式，求出m即可．
【解答】解：解不等式2x+5＜1得：x＜﹣2，
解关于x的不等式4x+1＜x﹣m得x＜﹣，
∵不等式2x+5＜1的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式4x+1＜x﹣m成立，
∴﹣≥﹣2，
解得：m≤5，
故选：B．
12．如图，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DE相交于点D，DF⊥AB于点F，AB＝6，AC＝4，则BF的长度是（　　）
A．
B．
C．1
D．
【分析】连接CD，过点D作DM⊥AC于点M，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得DF＝DM，CD＝BD，根据HL证明Rt△ADM≌Rt△ADF，可得AM＝AF，再根据HL证得Rt△CDM≌Rt△BDF，可得CM＝BF，继而可求得答案．
【解答】解：如图，连接CD，过点D作DM⊥AC于点M，
∵AD是∠BAC的平分线，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF＝DM，∠M＝∠DFB＝90°，
在Rt△ADM和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADM≌Rt△ADF（HL），
∴AM＝AF，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDM和Rt△BDF中，
，
∴Rt△CDM≌Rt△BDF（HL），
∴CM＝BF，
∴AB＝AF+BF＝AM+BF＝AC+CM+BE＝AC+2BF，
∵AB＝6，AC＝4，
∴BF＝1．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共24分）
13．若是关于x，y的方程kx﹣y＝3的解，则k的值是
　2　．
【分析】根据二元一次方程解的定义，直接把代入方程kx﹣y＝3，得到2k﹣1＝3，进一步求得k值．
【解答】解：将代入方程kx﹣y＝3，得：2k﹣1＝3，
解得：k＝2，
故答案为：2．
14．如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD＝CE，∠D＝75°，则∠B的度数为
　30°　．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，再利用平行线的性质解决问题即可．
【解答】解：∵CD＝CE，
∴∠D＝∠CED＝75°，
∴∠DCB＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∵CD∥AB，
∴∠B＝∠C＝30°，
故答案为：30°．
15．一个不透明的盒子里有若干个除颜色外其他完全相同的小球，其中12个红球．每次先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3左右，那么估计盒子中小球的个数为
　40　．
【分析】设盒子中球的个数为x，根据“量重复摸球试验后发现摸到黄球的频率稳定在0.3”列出关于x的方程，解之可得．
【解答】解：设盒子中球的个数为x，，
根据题意，得：＝0.3，
解得：x＝40，
经检验x＝40是原方程的解，
故答案为：40．
16．若方程组的解中x+y＝16，则k＝　17　．
【分析】根据题意得，解三元一次方程组即可求得k的值．
【解答】解：由题意得，
①+③得：4x＝4k+11④，
①×6+②得：20x＝25k﹣30，即4x＝5k﹣6⑤，
⑤﹣④得：k＝17，
故答案为：17．
17．如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+7交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+7的解集是
　x＞3　．
【分析】利用函数图象，写出直线y＝x+b在直线y＝kx+7上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：根据图象得当x＞3时，x+b＞kx+7．
故答案为：x＞3．
18．已知点P（1﹣m，﹣2m+5）在第二象限，则符合条件的m的整数值的个数是
　1　．
【分析】根据第二象限内点的坐标的符号特征，列出关于m的不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）∵点M（1﹣m，﹣2m+5）在第二象限，
∴，
解得，
∴符合条件的m的整数是2，共1个．
故答案为：1．
19．如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，那么∠CFE的度数是
　40°　．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，进而求出∠BAD，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：设AD与BC交于点G，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
∵∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，
∴∠BAD+∠CAE＝135°﹣55°＝80°，
