4.2　指数函数 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
人教版A版（2019）
必修第一册
4.2
指数函数
1.理解指数函数的概念.
2.探索指数函数的单调性与图象的特殊点,并掌握指数函数图象的性质.
3.体会直观想象的过程,加强数学抽象、数学运算素养的培养.
　　一般地,函数①????y=ax(a>0,且a≠1)????叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义
域是②????R????.
指数函数
　　指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质
a>1
0图象
?
?
定义域
R
值域
③　(0,+∞)????
?
过定点
过定点(0,1),即x=0时,y=1
函数值的
变化范围
当x>0时,④????y>1????;
当x<0时,⑤　0当x>0时,⑥　0当x<0时,⑦????y>1????
单调性
在R上是⑧　增函数????
在R上是⑨　减函数????
指数函数的图象和性质
1.函数y=-2x是指数函数.?(?????　)
提示:因为指数幂2x的系数为-1,所以函数y=-2x不是指数函数.
2.函数y=2x+1是指数函数.?(?????　)
提示:因为指数不是x,所以函数y=2x+1不是指数函数.
3.因为a0=1(a>0,且a≠1),所以函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1).?(　√　)
4.若0.1a>0.1b,则a>b.?(?????　)
5.y=3x与y=3-x的图象关于y轴对称.?(　√　)
判断正误，正确的画“√”
，错误的画“
?”
.
与指数函数有关的复合函数的定义域、值域问题
　　大家对“水痘”应该不陌生,它与其他的传染病一样,有一定的潜伏期,这段时
间里病原体在机体内不断地繁殖.病原体的繁殖方式有很多种,分裂就是其中的一
种.我们来看某种球菌的分裂过程:由1个分裂成2个,2个分裂成4个,4个分裂成8个,
……
问题
1.2个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与分裂次数x的关系式是什么?
提示:y=2x+1.
2.上述求出的关系式中x的范围是什么?
函数的值域是什么?
提示:x∈N
;值域是{22,23,24,…}.
?
与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(a>0,且a≠1):
(1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同;
(2)求函数y=af(x)的值域,需先确定f(x)的值域,再根据指数函数y=ax的单调性确定函数
y=af(x)的值域;
(3)求函数y=f(ax)的定义域,需先确定y=f(u)的定义域,即u的取值范围,亦即u=ax的值
域,由此构造关于x的不等式(组),确定x的取值范围,即y=f(ax)的定义域;
(4)求函数y=f(ax)的值域,需先利用函数u=ax的单调性确定其值域,即u的取值范围,再确定函数y=f(u)的值域,即y=f(ax)的值域.
??
　　(1)函数f(x)=?+?的定义域为?(????A　)
A.(-3,0]　????
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0]　????
D.(-∞,-3)∪(-3,1]
(2)函数y=4x+2x+1+1的值域为　　　????.
思路点拨
(1)由函数式有意义列出不等式组,不等式组的解集即为所求.
(2)利用换元法,设2x=t(t>0),则y=t2+2t+1(t>0),求出y=t2+2t+1(t>0)的值域即可.
解析????(1)由题意得自变量x应满足?解得-3(2)设2x=t,t>0,则y=t2+2t+1(t>0).因为y=t2+2t+1=(t+1)2(t>0),所以y>1,即y=4x+2x+1+1的
值域为(1,+∞).
答案　(2)(1,+∞)
??
　　求函数y=?(a>0,且a≠1)的值域.
思路点拨
可利用换元法或反解法列不等式,求其值域.
解析????由ax+1>0恒成立得函数y=?的定义域为R.
解法一:设ax=t,则t∈(0,+∞),
y=?=?=1-?.
∵t>0,∴t+1>1,
∴0即函数y=?(a>0,且a≠1)的值域为(-1,1).
解法二:由y=?(a>0,且a≠1),得ax=-?.
∵ax>0,∴-?>0,∴-1即函数y=?(a>0,且a≠1)的值域为(-1,1).
?
1.形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调性的判断方法:当a>1时,函数u=f(x)的单调增
(减)区间即为函数y=af(x)的单调增(减)区间;当0即为函数y=af(x)的单调增(减)区间.
2.形如y=f(ax)(a>0,且a≠1)的函数的单调性的判断方法:通过内层函数u=ax的取值范
围确定外层函数y=f(u)的定义域,在此定义域内讨论外层函数的单调区间,再根据复
合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调区间.
