2021_2022学年九年级数学苏科版上册1.2一元二次方程的解法（因式分解法）同步培优训练 (word解析版)

苏科版九年级数学上册靶向培优训练
1.2一元二次方程的解法因式分解法
一、选择题
1．方程的根为???
A.
B.
C.
D.
2．菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程的一个根，则菱形ABCD的周长等于
A.
10cm
B.
12?cm
C.
16cm
D.
12cm或16cm
3．若，则???
A.
B.
6
C.
6或
D.
或2
4．定义一种新运算：例如，，若，则x的值是?
?
A.
3
B.
C.
3或1
D.
3或
5．已知实数x满足，则代数式的值是?
?
?
A.
7
B.
C.
7或
D.
或3
6．若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是
方程是倍根方程；
若是倍根方程，则或；
若点在双曲线的图象上，则关于x的方程是倍根方程．
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7．，则??????????。
8．若x满足，则的值是_____
9．对于实数a，b，定义运算“”：，例如：，因为，所以若，是一元二次方程的两个根，则______．
10．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是______．
11．根据图中的程序，当输入一元二次方程的根x时，输出结果?
?
?
?
??．
12．方程的解是______．
三、计算题
13．按要求解下列方程
公式法
用配方法
因式分解法
14．解方程：
?????????
?????
．
15．选用合适的方法解下列方程：
；
．
四、解答题
16．阅读材料并解决问题：
已知，可利用该结论来解含有绝对值的方程或不等式．
??
如解方程可令，分别求得和?
?
称2和分别是的零点值，2和把我们学习的所有数分成如下3种情况不重复且不遗漏，，，，从而解方程分为3种情况：
?
当时，原方程可化为，解得；
?
当时，原方程可化为，解得；
?
当时，原方程可化为，解得，但是不符合条件，舍去．
?
综上所述，方程的解为和
?
?仿照此法，解不等式：
17．如图1，在平面直角坐标系中，等边的顶点B的坐标为．
?
直接写出点A的坐标________．
如图2，动点P从点B出发，沿线段BO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，动点Q从点A出发，在线段OA的延长线上运动，点Q与点P的运动速度相同，当点P停止运动时，点Q随之停止运动．过点P作于点D，连结PQ交AB于点在运动过程中，设点P运动的时间为t秒，线段AE的长度为y，请用含t的代数式表示y；
如图3，在的条件下，过点A作轴于点F，在运动过程中是否存在为直角三角形，若存在，请求出t值，若不存在，说明理由．
18．如图，矩形OABC的顶点分别在轴的正半轴上，点B在反比例函数的第一象限内的图像上，，动点P在x轴的上方，且满足．
若点P在这个反比例函数的图像上，求点P的坐标
连接，求的最小值
若点Q是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
【参考答案】
一、选择题
1．D
【解析】
【分析】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键因式分解法求解可得．
?【解答】
解：移项，得：，
因式分解，得：，
则或，
解得：，．
故选D．
2．C
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质和三角形的三边关系定理、解一元二次方程等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断，最后求出周长即可．
【解答】
解：
解方程得：或4，
即或4，
四边形ABCD是菱形，
，
当，时，，不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
当，时，符合三角形三边关系定理，
即此时菱形ABCD的周长是，
故选：C．
3．B
【解析】
【分析】
本题考查了因式分解法解一元二次方程，能够将看成一个整体是解题的关键；
将，则得到，利用因式分解法求出根，然后根据的非负性，即可得到答案．
【解答】
解：设，
则原方程可化为，
分解因式得，
解得，．
是非负数，
．
故选B．
4．D
【解析】
【分析】
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
先根据新定义得到，再把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【解答】
?解：根据题意，得，整理，得，
因式分解，得，
所以或，
所以，．
故选D．
5．A
【解析】解：，
，
或，
或．
当时，，
，
此方程无实数解．
当时，，
故选A．
由整体思想，用因式分解法解一元二次方程求出的值就可以求出结论．
本题考查了整体思想在一元二次方程的解法中的运用，因式分解法解一元二次方程的运用，代数式求值的运用，解答时用因式分解法解一元二次方程是关键．
6．D
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程的解法，根的判别式，反比例函数的性质等知识，切实理解新定义“倍根方程”的意义，是解决问题的关键．
逐个结论进行判断，通过解的根，可以判断的正确性；解出方程的根，根据倍根方程满足一个根是另一个根的2倍，得出m、n之间的关系，可以判断的正确性；根据反比例函数图象上点的坐标特点，得出，再解出关于x的方程的两个根，进而验证结论，可以判断的正确性．
【解答】
解：的根为：，，所以是正确的；
若是倍根方程，则的根为：，，
若，则，此时；若，则，此时；所以也是正确的；
点在双曲线的图象上，
，
关于x的方程的根：；
，；
有：，
