2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.3确定圆的条件》自主学习同步能力提升训练(word解析版)

2021年苏科版九年级数学上册《2.3确定圆的条件》自主学习同步能力提升训练（附答案）
一．选择题（共10小题）
1．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD是⊙O的直径，若AD＝3，则BC＝（　　）
A．2
B．3
C．3
D．4
2．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，F是AC的中点，过点F作EF⊥AC交AB于点E，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（　　）
A．3π
B．4π
C．6π
D．9π
3．⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为5cm，点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内
B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外
D．无法确定
4．下列有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧．其中错误的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
5．如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是（　　）
A．60°
B．70°
C．80°
D．90°
6．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
7．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，点D、E分别是、的中点，设∠BAC＝α，∠DAE＝β，则（　　）
A．α+β＝180°
B．2β﹣α＝180°
C．β﹣α＝60°
D．2α﹣β＝60°
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠CBD的大小为（　　）
A．20°
B．21°
C．23°
D．25°
9．如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，AC＝2，⊙O是△ABC的外接圆，D是劣弧AC上任意一点（不包括A，C），记四边形ABCD的周长为y，BD的长为x，则y关于x的函数关系式是（　　）
A．y＝x+4
B．y＝x+4
C．y＝x2+4
D．y＝x2+4
10．在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（　　）
A．3+4
B．12
C．6+3
D．6
二．填空题（共12小题）
11．如图，△ABC内接于圆O，∠A＝50°，则∠D等于　
　．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则其外接圆的直径为　
　．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数为
　
　．
14．如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O．若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝　
　．
15．如图Rt△ABC中，点D为斜边AC上的一点（不与点A、C重合），BD＝4，过点A，B，D作⊙O，当点C关于直线BD的对称点落在⊙O上时，则⊙O的半径等于
　
　．
16．已知点A（0，3）、B（4，0），原点O关于一次函数y＝kx+b的对称点O′恰好与△AOB的外心重合，则点O′的坐标为　
　，b的值为　
　．
17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为　
　．
18．如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝8，∠ACB＝60°，且BC＞AC，点D是△ABC高线的交点，连接AD，BD，CD，则∠ADB的度数为　
　，CD的长为　
　．
19．在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，AE与BD相交于点P．若△BCD的面积是12，BE＝6，∠APB＝120°，则△ABP的外接圆的半径长为　
　．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，点D是AB的中点，点E是以点B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点F为AE的中点，则CF长度的最大值是
　
　．
21．如图，在以AB为直径的半圆O中，C是半圆的三等分点，点P是弧BC上一动点，连接CP，AP，作OM垂直CP交AP于N，连接BN，若AB＝12，则NB的最小值是
　
　．
22．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的动点，且AE＝DF，连接BE，AF，线段BE和AF相交于点G，连接CG，取CG的中点H，连接DH，则线段DH的最小值为
　
　．
三．解答题（共6小题）
23．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，点B（4，3），E，F分别为OA，BC边上的中点，动点P从点E出发以每秒2个单位速度沿EO方向向点O运动，同时，动点Q从点F出发以每秒1个单位速度沿FB方向向点B运动．当一个点到达终点时，另一个点随之停止．连接EF、PQ，且EF与PQ相交于点M，连接AM．
