3.2.2 奇偶性 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
人教版A版（2019）
必修第一册
3.2.2　奇偶性
学会借助图象解决抽象的数学问题,逐步形成解决抽象数学问题的能力.学习时还
应掌握以下几点:
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.
偶函数
奇函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果?x∈I,都有-x∈I,且①????f(-x)=f(x)????,那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果?x∈I,都有-x∈I,且②????f(-x)=-f(x)????,那么函数f(x)就叫做奇函数
定义域
特征
关于原点对称
奇函数、偶函数的定义
1.如果一个函数是奇函数,那么这个函数的图象是以③　原点????为对称中心的中心
对称图形;反之,如果一个函数的图象是以④　原点????为对称中心的中心对称图形,
那么这个函数是奇函数.
2.如果一个函数是偶函数,那么它的图象是以⑤????y轴????为对称轴的轴对称图形;反
之,如果一个函数的图象关于⑥????y轴????对称,那么这个函数是偶函数.
奇函数、偶函数的图象特征
1.已知f(x)是定义在R上的函数.若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数.?(?????　)
2.奇函数的图象一定过原点.?(?????　)
3.偶函数的图象与x轴交点的个数一定是偶数.?(?????　)
4.f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0.(　√　)
提示:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-0)=-f(0),即2f(0)=0,所以f(0)=0.
5.存在既是奇函数又是偶函数的函数,且不止一个.(　√　)
提示:存在f(x)=0,x∈D(定义域D关于原点对称),
f(x)既是奇函数,又是偶函数;由于D
有无数个,因此这样的函数也有无数个.
6.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性一致,偶函数在关于原点对称的区间上
的单调性相反.?(　√　)
判断正误，正确的画“√”
，错误的画“
?”
.
如何判断函数的奇偶性
判断函数奇偶性的常见方法
(1)定义法:
?
?
分段函数奇偶性的判断
判断分段函数f(x)奇偶性的一般方法是在一个区间上任取自变量,再向对称区间转
化,并且进行双向验证.若函数在x=0处有定义,还要验证f(0),即判断分段函数的奇偶
性时,必须判定每一段上函数都具有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)的特征,也可以作出函数
图象,结合对称性判断.
(2)图象法:
??
　　判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=?;
(2)f(x)=|x-2|+|x+2|;
(3)f(x)=?
思路点拨
先求函数的定义域,必要时化简函数解析式,再计算f(-x)并判断f(-x)与f(x)的关系,从
而得出结论.
解析????(1)由1-x2≥0,得-1≤x≤1,
又|x+2|-2≠0,∴x≠0,且x≠-4,因此函数f(x)的定义域D={x|-1≤x≤1,且x≠0},
∴函数f(x)的定义域关于原点对称,且x+2>0,
∴f(x)=?=?,
于是任取x∈D,都有f(-x)=?=-?=-f(x),∴f(x)为奇函数.
(2)函数f(x)=|x-2|+|x+2|的定义域为实数集R,关于原点对称.
∵f(-x)=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f(x),
∴f(x)为偶函数.
(3)函数的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,
当x>0时,-x<0,则f(-x)=-?=?=f(x);
当x<0时,-x>0,则f(-x)=?=-?=f(x).
综上,可知函数f(x)为偶函数.
??
　　定义在R上的函数f(x),对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2).判断f
(x)的奇偶性.
解析????令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x);令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)·f(x),
所以f(x)=f(-x),
又f(x)的定义域为R,所以f(x)是偶函数.
?
1.由函数的奇偶性求参数
(1)函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法,也是在已知函数奇偶性时
可以运用的一个性质,要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.
(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求
得参数.
2.根据函数的奇偶性求函数值
利用函数的奇偶性求函数值时,若所给的函数不具有奇偶性,一般需利用所给的函
数来构造一个奇函数或偶函数,然后利用其奇偶性求值.
函数奇偶性的应用
3.利用函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤
(1)在哪个区间上求解析式,x就设在哪个区间.
(2)把x对称转化到已知区间上,利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x),从而求出f(x).
