4.4.1-4.4.2 对数函数的图象和性质 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
人教版A版（2019）
必修第一册
4.4.1　对数函数的概念
4.4.2　对数函数的图象和性质
1.会求简单对数函数的定义域,能用描点法画函数图象.
2.掌握对数函数的性质,会解简单的对数不等式.
3.知道对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为反函数及它
们图象的特点.
　　一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+
∞).
对数函数的概念
定义
y=logax
(a>0,且a≠1)
底数
a>1
0图象
?
?
定义域
①　(0,+∞)????
对数函数的图象与性质
值域
R
单调性
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
共点性
图象过定点②　(1,0)????,即x=1时,y=0
函数值
特点
x∈(0,1)时,y∈(-∞,0);
x∈[1,+∞)时,y∈[0,+∞)
x∈(0,1)时,y∈(0,+∞);
x∈[1,+∞)时,y∈(-∞,0]
对称性
函数y=logax与y=?x的图象关于③????x轴????对称
续表
　　一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数④????y=logax(a>0,a≠1)????互为反
函数.它们的定义域与值域正好互换.
互为反函数的两个函数的单调性相同,但单调区间不一定相同.
互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
反函数
1.函数y=log2(2x)是对数函数.?(?????　)
2.函数y=ax与y=logax的单调区间相同.?(?????　)
提示:当a>1时,函数y=ax的单调递增区间为R,函数y=logax的单调递增区间为(0,+∞);
同理当0∞).因此二者的单调区间不同.
3.函数y=ax(a>0,且a≠1)与y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称.?(　√　)
4.函数y=log3(x+1)的定义域是(0,+∞).?(?????　)
提示:由对数式log3(x+1)的真数x+1>0可得x>-1,所以函数的定义域为(-1,+∞).
5.对于底数a>1的对数函数,在区间(1,+∞)内,底数越大,其图象越靠近x轴.(　√　)
判断正误，正确的画“√”
，错误的画“
?”
.
对数函数的图象及其应用
?
1.对数型函数图象过定点问题
求函数y=m+loga
f(x)(a>0,且a≠1)的图象过定点时,只需令f(x)=1求出x,即得定点为
(x,m).
2.根据对数函数图象判断底数大小的方法
作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,根据在第一象限内,自左
向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.
3.函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与函数y=lo?x(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称
设f(x)=logax(a>0,且a≠1),则y=lo?x=?=-logax=-f(x),由于函数y=f(x)的图象与y=
-f(x)的图象关于x轴对称,所以函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与函数y=lo?x(a>0,
且a≠1)的图象关于x轴对称.
4.函数图象的变换规律
(1)一般地,函数y=f(x+a)+b(a,b为实数)的图象是由函数y=f(x)的图象沿x轴向左或向
右平移|a|个单位长度后,再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.
??
　　已知a>0,且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是?(????B　)
?????
思路点拨
可利用函数的性质识别图象,注意底数a对图象的影响,也可根据图象的位置结合单
调性来判断.
解析????解法一:首先,曲线y=ax只可能在x轴上方,y=loga(-x)的图象只可能在y轴左侧,
从而排除A,C,
然后,y=ax与y=loga(-x)的增减性正好相反,又可排除D.故选B.
解法二:若0(-x)在其定义域上单调递增且图象过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件;
若a>1,则函数y=ax在其定义域上单调递增且图象过点(0,1),而函数y=loga(-x)在其定
义域上单调递减且图象过点(-1,0),只有B满足条件.
??
　　设a,b是关于x的方程|lg
x|=c的两个不同实数根,且a　　　????.
思路点拨
作出方程左边对应函数y=|lg
x|的图象,找出图象与直线y=c的交点,由交点得到a,b
的范围进而得到结论.
解析????由题意知,在x∈(0,10)上,函数y=|lg
x|的图象和直线y=c有两个不同交点,作出
函数y=|lg
x|的图象与直线y=c,如图所示,
?
结合图象可知,|lg
a|=|lg
b|=c,又a∴-lg
a=lg
b=c,∴ab=1,010=1,
∴abc的取值范围是(0,1).
