3.3.2 抛物线的简单几何性质（教案）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 3.3.2 抛物线的简单几何性质（教案）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 445.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-29 14:05:28 | ||
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文档简介
第三章
圆锥曲线的方程
3.3.2
抛物线的简单几何性质
教学设计
一、教学目标
1.掌握抛物线的简单几何性质，能利用简单性质求抛物线方程.
2.理解抛物线简单几何性质的推导过程，体会数形结合的思想.
3.能用抛物线的简单几何性质分析解决一些简单的问题.
二、教学重难点
1、教学重点
抛物线的几何性质.
2、教学难点
抛物线的几何性质及其应用.
三、教学过程
1、新课导入
前面我们已经学习了椭圆与双曲线，根据它们的标准方程，得到了椭圆与双曲线的简单几何性质.
在上节课，我们已经学习了抛物线的定义和标准方程，那么类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，本节课就根据标准方程来探索抛物线的几何性质.
2、探索新知
1.范围
因为，由方程可知，对于抛物线上的点，，，当时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴的正方向相同；当x的值增大时，的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
2.对称性
以代y，方程不变，所以抛物线关于x轴对称.
抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.
在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点.
4.离心率
抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比，叫做抛物线的离心率，用e表示.
由抛物线的定义可知，.
抛物线标准方程的四种形式及相关性质
标准方程
图形
焦点
准线
顶点
开口方向
右
左
上
下
对称轴
x轴
y轴
x的取值范围
R
y的取值范围
R
离心率
例1
已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程.
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，
所以可设它的标准方程为.
因为点M在抛物线上，所以，解得.
因此，所求抛物线的标准方程是.
例2
斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.
解：由题意可知，，，焦点F的坐标为，准线方程为.
如图，设，，A，B两点到准线的距离分别为，.
由抛物线的定义，可知，，
于是.
因为直线l的斜率为1，且过焦点，
所以直线l的方程为.①
将①代入方程，得，化简得.
所以，.
所以线段AB的长是8.
例3
经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.
解：如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系.
设抛物线的方程为，①
点A的坐标为，则直线OA的方程为，②
抛物线的准线方程是.③
联立②③，可得点D的纵坐标为.
因为焦点F的坐标是，当时，直线AF的方程为.④
联立①④，消去x，可得，即，
可得点B的纵坐标为，与点D的纵坐标相等，于是DB平行于x轴.
当时，易知结论成立.
所以，直线DB平行于抛物线的对称轴.
例4
如图，已知定点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点，于点E，OE与MD相交于点，求点的轨迹方程.
解：设点，，其中，则点的坐标为.
由题意，直线OB的方程为，①
因为点在OB上，将点的坐标代入①，得，②
所以点的横坐标满足②.
直线OE的方程为，③
因为点在OE上，所以点的坐标满足③.
将②代入③，消去，得，即点的轨迹方程.
3、课堂练习
1.已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：在方程中，令，得，抛物线的焦点为，抛物线的标准方程是，故选C.
2.抛物线上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为(
)
A.
B.1
C.2
D.3
答案：A
解析：根据抛物线方程可求得焦点坐标为，准线方程为.根据抛物线定义，得，解得，代入抛物线方程可得，点P到y轴的距离为.故选A.
3.直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形的面积为_______________.
答案：48
解析：由，消去y得，得或9，即或，所以，或，，，所以梯形的面积.
4.已知焦点为F的抛物线上有一点，若以A为圆心，为半径的圆A被y轴截得的弦长为，则_______________.
答案：2
解析：点在抛物线上，，，
抛物线的焦点，即.由抛物线定义知，
即圆A的半径，点A到y轴的距离，，
即，解得(舍去).
4、小结作业
小结：本节课学习了抛物线的简单几何性质及其应用.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
3.3.2
抛物线的简单几何性质
1.范围：因为，由方程可知，对于抛物线上的点，，，当时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴的正方向相同；当x的值增大时，的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
2.对称性：以代y，方程不变，所以抛物线关于x轴对称.
抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
3.顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.
在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点.