??
　　(1)若函数f(x)=?为奇函数,则a=?(????　)
A.?　　????B.?　　????C.?　　????D.1
(2)已知f(x)=x5+ax3+bx-8且f(-2)=10,那么f(2)=　　　????.
思路点拨
(1)利用奇函数的定义域关于原点对称即可求出a的值;
(2)构造函数g(x)=f(x)+8,易得g(x)为奇函数,由f(-2)=10依次求出g(-2),g(2),
f(2)的值.
解析????(1)由f(x)=?知,(2x+1)(x-a)≠0,即x≠-?且x≠a,∴f(x)的定义域为
?.又f(x)为奇函数,定义域关于原点对称,∴a=?,故选A.
(2)f(x)=x5+ax3+bx-8,令g(x)=f(x)+8,则g(x)=x5+ax3+bx,易得g(x)为奇函数.
∵f(-2)=10,
∴g(-2)=10+8=18,
∴g(2)=-g(-2)=-18,
∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.
答案　(1)A
(2)-26
??
　　函数f(x)在R上为奇函数,当x>0时,f(x)=?+1,求f(x)的解析式.
思路点拨
先设x<0,则-x>0,结合f(-x)=-f(x),
f(0)=0求f(x)的解析式.
解析????设x<0,则-x>0,∴f(-x)=?+1,
∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x),
即-f(x)=?+1,
∴f(x)=-?-1,
∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0,
∴f(x)=?
?
1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上
的单调性相反.
2.区间[a,b]和[-b,-a]关于原点对称.
(1)若f(x)为奇函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值-M;
(2)若f(x)为偶函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最大值M.
3.利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小,关键是利用奇偶性把自变量转化
到函数的一个单调区间内,然后利用单调性比较.
4.解决不等式问题时一定要充分利用已知条件,把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或
f(x1)响.
??
函数奇偶性与单调性的综合应用
　　(1)定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x
1)]>0,则当n∈N
时,有(????　)
A.f(-n)B.f(n+1)C.f(n-1)D.f(n+1)(2)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)　　　　　????.
(3)已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,其图象关于原点对称,且f(1-a)+f(1-2a)<0,
则a的取值范围是　　　????.
思路点拨
(1)根据已知条件判断函数的单调性,利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行判
断即可.
(2)根据偶函数的性质f(|x|)=f(x)列出不等式求解.
(3)由f(x)的图象关于原点对称,可得f(x)是奇函数.结合单调性即可求解.
解析????(1)∵对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,
∴若x2-x1>0,则f(x2)-f(x1)>0,即若x2>x1,则f(x2)>f(x1),
若x2-x1<0,则f(x2)-f(x1)<0,即若x2∴函数在(-∞,0]上为单调递增函数.
∵f(x)在R上是偶函数,∴函数f(x)在[0,+∞)上为单调递减函数,
f(-n)=f(n).
∵n∈N
,∴n+1>n>n-1≥0,
∴f(n+1)即f(n+1)(2)由于f(x)是偶函数,因此f(x)=f(|x|),
又∵f(2x-1)∴f(|2x-1|)∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴|2x-1|∴x的取值范围是?.
(3)∵y=f(x)的图象关于原点对称,
∴f(x)是奇函数.
∵f(1-a)+f(1-2a)<0,
∴f(1-a)<-f(1-2a)=f(2a-1),
又y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,
∴?解得0∴a的取值范围是?.
答案
(1)
B
(2)?　(3)
??
　　定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)取值范围.
思路点拨
两个自变量1-m,m不一定属于同一单调区间,可考虑用绝对值表示来处理.
解析????∵函数f(x)是偶函数,∴f(x)=f(|x|).
∴f(1-m)=f(|1-m|),
f(m)=f(|m|).
∴原不等式等价于?解得-1≤m∴实数m的取值范围是?.
主编点评????本题用到了转化的思想,将函数值的大小关系转化为自变量的绝对值
的大小关系,这种转化避免了分类讨论,有利于问题的解决.
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php