21.1一元二次方程 同步练习 2021-2022学年人教版九年级数学上册（Word版 含答案）

21.1
一元二次方程
一、选择题
1．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．±1
D．0
2．若关于x的方程2x2+mx＝4x+2中不含一次项，则m＝（　　）
A．0
B．4
C．﹣4
D．±4
3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（　　）
A．1
B．﹣1
C．0
D．无法确定
4．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x+2y＝1
B．x2+x﹣1＝x2
C．
D．x2﹣5＝0
5．关于x的方程（a﹣1）x2+3x﹣2＝0是一元二次方程的条件是（　　）
A．a≠0
B．a＝1
C．a≠1
D．a为任意实数
6．如果方程（m﹣3）﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　）
A．±3
B．3
C．﹣3
D．都不对
7．下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0
B．x2+1﹣x2＝0
C．x2+＝2
D．x2﹣x﹣2＝0
8．方程x2＝2x﹣1的常数项是（　　）
A．﹣1
B．1
C．﹣2
D．2
9．把一元二次方程（1﹣x）（2﹣x）＝3﹣x2化成一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）其中a、b、c分别为（　　）
A．2、3、﹣1
B．2、﹣3、﹣1
C．2、﹣3、1
D．2、3、1
10．若方程axm+bx+c＝0是关于x的一元二次方程，则下列说法不正确的是（　　）
A．a≠0
B．m＝2
C．b≠0
D．c可以是任意数
二、填空题
11．若+x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是　
　．
12．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为　
　．
13．若关于x的方程x2a+b﹣xa﹣b+1＝0是一元二次方程，则a，b的值分别为
　
　．
14．已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a2﹣4）x+8＝0不含一次项，则a＝　
　．
15．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则代数式2a﹣4b的值为
　
　．
16．若关于x的方程（m+1）x2+5x+6＝8是一元二次方程，则m的取值范围是　
　．
17．已知关于x的一元二次方程x2+kx+k＝0的一个根是2，那么k＝　
　．
18．把一元二次方程3x（x﹣2）＝4化为一般形式是　
　．
19．把方程（x+3）2﹣3x＝5x2化为一元二次方程的一般形式是
　
　．
20．若方程（k﹣3）xk﹣2+x2+kx+1＝0是关于x的一元二次方程，则k＝　
　．
三、解答题
21．已知关于x的方程（2k+1）x2+4kx+k﹣1＝0．
（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
22．把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项
（1）2x2＝1﹣3x
（2）5x（x﹣2）＝4x2﹣3x．
23．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）5x2﹣1＝4x；
（2）4x2＝81；
（3）4x（x+2）＝25；
（4）（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3．
24．已知关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0．
（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？
25．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个实数根，求代数式（a2﹣2a）（a﹣﹣1）的值．
26．已知关于x的方程（k2﹣1）x2+（k+1）x﹣2＝0
（1）当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；
（2）当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
27．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出其中的二次项系数、一次项系数、常数项．
（1）（x+1）2﹣3＝3x（x+1）；
（2）4﹣7x2＝0．
28．有关于x的方程，回答下列问题：
（1）若方程是一元二次方程，求m的值；
（2）若方程是一元一次方程，则m是否存在？若存在，请直接写出m的值，并把方程解出来．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．±1
D．0
【分析】把x＝0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，然后解关于a的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
【解答】解：把x＝0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a1＝1，a2＝﹣1，
而a+1≠0，
所以a＝1．
故选：A．
2．若关于x的方程2x2+mx＝4x+2中不含一次项，则m＝（　　）
A．0
B．4
C．﹣4
D．±4
【分析】首先要把方程化成一般形式．不含x的一次项，即是一次项系数为0，再解答即可．
【解答】解：2x2+mx＝4x+2，
2x2+（m﹣4）x﹣2＝0，
不含x的一次项，
则m﹣4＝0，
解得m＝4．
故选：B．
3．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1＝0的一个根，则m的值是（　　）
A．1
B．﹣1
C．0
D．无法确定
【分析】把x＝1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
【解答】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1＝0，
解得：m＝﹣1．
故选：B．
4．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x+2y＝1
B．x2+x﹣1＝x2
C．
D．x2﹣5＝0
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、由已知方程化简得到：x＝1，未知数的最高次数为1次，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故此选项符合题意；
故选：D．
5．关于x的方程（a﹣1）x2+3x﹣2＝0是一元二次方程的条件是（　　）
A．a≠0
B．a＝1
C．a≠1
D．a为任意实数