（1）求线段AM的长度；
（2）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，连接CH，求线段CH长度的最小值．
24．锐角△ABC外接圆的圆心为O，线段OA，BC的中点分别为M、N，∠ABC＝4∠OMN，∠ACB＝6∠OMN．设∠OMN＝θ．
（1）请直接用θ表示∠BAC，∠MON；
（2）判断△OMN的形状，并给出证明；
（3）求∠OMN的大小．
25．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，∠ADB＝90°，过A，B，D三点的圆交BC边于点E．
（1）求证：E是BC的中点；
（2）若BC＝2CD，求证：∠BCD＝2∠ABD．
26．已知，如图，C是AB上一点，点D，E分别在AB两侧，AD∥BE，且AD＝BC，BE＝AC．
（1）求证：CD＝CE；
（2）当AC＝2时，求BF的长；
（3）若∠A＝α，∠ACD＝25°，且△CDE的外心在该三角形的外部，请直接写出α的取值范围．
27．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．
（1）求证：△ACE≌△BCD．
（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径．
（3）若点F为DE的中点，连接CF，FO，设CD＝a，BD＝b，求CF+FO．（用含有a，b的代数式表示）
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：过点O作OE⊥BC于点E，如图所示：
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
又∵对应圆周角为∠ACB和∠ADB，
∴∠ACB＝∠ADB＝30°，
而BD为直径，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△BAD中，∠ADB＝30°，AD＝3，
∴BD＝2，
∴OB＝，
又∵∠ABD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣30°＝60°，∠ABC＝30°，
∴∠OBE＝30°，
又∵OE⊥BC，
∴△OBE为直角三角形，
∴BE＝，
由垂径定理可得：BC＝2BE＝2×＝3，故C正确，
故选：C．
2．解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴点O是△ABC外接圆的圆心，
∵OA＝3，
∴△ABC外接圆的面积＝πr2＝π×32＝9π．
故选：D．
3．解：∵OP＝5＞4，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：C．
4．解：①任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；
③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；
故选：C．
5．解：∵点O为△ABC的外心，∠A＝40°，
∴∠A＝∠BOC，
∴∠BOC＝2∠A＝80°，
故选：C．
6．解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
7．解：如图，
连接DE、DC、BE，
∵D、E分别是、中点，
∴＝，＝，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠ACD＝∠AED，
∴∠ACD＝∠AED＝∠BCD，
∴∠ACB＝2∠AED，
∵＝，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵∠ABE＝∠ADE，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠ADE，
∴∠ABC＝2∠ADE，
在△ADE中，∠DAE＝β，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣β，
在△ABC中，
∠ACB+∠ABC＝2∠AED+2∠ADE＝2（180°﹣β）＝360°﹣2β，
∵∠A＝α，
∴α+360°﹣2β＝180°，
∴2β﹣α＝180°，
故选：B．
8．解：连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝50°，
∴∠CDB+∠A＝180°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠CBD＝∠BCD＝（180°﹣∠BDC）＝25°，
故选：D．
9．解：如图，连接BD，连接BO并延长交AC于E，作BF⊥AD于F，作BG⊥CD延长线于G，
∵△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵AC＝2，
∴AB＝AC＝BC＝2，
∴＝，
∴∠BDF＝∠BDC，
在△BDF和△BDG中，
，
∴△BDF≌△BDG（AAS），
∴BF＝BG，∠FBD＝∠GBD，
在Rt△BFA和Rt△BGC中，
，
∴Rt△BFA≌Rt△BGC（HL），
∴AF＝CG，∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF+∠FBC＝∠BCG+∠FBC，
即∠FBG＝∠ABC＝60°，
又∵∠FBD＝∠GBD＝∠FBG＝30°，
∴DG＝DF＝BD＝x，
∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝AB+AC+DF+CG＝2+2++x＝x+4，
即y＝x+4，
故选：A．
10．解：如图，以AB为边向右作等边△ABD，以D为圆心，DA为半径作⊙D交x的正半轴于C，连接CA，CB，此时∠ACB＝∠ADB＝30°满足条件．
过点D作DJ⊥AB于J，DK⊥OC于K，则四边形OJDK是矩形，
