12.3 角平分线的性质同步练习 2021-2022学年 人教版八年级数学上册（Word版 含答案）

12.3
角平分线的性质
一．选择题
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　）
A．BE是△ABD的中线
B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3
D．S△AEB＝S△EDB
2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD为∠BAC的角平分线若．BD＝4，则点D到AC的距离为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．如图，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（　　）
A．9
B．5
C．10
D．不能确定
4．如图，已知AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的大小关系是（　　）
A．PD＞PC
B．PD＝PC
C．PD＜PC
D．无法判断
5．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE＝5，则点P到AB的距离是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（　　）
A．12cm2
B．8cm2
C．6cm2
D．4cm2
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）
A．15
B．30
C．45
D．60
二．填空题
8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BC于E，AD＝3，DC＝4，则DE＝　
　．
9．如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，且PC＝3，则点P到OB的距离等于　
　．
10．如图，△ABC的周长为20cm，若∠ABC，ACB的平分线交于点O，且点O到AC边的距离为cm，则△ABC的面积为
　
　cm2．
11．如图，OP是∠AOB的平分线，PM⊥OA于点M，PM＝3，点N是射线OB上的动点，则线段PN的最小值为　
　．
三．解答题
12．求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．
已知：
求证：
证明：
13．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．
14．如图，△ABE中，∠E＝90°，AC是∠BAE的角平分线．
（1）若∠B＝40°，求∠BAC的度数；
（2）若D是BC的中点，△ADC的面积为16，AE＝8，求BC的长．
15.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F．
（1）求证：BF平分∠DBC；
（2）若∠ABF＝3∠C，求∠C的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　）
A．BE是△ABD的中线
B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3
D．S△AEB＝S△EDB
【分析】根据三角形的角平分线的定义，三角形的中线性质和三角形的面积逐个判断即可．
【解答】解：A．∵AE＝DE，
∴BE是△ABD的中线，故本选项不符合题意；
B．∵BD平分∠EBC，
∴BD是△BCE的角平分线，故本选项不符合题意；
C．∵BD平分∠EBC，
∴∠2＝∠3，
但不能推出∠2、∠3和∠1相等，故本选项符合题意；
D．∵SAEB＝AE×BC，S△EDB＝DE×BC，AE＝DE，
∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD为∠BAC的角平分线若．BD＝4，则点D到AC的距离为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】根据角平分线的性质即可得答案．
【解答】解：∵∠B＝90°，BD＝4，
∴D到AB的距离等于4，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴D到AB、AC的距离相等，
∴D到AC的距离等于4，
故选：B．
3．如图，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（　　）
A．9
B．5
C．10
D．不能确定
【分析】先利用角平分线的性质得到DE＝DC，再证明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC＝AE，然后利用等线段代换得到△DEB的周长＝AB．
【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∵AC＝BC，
∴BC＝AE，
∴△DEB的周长＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝10．
故选：C．
4．如图，已知AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的大小关系是（　　）
A．PD＞PC
B．PD＝PC
C．PD＜PC
D．无法判断
【分析】作PE∥AB与E点，利用角平分线的性质可以得到PA＝PE，PB＝PE，从而得到结论．
【解答】解：作PE∥AD，交AB于点E．
∵AD∥BC，
∴PE∥BC
∴∠DAP＝∠EPA
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP＝∠BAP，
∴∠EAP＝∠EPA，
∴AE＝EP，
同理可证EP＝EB，
∴E为BA的中点，
∴P为DC的中点，
∴PD＝PC，
故选：B．
5．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE＝5，则点P到AB的距离是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】过点P作PF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF＝PE．
【解答】解：如图，过点P作PF⊥AB于F，
∵AD是∠BAC的平分线，PE⊥AC，
∴PF＝PE＝5，
即点P到AB的距离是5．
故选：C．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（　　）
