2021-2022学年苏科版九年级数学上册《2.7弧长及扇形面积》同步培优提升专题训练(word解析版)

2021年苏科版九年级数学上册《2.7弧长及扇形面积》同步培优提升专题训练（附答案）
1．如图，⊙O1与⊙O2的半径均为5，⊙O1的两条弦长分别为6和8，⊙O2的两条弦长均为7，图中阴影部分A，B的周长分别为p1，p2，则p1，p2的大小关系是（　　）
A．p1＞p2
B．p1＜p2
C．p1＝p2
D．无法确定
2．如图，正方形ABCD的边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（　　）
A．
B．1﹣
C．﹣1
D．1﹣
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，CB＝8，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（　　）
A．
B．25π﹣24
C．25π﹣12
D．
4．如图，一个半径为3的圆O1经过一个半径为3的圆O2的圆心，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．
B．9
C．
D．
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝BC＝6．以点A为圆心，AC长为半径画弧，与AB的延长线交于点D，则图中阴影部分面积为　
　．
6．如图，在正方形ABCD的边长为6，以D为圆心，4为半径作圆弧．以C为圆心，6为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为S1、S2，时，则S1﹣S2＝　
　．（结果保留π）
7．如图，点A，B，C在⊙O上，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线分别交AC，AB的延长线于E，F，AE＝12，∠BAC＝60°．弧BD，线段DF，线段BF所围成阴影部分图形的面积为　
　．（结果保留π）
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，AB＝10，D是AB的中点，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是　
　．（结果保留π）
9．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以点C为圆心、CE为半径作弧，交BD于点F，连接AF．若AB＝6，∠ABC＝60°，则阴影部分的面积为　
　．（结果保留π）
10．如图，已知在圆O中，AC是圆O的直径，B、D在圆O上，AC⊥BD，AC＝6，∠BOD＝120°，则图中阴影部分的面积为　
　．
11．如图，直径AB为10的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是　
　．
12．如图AB为半圆O的直径，以AO为直径作半圆M，C为OB的中点，D在半圆M上，且CD⊥MD，延长AD交⊙O于点E，若AB＝4，则图中阴影部分的面积为　
　．
13．如图，已平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆于点F，连接CF，若半圆O的半径为12，则阴影部分的周长为　
　．
14．如图矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，矩形绕顶点A顺时针旋转90°到达AB'C'D'，图中的两段弧线分别是顶点C、D经过的路径，则阴影部分的面积为　
　．
15．如图，半圆的直径AB＝12，P为AB上一点，点C、D为半圆弧AB的两个三等分点，则阴影部分的面积等于　
　．（用含π的式子表示）
16．如图，在半圆AOB中，半径OA＝2，C、D两点在半圆上，若四边形OACD为菱形，则图中阴影部分的面积是　
　．
17．如图，正方形OA1B1C1的边长为2，以O为圆心、OA1为半径作弧A1C1交OB1于点B2，设弧A1C1与边A1B1、B1C1围成的阴影部分面积S1；然后以OB2为对角线作正方形OA2B2C2，又以O为圆心、OA2为半径作弧A2C2交OB2于点B3，设弧A2C2与边A2B2、B2C2围成的阴影部分面积为S2；…，按此规律继续作下去，设弧An?n与边AnBn、Bn?n围成的阴影部分面积为Sn．则S1＝　
　，S2＝　
　，…，Sn＝　
　．
18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，以CD为直径做一个半圆，则图中阴影部分的面积之和为　
　．
19．如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形EBF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是　
　．
20．已知如图所示，每个网格中的小正方形的边长都是1，图中的阴影部分是由三段以小正方形的顶点为圆心，半径分别是1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积是　
　．
21．如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点M，且∠A＝∠B
（1）求证：AC＝BD；
（2）若OA＝4，∠A＝30°，当AC⊥BD时，求：
①弧CD的长；
②图中阴影部分面积．