4.离心率：抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比，叫做抛物线的离心率，用e表示.
由抛物线的定义可知，.
圆锥曲线的方程
3.3.2
抛物线的简单几何性质
教学设计
一、教学目标
1.掌握抛物线的简单几何性质，能利用简单性质求抛物线方程.
2.理解抛物线简单几何性质的推导过程，体会数形结合的思想.
3.能用抛物线的简单几何性质分析解决一些简单的问题.
二、教学重难点
1、教学重点
抛物线的几何性质.
2、教学难点
抛物线的几何性质及其应用.
三、教学过程
1、新课导入
前面我们已经学习了椭圆与双曲线，根据它们的标准方程，得到了椭圆与双曲线的简单几何性质.
在上节课，我们已经学习了抛物线的定义和标准方程，那么类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，本节课就根据标准方程来探索抛物线的几何性质.
2、探索新知
1.范围
因为，由方程可知，对于抛物线上的点，，，当时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴的正方向相同；当x的值增大时，的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
2.对称性
以代y，方程不变，所以抛物线关于x轴对称.
抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.
在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点.
4.离心率
抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比，叫做抛物线的离心率，用e表示.
由抛物线的定义可知，.
抛物线标准方程的四种形式及相关性质
标准方程
图形
焦点
准线
顶点
开口方向
右
左
上
下
对称轴
x轴
y轴
x的取值范围
R
y的取值范围
R
离心率
例1
已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程.
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，
所以可设它的标准方程为.
因为点M在抛物线上，所以，解得.
因此，所求抛物线的标准方程是.
例2
斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.
解：由题意可知，，，焦点F的坐标为，准线方程为.
如图，设，，A，B两点到准线的距离分别为，.
由抛物线的定义，可知，，
于是.
因为直线l的斜率为1，且过焦点，
所以直线l的方程为.①
将①代入方程，得，化简得.
所以，.
所以线段AB的长是8.
例3
经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.
解：如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系.
设抛物线的方程为，①
点A的坐标为，则直线OA的方程为，②
抛物线的准线方程是.③
联立②③，可得点D的纵坐标为.
因为焦点F的坐标是，当时，直线AF的方程为.④
联立①④，消去x，可得，即，
可得点B的纵坐标为，与点D的纵坐标相等，于是DB平行于x轴.
当时，易知结论成立.
所以，直线DB平行于抛物线的对称轴.
例4
如图，已知定点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点，于点E，OE与MD相交于点，求点的轨迹方程.
解：设点，，其中，则点的坐标为.
由题意，直线OB的方程为，①
因为点在OB上，将点的坐标代入①，得，②
所以点的横坐标满足②.
直线OE的方程为，③
因为点在OE上，所以点的坐标满足③.
将②代入③，消去，得，即点的轨迹方程.
3、课堂练习
1.已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：在方程中，令，得，抛物线的焦点为，抛物线的标准方程是，故选C.
2.抛物线上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为(
)
A.
B.1
C.2
D.3
答案：A
解析：根据抛物线方程可求得焦点坐标为，准线方程为.根据抛物线定义，得，解得，代入抛物线方程可得，点P到y轴的距离为.故选A.
3.直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形的面积为_______________.
答案：48
解析：由，消去y得，得或9，即或，所以，或，，，所以梯形的面积.
4.已知焦点为F的抛物线上有一点，若以A为圆心，为半径的圆A被y轴截得的弦长为，则_______________.
答案：2
解析：点在抛物线上，，，
抛物线的焦点，即.由抛物线定义知，
即圆A的半径，点A到y轴的距离，，
即，解得(舍去).
4、小结作业
小结：本节课学习了抛物线的简单几何性质及其应用.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
3.3.2
抛物线的简单几何性质
1.范围：因为，由方程可知，对于抛物线上的点，，，当时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴的正方向相同；当x的值增大时，的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
2.对称性：以代y，方程不变，所以抛物线关于x轴对称.
抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
3.顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.
在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点.
4.离心率：抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比，叫做抛物线的离心率，用e表示.
由抛物线的定义可知，.