11.1 与三角形有关的线段同步练习卷 2021-2022学年人教版八年级数学上册（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 11.1 与三角形有关的线段同步练习卷 2021-2022学年人教版八年级数学上册（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 246.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-28 21:49:25 | ||
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文档简介
11.1
与三角形有关的线段
一、选择题
1．如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，AE是哪个三角形的角平分线（ ）
A．△ABE
B．△ADF
C．△ABC
D．△ABC，△ADF
2．如图，以AB为边的三角形共有（ ）个．
A．5
B．4
C．3
D．2
3．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（ ）
A．2，3，4
B．5，7，7
C．5，6，12
D．6，8，10
4．已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
5．四根长度分别为4cm、5cm、9cm、13cm的木条，以其中三根的长为边长，制作成一个三角形框架，那么这个框架的周长可能是（ ）
A．18cm
B．26cm
C．27cm
D．28cm
6．如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添加木条（ ）
A．1根
B．2根
C．3根
D．4根
7．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）
A．都是直角三角形
B．都是钝角三角形
C．都是锐角三角形
D．是一个直角三角形和一个钝角三角形
8．试通过画图来判定，下列说法正确的是（ ）
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
二、填空题
9．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是
．
10．如图，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对的边是
；在△ACD中，∠C所对的边是
．
11．如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝8，DE＝3，则BD＝
．
12．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在CD上，则图中以AD为高的三角形有
个．
13．已知三角形的三边分别是3、8、x，若x的值为偶数，则x的值为
．
14．一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为
cm．
15．如图，△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为
．
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是D，E，F．若AC＝4，AD＝3，BE＝2，则BC＝
．
三、解答题
17．如图是一个从侧面看四腿木椅的示意图，椅子容易变形，请你将修复加固的零件画在图中，并用虚线在图中标明位置．
18．已知等腰三角形的一边长为18，腰长是底边长的，试求此三角形的周长．
19．问题解决：
已知：如图1，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，则∠P与∠A的数量关系是
．
拓展探究：
（1）若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图2，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系（写出说理过程）；
（2）若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（如图3）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系；
（3）若P为n边形A1A2A3…An内一点，A1P平分∠AnA1A2，A2P平分∠A1A2A3，请直接写出∠P与∠A3+A4+A5+…+∠An的数量关系．
20．已知：多边形的外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN．
（1）若多边形为四边形ABCD．
①如图1，∠A＝50°，∠C＝100°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数；
②如图2，猜测当∠A和∠C满足什么数量关系时，BM∥DN，并证明你的猜想．
（2）如图3，若多边形是五边形ABCDG，已知∠A＝140°，∠G＝100°，∠BCD＝120°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，AE是哪个三角形的角平分线（ ）
A．△ABE
B．△ADF
C．△ABC
D．△ABC，△ADF
【分析】根据三角形的角平分线的定义得出．
【解答】解：∵∠2＝∠3，
∴AE是△ADF的角平分线；
∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，即∠BAE＝∠CAE，
∴AE是△ABC的角平分线．
故选：D．
2．如图，以AB为边的三角形共有（ ）个．
A．5
B．4
C．3
D．2
【分析】根据三角形的组成得出以AB为边的三角形；
【解答】解：以AB为边的三角形共有3个，它们是△ABC，△ABE，△ABD．
故选：C．
3．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（ ）
A．2，3，4
B．5，7，7
C．5，6，12
D．6，8，10
【分析】根据三角形三边关系定理判断即可．
【解答】解：∵5+6＜12，
∴三角形三边长为5，6，12不可能成为一个三角形，
故选：C．
4．已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．
【解答】解：设第三边为x，
