2021-2022学年苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》单元综合培优提升训练(word解析版)

2021年苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》单元综合培优提升训练（附答案）
一．选择题
1．关于x的方程（m﹣2）+x＝0是一元二次方程，则m的值是（　　）
A．﹣2
B．±2
C．3
D．±3
2．若关于x的方程kx2+（k+2）x+＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣1
B．k≥﹣1且k≠0
C．k＞﹣1且k≠0
D．k≤﹣1
3．若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2021﹣6a2+2a的值是（　　）
A．2023
B．2022
C．2020
D．2019
4．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）
A．0
B．±3
C．3
D．﹣3
5．一个等腰三角形两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则等腰三角形的周长是（　）
A．12
B．9
C．15
D．12或15
6．一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方后可变形为（　　）
A．（x﹣4）2＝18
B．（x﹣4）2＝14
C．（x﹣8）2＝64
D．（x﹣4）2＝1
7．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有一个非零根﹣n，则m﹣n的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．0
D．﹣2
8．已知α，β是方程x2+2020x+1＝0的两根，则（1+2023α+α2）（1+2023β+β2）的值为（　　）
A．4
B．9
C．12
D．15
二．填空题
9．关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
　
　．
10．设方程x2﹣2021x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，则x1+x2﹣x1x2的值是
　
　．
11．将方程3x2﹣6x﹣8＝0配方为a（x﹣h）2＝k，其结果是
　
　．
12．某种商品原价每件售价为400元，经过连续两次降价后，每件售价为288元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为
　
　．
13．若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为
　
　．
14．关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为
　
　．
15．已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为
　
　．
16．若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为
　
　．
17．已知α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，则代数式（α﹣2021）（β﹣2021）＝　
　．
18．设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝　
　．
三．解答题
19．解方程：（1）x2﹣4x+3＝0；
（2）x2﹣6x﹣5＝0（用配方法解）．
20．已知关于x的方程mx2+nx﹣2＝0（m≠0）．
（1）求证：当n＝m﹣2时，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．
21．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22＝12，求m的值．
22．某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．
23．如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发，沿AB边以1cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：
（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）经过几秒后，P，Q两点间距离是cm？
参考答案
一．选择题
1．解：∵关于x的方程（m﹣2）+x＝0是一元二次方程，
∴，
解得m＝±3．
故选：D．
2．解：当k＝0时，方程化为2x＝0，解得x＝0；
当k≠0时，Δ＝（k+2）2﹣4k?≥0，解得k≥﹣1，
所以实数k的取值范围是k≥﹣1．
故选：A．
3．解：∵a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴3a2﹣a﹣1＝0，
∴3a2﹣a＝1，
∴2021﹣6a2+2a＝2021﹣2（3a2﹣a）
＝2021﹣2×1
＝2019．
故选：D．
4．解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，
（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，
由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
5．解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x＝3或x＝6，
当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；
当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．
故选：C．
6．解：∵x2﹣8x﹣2＝0，
∴x2﹣8x＝2，
则x2﹣8x+16＝2+16，即（x﹣4）2＝18，
故选：A．
7．解：把x＝﹣n代入方程x2+mx+n＝0得n2﹣mn+n＝0，
∵n≠0，
∴n﹣m+1＝0，
∴m﹣n＝1．
故选：A．
8．解：∵α，β是方程x2+2020x+1＝0的两个根，
∴α2+2020α+1＝0，β2+2020β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1，
∴（1+2023α+α2）（1+2023β+β2）
＝（1+2020α+α2+3α）（1+2020β+β2+3β）
＝9αβ
＝9，
故选：B．
二．填空题
9．解：由题意得：Δ＞0，
∴（﹣2）2﹣4m×1＞0，
整理得：m＜1．
又∵m≠0，
∴实数m的取值范是m＜1且m≠0．
故答案是：m＜1且m≠0．
10．解：∵方程x2﹣2021x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝2021，x1x2＝﹣1，
∴x1+x2﹣x1x2＝2021+1＝2022．
故答案是：2022．
11．解：3x2﹣6x﹣8＝0，
∴3（x2﹣2x+1）＝8+3，
∴3（x﹣1）2＝11，
故答案为：3（x﹣1）2＝11．
12．解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得：400（1﹣x）2＝288．
故答案为：400（1﹣x）2＝288．
13．解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴m2+3m﹣1＝0，
∴3m﹣1＝﹣m2，
∵Δ＝13＞0，
∴m+n＝﹣3，
∴＝＝＝3，
故答案为3．
14．解：当6为底边时，则x1＝x2，
∴Δ＝100﹣4m＝0，
∴m＝25，
∴方程为x2﹣10x+25＝0，
∴x1＝x2＝5，
∵5+5＞6，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
当6为腰时，则设x1＝6，
∴36﹣60+m＝0，
∴m＝24，
∴方程为x2﹣10x+24＝0，
∴x1＝6，x2＝4，
∵6+4＞6，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述：m＝24或25，
故答案为24或25．
15．解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝，
故答案为：．
16．解：∵若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c为常数）的两根x1，x2满足﹣3＜x1＜﹣1，1＜x2＜3，
∴满足条件分方程可以为：x2﹣2＝0（答案不唯一），
故答案为：x2﹣2＝0（答案不唯一）．
17．解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，
∴α+β＝2021，αβ＝2020，
∴（α﹣2021）（β﹣2021）＝αβ﹣2021（α+β）+20212
＝2020﹣2021×2021+20212
＝2020．
故答案为：2020．
18．解：根据题意，知x1+x2＝3x2＝3，则x2＝1，
将其代入关于x的方程x2﹣3x+k＝0，得12﹣3×1+k＝0．
解得k＝2．
故答案是：2．
三．解答题
19．解：（1）（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0．
解得x1＝1，x2＝3．
（2）移项，得x2﹣6x＝5，
配方，得x2﹣6x+9＝9+5，
即（x﹣3）2＝14．
∴x﹣3＝．
∴x＝3±．
即x1＝3+，x2＝3﹣．
20．（1）证明：△＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2）＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）由题意可知，m≠0△＝n2﹣4m×（﹣2）＝n2+8m＝0，
即：n2＝﹣8m．
以下答案不唯一，如：
当n＝4，m＝﹣2时，方程为x2﹣2x+1＝0．
解得x1＝x2＝1．
21．解：（1）根据题意得Δ＝（2m）2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝3（舍去）．
故m的值为﹣2．
22．解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，
依题意，得：50（1+m）2＝72，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商品平均每月的价格增长率为20%．
（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，
整理，得：x2﹣300x+14400＝0，
解得：x1＝60，x2＝240．
∵商家需尽快将这批商品售出，
∴x＝60．
答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．
23．解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm，
依题意，得：（6﹣x）×2x＝8，
化简，得：x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．
（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2ycm，
依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，
化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，
解得：y1＝，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．
答：经过秒后，P，Q两点间距离是cm．