∵A（0，1），B（0，﹣5），
∴AB＝6，
∵DA＝DB＝AB＝6，DJ⊥AB，
∴AJ＝JB＝3，
∴DJ＝OK＝＝＝3，
∴OJ＝DK＝2，
在Rt△DCK中，CK＝＝＝4，
∴OC＝OK+KC＝3+4，
∴点C的横坐标为3+4，
故选：A．
二．填空题（共12小题）
11．解：∵∠A与∠D所对的弧都是，
∴∠A＝∠D＝50°，
故答案为：50°．
12．解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝3，
∴AB＝＝＝，
∵直角三角形的外心为斜边中点，
∴Rt△ABC的外接圆的直径为．
故答案为：．
13．解：连接BD，如图．
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠C与∠ADB所对的弧为，
∴∠ADB＝∠C＝50°．
∴∠BAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
14．解：如图，连接OA，OB，
在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝．
故答案为：．
15．解：当点C关于直线BD的对称点落在⊙O上时，
则A与C点重合，∠ADB＝∠CDB，AD＝CD，
∵∠ADB+∠CDB＝180°，
∴∠ADB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∵∠ABC＝90°，
∴BD＝AD＝AC＝4，
在Rt△ABD中，
∵AB2＝AD2+BD2＝42+42＝32，
∴AB＝4，
∴⊙O的半径等于2，
故答案为：2．
16．解：∵A（0，3），B（4，0），O（0，0），△ABC为直角三角形，
∴△AOB的外心在斜边AB的中点O′上（直角三角形的外心在斜边中点处），
∴xO′＝＝＝2，
yO′＝＝＝，
∴O′（2，），
连接OO′，如图，
设OO′交y＝kx+b于点P，
∵点O′是由O关于y＝kx+b对称而来，
∴直线y＝kx+b垂直平分OO′（对称的性质），
∴P为OO′中点，
∴P（1，），
∵kOO′＝＝＝，
∵直线y＝kx+b与OO′垂直，
∴k?kOO′＝﹣1，
∴k＝﹣，
∵直线y＝kx+b过P（1，），
∴＝﹣+b，
∴b＝+＝，
故答案为（2，）；．
17．解：连接CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AD＝8，
∴CD＝AD＝4，
∴AC＝＝4，
故答案为：4．
18．解：连结AO，并延长交⊙O于E，连结EC，延长BD交AC于F，
∵AE为直径，
∴∠ACE＝∠ABE＝90°，
∵点D是△ABC高线的交点，
∴BF⊥AC，AG⊥BC，CD⊥AB，
∴∠CFB＝∠CGA＝90°，
∴∠FDG＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴∠ADB＝∠FDG＝120°，
∵∠ACE＝∠CFB＝90°，CD⊥AB，EB⊥AB，
∴CE∥DB，CD∥EB，
∴四边形CDBE为平行四边形，
∴CD＝BE，
∵＝，
∴∠ACB＝∠AEB＝60°，
∴∠EAB＝90°﹣∠AEB＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△ABE中，
BE＝，
∴CD＝BE＝．
故答案为：120°；．
19．解：如图以AB为边向外作等边三角形ABK，作△ABK的外接圆⊙O，连接OA，OB，过点O作OJ⊥AB于J，过点B作BH⊥AC于H．
∵△ABK是等边三角形，
∴∠K＝60°，
∵∠APB＝120°，
∴∠K+∠APB＝180°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠C＝60°，
∵∠APB＝120°，
∴∠PAB+∠ABP＝∠PAB+∠CAE＝60°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∴△BAD≌△ACE（ASA），
∴AD＝EC，
∵AC＝BC，
∴BE＝CD＝6，
∵S△BCD＝?CD?BH＝12，
∴BH＝4，
∴AB＝8，
∵OA＝OB，OJ⊥AB，
∴AJ＝JB＝4，
∵∠OAB＝30°，
∴OA＝，
∴△APB的外接圆的半径为．
故答案为．
20．解：如图，延长AC到T，使得CT＝AC，连接BT，TE，BE．
∵AC＝CT，BC⊥AT，
∴BA＝BT，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝3，
∴∠BAT＝60°，AC＝BC?tan30°＝3，
∴AB＝2AC＝6，
∴△ABT是等边三角形，
∴BT＝AB＝6，
∵AD＝BD＝BE，
∴BE＝3，
∵ET≤BT+BE，
∴ET≤9，
∴ET的最大值为9，
∵AC＝CT，AF＝FE，
∴CF＝ET，
∴CF的最大值为．
故答案为：．
21．解：如图，连接AC，OC．
∵C是半圆的三等分点，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
作△AOC的外接圆⊙T，连接TA＝TC，TN，TB．
∵OM⊥PC，
∴CM＝PM，
∴NC＝NP，
∴∠NPC＝∠NCP＝∠AOC＝30°，
∴∠CNM＝60°，
∴∠CNO＝120°，
∵CNO+∠OAC＝180°，
过点T作TH⊥AB于H．
在Rt△ATH中，AH＝OH＝3，∠TAH＝30°，
∴TH＝，
∴AT＝TN＝2HN＝2，
在Rt△BHT中，BT＝＝＝2，
∵BN≥BT﹣TN，
∴BN≥2﹣2，
∴BN的最小值为2﹣2．
故答案为：2﹣2．
22．
解：以AD所在的直线为对称轴，作正方形ABCD的对称正方形ANMD，
∴MD＝CD，MN＝AD＝2，∠N＝90o，
∵H为GC的中点，
∴HD为△GMC的中位线，
∴DH＝GM，
∴当GM最短时，DH最短，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，