根据三角形的三边关系，得：4﹣1＜x＜4+1，
即3＜x＜5，
∵x为整数，
∴x的值为4．
三角形的周长为1+4+4＝9．
故选：C．
5．四根长度分别为4cm、5cm、9cm、13cm的木条，以其中三根的长为边长，制作成一个三角形框架，那么这个框架的周长可能是（ ）
A．18cm
B．26cm
C．27cm
D．28cm
【分析】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：其中的任意三条组合有4cm、5cm、9cm；4cm、5cm、13cm；4cm、9cm、13cm；5cm、9cm、13cm共四种情况，
根据三角形的三边关系，则只有5cm、9cm、13cm符合，故周长是27cm．
故选：C．
6．如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添加木条（ ）
A．1根
B．2根
C．3根
D．4根
【分析】根据三角形的稳定性，只要使六边形框架ABCDEF变成三角形的组合体即可．
【解答】解：根据三角形的稳定性，得
如图：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添3根木条，
故选：C．
7．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）
A．都是直角三角形
B．都是钝角三角形
C．都是锐角三角形
D．是一个直角三角形和一个钝角三角形
【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形．
【解答】解：如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．
如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．
如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．
因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．
综上所述，将一个三角形剪成两三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形．
故选：C．
8．试通过画图来判定，下列说法正确的是（ ）
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
【分析】根据三角形的分类方法进行分析判断．三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）．
【解答】解：A、如等腰直角三角形，既是直角三角形，也是等腰三角形，故该选项错误；
B、如等边三角形，既是等腰三角形，也是锐角三角形，故该选项错误；
C、如顶角是120°的等腰三角形，是钝角三角形，也是等腰三角形，故该选项错误；
D、一个等边三角形的三个角都是60°．故该选项正确．
故选：D．
二、填空题
9．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 15 ．
【分析】分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
【解答】解：当腰为3时，3+3＝6，
∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6＝9＞6，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长＝3+6+6＝15．
故答案为：15．
10．如图，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对的边是 AB ；在△ACD中，∠C所对的边是 AD ．
【分析】根据三角形的边和角有关概念解答即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C所对的边是AB；在△ACD中，∠C所对的边是AD，
故答案为：AB；AD．
11．如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝8，DE＝3，则BD＝ 5 ．
【分析】根据三角形中线的定义可得BE＝EC＝8，再根据BD＝BE﹣DE即可求解．
【解答】解：∵AE是△ABC的中线，EC＝8，
∴BE＝EC＝8，
∵DE＝3，
∴BD＝BE﹣DE＝8﹣3＝5．
故答案为：5
12．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在CD上，则图中以AD为高的三角形有 6 个．
【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
故答案为：6．
13．已知三角形的三边分别是3、8、x，若x的值为偶数，则x的值为 6、8或10 ．
【分析】根据三角形的三边关系“第三边应大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：
第三边x的取值范围：5＜x＜11，
又∵第三边的长是偶数，
则第三边的长为6、8或10．
故答案为6、8或10．
14．一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为 12 cm．
【分析】本题没有明确说明已知的边长那一条是腰长，所以需要分两种情况讨论．
【解答】解：分两种情况讨论
①腰长为5时，三边为5、5、2，满足三角形的性质，周长＝5+5+2＝12cm；
②腰长为2cm时，三边为5、2、2，
∵2+2＝4＜5，
∴不满足构成三角形．
∴周长为12cm．
故答案为：12．
15．如图，△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 1cm2 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC＝×4＝2cm2，
∴S△BCE＝S△ABC＝×4＝2cm2，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1cm2．
故答案为：1cm2．
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是D，E，F．若AC＝4，AD＝3，BE＝2，则BC＝ ．
【分析】根据三角形面积公式得到?BC?AD＝?AC?BE，然后把AC＝4，AD＝3，BE＝2代入可求出BC的长．
