2021－2022学年苏科版九年级数学上册1.2一元二次方程的解法根的判别式靶向同步培优训练(Word版，附答案解析)

苏科版九年级数学上册靶向培优训练
1.2一元二次方程的解法根的判别式
一、选择题
1．关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是
A.
2
B.
1
C.
0
D.
2．在中，直角边为a、b，斜边为若把关于x的方程称为“勾系一元二次方程”，则这类“勾系一元二次方程”的根的情况是
A.
有两个不相等的实数根
B.
有两个相等的实数根
C.
没有实数根
D.
一定有实数根
3．已知关于x的一元二次方程无实数根，则a的取值范围是
A.
B.
C.
D.
且
4．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为
A.
3
B.
4
C.
3或4
D.
7
5．当时，关于x的一元二次方程的根的情况为
A.
有两个不相等的实数根
B.
有两个相等的实数根
C.
没有实数根
D.
无法确定
6．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是?
???
A.
7
B.
3
C.
或7
D.
任意实数
二、填空题
7．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______．
8．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______．
9．若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第_____象限．
10．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．
11．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．
12．如图，的三个顶点分别为，，若函数在第一象限内的图象与有交点，则k的取值范围是______．
三、解答题
13．已知关于x的两个一元二次方程：
方程：；
方程：．
若方程有两个相等的实数根，求：k的值
若方程和只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根．
若方程和有一个公共根a，求代数式的值．
14．已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长．
如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
15．由两个全等的和构成如图所示的四边形ABCD，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为分别以m、、n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程，称为勾股方程．
直接写出一个勾股方程．
若勾股方程有两个相等的实数根，求的值．
若是勾股方程的一个根，且四边形ABCD的周长是6，求四边形ABCD的面积．
16．若关于x的一元二次方程b，c均为常数，且的根均为整数，称该方程为“理想方程”易得出任何一个“理想方程”的根的判别式一定是完全平方数．规定为该“理想方程”的“理想数”若另一“理想方程”q，r均为常数，且的“理想数”为，且满足，则称与互为“相对理想数”如：方程的两根均为整数，则称为“理想方程”，其判别式，其“理想数”为．
求“理想方程”的“理想数”；
若关于x的一元二次方程为整数，且是“理想方程”，求其“理想数”；
若关于x的一元二次方程与、n均为整数都是“理想方程”，且其“理想数”互为“相对理想数”，求n的值．
17．已知关于x的方程
求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
当k为何整数时，关于x的方程有两个整数根？
18．已知关于x的一元二次方程．
求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
若方程有一个根的平方等于4，求m的值．
【参考答案】
一、选择题
1．C
【解析】
【分析】
此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．
根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，且二次项系数不为0，即可求出整数a的最大值．
【解答】
解：因为关于x的一元二次方程有实数根，
所以且，解得且，
所以整数a的最大值为0．
故选C．
2．D
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式以及勾股定理，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．
由勾股定理可得出，根据“勾系一元二次方程”的定义结合根的判别式可得出，由此可得出“勾系一元二次方程”一定有实数根．
【解答】
解：在中，直角边为a、b，斜边为c，
．
在方程中，．
，
，即，
这类“勾系一元二次方程”一定有实数根．
故选D．
3．B
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式结合一元二次方程的定义找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】
解：关于x的一元二次方程无实数根，
，
解得：．
故选B．
4．C
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及根与系数的关系，分3为腰长及3为底边长两种情况，求出k值是解题的关键．
当3为腰长时，将代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意．
【解答】
解：当3为腰长时，将代入，得：，
解得：，
的两个根是，，，
当3为底边长时，关于x的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，此时两腰之和为4，，符合题意．
的值为3或4．
故选C．
5．A
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．由可得出，根据方程的系数结合根的判别式可得出，由偶次方的非负性可得出，即，由此即可得出关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
