中小学教育资源及组卷应用平台
专题13.3-13.4
等腰三角形与最短路径问题测试卷
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·广西蒙山县二中初二月考）下列说法中正确的是（
）；
A．两个等边三角形全等；
B．有一组对应边相等的两个等边三角形全等；
C．两个等腰三角形全等；
D．有一组对应边相等的两个等腰三角形全等；
【答案】B
【解析】
解：A、两个等边三角形全等，错误，因为两个等边三角形的边长不一定相等，故本选项错误；
B、有一边相等的两个等边三角形全等，根据SSS均能判定它们全等，故此选项正确；
C、两个等腰三角形全等，错误，因为顶角和腰长不一定相等，故本选项错误；
D、有一组对应边相等的两个等腰三角形全等，错误，因为最多只有两条边对应相等，无法证明，故本选项错误；
故选B．
2．（2020·广东省深圳市龙岗区时代学校初二期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（
）
A．30°
B．40°
C．70°
D．80°
【答案】A
【解析】∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=（180°?∠A）÷2=70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，
故选：A．
3．（2020·河南巩义初一期末）如图，直线，等边三角形的顶点、分别在直线和上，边与直线所夹的锐角为，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：如图所示：根据
∴，
又∵是等边三角形
∴
∴
∴
故选：C．
4．（2020·全国初二课时练习）如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；（2）AB＝AC；（3）∠B＝∠C；（4）AD是△ABC的一条角平分线．其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【解析】
AD⊥BC，D为BC的中点，
,（2）正确；
，（3）正确；
AD是△ABC的一条角平分线，（4）正确；
在△ABD和△ACD中
△ABD≌△ACD，（1）正确
故选D．
5．（2020·河北怀安初二期末）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（ ）
A．25°
B．35°
C．40°
D．50°
【答案】B
【解析】解：∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，
由∠BAD=40°得∠B=∠ADB=70°，
∵AD=DC，∴∠C=∠DAC，
∴∠C=∠ADB=35°．故选B．
6．（2020·湖北广水初三其他）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若∠B＝34°，则∠BDC的度数是(
)
A．68°
B．112°
C．124°
D．146°
【答案】B
【解析】∵∠ACB＝90°，∠B＝34°，
∴∠A＝56°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝56°，
∴∠BCD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BDC＝180°﹣34°﹣34°＝112°，
故选：B．
7．（2020·吉林长春初三其他）如图，在ABC中，AC＞BC，∠ACB为钝角．按下列步骤作图：
①在边BC、AB上，分别截取BD、BE，使BD＝BE；
②以点C为圆心，BD长为半径作圆弧，交边AC于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作圆弧，交②中所作的圆弧于点G；
④作射线CG交边AB于点H．
下列说法不正确的是（ ）
A．∠ACH＝∠B
B．∠AHC＝∠ACB
C．∠CHB＝∠A+∠B
D．∠CHB＝∠HCB
【答案】D
【解析】解：根据作图过程可知：
∠ACH＝∠B，
所以A选项正确；
∵∠AHC＝∠HCB+∠HBC＝∠HCB+∠ACH＝∠ACB，
所以B选项正确；
∵∠CHB＝∠A+∠ACH＝∠A+∠B，
所以C选项正确；
∵BC≠BH，
∴∠CHB≠∠HCB．
所以D选项错误．
故选：D．
8．（2020·山东岚山初二期末）如图，△ABC中，∠A=40°，AB=AC，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点，且BD=CE，BE=CF，则∠DEF的度数是（ ）
A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=（180°-∠A）=70°，
在△BDE和△CEF中，，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴∠BDE=∠CEF，
∵∠CED=∠B+∠BDE，
即∠CEF+∠DEF=∠B+∠BDE，
∴∠DEF=∠B=70°；
故选：B．
9．（2020·山东岚山初二期末）如图，由8个全等的小长方形拼成一个大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，若点
C是某个小长方形的顶点，连接CA，CB，那么满足△ABC是等腰三角形的点C的个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【解析】解：如图所示，使△ABP为等腰三角形的点P的个数是6，
故选：D．