【分析】根据一元二次方程的定义可得a﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1．
故选：C．
6．如果方程（m﹣3）﹣x+3＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　）
A．±3
B．3
C．﹣3
D．都不对
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．据此即可得到m2﹣7＝2，m﹣3≠0，即可求得m的范围．
【解答】解：由一元二次方程的定义可知，
解得m＝﹣3．
故选：C．
7．下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0
B．x2+1﹣x2＝0
C．x2+＝2
D．x2﹣x﹣2＝0
【分析】一元二次方程必须满足下面几个条件：（1）整式方程；（2）只有一个未知数，且未知数的最高次是2；（3）二次项系数不为0．
【解答】解：A、当a＝0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意．
B、由已知方程得到1＝0，该等式不成立，且不含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
C、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意．
D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
8．方程x2＝2x﹣1的常数项是（　　）
A．﹣1
B．1
C．﹣2
D．2
【分析】要确定常数项，首先要把方程化成一般形式．
【解答】解：移项，得
x2﹣2x+1＝0，
故常数项是1．
故选：B．
9．把一元二次方程（1﹣x）（2﹣x）＝3﹣x2化成一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0）其中a、b、c分别为（　　）
A．2、3、﹣1
B．2、﹣3、﹣1
C．2、﹣3、1
D．2、3、1
【分析】首先将已知方程进行整理，化为一元二次方程的一般形式，再来确定a、b、c的值．
【解答】解：原方程可整理为：
2x2﹣3x﹣1＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1；
故选：B．
10．若方程axm+bx+c＝0是关于x的一元二次方程，则下列说法不正确的是（　　）
A．a≠0
B．m＝2
C．b≠0
D．c可以是任意数
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可．
【解答】解：∵方程axm+bx+c＝0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0、m＝2，b、c可以为任意实数，
故选：C．
二、填空题
11．若+x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是　﹣2　．
【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣2≠0，m2﹣2＝2，求出即可．
【解答】解：∵+x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0，m2﹣2＝2，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为　﹣　．
【分析】利用意元二次方程根的定义得到m2＝3m+5，然后把m2＝3m+5代入中进行整式的运算即可．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，
∴m2﹣3m﹣5＝0，
∴m2＝3m+5，
＝m﹣（3m+5）
＝m﹣m﹣
＝﹣．
故答案为﹣．
13．若关于x的方程x2a+b﹣xa﹣b+1＝0是一元二次方程，则a，b的值分别为
　或　．
【分析】根据一元二次方程的定义得到或，解方程组即可得出a，b的值．
【解答】解：∵关于x的方程x2a+b﹣xa﹣b+1＝0是一元二次方程，
∴或，
解得或．
故答案为：或．
14．已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a2﹣4）x+8＝0不含一次项，则a＝　﹣2　．
【分析】直接利用一元二次方程的定义和已知得出a2﹣4＝0，且a﹣2≠0，进而求出即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a2﹣4）x+8＝0不含一次项，
∴a2﹣4＝0，且a﹣2≠0，
解得：a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
15．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax﹣2b＝0的解，则代数式2a﹣4b的值为
　﹣2　．
【分析】将x＝1代入原方程即可求出（a﹣2b）的值，然后将其整体代入求值．
【解答】解：将x＝1代入原方程可得：1+a﹣2b＝0，
∴a﹣2b＝﹣1，
∴原式＝2（a﹣2b）
＝﹣2，
故答案是：﹣2．
16．若关于x的方程（m+1）x2+5x+6＝8是一元二次方程，则m的取值范围是　m≠﹣1　．
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：由题意得：m+1≠0，
解得：m≠﹣1，
故答案为：m≠﹣1．
17．已知关于x的一元二次方程x2+kx+k＝0的一个根是2，那么k＝　﹣　．
【分析】把x＝2代入方程就得到一个关于k的方程，求出k的值即可．
【解答】解：根据题意将x＝2代入方程得：
4+2k+k＝0，
解得k＝﹣．
故答案为：﹣．
18．把一元二次方程3x（x﹣2）＝4化为一般形式是　3x2﹣6x﹣4＝0　．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0，去括号，移项把方程的右边变成0即可．
【解答】解：把一元二次方程3x（x﹣2）＝4去括号，移项合并同类项，转化为一般形式是3x2﹣6x﹣4＝0．
19．把方程（x+3）2﹣3x＝5x2化为一元二次方程的一般形式是
　4x2﹣3x﹣9＝0　．
【分析】用完全平方公式展开后，移项，合并同类项，即可得出答案．
【解答】解：由原方程得：x2+6x+9﹣3x＝5x2，
∴4x2﹣3x﹣9＝0，
故答案为：4x2﹣3x﹣9＝0．
20．若方程（k﹣3）xk﹣2+x2+kx+1＝0是关于x的一元二次方程，则k＝　2或4或3　．
【分析】分为，三种情况：①当k﹣2＝0，②k﹣2＝1，③k﹣2＝2，再判断即可．
【解答】解：分为四种情况：①当k﹣2＝0，即k＝2时，方程为﹣1+x2+2x+1＝0，解得：x＝﹣2或0；
②当k﹣2＝1，即k＝3时，方程为x2+3x+1＝0；
③当k﹣2＝2，即k＝4时，方程为2x2+4x+1＝0；
④当k﹣3＝0，即k＝3时，方程为x2+3x+1＝0，
即k的值为2或4或3，
故答案为：2或4或3．
三、解答题
21．已知关于x的方程（2k+1）x2+4kx+k﹣1＝0．
（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
【分析】（1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，即可得到答案；