答案　(0,1)
对数型函数的定义域
求对数型函数的定义域时,要注意真数大于0,底数大于0且不等于1.若底数和真数
中都含有变量,或式子中含有分式、根式等,在解答问题时需要保证各个方面都有
意义.一般地,求y=loga
f(x)(a>0,且a≠1)的定义域时,应首先保证f(x)>0.
求对数型函数值域的常用方法
(1)直接法:根据函数解析式的特征,从函数自变量的范围出发,通过对函数定义域、
性质的观察,结合解析式,直接得出函数的值域.
(2)配方法:当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(m≠
0,a>0,a≠1))时,可以用配方法求函数的值域.
与对数函数有关的定义域、值域问题
(3)单调性法:根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,求出函
数的值域.
(4)换元法:求形如y=loga
f(x)(a>0,且a≠1)的函数值域的步骤为①换元,令u=f(x),利
用函数的图象和性质求出u的范围;②利用y=logau的单调性、图象求出y的取值范
围.
??
　　求下列函数的定义域:
(1)y=?;(2)y=?.
解析????(1)由题意得?解得?∴x>-1,且x≠999,
∴函数的定义域为{x|x>-1,且x≠999}.
(2)由题意可得loga(4x-3)≥0?loga(4x-3)≥loga1,当a>1时,有4x-3≥1,解得x≥1,当0<1时,有0<4x-3≤1,解得?综上所述,当a>1时,
函数的定义域为[1,+∞);
当0主编点睛????求对数型函数的定义域时,千万不要忘了负数和零没有对数,即真数是
正数,同时对数函数的底数也是一个大于0且不等于1的常数.本题主要考查了逻辑
推理及数学运算的核心素养.
??
　　(1)函数f(x)=lo?(x2+2x+3)的值域是　　　????;
(2)函数y=(lo?x)2-?lo?x+5在区间[2,4]上的最大值为　　　???,最小值为　????????.
思路点拨
明确函数的复合形式,由定义域求中间变量的范围,由中间变量的范围求函数值域.
(2)因为2≤x≤4,所以lo?2≥lo?x≥lo?4,即-1≥lo?x≥-2.
设t=lo?x,则-2≤t≤-1,
所以y=t2-?t+5,其图象的对称轴为直线t=?,因此y=t2-?t+5在[-2,-1]上单调递减,
所以当t=-2,即lo?x=-2,x=4时,ymax=10;
当t=-1,即lo?x=-1,x=2时,ymin=?.
答案　(1)(-∞,-1]　(2)10;?
?
解题时要注意函数定义域对解题的影响,避免出现因不求定义域导致解题错误.
解析????(1)f(x)=lo?(x2+2x+3)=lo?[(x+1)2+2],因为(x+1)2+2≥2,所以lo?[(x+1)2+2]≤
lo?2=-1,所以函数f(x)的值域是(-∞,-1].
??
　　已知函数f(x)=loga?在区间[1,2]上恒为正值,求实数a的取值范围.
思路点拨
分a>1,0解析????由题意知,loga?>0在[1,2]上恒成立.
①当a>1时,若f(x)>0在[1,2]上恒成立,
则?x+1>1在x∈[1,2]上恒成立,
即?x>0在x∈[1,2]上恒成立.
∵a>1,∴0∴?-2<0,
∴x<0,与x∈[1,2]矛盾.
②当00在[1,2]上恒成立,
则0即-1由x∈[1,2]得?
解得?综上,实数a的取值范围为?.
?
　　求复合函数的单调性要抓住两个要点:
(1)单调区间必须是定义域的子集,任何一个端点都不能超出定义域.
(2)若a>1,则y=loga
f(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同;若0f(x)的单调
性与y=f(x)的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域.
与对数函数有关的复合函数的单调性
??
　　函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是?(????D　)
A.(-∞,-2)　　　????B.(-∞,1)
C.(1,+∞)　????D.(4,+∞)
思路点拨
根据复合函数单调性“同增异减”求解,注意对数的真数大于零.
解析????由x2-2x-8>0得x∈(-∞,-2)∪(4,+∞),
令t=x2-2x-8,则y=ln
t(t>0).
∵要求f(x)的单调递增区间,且y=ln
t是增函数,
∴根据复合函数的单调性可知,只需求出t=x2-2x-8在定义域内的单调递增区间即
可.