【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴S△ABC＝?BC?AD＝?AC?BE，
∴BC＝＝＝．
故答案为．
三、解答题
17．如图是一个从侧面看四腿木椅的示意图，椅子容易变形，请你将修复加固的零件画在图中，并用虚线在图中标明位置．
【分析】利用三角形稳定性即可解题．
【解答】解：因为四边形不具有稳定性，
所以椅子会变形．利用三角形的稳定性，
可用三角形角铁对椅子修复加固，如图：
18．已知等腰三角形的一边长为18，腰长是底边长的，试求此三角形的周长．
【分析】因为等腰三角形的一边长为18，但没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论，还要利用三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：∵等腰三角形一边长为18cm，且腰长是底边长的，
①如果腰长为18cm，则底边为24cm，
等腰三角形的三边为18、18、24，能构成三角形，
∴C△＝18+18+24＝60cm；
②如果底长为18cm，则腰长为13.5cm，
等腰三角形的三边为18、13.5、13.5，能构成三角形，
∴C△＝13.5+13.5+18＝45cm．
19．问题解决：
已知：如图1，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，则∠P与∠A的数量关系是
∠P＝90°+∠A ．
拓展探究：
（1）若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图2，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系（写出说理过程）；
（2）若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（如图3）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系；
（3）若P为n边形A1A2A3…An内一点，A1P平分∠AnA1A2，A2P平分∠A1A2A3，请直接写出∠P与∠A3+A4+A5+…+∠An的数量关系．
【分析】问题解决：根据角平分线的定义可得∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
（1）根据角平分线的定义可得∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，然后根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD解答即可；
（2）根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（3）根据n边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可．
【解答】解：问题解决：∠P＝90°+∠A．
故答案为：∠P＝90°+∠A；
拓展探究：
（1）∵DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD．
∴∠DPC＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD
＝180°﹣∠ADC﹣∠BCD
＝180°﹣（∠ADC+∠BCD）
＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）
＝（∠A+∠B）．
（2）∠P＝（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
（3）∠P＝（∠A3+∠A4+∠A5+…+∠An）﹣（n﹣4）×90°．
20．已知：多边形的外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN．
（1）若多边形为四边形ABCD．
①如图1，∠A＝50°，∠C＝100°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数；
②如图2，猜测当∠A和∠C满足什么数量关系时，BM∥DN，并证明你的猜想．
（2）如图3，若多边形是五边形ABCDG，已知∠A＝140°，∠G＝100°，∠BCD＝120°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数．
【分析】（1）①由∠A＝50°，∠C＝100°，可推出∠CBE+∠CDF＝150°，由角平分线的性质可得∠PBC+∠PDC＝75°，再由∠BPD＝360°﹣∠A﹣（∠ABC+∠ADC）﹣（∠PBC+∠PDC）计算，即可得出结果；
②连接BD．由BM∥DN，可得∠BDN+∠DBM＝180°，进而可得∠FDN+∠ADB+∠ABD+∠MBE＝180°，（360°﹣360°+∠A+∠C）+（180°﹣∠A）＝180°，计算即可得出∠A＝∠C；
（2）延长DC交BP于点Q．由∠A＝140°，∠G＝100°，∠BCD＝120°及五边形内角和定理可得∠ABC+∠CDG＝180°，进而得∠CBE+∠CDF＝360°﹣180°＝180°，由BP平分∠CBE，DP平分∠CDF，可得∠CBP+∠CDP＝（∠CBE+∠CDF）＝90°，进一步可推出∠BPD＝∠BCD﹣（∠CBP+∠QDP）＝120°﹣90°＝30°．
【解答】解：（1）①∵∠A＝50°，∠C＝100°，
∴在四边形ABCD中，
∠ABC+∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C＝210°，
∴∠CBE+∠CDF＝150°．
∵外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN，
∴∠PBC+∠PDC＝∠CBE+∠CDF＝（∠CBE+∠CDF）＝×150°＝75°，
∴∠BPD＝360°﹣∠A﹣（∠ABC+∠ADC）﹣（∠PBC+∠PDC）＝360°﹣50°﹣210°﹣75°＝25°；
②当∠A＝∠C时，BM∥DN．
证明：如图，连接BD．
∵BM∥DN，
∴∠BDN+∠DBM＝180°，
∴∠FDN+∠ADB+∠ABD+∠MBE＝360°﹣180°＝180°，
即（∠FDC+∠CBE）+（∠ADB+∠ABD）＝180°，
∴（360°﹣∠ADC﹣∠CBA）+（180°﹣∠A）＝180°，
∴（360°﹣360°+∠A+∠C）+（180°﹣∠A）＝180°，
∴∠A＝∠C．
（2）如图，延长DC交BP于点Q．
