2021－2022学年苏科版九年级数学上册1.2一元二次方程的解法同步培优提升训练（word解析版）

2021年苏科版九年级数学上册《1.2一元二次方程的解法》同步培优提升训练（附答案）
一．选择题
1．若一元二次方程ax2+bx+c＝0的系数满足ac＜0，则方程根的情况是（　　）
A．没有实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．无法判断
2．若关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0的解是（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣2
B．x1＝1，x2＝0
C．x1＝3，x2＝﹣2
D．x1＝3，x2＝0
3．一元二次方程4x2﹣4x﹣3＝0配方后可化为（　　）
A．（x+）2＝1
B．（x﹣）2＝1
C．（x+）2＝
D．（x﹣）2＝
4．对于任意实数m，关于x的方程x2+（m+3）x+m+2＝0，则方程根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
5．如果关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣
B．k≥﹣且k≠0
C．k＜﹣
D．k＞﹣
且k≠0
二．填空题
6．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（a、b、m为常数，a≠0），则方程a（x+m+1）2+b＝0的解是　
　．
7．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为　
　．
8．已知关于x的方程x2﹣3x﹣7＝0的两个根分别为x1、x2，则x12x2+x1x22＝　
　．
9．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，b，m均为常数，且a≠0），则a（2x+m﹣1）2+b＝0的解是　
　．
10．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a、b为常数）的形式，则a、b的值分别是　
　．
11．若关于x的方程（x+a）（x﹣4）＝0和x2﹣3x﹣4＝0的解完全相同，则a的值为　
　．
12．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程x2﹣8x+12＝0的两根，则该等腰三角形的周长是　
　．
13．已知x为实数，且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，那么x2+3x＝　
　．
14．一元二次方程x2﹣x+（b+1）＝0无实数根，则b的取值范围为　
　．
15．已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程2x2﹣10x+9＝0的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长是　
　．
16．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是　
　．
三．解答题
17．解下列方程：
（1）x2﹣5x+1＝0；
（2）x（x﹣1）＝3x﹣3．
18．（1）用配方法解方程：2x2﹣x﹣1＝0．
（2）公式法解方程：2x2﹣7x+3＝0．
19．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x++1＝0有两个实数根
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝6x1x2﹣15，求k的值．
20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
21．阅读下面的材料，回答问题：
爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后，他发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：x2﹣6x+10＝（x2﹣6x+9﹣9）+10＝（x﹣3）2﹣9+10＝（x﹣3）2+1≥1；因此x2﹣6x+10有最小值是1；
（1）尝试：﹣3x2﹣6x+5＝﹣3（x2+2x+1﹣1）+5＝﹣3（x+1）2+8，因此﹣3x2﹣6x+5有最大值是　
　
（2）应用：有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成一个的长方形花圃．能围成面积最大的花圃吗？如果能，请求出最大面积．
参考答案
一．选择题
1．解：△＝b2﹣4ac，
∵ac＜0，
∴﹣ac＞0，
而b2≥0，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
2．解：∵a（﹣x﹣m+1）2+b＝0，
∴a（x+m﹣1）2+b＝0，
又∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m﹣1）2+b＝0中x﹣1＝2或x﹣1＝﹣1，
解得x1＝3，x2＝0，
故选：D．
3．解：∵4x2﹣4x﹣3＝0，
∴4x2﹣4x＝3，
则x2﹣x＝，
∴x2﹣x+＝+，即（x﹣）2＝1，
故选：B．
4．解：∵a＝1，b＝m+3，c＝m+2，
∴△＝b2﹣4ac＝（m+3）2﹣4×1×（m+2）＝（m+1）2≥0．
∴方程有有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根．
故选：D．
