2021-2022学年苏科版八年级数学上册《2.5等腰三角形的对称性》同步优生辅导训练(word解析版)

2021年苏科版八年级数学上册《2.5等腰三角形的对称性》同步优生辅导训练（附答案）
一．选择题（共6小题）
1．如图，已知△ABC的面积为24，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DF长为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．8
2．已知在平面直角坐标系xOy中，O（0，0），A（4，3）点B在x轴或y轴上移动，若O、A、B三点可构成等腰三角形，则符合条件的B点有（　　）
A．9个
B．8个
C．7个
D．6个
3．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），B（0，2
），在坐标轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，符合条件的点C有（　　）
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
4．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（　　）个．
A．7
B．8
C．9
D．10
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为边画等腰△BCP，使点P在△ABC的边上，则符合条件的点P有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果P也是图中的格点，且使得△ABP为等腰三角形，则点P的个数是（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
二．填空题（共11小题）
7．△ABC中，∠B＝∠C，CD是AB边上的高，∠ACD＝20°，则∠B＝　
　°．
8．如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC．若∠BAE＝90°，∠B＝45°，则∠DAC的度数为　
　．
9．在等腰三角形ABC中，∠B＝40°，若AB＜BC，则∠C＝　
　．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC上一个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是　
　．
11．等腰三角形的一个角为40°，则它的顶角为　
　．
12．等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为　
　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，以点B为圆心、以BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为
　
　．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．以下四个结论：
①∠CDE＝∠BAD；
②当D为BC中点时，DE⊥AC；
③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；
④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．
其中正确的结论是
　
　（把你认为正确结论的序号都填上）．
15．已知等腰三角形的一个外角等于130?，则它的顶角等于　
　．
16．已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长12cm，则它的周长为　
　cm．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD是AC边上的高，若PE＝5cm，PF＝3cm，则BD＝　
　．
三．解答题（共5小题）
18．等腰三角形的一个角是70°，求另两个角．
19．在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．
（1）如图1，图中所有的等腰三角形有　
　个．猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．
（2）如图2，AB≠AC，图中等腰三角形是　
　，（1）中的EF与BE、CF之间的关系还存在吗？
（3）如图3，△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们，写出EF与BE、CF关系，并说明理由．
20．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
21．如图，点P是等边三角形ABC内一点，AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G，求证：AD＝PE+PF+PG．
22．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．
参考答案
一．选择题（共6小题）
1．解：连接AD，
则：S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
即：×8?DF+8?DE＝24，
可得：DE+DF＝6，
∵DF＝2DE，
∴DF＝4，
故选：A．
2．解：分三种情况说明：
①以点O为圆心，OA长为半径画圆，
与x轴、y轴有4个交点，
这4个交点分别与点O、A构成4个等腰三角形；
②以点A为圆心，OA长为半径交x轴和y轴的正半轴有2个点，
这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形；
③作OA的垂直平分线交x轴和y轴的正半轴有2个点，
这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形；
综上所述：符合条件的B点有：4+2+2＝8（个）．
故选：B．
3．解：如图所示：
当AB＝AC时，符合条件的点有3个；
当BA＝BC时，符合条件的点有2个；
当点C在AB的垂直平分线上时，符合条件的点有1个．
故符合条件的点C有6个．
故选：B．
4．解：如图所示：
①AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有5个；
②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有3个．
所以符合条件的点C共有8个．
故选：B．
5．解：如图，以点C为圆心，BC长为半径作弧，交AB，AC分别为P2，P1，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AB于P3，作BC的垂直平分线交AB于P4，
故选：C．
6．解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：D．
二．填空题（共11小题）
7．解：当D在线段AB上时，如图①，
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝20°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∠B＝∠ACB，
∴∠B＝(180°﹣∠BAC)＝×(180°﹣70°)＝55°；
当D在线段AB延长线上时，如图②，
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝20°，
∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝90°＝20°＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠CAD＝180°﹣70°＝110°，
∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°,∠B＝∠ACB，
∴∠B＝(180°﹣∠BAC)＝×(180°﹣110°)＝35°；
综上所述：∠B＝35°或55°，
故答案为：35或55．
8．解：∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴∠ADB＝∠BAD＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∵∠BAE＝90°，∠B＝45°，
∵∠AEB＝∠B＝45°，∠EAC＝∠C，
∴∠EAC＝22.5°，
∴∠DAE＝∠DAE+∠EAC＝45°，
故答案为：45°．
9．解：∵AB＜BC，
∴∠B是底角，
①当∠B＝∠A＝40°时，∠C＝100°，此时AB＞BC，不符合题意；
②当∠B＝∠C＝40°时，条件成立；
综上，∠C＝40°．
故答案为：40°．
10．解：∵在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝20°，
当∠EDC＝90°时，
∠BDE＝180°﹣20°﹣40°﹣90°＝30°；
当∠DEC＝90°时，
∠BDE＝90°﹣20°＝70°．
故∠BDE的度数是30°或70°．
故答案为：30°或70°．
11．解：当40°角为顶角时，则顶角为40°，
当40°角为底角时，则顶角为180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为：40°或100°．
12．解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长＝8+8+4＝20．
故答案是：20．
13．解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝52°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣52°＝38°，
∵BC＝BD，∠BCD+∠BDC+∠B＝180°，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣38°）＝71°，
∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝71°+38°＝109°，
故答案为：109°．
14．解：①∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝180°﹣40°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣40°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE；故①正确；
②∵D为BC中点，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝50°，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥AC，故②正确；
③∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE或AD＝DE
当AE＝DE时，
∴∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，
当AD＝DE时，则∠DAE＝∠AED＝70°，
∵∠BAC＝100°，
∴∠BAD＝30°，
故③错误，
④∵∠BAD＝30°，
∴∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∴∠DAC＝∠ADC，
∴CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴CD＝AB，
∴△ABD≌△DCE（ASA），
∴BD＝CE；故④正确；
故答案为：①②④．
15．解：∵等腰三角形的一个外角等于130?，
∴与其相邻的内角为50°．
当50°为顶角时，其他两角为65°、65°；
当50°为底角时，其他两角为50°、80°．
所以等腰三角形的顶角可以是50°，也可以是80°．
故答案为：50°或80°．
16．解：∵等腰三角形的一边长为5cm，另一边长12cm，
又三角形任意两边之和大于第三边，
∴这个等腰三角形的第三边的长为12cm．
∴这个等腰三角形的周长为：5+12+12＝29（cm）．
故答案为：29cm．
17．解：连接AP．
∵AB＝AC，
∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP＝AB?PE+AC?PF＝AC?BD，
∴PF+PE＝BD，
∵PE＝5cm，PF＝3cm，
∴BD＝8cm，
故答案为：8cm．
三．解答题（共5小题）
18．解：当底角为70°时，则另一个底角为70°，则顶角为180°﹣2×70°＝40°，即另两个角分别为70°和40°；
当顶角为70°时，则另两个角为底角，大小为＝55°，即另两个角分别为55°和55°；
综上可知另两个角分别为70°、40°或55°、55°．
19．解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5个；
EF、BE、FC的关系是EF＝BE+FC．
理由如下：
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠OCB＝∠FCO，
即EO＝EB，FO＝FC，
∴EF＝EO+OF＝BE+CF；
故答案为：5；
（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立，
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠OCB＝∠FCO，
即EO＝EB，FO＝FC，
∴EF＝EO+OF＝BE+CF；
故答案为：△EOB、△FOC；
（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF＝BE﹣FC．理由如下：
同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，
∴∠FOC＝∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO＝∠FOC＝∠OCG，
∴FO＝FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF＝EO﹣FO＝BE﹣FC．
20．解：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC＝DC，
∵∠OCD＝60°，
∴△OCD是等边三角形．
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵△BOC≌△ADC，α＝150°，
∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
21．解：连接PA、PB、PC，如图所示：
∵S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，
∴AB?PE+BC?PD+AC?PF＝BC?AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴BC（PE+PF+PG）＝BC?AD，
∴PE+PD+PF＝AD．
22．证明：∵∠A＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∴∠BDE＝∠CDF＝60°，
∴∠EDF＝60°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE与△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等边三角形．