∵∠A＝140°，∠G＝100°，∠BCD＝120°，
∠A+∠ABC+∠BCD+∠CDG+∠G＝540°，
∴∠ABC+∠CDG＝180°，
∴∠CBE+∠CDF＝360°﹣180°＝180°，
∵BP平分∠CBE，DP平分∠CDF，
∴∠CBP+∠CDP＝（∠CBE+∠CDF）＝90°，
∵∠BCD＝∠CBP+∠CQB，∠CQB＝∠QDP+∠BPD，
∴∠BCD＝∠CBP+∠QDP+∠BPD，
∴∠BPD＝∠BCD﹣（∠CBP+∠QDP）＝120°﹣90°＝30°．
与三角形有关的线段
一、选择题
1．如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，AE是哪个三角形的角平分线（ ）
A．△ABE
B．△ADF
C．△ABC
D．△ABC，△ADF
2．如图，以AB为边的三角形共有（ ）个．
A．5
B．4
C．3
D．2
3．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（ ）
A．2，3，4
B．5，7，7
C．5，6，12
D．6，8，10
4．已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
5．四根长度分别为4cm、5cm、9cm、13cm的木条，以其中三根的长为边长，制作成一个三角形框架，那么这个框架的周长可能是（ ）
A．18cm
B．26cm
C．27cm
D．28cm
6．如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添加木条（ ）
A．1根
B．2根
C．3根
D．4根
7．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）
A．都是直角三角形
B．都是钝角三角形
C．都是锐角三角形
D．是一个直角三角形和一个钝角三角形
8．试通过画图来判定，下列说法正确的是（ ）
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
二、填空题
9．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是
．
10．如图，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对的边是
；在△ACD中，∠C所对的边是
．
11．如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝8，DE＝3，则BD＝
．
12．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在CD上，则图中以AD为高的三角形有
个．
13．已知三角形的三边分别是3、8、x，若x的值为偶数，则x的值为
．
14．一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为
cm．
15．如图，△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为
．
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是D，E，F．若AC＝4，AD＝3，BE＝2，则BC＝
．
三、解答题
17．如图是一个从侧面看四腿木椅的示意图，椅子容易变形，请你将修复加固的零件画在图中，并用虚线在图中标明位置．
18．已知等腰三角形的一边长为18，腰长是底边长的，试求此三角形的周长．
19．问题解决：
已知：如图1，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，则∠P与∠A的数量关系是
．
拓展探究：
（1）若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图2，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系（写出说理过程）；
（2）若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（如图3）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系；
（3）若P为n边形A1A2A3…An内一点，A1P平分∠AnA1A2，A2P平分∠A1A2A3，请直接写出∠P与∠A3+A4+A5+…+∠An的数量关系．
20．已知：多边形的外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN．
（1）若多边形为四边形ABCD．
①如图1，∠A＝50°，∠C＝100°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数；
②如图2，猜测当∠A和∠C满足什么数量关系时，BM∥DN，并证明你的猜想．
（2）如图3，若多边形是五边形ABCDG，已知∠A＝140°，∠G＝100°，∠BCD＝120°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，AE是哪个三角形的角平分线（ ）
A．△ABE
B．△ADF
C．△ABC
D．△ABC，△ADF
【分析】根据三角形的角平分线的定义得出．
【解答】解：∵∠2＝∠3，
∴AE是△ADF的角平分线；
∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，即∠BAE＝∠CAE，
∴AE是△ABC的角平分线．
故选：D．
2．如图，以AB为边的三角形共有（ ）个．
A．5
B．4
C．3
D．2
【分析】根据三角形的组成得出以AB为边的三角形；
【解答】解：以AB为边的三角形共有3个，它们是△ABC，△ABE，△ABD．
故选：C．
3．下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（ ）
A．2，3，4
B．5，7，7
C．5，6，12
D．6，8，10
【分析】根据三角形三边关系定理判断即可．
【解答】解：∵5+6＜12，
∴三角形三边长为5，6，12不可能成为一个三角形，
故选：C．
4．已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长．
【解答】解：设第三边为x，
根据三角形的三边关系，得：4﹣1＜x＜4+1，
即3＜x＜5，
∵x为整数，
∴x的值为4．
三角形的周长为1+4+4＝9．
故选：C．
