22.2 二次函数与一元二次方程同步练习 2021-2022学年 人教版九年级数学上册（Word版 含答案）

22.2
二次函数与一元二次方程
一、选择题：
1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有交点，则b2﹣4ac（　　）
A．≥0
B．≠0
C．＞0
D．＜0
2．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过P（1，0）点，则a+b+c＝（　　）
A．1
B．0
C．﹣1
D．0或1
3．一次函数y＝2x+1与二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交点（　　）
A．只有一个
B．恰好有两个
C．可以有一个，也可以有两个
D．无交点
4．若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣5，0），B（﹣1，0）．则二次函数的关系式为（　　）
A．y＝﹣0.5x2﹣3x﹣2.5
B．y＝﹣5x2﹣3x﹣2.5
C．y＝﹣0.5x2﹣3x﹣5
D．y＝﹣5x2﹣3x﹣5
5．二次函数y＝ax2+bx+c对于x的任何值都恒为负值的条件是（　　）
A．a＞0，Δ＞0
B．a＞0，Δ＜0
C．a＜0，Δ＞0
D．a＜0，Δ＜0
6．函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号实数根
C．有两个相等实数根
D．无实数根
7．已知二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，a），与x轴的交点坐标为（b，0）和（﹣b，0），若a＞0，则函数解析式为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．已知抛物线y＝2x2﹣kx﹣1与x轴两交点的横坐标，一个大于2，另一个小于2，试求k的取值范围为（　　）
A．k＞3.5
B．k＞2.5
C．k＞2或k＜2
D．2.5＜k＜3.5
二、填空题：
9．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式的关系：当b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴
　
　交点；当b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有
　
　交点；当b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有
　
　交点．
10．已知二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象如图所示，函数图象的对称轴是
　
　，顶点坐标P　
　．
11．y＝x2+kx+1与y＝x2﹣x﹣k的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k为　
　．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
则当y＜5时，x的取值范围是　
　．
13．已知二次函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴无交点，则k的取值范围是
　
　．
14．当m　
　时，抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+m﹣1与x轴没有交点．
三、解答题：
15．请画出适当的函数图象，求方程x2＝x+3的解．
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标是方程x2+x﹣2＝0的两个根，且抛物线过点（2，8），求二次函数的解析式．
参考答案与试题解析
一、选择题：
1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有交点，则b2﹣4ac（　　）
A．≥0
B．≠0
C．＞0
D．＜0
【分析】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有交点，ax2+bx+c＝0有实数根，△≥0求解．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有交点，
∴ax2+bx+c＝0有实数根，△≥0，
即b2﹣4ac≥0，
故选：A．
2．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过P（1，0）点，则a+b+c＝（　　）
A．1
B．0
C．﹣1
D．0或1
【分析】直接把P点坐标代入二次函数解析式即可得到a+b+c的值．
【解答】解：把P（1，0）代入y＝ax2+bx+c得a+b+c＝0．
故选：B．
3．一次函数y＝2x+1与二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交点（　　）
A．只有一个
B．恰好有两个
C．可以有一个，也可以有两个
D．无交点
【分析】将一次函数和二次函数联立，根据对应的x的解的个数即可确定．
【解答】解：联立一次函数和二次函数的解析式可得：
，
整理得：x2﹣6x+2＝0，
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×2＝28＞0，
∴x2﹣6x+2＝0有两个不相等的实数根，
∴y＝2x+1与y＝x2﹣4x+3的图象交点有两个，
故选：B．
4．若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣5，0），B（﹣1，0）．则二次函数的关系式为（　　）
A．y＝﹣0.5x2﹣3x﹣2.5
B．y＝﹣5x2﹣3x﹣2.5
C．y＝﹣0.5x2﹣3x﹣5
D．y＝﹣5x2﹣3x﹣5
【分析】根据二次函数交点式y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）求解．
【解答】解：设二次函数表达式为y＝﹣0.5（x+5）（x+1），
∴y＝﹣0.5x2﹣3x﹣2.5，
故选：A．
5．二次函数y＝ax2+bx+c对于x的任何值都恒为负值的条件是（　　）
A．a＞0，Δ＞0
B．a＞0，Δ＜0
C．a＜0，Δ＞0
D．a＜0，Δ＜0
【分析】函数值恒为负值要具备两个条件：①开口向下：a＜0，②与x轴无交点，即Δ＜0．
【解答】解：如图所示，
二次函数y＝ax2+bx+c对于x的任何值都恒为负值的条件是：a＜0，Δ＜0；
故选：D．
6．函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号实数根
C．有两个相等实数根
D．无实数根
【分析】由图可知y＝ax2+bx+c﹣3可以看作是函数y＝ax2+bx+c的图象向下平移3个单位而得到，再根据函数图象与x轴的交点个数进行解答．
【解答】解：∵函数y＝ax2+bx+c的图象顶点的纵坐标为3，
∴函数y＝ax2+bx+c﹣3的图象可以看作是y＝ax2+bx+c的图象向下平移3个单位得到，此时顶点在x轴上，
∴函数y＝ax2+bx+c﹣3的图象与x轴只有1个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等实数根．
故选：C．
7．已知二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，a），与x轴的交点坐标为（b，0）和（﹣b，0），若a＞0，则函数解析式为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数图象与x轴的交点坐标为（b，0）和（﹣b，0），设出函数的两点式：y＝m（x+b）（x﹣b），再根据二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，a），把点代入函数的解析式求出a值，从而求出函数的解析式．