10．（2020·江苏昆山初一期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形PCQD是一个筝形，其中PC＝PD，CQ＝DQ，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①PCQ≌PDQ；②PQ⊥CD；③CE＝DE；④S四边形PCQD＝PQ?CD，其中正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【解析】解：在△PCQ与△PDQ中，，
∴△PCQ≌△PDQ（SSS），故①正确；
∴∠CPQ＝∠DPQ，
∵CP＝DP，
∴PQ⊥CD，CE＝DE，故②③正确；
∴S四边形PCQD＝S△PCQ+S△PDQ＝PQ?CE+PQ?DE＝PQ（CE+DE）＝PQ?CD，故④正确；
故选：D．
11．（2020·山东岚山初二期末）如图，△ABC的面积是1cm2，AD垂直于∠ABC的平分线BD于点D，连接DC，则与△BDC面积相等的图形是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】延长AD交BC于E，
∵BD是∠ABC平分线，且BD⊥AE，
根据等腰三角形“三线合一”的性质得：AD=DE，
∴，，
∴，
A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意；
故选：D．
12．（2020·陕西碑林西北工业大学附属中学初一期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则底角的度数为（ ）
A．40°
B．70°
C．40°或140°
D．70°或20°
【答案】D
【解析】解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示：
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°；
②若∠A＞90°，如图2所示：
同①可得：∠DAB＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°＝140°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣140°）＝20°；
综上所述：等腰三角形底角的度数为70°或20°，
故选：D．
13．（2020·山西太原初二期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
【答案】B
【解析】解：∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F，
∴AG＝CG，AE＝BE，
∴∠C＝∠CAG，∠B＝∠BAE，
∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，
∴∠EAG＝∠BAE+∠CAG﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，
故选：B.
14．（2020·山东滕州初二期中）如图所示，在中，是的平分线，于点，．给出下列结论：①是等腰三角形；②是等腰三角形；③；④．其中正确的是（
）
A．②③④
B．①②③④
C．②③
D．③
【答案】A
【解析】解：∵，
∴∠BAC=45°=∠B，
∴AC=BC，
∵AD是的平分线，∴∠CAD=∠EAD，
∵∠C=∠AED=90°，AD=AD，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AE=AC，DC=DE，
∵BC＞CD，
∴AE＞DE，∴△ADE不是等腰三角形，故结论①错误；
∵，∠B=45°，
∴∠BDE=45°=∠B，
∴△BDE是等腰直角三角形，所以BE=DE=CD，故结论②、③正确；
∵，∴BE=DE=CD=m，
∴AC=AE=AB－BE=a－m，故结论④正确；
综上，结论正确的是②③④．
故选：A．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2018·河南汝阳初二期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连结CD，若
CD=
AC，∠A=50°，则∠B=________．
【答案】
【解析】，，
，
，
由作图过程可知，直线MN是BC的垂直平分线，
，
，
，
解得，
故答案为：．
16．（2020·厦门市音乐学校初一期末）在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC，AC
BC，C
90
，若点C（2，3），A（2，6），则点B的坐标是______．
【答案】（-1，3）或（5，3）
【解析】如图所示，
∵C（2，3），A（2，6），
∴AC=6-3=3，
∵AC=BC，∠C=90°，
∴BC=AC=3，
∴B（-1，3）或（5，3）．
故答案为：（-1，3）或（5，3）．
17．（2020·辽宁铁岭中考真题）如图，以为边，在的同侧分别作正五边形和等边，连接，则的度数是____________．
【答案】66°
【解析】解：∵五边形是正五边形，
∴AB=AE，∠EAB=108°，
∵△ABF是等边三角形，
∴AB=AF，∠FAB=60°，
∴AE=AF，∠EAF=108°－60°=48°，
∴∠EFA=．
故答案为：66°．
18．（2020·山东济阳初二期末）如图，△ABC中，∠B=70°，∠C=90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为_____________．
【答案】80°或140°或10°
【解析】解：在中，
，
.
如图：①当时
在中可得出，
，
；
②当时
在中可得出，
，
；
③当时
在中可得出，
，且为外角，
；
故答案为：或或.