5．解：根据题意知[﹣（2k+1）]2﹣4k×k＞0且k≠0，
解得：k且k≠0．
故选：D．
二．填空题
6．解：把方程a（x+m+1）2+b＝0看作关于x+1的一元二次方程，
而关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2，
所以x+1＝﹣3，x+1＝2，
所以x1＝﹣4，x2＝1．
故答案为x1＝﹣4，x2＝1．
7．解：当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，
则k2﹣9＝0，
解得k＝±3，
当原方程是一元二次方程时，
△＝b2﹣4ac＝0，
即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0
解得：k＝﹣5．
故答案为±3或﹣5．
8．解：∵关于x的方程x2﹣3x﹣7＝0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝3，x1?x2＝﹣7，
∴x12x2+x1x22＝x1?x2（x1+x2）＝﹣7×3＝﹣21．
故答案为﹣21．
9．解：把方程a（2x+m﹣1）2+b＝0变形为a[（2x﹣1）+m]2+b＝0，
∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，
∴2x﹣1＝2或2x﹣1＝﹣1，
∴x1＝，x2＝0．
故答案为x1＝，x2＝0．
10．解：x2﹣8x﹣5＝0，
x2﹣8x＝5，
x2﹣8x+42＝5+42，
（x﹣4）2＝21，
所以a＝﹣4，b＝21，
故答案为：﹣4，21．
11．解：x2﹣3x﹣4＝0，
（x﹣4）（x+1）＝0，
∵关于x的方程（x+a）（x﹣4）＝0和x2﹣3x﹣4＝0的解完全相同，
∴a＝1，
故答案为：1．
12．解：∵x2﹣8x+12＝0，
∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，
∴x1＝2，x2＝6．
∵三角形是等腰三角形，必须满足三角形三边的关系，
∴腰长是6，底边是2，
周长为：6+6+2＝14，
故答案为：14．
13．解：设x2+3x＝y，
方程变形得：y2+2y﹣3＝0，即（y﹣1）（y+3）＝0，
解得：y＝1或y＝﹣3，即x2+3x＝1或x2+3x＝﹣3（无解），
故答案为：1．
14．解：∵一元二次方程x2﹣x+（b+1）＝0无实数根，
∴△＝（﹣）2﹣4×1×（b+1）＜0，
解得：b＞﹣，
故答案为：b＞﹣．
15．解：设这两个根分别是m，n，
根据题意可得m+n＝5，mn＝，
根据勾股定理，直角三角形的斜边长的平方＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝25﹣9＝16，
则这个直角三角形的斜边长是4，
故答案为：4．
16．解：∵x12﹣2x1+2x2＝x1x2，
x12﹣2x1+2x2﹣x1x2＝0，
x1（x1﹣2）﹣x2（x1﹣2）＝0，
（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0，
∴x1﹣2＝0或x1﹣x2＝0．
①如果x1﹣2＝0，那么x1＝2，
将x＝2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0，
得4+2（2k+1）+k2﹣2＝0，
整理，得k2+4k+4＝0，
解得k＝﹣2；
②如果x1﹣x2＝0，
则△＝（2k+1）2﹣4（k2﹣2）＝0．
解得：k＝﹣．
所以k的值为﹣2或﹣．
故答案为：﹣2或﹣．
三．解答题
17．解：（1）x2﹣5x+1＝0，
这里a＝1，b＝﹣5，c＝1，
∵b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝；
（2）∵x（x﹣1）＝3x﹣3，
∴x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3．
18．解：（1）两边都除以2，得．
移项，得．
配方，得，，
∴或，
∴x1＝1，；
（2）∵2x2﹣7x+3＝0，
∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×3＝25＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝3．
19．解：
（1）∵关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1＝0有两个实数根，
∴△＝[﹣（k+1）]2﹣4（k2+1）＝2k﹣3≥0，
解得k≥；
（2）∵方程的两实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝k+1，x1?x2＝k2+1，
∵x12+x22＝6x1x2﹣15，
∴（x1+x2）2﹣8x1x2+15＝0，
∴k2﹣2k﹣8＝0，解得：k1＝4，k2＝﹣2，
又∵k≥，
∴k＝4．
20．解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得△＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
21．解：（1）﹣3x2﹣6x+5＝﹣3（x2+2x+1﹣1）+5＝﹣3（x+1）2+8≤8，
所以，﹣3x2﹣6x+5有最大值是8，
故答案为：8；
（2）设围成的长方形的长为x米，则宽为（24﹣x），
由题意得，围成的长方形的面积＝（24﹣x）×x
＝﹣x2+12x
＝﹣（x﹣12）2+72，
当x＝12时，面积的最大值是72，
∴能围成面积最大的花圃，最大面积是72平方米．