∴∠BAD＝∠CAE＝40°，
∵∠B＝∠D，∠BGA＝∠DGF，
∴∠CFE＝∠DFB＝∠BAD＝40°，
故答案为：40°．
20．如图，△ABD和△BCD都是边长为2的等边三角形，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿直线EF折叠，点A恰好落在边BC的中点G处，则AF的长度是
　　．
【分析】连接DG，根据等腰三角形的三线合一可知DG⊥BC，再利用翻折变化的性质AF＝GF，利用勾股定理解直角三角形DGC求GF长，进而得到答案．
【解答】连接DG，如图，
∵△ABD和△BCD都是边长为2的等边三角形，
∴AB＝AD＝BD＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵△BCD都是边长为2的等边三角形，G为BC的中点，
∴DG⊥BC，CG＝1，
在Rt△CDG中，DG＝＝，
根据翻折变换可知AF＝FG，
∵AD∥BC，DG⊥BC，
∴DG⊥AD，
在Rt△DFG中，设FG＝m，则DF＝2﹣m，
∴DF2+DG2＝FG2，即（2﹣m）2+（）2＝m2，
解得m＝，
故答案为．
三、解答题（本题共7个题，满分60分）
21．（8分）（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）整理，得：，
①+②，得：6x＝60，
解得x＝10，
将x＝10代入①，得：y＝，
则方程组的解为；
（2）解不等式＞，得：x＜3，
解不等式3（x+2）≥2x+5，得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
22．（6分）现有一枚均匀的正方体骰子，甲乙两人做掷骰子游戏，游戏规则是：若朝上的点数小于3，则甲获胜；若朝上的点数大于3，则乙获胜．你认为这个游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？若不公平，请你设计一个游戏规则，使游戏对甲乙双方是公平的．
【分析】根据题意求出甲获胜的概率和乙获胜的概率，二者比较一下大小得出结论；再设计一个游戏规则，使甲、乙获胜的概率相等即可．
【解答】解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下：
投掷一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数所有可能是：1、2、3、4、5、6，
则甲获胜的概率为＝，乙获胜的概率为＝，
∵＜，
∴游戏规则不公平；
设计一个公平的游戏规则：若朝上的点数小于等于3，则甲获胜；若朝上的点数大于3，则乙获胜；理由如下：
甲获胜的概率＝＝，乙获胜的概率为＝，
∵＝，
∴游戏对甲乙双方是公平的．
23．（6分）如图，点E、F分别是AB、CD上的点，AC交DE、BF于点G、H，∠A＝∠C，∠B＝∠D．若∠1＝62°，求∠2的度数．
【分析】根据平行线的判定定理得到AB∥CD，根据平行线的性质定理得到∠B＝∠CFH，等量代换得到∠CFH＝∠D，于是得到结论．
【解答】解：∵∠A＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠CFH，
∵∠B＝∠D，
∴∠CFH＝∠D，
∴BH∥ED，
∴∠1＝∠DGH＝62°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝118°．
24．（8分）如图，△ABF和△DCE中，AF、DE交于点G，点E、F在线段BC上，AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C．
（1）求证：GE＝GF；
（2）请用无刻度的直尺画出线段BC的垂直平分线（简要说明画法，保留作图痕迹，不需证明）．
【分析】（1）先根据SAS即可证明△ABF≌△DCE，再利用全等三角形的性质可得∠AFB＝∠DEC，根据等角对等边即可证明；
（2）由于∠B＝∠C，可得PB＝PC，根据等腰三角形的三线合一定理可得线段BC的垂直平分线△PBC的BC边上的高，也是，△GEF的EF边上的高，故作直线PG，直线PG就是BC的垂直平分线．
【解答】（1）证明：∵点E、F在线段BC上，BE＝CF，
∴BF＝EC，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠AFB＝∠DEC，
∴GE＝GF；
（2）如图，延长BA、CD交于点P，作直线PG，直线PG就是BC的垂直平分线．
25．（10分）五一前夕，某时装店老板到厂家选购A，B两种品牌的时装，若购进A品牌的时装5套，B品牌的时装6套，需要950元；若购进A品牌的时装3套，B品牌的时装2套，需要450元．
（1）求A，B两种品牌的时装每套进价分别为多少元？
（2）若1套A品牌的时装售价130元，1套B品牌的时装售价102元，时装店将购进的A，B两种时装共50套全部售出，所获利润要不少于1470元，问A品牌时装至少购进多少套？