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·河北泊头初二期末）命题：如果三角形一边上的中线与这条边所对内角的平分线重合，那么这个三角形是等腰三角形．请自己画图，写出已知、求证，并对命题进行证明．
已知：如图，
求证：
证明：
【答案】见解析
【解析】已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AD平分∠BAC；
求证：AB=AC．
证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图所示：
则∠BED=∠CFD=90°，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
20．（2020·江西九江初一期末）如图，在中，于点于点相交于点．
试说明：（1）．
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠DAC＋∠C＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠EBC＋∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠EBC，
在△AHE与△BCE中，
∵
∴△AEH≌△BEC，
（2）由△AEH≌△BEC得AH＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，
∴AH＝2BD．
21．（2020·河南罗山初二期末）中，，，的垂直平分线交于，为垂足，连结．
（1）求的度数；
（2）若，求长．
【答案】（1）∠ECD＝36°；（2）BC＝5．
【解析】解：（1）∵DE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
∴∠ECD＝∠A＝36°；
（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵∠BEC＝∠A＋∠ACE＝72°，
∴∠B＝∠BEC，
∴BC＝CE＝5．
22．（2020·云南盘龙初二期末）如图，在平面直角坐标系中：
（1）请画出关于y轴对称的，并写、点的坐标；
（2）直接写出的面积为_________________；
（3）在x轴上找一点P，使的值最小，请标出点P的在坐标轴上的位置．
【答案】（1）见解析，B1(?2，?4)，C1(?4，?1)；（2）5；（3）见解析
【解析】解：（1）如图所示：
B1(?2，?4)，C1(?4，?1)
；
（2）如图：面积为：；
（3）如图所示：点P即为所求点．
23．（2020·浙江江干初三一模）已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B=45°，点D是BC边上一点，且AD=AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．
（1）若∠CAD=α，求：
①∠BCA的大小；
②∠BCF的大小；（用含α的式子表示）
（2）求证：AC=FC．
【答案】（1）①90°﹣；②α；（2）证明见解析
【解析】（1）①∵AD=AC，∠CAD=α，
∴∠BCA=（180°﹣α）=90°﹣，
②过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：
∴∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠CAG=∠DAG=∠CAD=α，
∵CF⊥AD于点E，
∴∠DCE+∠ADG=90°，
∴∠DCE=∠DAG=∠CAD=α，
即∠BCF=α；
（2）∵∠B=45°，AG⊥BC，
∴∠BAG=45°，
∵∠BAC=45°+∠CAG，∠AFC=45°+∠DCE，∠DCE=∠DAG，∠CAG=∠DAG，
∴∠BAC=∠AFC，
∴AC=FC．
24．（2020·北京海淀北理工附中初三一模）如图1，在中，，，过点的直线垂直于线段所在的直线．设点，关于直线的对称点分别为点，
（1）在图1中画出关于直线对称的三角形．
（2）若，求的度数．（用表示）
（3）若点关于直线的对称点为，连接，．请写出、之间的数量关系和位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）；（3），，所成锐角为60°，见解析
【解析】（1）如图：
（2）解：∵，关于直线对称，
∴，，
∴，
∴，
又∵在中，，，
∴，
即；
（3），，所成锐角为60°
∵，关于直线对称，
∴，，
∴，
∵
∴
在中，，
又∵，
∴．
∵点M、关于对称，
∴，，
∴，
∴∠4=，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
又∵由（2）得，
，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
即PA与PM所成角为60°.
25．（2020·四川成都初一期末）已知：ABC为等边三角形．
（1）如图1，点D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE．
①求证：ABD≌BCE；
②求∠AFE的度数；
（2）如图2，点D为ABC外一点，BA、CD的延长线交于点E，连接AD，已知∠BDC＝60°，且AD＝2，CD＝5，求BD的长；
（3）如图3，线段DB的长为3，线段DC的长为2，连接BC，以BC为边作等边ABC，连接AD，直接写出当线段AD取最大值与最小值时∠BDC的度数．
【答案】（1）①见解析，②60°；（2）7；（3）当AD取最小值时，点T落在线段BD上，∠BDC＝60°，当AD取最大值时，点T落在BD的延长线上，∠BDC＝120°
【解析】（1）①证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS）．
②解：∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠AFE＝∠FBA+∠BAD＝∠FBA+∠CBE＝∠CBA＝60°．
（2）解：如图2中，在DB上取一点J，使得CJ＝CD，
∵∠CDJ＝60°，CJ＝CD，
∴△CDJ是等边三角形，
∴∠JCD＝∠ACB＝60°，DJ＝DC＝CJ，
∴∠BCJ＝∠ACD，
∵CB＝CA，
∴△BCJ≌△ACD（SAS），
∴BJ＝AD，
∴BD＝BJ+DJ＝AD+DC＝2+5＝7．
（3）解：如图3中，以CD为边向外作等边△CDT，连接BT．
∵CT＝CD，CB＝CA，∠TCD＝∠BCA＝60°，
∴∠TCB＝∠DCA，
∴△TCB≌△DCA（SAS），
∴BT＝AD，
∵CT＝CD＝2，BD＝3，
∴3﹣2≤BT≤3+2，
∴1≤BT≤5，
∴1≤AD≤5．
∴AD的最小值为1，最大值为5．
当AD取最小值时，点T落在线段BD上，∠BDC＝60°，当AD取最大值时，点T落在BD的延长线上，∠BDC＝120°．