5．四根长度分别为4cm、5cm、9cm、13cm的木条，以其中三根的长为边长，制作成一个三角形框架，那么这个框架的周长可能是（ ）
A．18cm
B．26cm
C．27cm
D．28cm
【分析】首先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：其中的任意三条组合有4cm、5cm、9cm；4cm、5cm、13cm；4cm、9cm、13cm；5cm、9cm、13cm共四种情况，
根据三角形的三边关系，则只有5cm、9cm、13cm符合，故周长是27cm．
故选：C．
6．如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添加木条（ ）
A．1根
B．2根
C．3根
D．4根
【分析】根据三角形的稳定性，只要使六边形框架ABCDEF变成三角形的组合体即可．
【解答】解：根据三角形的稳定性，得
如图：从图中可以看出，要使框架稳固且不活动，至少还需要添3根木条，
故选：C．
7．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）
A．都是直角三角形
B．都是钝角三角形
C．都是锐角三角形
D．是一个直角三角形和一个钝角三角形
【分析】分三种情况讨论，即可得到这两个三角形不可能都是锐角三角形．
【解答】解：如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．
如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．
如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形．
因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．
综上所述，将一个三角形剪成两三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形．
故选：C．
8．试通过画图来判定，下列说法正确的是（ ）
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
【分析】根据三角形的分类方法进行分析判断．三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）．
【解答】解：A、如等腰直角三角形，既是直角三角形，也是等腰三角形，故该选项错误；
B、如等边三角形，既是等腰三角形，也是锐角三角形，故该选项错误；
C、如顶角是120°的等腰三角形，是钝角三角形，也是等腰三角形，故该选项错误；
D、一个等边三角形的三个角都是60°．故该选项正确．
故选：D．
二、填空题
9．已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是 15 ．
【分析】分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
【解答】解：当腰为3时，3+3＝6，
∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6＝9＞6，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长＝3+6+6＝15．
故答案为：15．
10．如图，D是△ABC的边BC上的一点，则在△ABC中，∠C所对的边是 AB ；在△ACD中，∠C所对的边是 AD ．
【分析】根据三角形的边和角有关概念解答即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C所对的边是AB；在△ACD中，∠C所对的边是AD，
故答案为：AB；AD．
11．如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝8，DE＝3，则BD＝ 5 ．
【分析】根据三角形中线的定义可得BE＝EC＝8，再根据BD＝BE﹣DE即可求解．
【解答】解：∵AE是△ABC的中线，EC＝8，
∴BE＝EC＝8，
∵DE＝3，
∴BD＝BE﹣DE＝8﹣3＝5．
故答案为：5
12．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，点E在CD上，则图中以AD为高的三角形有 6 个．
【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
故答案为：6．
13．已知三角形的三边分别是3、8、x，若x的值为偶数，则x的值为 6、8或10 ．
【分析】根据三角形的三边关系“第三边应大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得：
第三边x的取值范围：5＜x＜11，
又∵第三边的长是偶数，
则第三边的长为6、8或10．
故答案为6、8或10．
14．一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为 12 cm．
【分析】本题没有明确说明已知的边长那一条是腰长，所以需要分两种情况讨论．
【解答】解：分两种情况讨论
①腰长为5时，三边为5、5、2，满足三角形的性质，周长＝5+5+2＝12cm；
②腰长为2cm时，三边为5、2、2，
∵2+2＝4＜5，
∴不满足构成三角形．
∴周长为12cm．
故答案为：12．
15．如图，△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 1cm2 ．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC＝×4＝2cm2，
∴S△BCE＝S△ABC＝×4＝2cm2，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1cm2．
故答案为：1cm2．
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是D，E，F．若AC＝4，AD＝3，BE＝2，则BC＝ ．
【分析】根据三角形面积公式得到?BC?AD＝?AC?BE，然后把AC＝4，AD＝3，BE＝2代入可求出BC的长．
【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴S△ABC＝?BC?AD＝?AC?BE，
∴BC＝＝＝．
故答案为．
三、解答题
17．如图是一个从侧面看四腿木椅的示意图，椅子容易变形，请你将修复加固的零件画在图中，并用虚线在图中标明位置．