22．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线DE，与过点A的直线垂直于E，弦BD的延长线与直线AE交于C点．
（1）求证：点D为BC的中点；
（2）设直线EA与⊙O的另一交点为F，求证：CA2﹣AF2＝4CE?EA；
（3）若弧AD＝弧DB，⊙O的半径为r．求由线段DE，AE和弧AD所围成的阴影部分的面积．
参考答案
1．解：通过旋转，拼接得到下面图形．
∵62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，S△ABC＝24，
右边图中，DE＝EF＝7，作O2M⊥DE，连接O2E交DF于H．
∴EH＝4.9，DF＝2DH＝2＝2＜10，
∴△DEF是钝角三角形，
∴的长＜优弧的长，
∵P1＝14+的长，P2＝14+优弧的长，
∴P1＜P2
故选：B．
2．解：如图：
正方形的面积＝S1+S2+S3+S4；①
两个扇形的面积＝2S3+S1+S2；②
②﹣①，得：S3﹣S4＝2S扇形﹣S正方形＝﹣1＝．
故选：A．
3．解：设以AB、AC为直径作半圆交BC于D点，连AD，如图，
∴AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC＝4，
∵AB＝AC＝5，
∴AD＝3，
∴阴影部分面积＝半圆AC的面积+半圆AB的面积﹣△ABC的面积
＝π×（）2﹣×8×3
＝π﹣12．
故选：D．
4．解：如图，⊙O2的半径为3，⊙O1的半径为3，点O2在⊙O1上，连接O2A，O2B，O2O1，
∵O2A＝3，O1A＝O1O2＝13，则有（3）2＝32+32，
∴O2A2＝O1A2+O1O22，
∴△O2O1A为直角三角形，
∴∠AO2O1＝45°，
同理可得∠BO2O1＝45°，
∴∠AO2B＝90°，
∴AB为⊙O1的直径．
∴S阴影部分＝S半圆AB﹣S弓形AB
＝S半圆AB﹣（﹣）
＝S半圆AB﹣+
＝π×32﹣+×3×3
＝9．
故选：B．
5．解：作BE⊥AC于E，
∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝6，
∴∠A＝∠ACB＝30°，AE＝CE，
∴BE＝AB＝3，
∴AE＝＝3，
∴AC＝6，
∴图中的阴影部分的面积＝S扇形CAD﹣S△ABC
＝﹣
＝9π﹣9．
故答案为9π﹣9．
6．解：由图可知，
S1+S3＝π×42×＝4π，
S2+S3＝6×6﹣π×62×＝36﹣9π，
∴（S1+S3）﹣（S2+S3）＝4π﹣（36﹣9π）
即S1﹣S2＝13π﹣36，
故答案为：13π﹣36．
7．解：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线，
作OG⊥AE于点G，连接BD，
∴∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，
∴四边形ODEG是矩形，
∵∠OAG＝60°，AD平分∠CAB，
∴∠EAD＝30°，
∵AE＝12，
∴DE＝4，AF＝24，
∴OG＝DE＝4，
∴AO＝8，
∴OF＝AF﹣AO＝16，
∴DF＝8，
∴S△DOF＝×，
S扇形DOB＝＝，
∴S阴影＝32﹣．
故答案为：32﹣．
8．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴DA＝DC＝DB＝AB＝5，
∵∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DCB＝∠B＝40°，
∴图中阴影部分的面积＝＝π．
故答案为π．
9．解：连接AC，如图，
∵四边形ABC为菱形，
∴BA＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝6，∠ACB＝60°，
∵BD与AC互相垂直平分，
而CF＝CE，
∴点F为AC与BD的交点，
∵E点为BC的中点，
∴CE＝3，AE⊥BC，
∴AE＝CE＝3，
∴阴影部分的面积＝S△AEC﹣S扇形ECF
＝×3×3﹣
＝．
故答案为．
10．解：设AC与BD交于点F，
∵∠BOD＝120°，
∴∠BAD＝60°，∠BAO＝30°，
∵AC＝6，
∴AO＝BO＝3，
∴S扇形＝＝3π．
在Rt△BOF中，
OB＝3，∠BOF＝60°，
即有BF＝，
所以S△AOB＝×3＝；
又∵△AOB≌△AOD；
∴S阴影＝S扇形+2S△AOB＝3π+．
故答案为3π+．
11．解：如图，
∵AB＝AB′＝10，∠BAB′＝60°
∴图中阴影部分的面积是：
S＝S扇形B′AB+S半圆O′﹣S半圆O
＝+π×102﹣π×102
＝π．
故答案为：．
12．解：连接EO，DO，过点D作DF⊥AB于点F，
∵AB＝4，O为AB中点，M、C分别为AO、OB的中点，
∴AM＝OM＝OC＝CB＝1，
∵DC⊥MD，
∴在Rt△MDC中，DM＝1，MC＝OM+OC＝2，
∴DM＝MC，即∠DCM＝30°，
∴∠DMC＝60°，
∵AM＝DM，
∴∠MAD＝∠MDA＝30°，
∴∠EOB＝60°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝30°，
∴OD＝OA＝1，AD＝＝，
∵OD⊥AE，
∴AE＝2AD＝2，
∴DF＝AD＝，AF＝，
∴AC＝2AF＝3，
则S阴影＝S△AOE+S扇形EOB﹣S△ACD＝×2×1+﹣×3×＝+．
故答案为：+．
13．解：∵四边形OABC为平行四边形，OA＝OC，