与指数函数有关的复合函数的单调性问题
??
　　求下列函数的单调区间:
(1)y=?;
(2)y=?-8·?+17.
思路点拨
先换元,再利用复合函数“同增异减”的规律确定原函数的单调性.
解析????(1)令u=x2-2x+3,则由二次函数的性质可知该函数在(-∞,1]上为减函数,在[1,
+∞)上为增函数,且y=?为减函数,故函数y=?的单调增区间为(-∞,1],单调
减区间为[1,+∞).
(2)设u=?(u>0),则y=u2-8u+17(u>0)在(0,4]上单调递减,在[4,+∞)上单调递增.
令?≤4,得x≥-2,∴y=?-8·?+17的单调增区间是[-2,+∞).
令?≥4,得x≤-2,∴y=?-8·?+17的单调减区间是(-∞,-2].
?
由y=f(u)及u=g(x)的单调性来解决函数y=f(g(x))的单调性时,应将y=f(u)的中间变量u
的范围转化为x的范围,进而得到函数y=f(g(x))的单调区间,解题时注意不要将中间
变量u的范围作为函数y=f(g(x))的单调区间.
　?????　?????
比较指数幂大小
问题
1.上面的式子告诉我们一个什么道理?
提示:积跬步以致千里,积怠惰以致深渊.
2.如果不计算出结果,如何比较上式中各指数幂的大小?
提示:利用函数单调性进行比较.
?比较指数幂大小的方法
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断;
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用幂函数的单调性来判断;
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值(常见的中间值有
“1”)来判断.
??
　　(1)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是?(????C　)
A.aC.bD.b(2)下列大小关系正确的是?(????B　)
A.0.43<30.4<π0
B.0.43<π0<30.4
C.30.4<0.43<π0
D.π0<30.4<0.43
思路点拨
根据函数的单调性求解.
解析????(1)∵1.50.6>1.50=1,0.60.6<0.60=1,∴1.50.6>0.60.6.∵函数y=0.6x在(-∞,+∞)上是减
函数,且1.5>0.6,∴0.61.5<0.60.6,∴1.50.6>0.60.6>0.61.5,即b(2)0.43<0.40=1=π0=30<30.4,故选B.疑难4　指数方程与不等式的解法
?
1.指数方程的解法
(1)对于af(x)=b型的指数方程通常将方程两边化为同底数幂的形式,用指数相等进行
求解.
(2)解复杂的指数方程时常用换元法,转化为解一元二次方程.用换元法时要特别注
意“元”
的范围,用一元二次方程求解时,要注意对二次方程根的取舍.
2.简单指数不等式的解法
(1)形如af(x)>ag(x)的不等式,可借助y=ax(a>0,且a≠1)的单调性求解;
(2)形如af(x)>b的不等式,可将b化为以a为底数的幂的形式,再借助y=ax(a>0,且a≠1)
的单调性求解;
(3)形如ax>bx的不等式,可借助两函数y=ax,y=bx(a,b>0,且a,b≠1)的图象求解.
??
　　解下列方程:
(1)81×32x=?;(2)22x+2+3×2x-1=0.
思路点拨
(1)两边化为同底数幂?利用指数相等求解.
(2)令2x=t(t>0),将原方程化为4t2+3t-1=0?求出t的值?求出x的值.
解析????(1)∵81×32x=?,∴32x+4=3-2(x+2),
∴2x+4=-2(x+2),解得x=-2.
(2)∵22x+2+3×2x-1=0,∴4×(2x)2+3×2x-1=0.
令t=2x(t>0),则原方程可化为4t2+3t-1=0,
解得t=?或t=-1(舍去),∴2x=?,解得x=-2.
??
　　解下列不等式:
(1)?≤2;
(2)?0,且a≠1).
思路点拨
将不等式两边化为同底指数幂?由单调性得到指数的大小关系式?解不等式
得到解集.
解析????(1)∵2=?,
∴原不等式可以化为?≤?.
∵y=?在R上是减函数,
∴3x-1≥-1,解得x≥0.
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
(2)分情况讨论:
①当0∴x2-3x+1>x2+6,
∴-3x>5,
解得x<-?;
②当a>1时,函数y=ax在R上是增函数,
∴x2-3x+1∴-3x<5,
解得x>-?.
综上所述,当01时,原不等式的解集为
?.
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