4.3 对数 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
人教版A版（2019）
必修第一册
4.3
对数
1.理解对数的概念,会进行对数式与指数式的互化.
2.理解对数的运算性质和换底公式,能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
3.体会数学抽象的过程,加强对逻辑推理、数学运算素养的培养.
1.对数的概念?
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作①????x=logaN????,
其中a叫做②　对数的底数????,N叫做真数.
2.常用对数与自然对数
通常,我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为③????lg
N????;以e(e=2.718
28…)为底的对数称为自然对数,并把logeN记为④????ln
N????.
3.对数与指数的关系?
(1)当a>0,a≠1时,ax=N?x=logaN;
(2)对数恒等式:?=⑤????N????(a>0,且a≠1,N>0).
对数的概念
4.对数的性质?
(1)⑥　负数和0????没有对数;
(2)loga1=⑦　0????,logaa=⑧　1????.(a>0,且a≠1)
　　如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(MN)=⑨????logaM+logaN????;
(2)loga?=logaM-logaN;
(3)logaMn=⑩????nlogaM(n∈R)????.
对数的运算性质
1.logab=??????(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1)????.
2.推论:logab=?,?bm=?logab.
(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;n≠0)
换底公式
1.因为(-2)2=4,所以2=log(-2)4.?(?????　)
提示:因为对数的底数a应满足a>0且a≠1,所以结论错误.
2.当a>0,且a≠1时,?=N.?(　√　)
提示:当a>0,且a≠1时,ax=N?x=logaN,将x=logaN代入ax=N,得?=N.
3.若ln
N=?,则N=?.?(?????　)
提示:ln
N=?,则N=?.
4.loga(xy)=logax·logay.?(?????　)
提示:根据对数的运算性质可知loga(xy)=loga|x|+loga|y|,结论错误.
判断正误，正确的画“√”
，错误的画“
?”
.
5.loga(-2)3=3loga(-2).?(?????　)
提示:公式logaMn=nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数,结论错误.
6.使对数log2(-2a+1)有意义的a的取值范围是?.?(　√　)
提示:要使对数log2(-2a+1)有意义,需使-2a+1>0,解得a利用对数的基本性质解题
　　“改变世界面貌的十个数学公式”被写到邮票中,第4枚是纳皮尔指数与对数
关系公式eln
N=N,其中e=2.718
28….伽利略曾发出豪言壮语:“给我时间、空间和对
数,我可以创造出一个宇宙来.”
问题
1.如何利用上述公式求eln
4+1?
提示:eln
4+1=eln
4·e=4e.
2.怎样由对数式logaN=x和指数式ax=N推出?=N(a>0,且a≠1,N>0)?
提示:把x=logaN代入ax=N,得?=N.
?
3.在指数与对数的互化中,要注意什么?
提示:要注意底数的范围,如(-2)2=4,不能写成log(-2)4=2,只有a>0,a≠1,N>0时,才有ax=
N?x=logaN.
1.对数恒等式?=N(a>0,且a≠1,N>0)的应用
(1)对数恒等式的直接应用.
(2)不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解:
2.对数式中求值的方法
(1)将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题.
(2)利用指数幂的运算性质计算.
??
　　求下列各式中x的值:
(1)-ln
e2=x;
(2)log3(lg
x)=1;
(3)x=?;
(4)log2x=-?.
思路点拨
利用对数与指数的互化、对数性质求解.
解析????(1)∵-ln
e2=x,
∴-x=ln
e2,即e-x=e2,解得x=-2.
(2)∵log3(lg
x)=1,
∴lg
x=31=3,
∴x=103=1
000.
(3)原式=7×?=?=?.
(4)∵log2x=-?,
∴?=x,
∴x=?.
　　电影《死亡密码》中,刑侦总队密码组是顶级情报人员的培训、任命和派遣
机构,他们的任务是通过犯罪现场留下的诡异痕迹探索凶案背后的动机,进而追捕
凶手.古怪的案发地点,满地的血浆和奇怪的碎片,消失的被害人,超出常人血量的血
泊,……
刑侦队长在办案过程中离奇失忆,并发出一段意义不明的蓝色数字,线索越发扑朔
迷离,而那串数字就藏在lg
14-2lg?+lg
7-lg
18+?的计算结果中.
利用对数的运算性质化简、求值
问题
1.你能找出该密码吗?
提示:原式=lg
14-lg?+lg
7-lg
18+π
=lg?
+π
=lg
1+π=π.因此该密码是π.
2.在对数计算问题中,涉及lg
2,lg
5时,应如何处理?
提示:常利用lg
2+lg
5=1,lg
2=1-lg
5及lg
5=1-lg
2等化简求解.