∴四边形OABC为菱形，
∴BA＝BC，
∴∠CFA＝∠COA，
∵BC∥AF，
∴∠A＝∠CFA，
∴∠A＝∠COA，又∠A+∠COA＝180°，
∴∠A＝60°，
∴∠COF＝60°，
∴△COF为等边三角形，
∴∠OCF＝60°，
∴的长＝＝4π，
∵CD⊥AB，∠BDC＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴∠ECO＝90°，又∠COE＝60°，
∴∠E＝30°，
∴OE＝2OC＝24，
∴EF＝12，EC＝＝12，
∴阴影部分的周长＝12+12+4π，
故答案为：12+12+4π．
14．解：连接AC、AC′，AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝＝2，
∵AE＝AD′＝2，AB′＝2，
∴B′E＝＝2，
∴AB′＝B′E，
∴∠B′AE＝∠B′EA＝45°，
∴∠EAD′＝45°，
∴阴影部分的面积×π×（2）2﹣×π×（2）2﹣（2×2﹣﹣＝2π+2﹣4．
故答案为：2π+2﹣4．
15．解：连接OC、OD、CD．
∵△COD和△CPD等底等高，
∴S△COD＝S△POD．
∵点C，D为半圆的三等分点，
∴∠COD＝180°÷3＝60°，
∴阴影部分的面积＝S扇形COD＝＝6π．
故答案为6π
16．解：连接OC，AD，
∵四边形OACD是菱形，且OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形，
∵OA＝2，
∴OE＝1，AE＝，
∴AD＝2，
∴菱形OACD的面积是×2×2＝2，
∴阴影部分的面积是2π﹣2，
故答案为2π﹣2．
17．解：S1＝4﹣＝4﹣π．
根据勾股定理得：OB1＝＝2
则OB2＝2，
∴B1B2＝2﹣2，
再根据勾股定理得：2OA22＝22解得：OA2＝．
S2＝（）2﹣（）2＝2﹣．
根据勾股定理得：2OA32＝（）2解得：OA3＝1；
S3＝1﹣；
从上两个空中我们可以发现规律，并用Sn＝表示．
18．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝6，BO＝DO＝8，
∴CD＝＝10，
∴图中阴影部分的面积之和为：π×（10÷2）2×﹣＝，
故答案为：．
19．解：如图，连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠1＝∠2＝60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB＝2，
∴△ABD的高为，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4+∠5＝60°，
∵∠3+∠5＝60°，
∴∠3＝∠4，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
在△ABG和△DBH中，，
∴△ABG≌△DBH（ASA），
∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD＝﹣×2×＝﹣．
故答案是：﹣．
20．解：作辅助线如图所示：
阴影部分的面积＝﹣×2×2+（﹣×1×1）＝﹣3；
故答案为：﹣3．
21．（1）证明：延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，
∵BE，AF是⊙O的直径，
∴∠EDB＝∠FCA＝90°．
在△DEB与△CFA中，
∵，
∴△DEB≌△CFA（AAS），
∴AC＝BD；
解：（2）延长AO交⊙O于点F，连接CF，延长BO交⊙O于点E，连接DE，CD，OD，OC，
∵∠A＝30°，OA＝OC，
∴∠COA＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
∵∠A＝∠B＝30°，AC⊥BD，
∴∠EOA+∠A＝60°，
∴∠EOA＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∴∠COD＝30°，
π；
（3）过O作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，连接OM，
则AG＝AC，BH＝BD，
∵AC＝BD，
∴OG＝OH，AG＝BH，
∴四边形OGMH是正方形，
∴GM＝HM＝OG＝OH，
∴AM＝BM，
∵OA＝4，∠A＝30°，
∴AG＝2，GM＝HM＝OG＝OH＝2，
∴AM＝BM＝2+2，
在Rt△AGO与Rt△BHO中，
∴Rt△AGO≌Rt△BHO，
∴∠B＝∠A＝30°，
∴∠AOG＝∠BOH＝60°，
∴∠AOB＝150°，
∴S阴影＝S扇形+S△AOM+S△BOM＝+2×（2+2）×2＝+4+4．
22．（1）证明：连接OD，
∵ED为⊙O切线，∴OD⊥DE；
∵DE⊥AC，∴OD∥AC；
∵O为AB中点，
∴D为BC中点；
（2）证明：连接BF，
∵AB为⊙O直径，
∴∠CFB＝∠CED＝90°；
∴ED∥BF；
∵D为BC中点，
∴E为CF中点；
∴CA2﹣AF2＝（CA﹣AF）（CA+AF）
＝（CE+AE﹣EF+AE）?CF＝2AE?CF；
∴CA2﹣AF2＝4CE?AE；
（3）解：∵，
∴∠AOD＝60°；
连接DA，可知△OAD为等边三角形，
∴OD＝AD＝r，
在Rt△DEA中，∠EDA＝30°，
∴EA＝r，ED＝r；
∴S阴影＝S梯形AODE﹣S扇形AOD＝
＝．