【解答】解：∵函数与x轴的交点坐标为（b，0）和（﹣b，0），
∴可设函数的解析式为：y＝m（x+b）（x﹣b），
又∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，a），
∴a＝m×b×（﹣b），
∴m＝﹣，
∴函数的解析式为：y＝﹣（x2﹣b2）＝﹣x2+a；
故选：B．
8．已知抛物线y＝2x2﹣kx﹣1与x轴两交点的横坐标，一个大于2，另一个小于2，试求k的取值范围为（　　）
A．k＞3.5
B．k＞2.5
C．k＞2或k＜2
D．2.5＜k＜3.5
【分析】由题意物线y＝2x2﹣kx﹣1与x轴两交点，说明方程2x2﹣kx﹣1＝0的Δ＞0，又两根一个大于2，另一个小于2，根据方程根与系数的关系求出k的取值范围．
【解答】解：法一：
∵y＝2x2﹣kx﹣1，
∴Δ＝（﹣k）2﹣4×2×（﹣1）＝k2+8＞0，
∴无论k为何实数，抛物线y＝2x2﹣kx﹣1与x轴恒有两个交点，
设y＝2x2﹣kx﹣1与x轴两交点的横坐标分别为x1，x2，且规定x1＜2，x2＞2，
∴x1﹣2＜0，x2﹣2＞0，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）＜0，
∴x1x2﹣2（x1+x2）+4＜0，
∵x1，x2亦是方程2x2﹣kx﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝，x1?x2＝﹣，
∴﹣﹣2×+4＜0，
∴k＞，
∴k的取值范围为k＞3.5，
故选A．
法二：∵y＝2x2﹣kx﹣1，
∴Δ＝（﹣k）2﹣4×2×（﹣1）＝k2+8＞0，
∴无论k为何实数，抛物线y＝2x2﹣kx﹣1与x轴恒有两个交点，
∵抛物线开口向上，且与x轴有两个交点，
∴要使抛物线y＝2x2﹣kx﹣1与x轴两交点的横坐标一个大于2，另一个小于2，
只需满足f（2）＜0，
即8﹣2k﹣1＜0，
k＞，
∴k的取值范围为k＞3.5，
故选：A．
二、填空题：
9．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式的关系：当b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴
　没有　交点；当b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有
　一个　交点；当b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有
　两个　交点．
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系填空即可．
【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式的关系：当b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点；当b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
故答案为没有，一个，两个．
10．已知二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象如图所示，函数图象的对称轴是
　直线x＝2.5　，顶点坐标P　（2.5，﹣2.25）　．
【分析】由图象可以得出与x轴的交点坐标，进而得出对称轴，然后把与x轴交点（1，0）（4，0）代入解析式，可得二次函数的解析式，再根据二次函数顶点坐标公式可得顶点的坐标．
【解答】解：观察图象可知，
抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）（4，0），函数图象对称轴为x＝＝2.5，
将（1，0）（4，0）代入y＝ax2﹣5x+c中可得，
，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣5x+4，
根据二次函数顶点坐标公式为
x＝﹣＝，
y＝
＝﹣，
故顶点坐标为（，﹣），
故答案为：直线x＝2.5，（，﹣）．
11．y＝x2+kx+1与y＝x2﹣x﹣k的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k为　2　．
【分析】根据题意可知交点在x轴上，即x2+kx+1＝x2﹣x﹣k＝0，解方程得x＝﹣1，再把x＝﹣1代入x2+kx+1＝x2﹣x﹣k＝0中即可得出答案．
【解答】解：根据题意可知，
x2+kx+1＝0，x2﹣x﹣k＝0，
即x2+kx+1＝x2﹣x﹣k，
（k+1）x＝﹣（k+1），
解得x＝﹣1，
把x＝﹣1代入x2+kx+1＝0中，
解得k＝2．
故答案为：2．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
5
2
1
2
…
则当y＜5时，x的取值范围是　0＜x＜4　．
【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x＝4时，y＝5，然后写出y＜5时，x的取值范围即可．
【解答】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线x＝2，
所以，x＝4时，y＝5，
所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．
故答案为：0＜x＜4．
13．已知二次函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴无交点，则k的取值范围是
　k＞1　．
【分析】与x轴无交点，函数值等于0无实数根，判断根的判别式即可．
【解答】解：二次函数y＝kx2﹣2x+1的图象与x轴无交点，
∴一元二次方程kx2﹣2x+1＝0无实数根，Δ＜0，
∴Δ＝22﹣4k＜0，
解得k＞1，
故答案为k＞1．
14．当m　＜0.5　时，抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+m﹣1与x轴没有交点．
【分析】首先抛物线的二次项系数不为0，再判断当二次函数值为0时，方程无实数根．
【解答】解：∵抛物线y＝（m﹣1）x2+2mx+m﹣1与x轴没有交点．
∴一元二次方程（m﹣1）x2+2mx+m﹣1＝0无实数根，
即，
解得：m＜0.5，
故答案为m＜0.5．
三、解答题：
15．请画出适当的函数图象，求方程x2＝x+3的解．
【分析】由题意根据描点法画出函数的图象，令y＝0，把函数转化为方程，从而解出方的解．
【解答】解：在同一坐标系中如答图所示，
画出函数y＝x2的图象，画出函数y＝x+3的图象，
这两个图象的交点为A，B，
∴交点A，B的横坐标和2就是方程x2＝x+3的解，
∴方程x2＝x+3的解为x＝﹣和2．
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标是方程x2+x﹣2＝0的两个根，且抛物线过点（2，8），求二次函数的解析式．
【分析】先根据题意求出一元二次方程x2+x﹣2＝0的二根x1，x2，设抛物线的解析式是y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），把点（2，8）的坐标代入求出a的值即可．
【解答】解：解方程x2+x﹣2＝0得：
x1＝﹣2，x2＝1，
设抛物线的解析式是y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
∴y＝a（x﹣1）（x+2），
把点（2，8）的坐标代入得：a＝2，
∴y＝2x2+2x﹣4，