26．（2019·河南偃师初二期末）如图，ABC
中，AB
=
AC=2，∠B
=
40°，点
D
在线段
BC上运动（点D不与B，C重合），连结AD，作∠ADE=40°，DE
交线段AC于E．
(1)当∠BAD=20°
时，∠EDC=
°；
(2)
请你回答：“当DC等于
时，ABD
DCE”，并把“DC等于
”作为已知条件，证明ABDDCE；
(3)在D点的运动过程中，ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于
时，
ADE是等腰三角形．(直接写出结果，不写过程）
【答案】（1）20；（2）2；2；证明见解析；（3）30°或60°
【解析】解：（1）∵∠BAD=20°，∠B=40°，
∴∠ADC=60°，
∵∠ADE=40°，
∴∠EDC=20°．
（2）DC=AB=2时，
∵AB
=
AC=2，
∴∠B=∠C，
∵∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-40°-∠ADB=140°-∠ADB，
∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB=180°-40°-∠ADB=140°-∠ADB，
∴∠BAD=∠CDE．
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
①若AD=AE时，则∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED＞∠C，
∴△ADE不可能是等腰三角形；
②若DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=(180°-40°)=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
③若EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴当∠BAD=30°或60°时，△ADE是等腰三角形．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题13.3-13.4
等腰三角形与最短路径问题测试卷
(
条
码
粘
贴
处
（正面朝上贴在此虚线框内）
)
姓名：______________班级：______________
准考证号
(
注意事项
1
、
答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。
2
、
请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内
3
、
选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整
4
、
请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。
5
、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
6
、填涂样例
正确
[
■
]
错误
[
--
][
√
]
[
×
]
)
(
缺考标记
考生禁止填涂缺考标记
！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。
)
选择题（请用2B铅笔填涂）
１、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
２、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
３、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
４、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
５、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
６、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
７、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
８、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
９、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
10、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
11、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
12、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
13、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
14、[
A
]
[
B
]
[
C
]
[
D
]
非选择题（请在各试题的答题区内作答）
15题、
16题、
17题、
18题、
19题、
20题、
21题、
22题、
23题、
24题、
25题、
26题、
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题13.3-13.4
等腰三角形与最短路径问题测试卷
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2020·广西蒙山县二中初二月考）下列说法中正确的是（
）；
A．两个等边三角形全等；
B．有一组对应边相等的两个等边三角形全等；
C．两个等腰三角形全等；
D．有一组对应边相等的两个等腰三角形全等；
2．（2020·广东省深圳市龙岗区时代学校初二期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE的度数为（
）
A．30°
B．40°
C．70°
D．80°
3．（2020·河南巩义初一期末）如图，直线，等边三角形的顶点、分别在直线和上，边与直线所夹的锐角为，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2020·全国初二课时练习）如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；（2）AB＝AC；（3）∠B＝∠C；（4）AD是△ABC的一条角平分线．其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．（2020·河北怀安初二期末）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（ ）
A．25°