【解答】
解：，
．
．
，
，
，
关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选A．
6．A
【解析】
【分析】
?本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则有，得到关于m的方程，再由二次项的系数不为0可得关于m的不等式，然后解之即可．
【解答】
解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
故选A．
二、填空题
7．且
【解析】解：由题意可知：，
，
，
且，
故答案为：且；
根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
8．且
【解析】解：关于x的一元二次方程有实数根，
，，
且，
故答案为：且．
由方程是一元二次方程得出，再由方程有实数根得出，即可得出结论．
此题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，利用根的判别式建立不等式是解本题的关键．
9．一
【解析】
【分析】
题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．
根据判别式的意义得到，解得，然后根据一次函数的性质可得到一次函数图象经过的象限．
【解答】
解：??一元二次方程无实数根，
，
，
，即，
一次函数的图象不经过第一象限．
故答案为一．
10．且
【解析】
【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】
解：根据题意得且，
解得且．
故答案为：且．
11．
【解析】
【分析】
本题考查根的判别式及代数式的值，解题的关键是正确理解根的判别式与方程根的关系，本题属于基础题型．
根据根的判别式得出，再整体代入化简后的代数式即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：，
，
．
故答案为：．
12．
【解析】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，
过点的反比例函数解析式为，
．
随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，
经过，的直线解析式为，
，得
根据，得，
综上可知．
故答案为．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数和三角形有交点的临界条件分别是交点为A、与线段BC有交点，由此求解即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，有一定难度．注意自变量的取值范围．
三、解答题
13．解：
方程有两个相等的实数根，
，
则，，
则，
，，
，
；
，
无论k为何值时，方程总有实数根，
方程、只有一个方程有实数根，
此时方程没有实数根．
根据a是方程和的公共根，
，，
得：，
得：，
代数式．
故代数式的值为5．
【解析】由方程有两个相等的实数根，由根的判别式可得到关于k的方程则可求得k的值；
由方程的判别式可求得该方程总有两个实数根，则可知方程没有实数根；
把分别代入两个方程，整理即可求得所求代数式的值．
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
14．解：把代入方程得，则，所以为等腰三角形；
根据题意得，即，所以为直角三角形；
为等边三角形，
，
方程化为，解得，．
【解析】把代入方程得，整理得，从而可判断三角形的形状；
根据判别式的意义得，即，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
15．解：若，，则，此时的勾股方程为答案不唯一
由一元二次方程根的判别式，得，
而，代入得，故，
，即
当时，若，则
又，
，解得．
，，则，
，解得，
则，
．
【解析】本题考查的是根的判别式，新定义有关知识．
根据新定义进行解答即可；
利用根的判别式进行解答即可；
当时，若，则，然后再结合三角形的面积计算即可．
16．解：根据“理想数”的公式可得
；
由题知：，
又，
，
又此是完全平方数，
或49或81，
又为整数，
，
此方程为，
解方程得??或，
此方程的“理想数”；
由得，
设为整数，
则，
或2或或，
或6或或，
解得或，
当时，此方程可变为，其“理想数”为，
当时，此方程可变为，其“理想数”为，
方程的理想数为：，
当时，则有，整理，得，，
此方程无实数根，
当时，，
整理得?
?
?，
．
即n的值为0．
【解析】本题主要考查的是根的判别式和完全平方数的知识，是一种阅读类型的题目，计算量较大，解答此题的关键是读懂题意，弄清“理想方程”、“理想数”和“相对理想数”的含义．
根据题目中给的“理想数”的定义计算即可；
首先得到，由可得，根据是完全平方数，可得或49或81，由m是整数确定m的值，代入方程，即可求解；
由，求出m的值，得到方程的理想数，再由得理想数为，最后分别求出m取不同值时n的值．
17．解：当时，方程为一元一次方程，必有一解；
当时，方程为一元二次方程，
，
一元二次方程有两个实数根．
综上：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
方程有两个整数根，
方程为一元二次方程，即，
，
解得或，
又k为整数，
或，
或2．
【解析】分两种情况讨论：当时和时，当时，根据方程各项的系数，利用根的判别式，即可得出，此题得证；
根据方程有两个根，可知方程为一元二次方程，利用因式分解或公式法解方程，有一个根为，另一根为，可得是1的约数，得k的值．
此题考查了一元二次方程根的判别式的应用、一元一次方程的解的情况和一元二次方程的解，此题难度较大，注意掌握一元二次方程的根与的关系，注意分类讨论思想的应用．
18．证明：，
无论实数m取何值，方程总有两个实数根；
解：方程有一个根的平方等于4，
是原方程的根，
当时，．
解得；
当时，，
解得．
综上所述，m的值为0或．
【解析】先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；
根据题意得到是原方程的根，将其代入列出关于m的新方程，通过解新方程求得m的值．
本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答时要分类讨论，这是此题的易错点．