3.在化简含有对数的式子时,换底公式的作用是什么?
提示:将不同底的对数化成同底的对数,进而进行运算.
?
1.利用对数性质求值的解题关键是化异为同,先使各项底数相同,再找真数间的联
系.
2.对于复杂的运算式,可先化简再计算.化简的常用方法:①“拆”:将积(商)的对数
拆成两对数之和(差);②“收”:将同底对数的和(差)收成积(商)的对数.
3.在利用换底公式进行化简求值时,一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点
选择恰当的底数进行换底,如果所给的对数式中的底数和真数互不相同,我们可以
选择以10为底数进行换底.
利用换底公式化简与求值的思路:
?
??
　　化简下列各式:
(1)4lg
2+3lg
5-lg
?;
(2)?;
(3)2log32-log3?+log38-?;
(4)lo?(?-?).
思路点拨
当对数的底数相同时,利用对数的运算性质,将式子转化为只含一种或尽量少的真
数的形式,再进行计算.
解析????(1)原式=lg
?=lg(24×54)=lg(2×5)4=4.
(2)原式=?=?=?.
(3)原式=2log32-(5log32-2)+3log32-?=2log32-5log32+2+3log32-3=-1.
(4)∵?=?=2+?,?=?=2-?,
∴原式=lo?(2+?-2+?)=lo?(?)3=3.
?
??
(1)化简:(log43+log83)(log32+log92)=　　????;
(2)已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645为　　　????.
思路点拨
式子中各个对数的底数都不相同,需先统一底数再化简求值.
解析????(1)原式=??=?log23·?=?.
(2)解法一:∵18b=5,∴log185=b,
于是log3645=?=?=?=?=?.
解法二:∵18b=5,∴log185=b,
于是log3645=?=?=?.
解法三:∵log189=a,18b=5,
∴lg
9=alg
18,lg
5=blg
18,
∴log3645=?=?=?
=?=?.
答案　(1)?　(2)?
解题模板
用已知对数式表示未知对数式,此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”,然
后用指定字母换元.
　　20世纪30年代,里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度,这种
尺度就是使用测震仪衡量地震能量的等级.地震能量越大,测震仪记录的地震曲线
的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lg
A-lg
A0.
其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为
了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).
对数运算性质的综合应用
问题
1.假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此
时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震的震级(精确到0.1).
提示:M=lg
20-lg
0.001=lg?=lg
20
000=lg
2+lg104≈4.3.因此,这是一次约为里氏
4.3级的地震.
2.若新闻报道某次地震的震级为M,如何用M和A0表示最大振幅A?
提示:由M=lg
A-lg
A0可得M=lg???=10M?A=A0·10M.
3.5级地震给人的震感已比较明显,计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振
幅的多少倍(精确到1).
提示:当M=7.6时,地震的最大振幅为A1=A0·107.6;当M=5时,地震的最大振幅为A2=A0·1
05.所以两次地震的最大振幅之比是?=?=107.6-5≈398.
?
1.(1)在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤
其要注意条件和结论之间的关系.
(2)对于连等指数式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式
将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.
2.解决对数应用问题,首先理解题意,弄清关键词及字母的含义,然后恰当设未知数,
建立数学模型,最后转化为常用对数问题求解,注意归纳结论.
??
　　已知3a=5b=c,且?+?=2,求c的值.
思路点拨
指数与对数互化,得a=log3c,b=log5c??+?=logc15?求出c的值.
解析????∵3a=5b=c,∴a=log3c,b=log5c,
∴?=logc3,?=logc5,∴?+?=logc15.
由logc15=2得c2=15,即c=?(负值舍去).
??
　　已知a,b,c是不等于1的正数,且ax=by=cz,?+?+?=0,求abc的值.
思路点拨
设ax=by=cz=t,则x=logat,y=logbt,z=logct,代入?+?+?=0并用对数的运算性质可求得
abc的值,也可以用换底公式进行计算.
解析????解法一:设ax=by=cz=t,∵a,b,c是不等于1的正数,∴t>0,且t≠1,
则x=logat,y=logbt,z=logct,
∴?+?+?=?+?+?=logta+logtb+logtc=logt(abc)=0,
∴abc=t0=1,即abc=1.
解法二:设ax=by=cz=t,
∵a,b,c是不等于1的正数,∴t>0,且t≠1,
∴x=?,y=?,z=?,
∴?+?+?=?+?+?=?.
∵?+?+?=0,且lg
t≠0,
∴lg
a+lg
b+lg
c=lg(abc)=0,
∴abc=1.
解题模板
指数式与对数式互化时,可将不同底的对数化为同底的对数,这是解决指数、对数
问题的常用方法.
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php