【分析】（1）设A品牌的时装每套进价为x元，B品牌的时装每套进价为y元，根据“若购进A品牌的时装5套，B品牌的时装6套，需要950元；若购进A品牌的时装3套，B品牌的时装2套，需要450元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A品牌的时装购进m套，则B品牌的时装购进（50﹣m）套，根据总利润＝每件利润×销售数量（购进数量）结合所获总利润要不少于1470元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A品牌的时装每套进价为x元，B品牌的时装每套进价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A品牌的时装每套进价为100元，B品牌的时装每套进价为75元．
（2）设A品牌的时装购进m套，则B品牌的时装购进（50﹣m）套，
依题意，得：（130﹣100）m+（102﹣75）（50﹣m）≥1470，
解得：m≥40．
答：A品牌时装至少购进40套．
26．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．
（1）判断△AEF的形状并证明；
（2）若BE＝1，求BC的长度．
【分析】（1）通过证△AEB≌△AFC（SAS），得到AE＝AF，又有AF⊥AE，即可得解；
（2）过点A作AG⊥EC于点G，由（1）知△AEB≌△AFC，得出BE＝CF＝1，根据AAS判定△AGD≌△BED，得出AG＝BE＝1，根据△AEF是等腰直角三角形推出△AEG和△AFG都是等腰直角三角形，即可得到EG＝FG＝AG＝1，EF＝2，CE＝EF+CF＝3，最后根据勾股定理即可得解．
【解答】解：（1）△AEF是等腰直角三角形，理由如下：
∵∠BAC＝90°，AF⊥AE，
∴∠EAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAC＝90°，
∴∠EAB＝∠FAC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBD+∠EDB＝∠ADC+∠ACD＝90°，
∵∠EDB＝∠ADC，
∴∠EBA＝∠ACF，
∴在△AEB与△AFC中，
，
∴△AEB≌△AFC（ASA），
∴AE＝AF，
又∵∠EAF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形；
（2）过点A作AG⊥EC于点G，
由（1）知△AEB≌△AFC，
∴BE＝CF，
∵BE＝1，
∴CF＝1，
∵AG⊥EC，BE⊥CE，
∴∠AGD＝∠BED＝90°，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
在△AGD和△BED中，
，
∴△AGD≌△BED（AAS），
∴AG＝BE＝1，
由（1）知△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°，
∴△AEG和△AFG都是等腰直角三角形，
∴EG＝FG＝AG＝1，
∴EF＝2，
∴CE＝EF+CF＝3，
在Rt△BCE中，∠BEC＝90°，
∴BC＝＝＝．
27．（12分）如图，直线l：y＝x+b过点A（﹣3，0），与y轴交于点B，∠OAB的平分线交y轴于点C，过点C作直线AB的垂线，交x轴于点E，垂足是点D．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）求直线DE的函数关系式；
（3）设点P是y轴上一动点，当PA+PD的值最小时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）把点A（﹣3，0）代入y＝x+b，可求得B的坐标，根据角平分线的性质得CD＝CO，设CD＝CO＝m，根据勾股定理求出m即可得点C的坐标；
（2）证明△BCD≌△ECO（ASA），根据全等三角形的性质得OE＝BD，可得E的坐标，由点C、E的坐标利用待定系数法即可求解；
（3）作点A关于y轴对称的点A′，连接A′D交y轴于点P，即为所求的点P，此时，PA+PD的值最小，求得A′D的解析式，即可得点P的坐标．
【解答】解：（1）把点A（﹣3，0）代入y＝x+b，得b＝4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
在
Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴AB＝＝5．
∵AC平分∠OAB，CD⊥AB，CO⊥OA，
∴CD＝CO，∠ACD＝∠ACO，
∵AC＝AC，
∴△ACD≌△ACO（SAS），
∴AD＝AO＝3，BD＝AB﹣AD＝2．
设CD＝CO＝m，则BC＝4﹣m，
在Rt△BDC中，
由勾股定理知，CD2+BD2＝BC2，
∴m2+22＝（4﹣m）2，
解得，m＝，
∴C（0，）；
（2）∵CD⊥AB，CO⊥OA，
∴∠CDB＝∠COE＝90°，
∵CD＝CO，∠BCD＝∠ECO，
∴△BCD≌△ECO（ASA），
OE＝BD＝2，
∴E的坐标（2，0），
∵C（0，），
设直线DE的函数关系式为y＝kx+，
∴0＝2k+，解得：k＝﹣，
∴直线DE的函数关系式为y＝﹣x+；
（3）作点A关于y轴对称的点A′，连接A′D交y轴于点P，即为所求的点P，此时，PA+PD的值最小，过点D作DF⊥BC于F，
∵CD＝CO＝，OB＝4，
∴BC＝，
∵CD⊥AB，BD＝2，
∴DF＝＝，
∵直线DE的函数关系式为y＝﹣x+，
∴D（﹣，），
∵A（﹣3，0），
∴A′（3，0），
设A′D的解析式为y＝k′x+b′，
∴，解得：，
∴A′D的解析式为y＝﹣x+，
当x＝0时，y＝，
∴点P的坐标为（0，）．