∵x∈(4,+∞)时,t=x2-2x-8为增函数,
∴函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞),故选D.
??
　　已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0,且a≠1).
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如
果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由.
解析????(1)设t(x)=3-ax,∵a>0,且a≠1,∴t(x)=3-ax为减函数,x∈[0,2]时,t(x)的最小值
为3-2a,
当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立,∴3-2a>0,∴a又a>0,且a≠1,
∴实数a的取值范围是(0,1)∪?.
(2)假设存在这样的实数a.
由(1)知函数t(x)=3-ax为减函数.
∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,
∴y=logat在区间[1,2]上为增函数,
∴a>1,又x∈[1,2]时,t(x)的最小值为3-2a,
f(x)的最大值为f(1)=loga(3-a),
∴?即?
故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.
?
(1)应用对数函数单调性时要注意真数必须为正,明确底数对单调性的影响.
(2)解决与对数函数有关的复合函数问题时,首先要确定函数的定义域,再根据“同
增异减”的原则判断函数的单调性或利用函数的最值解决恒成立问题.
　　在标准温度和大气压下,人体血液中氢离子的物质的量的浓度(记作[H+],单位
mol/L)和氢氧根离子的物质的量的浓度(记作[OH-],单位mol/L)的乘积等于常数10-1
4.已知pH值的定义为pH=-lg[H+],健康人体血液的pH值保持在7.35~7.45之间.
比较对数的大小
问题
1.健康人体血液中lg
?的范围是多少?
提示:∵[H+]·[OH-]=10-14,∴?=?×1014,
∵7.35<-lg[H+]<7.45,
∴10-7.45<[H+]<10-7.35,
∴10-0.9∴-0.9?<-0.7.
故健康人体血液中lg
?的范围是(-0.9,-0.7).
2.比较对数值大小的依据是什么?
提示:对数函数的单调性.
?比较对数值大小常用的四种方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性.
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.
(3)底数和真数都不同,找中间量.
(4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
??
　　设a=log2?,b=log3?,c=lo??,则a,b,c的大小关系是?(????B　)
A.c>b>a　????B.c>a>b
C.a>c>b　????D.a>b>c
思路点拨
不同底的对数比较值的大小时,可以找中间值0,1等比较.
解析????a=log23-1,b=log34-1,
∵log23=lo?33=log827,
log34=lo?42=log916,log827>log927>log916,
∴log23>log34,∴log23-1>log34-1,即a>b,
∵log23又log34>log33=1,∴log34>log23-1,
即c>a,∴c>a>b,故选B.
?
对于底数以字母形式出现的对数的大小比较,需要对底数a进行讨论.对于不同底的
对数,可以估算范围,从而借助中间值比较大小.
?
1.对数不等式的解法要点
(1)根据a>1或0(2)加上使对数式有意义的约束条件.
2.对数不等式的类型及解题方法
常见的对数不等式有三种类型:
(1)形如loga
f(x)>logab的不等式,借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确
定,需分a>1与0(2)形如loga
f(x)>b的不等式,应将b化为以a为底数的对数式的形式(即b=logaab),借助
函数y=logax(a>0,且a≠1)的单调性求解;
(3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式,利用换底公式化为同底的对数进行求解,或利用图
象求解.
对数不等式的解法
??
　　(1)已知log0.3(3x)(2)若loga?<1,则a的取值范围为　　　　　　????.
思路点拨
根据对数函数的单调性和定义域建立不等式(组)求解.
解析????(1)因为函数y=log0.3x是(0,+∞)上的减函数,所以原不等式等价于
?
解得x>?,故x的取值范围是?.
(2)loga?<1,即loga?当a>1时,函数y=logax在定义域内是增函数,所以loga?当0综上可得,a∈?∪(1,+∞).
答案　(1)?　(2)?∪(1,+∞)
主编点睛????本题主要涉及与对数函数相关的不等式问题,考查数学抽象及数学运
算的核心素养,解此类题应注意以下几点:(1)要遵循“定义域优先”的原则;(2)底
数不确定时要对底数进行分类讨论;(3)为防止参数的取值范围扩大,应在求解的过
程中加上限制条件,使参数的取值范围保持不变,即进行同解变形.
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