（2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案．
【解答】解：（1）由题意得：2k+1＝0且4k≠0，
解得：k＝﹣，
∴当k＝﹣时，原方程为一元一次方程，此时方程为﹣2x﹣＝0；
（2）由题意得：2k+1≠0，
解得：k≠﹣，
∴当k≠﹣时，原方程为一元二次方程，这个一元二次方程的二次项系数为2k+1、一次项系数为4k、常数项为k﹣1．
22．把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项
（1）2x2＝1﹣3x
（2）5x（x﹣2）＝4x2﹣3x．
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【解答】解：（1）2x2＝1﹣3x一般形式为2x2+3x﹣1＝0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为﹣1；
（2）5x（x﹣2）＝4x2﹣3x．一般形式为x2﹣7x＝0，二次项系数为1，一次项系数为﹣7，常数项为0．
23．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）5x2﹣1＝4x；
（2）4x2＝81；
（3）4x（x+2）＝25；
（4）（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3．
【分析】（1）首先把方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，再根据a叫做二次项系数；b叫一次项系数；c叫做常数项进行解答；
（2）首先把方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，再根据a叫做二次项系数；b叫一次项系数；c叫做常数项进行解答；
（3）首先把方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，再根据a叫做二次项系数；b叫一次项系数；c叫做常数项进行解答；
（4）首先把方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，再根据a叫做二次项系数；b叫一次项系数；c叫做常数项进行解答．
【解答】解：（1）5x2﹣1＝4x，
5x2﹣4x﹣1＝0，
二次项系数为5，一次项系数为﹣4，常数项为﹣1；
（2）4x2＝81，
4x2﹣81＝0，
二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为﹣81；
（3）4x（x+2）＝25，
4x2+8x﹣25＝0，
二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为﹣25；
（4）（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3．
整理得：3x2﹣7x+1＝0，
二次项系数为3，一次项系数为﹣7，常数项为1．
24．已知关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0．
（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？
【分析】（1）由一元二次方程的定义可得关于m的不等式，可求得m的取值；
（2）由一元一次方程的定义可利关于m的方程，可求得m的值．
【解答】解：
（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0为一元二次方程，
∴m2﹣1≠0，解得m≠±1，
即当m≠±1时，方程为一元二次方程；
（2）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣2＝0为一元一次方程，
∴m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，解得m＝﹣1，
即当m为﹣1时，方程为一元一次方程．
25．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个实数根，求代数式（a2﹣2a）（a﹣﹣1）的值．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到a2﹣2a＝4，a2﹣4＝2a，再利用通分和整体代入的方法得到原式═4×，然后约分后进行有理数乘法运算即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣4＝0的一个实数根，
∴a2﹣2a﹣4＝0，即a2﹣2a＝4，a2﹣4＝2a，
∴（a2﹣2a）（a﹣﹣1）＝4×
＝4×
＝4×1
＝4．
26．已知关于x的方程（k2﹣1）x2+（k+1）x﹣2＝0
（1）当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；
（2）当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
【分析】（1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案；
（2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案．
【解答】解：（1）由（k2﹣1）x2+（k+1）x﹣2＝0，得
，
解得k＝1，
2x﹣2＝0，
解得x＝1；
（2）由（k2﹣1）x2+（k+1）x﹣2＝0，得
k2﹣1≠0，
解得k≠±1，
k≠±1时（k2﹣1）x2+（k+1）x﹣2＝0是一元二次方程，
二次项系数是（k2﹣1），一次项系数是（k+1），常数项是﹣2．
27．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出其中的二次项系数、一次项系数、常数项．
（1）（x+1）2﹣3＝3x（x+1）；
（2）4﹣7x2＝0．
【分析】（1）用完全平方公式展开后，移项，合并同类项，即可得出答案；
（2）移项即可得出答案．
【解答】解：（1）由原方程得：
x2+2x+1﹣3＝3x2+3x，
∴2x2+x+2＝0，
∴二次项系数是2、一次项系数是1、常数项是2；
（2）由原方程得：7x2﹣4＝0，
∴二次项系数是7、一次项系数是0、常数项是﹣4．
28．有关于x的方程，回答下列问题：
（1）若方程是一元二次方程，求m的值；
（2）若方程是一元一次方程，则m是否存在？若存在，请直接写出m的值，并把方程解出来．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得m2+1＝2，且m﹣1≠0，解方程即可；
（2）根据一元一次方程的定义可得①m2+1＝1，且m﹣1+m﹣2≠0，即可得到m的值，②m＝1，再把m的值代入原方程解方程可得x的值．
【解答】解：（1）m2+1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1；
（2）①m2+1＝1，且m﹣1+m﹣2≠0，
解得：m＝0，
则方程变为﹣3x﹣1＝0，
解得：x＝﹣．
②m＝1时方程也是一元一次方程，
则方程变为﹣x﹣1＝0，
解得：x＝﹣1．
③当m2+1＝0时，方程无实数根，不合题意．
综上所述：m＝0时，x＝﹣；m＝1时，x＝﹣1．