【分析】利用三角形稳定性即可解题．
【解答】解：因为四边形不具有稳定性，
所以椅子会变形．利用三角形的稳定性，
可用三角形角铁对椅子修复加固，如图：
18．已知等腰三角形的一边长为18，腰长是底边长的，试求此三角形的周长．
【分析】因为等腰三角形的一边长为18，但没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论，还要利用三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：∵等腰三角形一边长为18cm，且腰长是底边长的，
①如果腰长为18cm，则底边为24cm，
等腰三角形的三边为18、18、24，能构成三角形，
∴C△＝18+18+24＝60cm；
②如果底长为18cm，则腰长为13.5cm，
等腰三角形的三边为18、13.5、13.5，能构成三角形，
∴C△＝13.5+13.5+18＝45cm．
19．问题解决：
已知：如图1，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，则∠P与∠A的数量关系是
∠P＝90°+∠A ．
拓展探究：
（1）若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图2，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系（写出说理过程）；
（2）若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（如图3）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系；
（3）若P为n边形A1A2A3…An内一点，A1P平分∠AnA1A2，A2P平分∠A1A2A3，请直接写出∠P与∠A3+A4+A5+…+∠An的数量关系．
【分析】问题解决：根据角平分线的定义可得∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
（1）根据角平分线的定义可得∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠ACD，然后根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD解答即可；
（2）根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可；
（3）根据n边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可．
【解答】解：问题解决：∠P＝90°+∠A．
故答案为：∠P＝90°+∠A；
拓展探究：
（1）∵DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC＝∠ADC，∠PCD＝∠BCD．
∴∠DPC＝180°﹣∠PDC﹣∠PCD
＝180°﹣∠ADC﹣∠BCD
＝180°﹣（∠ADC+∠BCD）
＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）
＝（∠A+∠B）．
（2）∠P＝（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
（3）∠P＝（∠A3+∠A4+∠A5+…+∠An）﹣（n﹣4）×90°．
20．已知：多边形的外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN．
（1）若多边形为四边形ABCD．
①如图1，∠A＝50°，∠C＝100°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数；
②如图2，猜测当∠A和∠C满足什么数量关系时，BM∥DN，并证明你的猜想．
（2）如图3，若多边形是五边形ABCDG，已知∠A＝140°，∠G＝100°，∠BCD＝120°，BM与DN交于点P，求∠BPD的度数．
【分析】（1）①由∠A＝50°，∠C＝100°，可推出∠CBE+∠CDF＝150°，由角平分线的性质可得∠PBC+∠PDC＝75°，再由∠BPD＝360°﹣∠A﹣（∠ABC+∠ADC）﹣（∠PBC+∠PDC）计算，即可得出结果；
②连接BD．由BM∥DN，可得∠BDN+∠DBM＝180°，进而可得∠FDN+∠ADB+∠ABD+∠MBE＝180°，（360°﹣360°+∠A+∠C）+（180°﹣∠A）＝180°，计算即可得出∠A＝∠C；
（2）延长DC交BP于点Q．由∠A＝140°，∠G＝100°，∠BCD＝120°及五边形内角和定理可得∠ABC+∠CDG＝180°，进而得∠CBE+∠CDF＝360°﹣180°＝180°，由BP平分∠CBE，DP平分∠CDF，可得∠CBP+∠CDP＝（∠CBE+∠CDF）＝90°，进一步可推出∠BPD＝∠BCD﹣（∠CBP+∠QDP）＝120°﹣90°＝30°．
【解答】解：（1）①∵∠A＝50°，∠C＝100°，
∴在四边形ABCD中，
∠ABC+∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠C＝210°，
∴∠CBE+∠CDF＝150°．
∵外角∠CBE和∠CDF的平分线分别为BM，DN，
∴∠PBC+∠PDC＝∠CBE+∠CDF＝（∠CBE+∠CDF）＝×150°＝75°，
∴∠BPD＝360°﹣∠A﹣（∠ABC+∠ADC）﹣（∠PBC+∠PDC）＝360°﹣50°﹣210°﹣75°＝25°；
②当∠A＝∠C时，BM∥DN．
证明：如图，连接BD．
∵BM∥DN，
∴∠BDN+∠DBM＝180°，
∴∠FDN+∠ADB+∠ABD+∠MBE＝360°﹣180°＝180°，
即（∠FDC+∠CBE）+（∠ADB+∠ABD）＝180°，
∴（360°﹣∠ADC﹣∠CBA）+（180°﹣∠A）＝180°，
∴（360°﹣360°+∠A+∠C）+（180°﹣∠A）＝180°，
∴∠A＝∠C．
（2）如图，延长DC交BP于点Q．
∵∠A＝140°，∠G＝100°，∠BCD＝120°，
∠A+∠ABC+∠BCD+∠CDG+∠G＝540°，
∴∠ABC+∠CDG＝180°，
∴∠CBE+∠CDF＝360°﹣180°＝180°，
∵BP平分∠CBE，DP平分∠CDF，
∴∠CBP+∠CDP＝（∠CBE+∠CDF）＝90°，
∵∠BCD＝∠CBP+∠CQB，∠CQB＝∠QDP+∠BPD，
∴∠BCD＝∠CBP+∠QDP+∠BPD，
∴∠BPD＝∠BCD﹣（∠CBP+∠QDP）＝120°﹣90°＝30°．