B．35°
C．40°
D．50°
6．（2020·湖北广水初三其他）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．若∠B＝34°，则∠BDC的度数是(
)
A．68°
B．112°
C．124°
D．146°
7．（2020·吉林长春初三其他）如图，在ABC中，AC＞BC，∠ACB为钝角．按下列步骤作图：
①在边BC、AB上，分别截取BD、BE，使BD＝BE；
②以点C为圆心，BD长为半径作圆弧，交边AC于点F；
③以点F为圆心，DE长为半径作圆弧，交②中所作的圆弧于点G；
④作射线CG交边AB于点H．
下列说法不正确的是（ ）
A．∠ACH＝∠B
B．∠AHC＝∠ACB
C．∠CHB＝∠A+∠B
D．∠CHB＝∠HCB
8．（2020·山东岚山初二期末）如图，△ABC中，∠A=40°，AB=AC，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点，且BD=CE，BE=CF，则∠DEF的度数是（ ）
A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
9．（2020·山东岚山初二期末）如图，由8个全等的小长方形拼成一个大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，若点
C是某个小长方形的顶点，连接CA，CB，那么满足△ABC是等腰三角形的点C的个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
10．（2020·江苏昆山初一期末）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形PCQD是一个筝形，其中PC＝PD，CQ＝DQ，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①PCQ≌PDQ；②PQ⊥CD；③CE＝DE；④S四边形PCQD＝PQ?CD，其中正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．（2020·山东岚山初二期末）如图，△ABC的面积是1cm2，AD垂直于∠ABC的平分线BD于点D，连接DC，则与△BDC面积相等的图形是（
）
A．
B．
C．
D．
12．（2020·陕西碑林西北工业大学附属中学初一期末）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则底角的度数为（ ）
A．40°
B．70°
C．40°或140°
D．70°或20°
13．（2020·山西太原初二期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
14．（2020·山东滕州初二期中）如图所示，在中，是的平分线，于点，．给出下列结论：①是等腰三角形；②是等腰三角形；③；④．其中正确的是（
）
A．②③④
B．①②③④
C．②③
D．③
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2018·河南汝阳初二期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连结CD，若
CD=
AC，∠A=50°，则∠B=________．
16．（2020·厦门市音乐学校初一期末）在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC，AC
BC，C
90
，若点C（2，3），A（2，6），则点B的坐标是______．
17．（2020·辽宁铁岭中考真题）如图，以为边，在的同侧分别作正五边形和等边，连接，则的度数是____________．
18．（2020·山东济阳初二期末）如图，△ABC中，∠B=70°，∠C=90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为_____________．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2020·河北泊头初二期末）命题：如果三角形一边上的中线与这条边所对内角的平分线重合，那么这个三角形是等腰三角形．请自己画图，写出已知、求证，并对命题进行证明．
已知：如图，
求证：
证明：
20．（2020·江西九江初一期末）如图，在中，于点于点相交于点．
试说明：（1）．
（2）．
21．（2020·河南罗山初二期末）中，，，的垂直平分线交于，为垂足，连结．
（1）求的度数；
（2）若，求长．
22．（2020·云南盘龙初二期末）如图，在平面直角坐标系中：
（1）请画出关于y轴对称的，并写、点的坐标；
（2）直接写出的面积为_________________；
（3）在x轴上找一点P，使的值最小，请标出点P的在坐标轴上的位置．
23．（2020·浙江江干初三一模）已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B=45°，点D是BC边上一点，且AD=AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．
（1）若∠CAD=α，求：
①∠BCA的大小；
②∠BCF的大小；（用含α的式子表示）
（2）求证：AC=FC．
24．（2020·北京海淀北理工附中初三一模）如图1，在中，，，过点的直线垂直于线段所在的直线．设点，关于直线的对称点分别为点，
（1）在图1中画出关于直线对称的三角形．
（2）若，求的度数．（用表示）
（3）若点关于直线的对称点为，连接，．请写出、之间的数量关系和位置关系，并证明你的结论．
25．（2020·四川成都初一期末）已知：ABC为等边三角形．
（1）如图1，点D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE．
①求证：ABD≌BCE；
②求∠AFE的度数；
（2）如图2，点D为ABC外一点，BA、CD的延长线交于点E，连接AD，已知∠BDC＝60°，且AD＝2，CD＝5，求BD的长；
（3）如图3，线段DB的长为3，线段DC的长为2，连接BC，以BC为边作等边ABC，连接AD，直接写出当线段AD取最大值与最小值时∠BDC的度数．
26．（2019·河南偃师初二期末）如图，ABC
中，AB
=
AC=2，∠B
=
40°，点
D
在线段
BC上运动（点D不与B，C重合），连结AD，作∠ADE=40°，DE
交线段AC于E．
(1)当∠BAD=20°
时，∠EDC=
°；
(2)
请你回答：“当DC等于
时，ABD
DCE”，并把“DC等于
”作为已知条件，证明ABDDCE；
(3)在D点的运动过程中，ADE的形状也在改变，判断当∠BAD等于
时，
ADE是等腰三角形．(直接写出结果，不写过程）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