A．12cm2
B．8cm2
C．6cm2
D．4cm2
【分析】作DH⊥BC于点H，利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可求出对应三角形的高，即可求解．
【解答】解：作DH⊥BC于点H，如图：
∵BE平分∠ABC，CF⊥AB，DH⊥BC．
∴DH＝DF．
∵DF＝3cm．
∴DH＝3cm．
∵BC＝8cm．
∴△CDB的面积为：＝12cm2．
故选：A．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）
A．15
B．30
C．45
D．60
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝4，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝4，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝30，
故选：B．
二．填空题
8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BC于E，AD＝3，DC＝4，则DE＝　3　．
【分析】根据角平分线的性质得到DE＝AD＝3．
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴DA⊥BA，
又∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，
∴DE＝AD，
∵AD＝3，
∴DE＝3，
故答案为：3．
9．如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，且PC＝3，则点P到OB的距离等于　3　．
【分析】过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC＝PD，从而得解．
【解答】解：如图，过点P作PD⊥OB于D，
∵点P是∠AOB的角平分线上一点，PC⊥OA，
∴PC＝PD＝3，
即点P到OB的距离等于3．
故答案为：3．
10．如图，△ABC的周长为20cm，若∠ABC，ACB的平分线交于点O，且点O到AC边的距离为cm，则△ABC的面积为
　15　cm2．
【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OG⊥AC于G，OF⊥BC于F，根据角平分线的性质求出OE＝OF＝OG，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【解答】解：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OG⊥AC于G，OF⊥BC于F，
∵∠ABC，ACB的平分线交于点O，
∴OE＝OF，OG＝OF，
∴OE＝OF＝OG，
∵点O到AC边的距离为cm，
∴OE＝OF＝OG＝cm，
∵△ABC的周长为20cm，
∴AB+BC+AC＝20cm，
∴△ABC的面积S＝S△ABO+S△BCO+S△ACO
＝
＝××（AB+BC+AC）
＝×20
＝15（cm2），
故答案为：15．
11．如图，OP是∠AOB的平分线，PM⊥OA于点M，PM＝3，点N是射线OB上的动点，则线段PN的最小值为　3　．
【分析】根据垂线段最短得出当PN⊥OB时，线段PN的值最小，根据角平分线的性质得出PN＝PM，再求出答案即可．
【解答】解：
当PN⊥OB时，线段PN的值最小，
∵OP是∠AOB的平分线，PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝3，
∴PN＝PM＝3，
即PN的最小值是3，
故答案为：3．
三．解答题
12．求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．
已知：
求证：
证明：
【分析】结合已知条件，根据全等三角形的判定和性质，推出△POE≌△POF即可．
【解答】已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，（2分）
求证：PE＝PF（3分）
证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠POE＝∠POF，（4分）
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠PEO＝∠PFO，（5分）
又∵OP＝OP，（6分）
∴△POE≌△POF，（7分）
∴PE＝PF．（8分）
13．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．
【分析】首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是角平分线．
14．如图，△ABE中，∠E＝90°，AC是∠BAE的角平分线．
（1）若∠B＝40°，求∠BAC的度数；
（2）若D是BC的中点，△ADC的面积为16，AE＝8，求BC的长．
【分析】（1）先利用互余计算出∠BAE＝60°，再利用角平分线的定义得到∠BAC＝∠BAE＝25°；
（2）先根据三角形面积公式得出DC，利用D是BC的中点得到BC即可．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠E＝90°，
∴∠BAE＝90°?40°＝50°，
∵AC是∠BAE的角平分线，
∴∠BAC＝∠BAE＝25°；
（2）∵S△ADC＝DC?AE，
∴×DC×8＝16，
∴DC＝4，
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝8．
15.
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F．
（1）求证：BF平分∠DBC；
（2）若∠ABF＝3∠C，求∠C的度数．
【分析】（1）证明BG＝BE，利用等腰三角形的性质解决问题即可．
（2）证明∠DBF＝∠CBF＝2∠C，∠ABD＝∠C，可得结论．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠C＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠BGE＝∠ABD+∠BAE，∠BEG＝∠C+∠EAC，
∴∠BGE＝∠BEG，
∴BG＝BE，
∵BF⊥EG，
∴BF平分∠DBC．
（2）解：∵∠ABF＝3∠C，∠ABD＝∠C，BF平分∠DBC，
∴∠FBD＝∠FBC＝2∠C，
∴5∠C＝90°，
∴∠C＝18°．