关于x的方程是倍根方程，因此是正确的．
故选D．
二、填空题
7．4
【解析】
【分析】
此题考查一元二次方程的解法，设，则原等式可以化为，然后求解一元二次方程即可解答本题．
【解答】
解：设，
则原方程可以化为，
即，
，不符合题意．
因此．
故答案为4．
8．7
【解析】
【分析】
把方程移项变为，然后两边同时除以x即可得出答案．
【解答】
解：，即，
等式两边同时除以x得：．
故答案为7．
9．
【解析】解：，
解得：或2，
当，时，；
当，时，；
故答案为：．
先解方程，求出方程的解，分为两种情况，当，时，当，时，根据题意求出即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
10．12
【解析】
【分析】
此题主要考查了因式分解法解方程以及三角形三边关系，正确得出方程的根是解题关键．
首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案．
【解答】
解：
，
解得：不合题意舍去，，
故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，
则其周长为：．
故答案为：12．
11．或2
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程和函数值的应用，能求出方程的解和读懂题意是解此题的关键，难度适中先求出x的值，再根据程序代入求出即可．
【解答】解：，
得，．
当时，
当时，．
所以输出结果或2．
故答案为或2．
12．，
【解析】
【分析】
先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【解答】
解：，
，
或，
所以，．
故答案为，．
三、计算题
13．解：方程整理得：，
这里，，，
，
；
方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
分解因式得：，
可得或，
解得：，；
方程整理得：，
配方得：，即，
则此方程无解．
【解析】方程分别利用公式法，配方法，因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
14．解：，
，，
或；?
，
，?
，
，，
或；??
．
，
，
，
或．
【解析】本题考查一元二次方程的解法．根据方程特征，熟练掌握各种解法的解题步骤和灵活选用恰当方法求解是解题的关键．
用直接开平方法解答；
用因式分解法求解即可；
用配方法求解即可．
15．解：原方程整理得：，
，
或，
解得：或；
，
或，
解得：或．
【解析】整理成一般式后利用因式分解法求解可得；
直接开平方法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
四、解答题
16．解：
令，则，即；
令，则，即；
当时，原不等式可化为：，
解得；
当时，原不等式可化为：，
解得，
所以；
当时，原不等式可化为：，
解得，
所以；
综上所述，原不等式的解集为一切实数．
【解析】本题主要考查了绝对值及解一元一次不等式，正确的确定零点，并进行分类讨论是解决本题的关键先由，确定零点值，再进行分情况讨论，要做到不重复且不遗漏．
17．解：是等边三角形，
，
过A作x轴的垂线，
，
易得A点坐标为
如图1中，作于N．
，，，
≌，
，，
，，
≌，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
．
如图2中，
由题意：，，，
观察图形可知有两种情形：当时，
，
，
解得或舍弃，
当时，
，
，
解得或舍弃，
综上所述，满足条件的t的值为1或3．
【解析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
利用等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质即可解决问题；
如图1中，作于利用≌，≌的性质可得结论；
由题意：，，，观察图形可知有两种情形：当时，根据，构建方程．当时，根据构建方程即可解决问题；
18．解：由题意，可知：点B的坐标为．
点B在反比例函数的第一象限内的图象上，
，
反比例函数的解析式为．
，
，
．
当时，，解得：，
当点P在这个反比例函数的图象上时，点P的坐标为．
由可知：点P在直线上，作点O关于直线的对称点，连接交直线于点P，此时取得最小值，如图1所示．
点O的坐标为，
点的坐标为．
点A的坐标为，
，
的最小值为．
轴，，点P的纵坐标为3，
不能为对角线，只能为边．
设点P的坐标为，
分两种情况考虑，如图2所示：
当点Q在点P的上方时，，即，
解得：，，
点的坐标为，点的坐标为．
又，且轴，
点的坐标为，点的坐标为；
当点Q在点P的下方时，，即，
解得：，，
同理，可得出：点的坐标为，点的坐标为．
综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形时，点Q的坐标为，，或．
【解析】本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、勾股定理、两点间的距离、菱形的性质以及解一元二次方程，
由矩形的性质可得出点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值，进而可得出反比例函数解析式，由可求出点P的纵坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；
作点O关于直线的对称点，连接交直线于点P，利用两点之间线段最短可得出此时取得最小值，由点O的坐标可求出点的坐标，再利用勾股定理即可求出的最小值；
由线段AB的长及点P的纵坐标可得出AB只能为边，分点Q在点P的上方及点Q在点P的下方两种情况考虑：当点Q在点P的上方时，由可求出m的值，进而可得出点，的坐标，结合可得出点，的坐标；当点Q在点P的下方时，由可求出m的值，进而可得出点，的坐标，结合可得出点，的坐标．综上，此题得解．