∵AE＝DF，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠BAD＝∠BAG+∠DAF＝90°，
∴∠ABE+∠DAF＝90°，
∴∠ABE+∠BAG＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴点G在以AB为直径的圆O上，
∴当点G在OM上时，GM最短，
∴OM＝，
∴GM＝OM﹣OG＝﹣1，
∴DH＝GM＝，
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
23．解：（1）设运动时间为t秒．则FQ＝t，PE＝2t．
∵B（4，3），四边形ABCO是矩形，
∴BC＝OA＝4，AB＝OC＝3，
∵CF＝FB．OE＝EA，
∴EF＝OC＝3，
∵FQ∥PE，
∴FM＝1．ME＝2，
在Rt△AME中，∠AEM＝90°，AE＝EM＝2，
∴AM＝2．
（2）由题意，点H在以AM为直径的⊙T的圆上运动，连接CT，CH，TH．
∵A（4，0），M（2，2），MT＝AT，
∴T（3，1），
∵C（0，3），
∴CT＝＝，
∵TH＝TM＝TA＝，
∴CH≥CT﹣TH，
∴CH≥﹣，
∴CH的最小值为﹣．
24．解：（1）连接OC，
∵∠OMN＝θ，
∠ABC＝4θ，∠ACB＝6θ；
∴∠BAC＝180°﹣10θ，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2（180°﹣10θ），
∵N是BC的中点，
∴ON垂直于BC，
∴∠NOC＝∠BON＝∠BOC＝∠BAC＝180°﹣10θ，
∵∠ABC＝4θ，
∴∠AOC＝8θ，
∴∠NOC＝180°﹣10θ，∠AOC＝8θ，
∴∠AON＝∠NOC+∠AOC＝180°﹣10θ+8θ＝180°﹣2θ，
∴∠MON＝180°﹣2θ；
（2）∵∠OMN＝θ，
由（1）知，∠MON＝180°﹣2θ，
∴∠ONM＝180°﹣∠MON﹣∠OMN＝θ＝∠OMN，
∴OM＝ON，
∴△MON为等腰三角形，
（3）∵OA＝OB，由
（2）知，
△OMN是等腰三角形，
∴ON＝OM＝OA＝OB；
∵N是BC的中点，
∴ON⊥BC，
∴∠OBN＝30°，
∴180°﹣10θ＝60°，
∴θ＝12°，
∴∠OMN＝12°．
25．证明：（1）连接AE，如图，
∵∠ADB＝90°，
∴AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴AE是△ABC的中线，
∴E是BC的中点，
（2）连接DE，如图，
∵E是BC的中点，
∴BC＝2CE，
∵BC＝2CD，
∴CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED，
∴∠BAD+∠BED＝180°．
∵∠CED+∠BED＝180°，
∴∠BAD＝∠CED，
∵∠ABD＝90°﹣∠BAD，∠BCD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣2∠BAD，
∴∠BCD＝2∠ABD．
26．（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE（SAS），
∴CD＝CE；
（2）解：由（1）可知CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
由（1）可知△ADC≌△BCE，
∴∠ACD＝∠BEC，
∴∠CDE+∠ACD＝∠CED+∠BEC，
即∠BFE＝∠BED，
∴BE＝BF，
即．
（3）∵△CDE的外心在该三角形的外部，
∴△CDE是钝角三角形，
∵∠CDE＝∠CED，
∴0°＜∠CDE＜45°，
∵AD∥BE，
∴∠ADE＝∠BED，即∠ADE＝∠AFD，
∴∠ADE＝（180°﹣α）＝90°﹣，
∵∠AFD＝∠CDE+25°，
∴α+∠ADC+∠CDE+25°＝180°，
即∠CDE＝65°﹣，
∴0°＜65°﹣＜45°，
解得：40°＜α＜130°．
27．解：（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（ASA）；
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴CE＝CD，AE＝BD，
∵CE⊥CD，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∵CD＝2，BD＝3，
∴DE＝2，AE＝3，
∴AD＝5，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝2，
∴⊙O的半径为；
（3）法一：过O作OH⊥AD于H，如图：
∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，
∴ED＝a，
∵F为DE的中点，
∴CF＝DF＝DE＝a，
∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD＝b，
∴AD＝ED+AE＝a+b，
∵OH⊥AD，∠ADB＝90°，
∴OH∥BD，
∵AO＝OB，
∴DH＝AD＝a+b，OH＝BD＝b，
∴HF＝DH﹣DF＝（a+b）﹣a＝b，
在Rt△OHF中，FO＝＝b，
∴CF+FO＝a+b．
法二：延长AD至点H，使DH＝AE，连接BH，如图：
由（1）得△ACE≌△BCD，
∴BD＝AE＝DH，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠BDH＝90°，
∴△BDH为等腰直角三角形，
∵BD＝b，
∴BH＝b，
∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，
∴ED＝a，CF＝a＝DF＝EF，
而DH＝AE，
∴AE+EF＝DH+DF，即AF＝HF，
∴F为AH中点，
∵O为AB中点，
∴FO＝BD＝b，
∴CF+FO＝a+b．