苏科版2021年九年级上册第1章 一元二次方程章末复习卷（含解析）

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苏科版2021年九年级上册第1章《一元二次方程》章末复习卷
一、选择题
1．下列方程中，是一元一次方程的是（　　）
A．x+2y＝10
B．6x﹣5＝7
C．x2﹣x＝3
D．＝﹣2
2．把一元二次方程化成一般形式得（
）
A．
B．
C．
D．
3．方程化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（
）
A．1，1，
B．1，，6
C．1，，2
D．1，3，2
4．一元二次方程x2+4x=3配方后化为（
）
A．(x+2)2=3
B．(x+2)2=7
C．(x-2)2=7
D．(x+2)2=-1
5．方程的解是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
6．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正确的是（
）
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
7．已知实数满足，则代数式的值是(
)
A．7
B．-1
C．7或-1
D．-5或3
8．设x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则的值为（
）
A．5
B．﹣5
C．1
D．﹣1
9．等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程的两个实数根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．14
B．14或15
C．4或6
D．24或25
10．如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（
）
A．
B．或
C．
D．
二、填空题
11．若是关于的一元二次方程，则________．
12．a是方程的一个根，则代数式的值是_______．
13．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是_______．
14．已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1，则a-b+c=________
15．若等腰三角形的两边长恰为方程的两实数根，则的周长为________________.
16．如图，在宽为18米、长为24米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为整个矩形面积的，设道路的宽为x米，则可列方程为_____．
17．已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2，
则+=________．
三、解答题
18．用适当的方法解下列方程
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）x2﹣4x+1＝0．
19．用指定方法解方程：
（1）（公式法）；
（2）（配方法）．
20．根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；
……
……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n．
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
21．如图所示，一幅长与宽之比为的矩形山水画，欲在其周围镶上一圈宽度为的白纸边框，经测算，镶边后的图画（含白纸边框）的面积为，求原矩形山水面的面积．
22．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）若1是方程的一个根，求出一元二次方程的另一根；
（2）若方程的两个实数根为，，且=3，求的值．
23．某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
（1）求该商品每次降价的百分率；
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？
参考答案
1．B
【分析】
把含有一个未知数，且含未知数的项的次数是一次的方程叫做一元一次方程；根据此定义即可判断．
【详解】
解：A、含有两个未知数，故不合题意；
B、符合一元一次方程的定义，故是一元一次方程；
C、含未知数的项的次数是二次，故不合题意；
D、一元一次方程要求方程两边的项都是单项式，而不是单项式，故不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的概念，关键抓住“元”和“次”的含义．
2．A
【分析】
利用平方差公式展开、移项化成的形式即可．
【详解】
解：由得：，
即：，
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的一般形式、平方差公式，熟知一元二次方程的一般形式是解答的关键．
3．B
【分析】
首先将方程化为一般形式：，然后根据此一般形式，即可求得答案．
【详解】
解：方程化成一般形式是，
二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6．
故选：B．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的一般形式．解题的关键是注意一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4．B
【分析】
在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，化成完全平方的形式即可得出答案．
【详解】
解：x2+4x=3，
x2+4x+4=7，
（x+2）2=7，
故选：B．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键；配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
5．C
【分析】
利用因式分解法解方程即可
【详解】
解：∵，
∴，
∴x=0或x-2=0，
∴x1=0，x2=2，
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
6．C
【分析】
求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可．
【详解】
解：-3x2+5x-1=0，
b2-4ac=52-4×（-3）×（-1）=13，
x=
故选C．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的应用，能正确利用公式解一元二次方程是解此题的关键．
7．A
【分析】
将x2-x看作一个整体，然后利用因式分解法解方程求出x2-x的值，再整体代入进行求解即可.
【详解】
∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0，
∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解；
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7，
故选A．
【点睛】
本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把x2-x看成一个整体．
8．B
【详解】
∵x1、x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣3，x1x2=﹣3．
∴．故选B．
考点：一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值．
9．A
【分析】
分为腰长为4和底边长为4两种情况讨论，再根据韦达定理即可得解．
【详解】
解：设底边为a，
分为两种情况：①当腰长是4时，
根据韦达定理：a+4＝10，
解得：a＝6，
即此时底边为6，
②底边为4，
根据韦达定理：2a＝10，
解得a＝5，
所以该等腰三角形的周长是14．
故选：A．
【点睛】
本题考查了有关等腰三角形的分类讨论，韦达定理；能够正确的分类讨论是本题的关键.
10．A
【分析】
设出动点P，Q运动t秒，能使的面积为，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】
解：设动点P，Q运动t秒，能使的面积为，
则BP为(8-t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积公式列方程得
(8-t)×2t=15，
解得t1=3，t2=5（当t2=5，BQ=10，不合题意，舍去）
∴动点P，Q运动3秒，能使的面积为．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用．借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
11．1
【分析】
根据一元二次方程的定义，从而列出关于m的关系式，求出答案.
【详解】
根据题意可知：m＋1≠0且｜m｜＋1＝2，解得：m＝1，故答案为m＝1.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的定义，解本题的要点在于知道一元二次方程中二次项系数不能为0.
12．8
【分析】
直接把a的值代入得出，进而将原式变形得出答案．
【详解】
解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴．
故答案为8．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．
13．-4，21
【分析】
将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】
解：∵x2-8x-5=0，
∴x2-8x=5，
则x2-8x+16=5+16，即（x-4）2=21，
∴a=-4，b=21，
故答案为：-4，21．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
14．0
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，将x=-1代入关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)即可求得a-b+c的值．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为-1，
∴x=-1满足关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
∴，即a-b+c=0．
故答案是：0．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
15．15
【分析】
先求出一元二次方程的解，再进行分类讨论求周长即可．
【详解】
，
解得：，，
当等腰三角形的三边分别为3，3，6时，3+3=6，不满足三边关系，故该等腰三角形不存在；
当等腰三角形的三边分别为6，6，3时，满足三边关系，该等腰三角形的周长为：6+6+3=15．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解法与等腰三角形的结合，做题时需注意等腰三角形中边的分类讨论及判断是否满足三边关系．
16．（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24
【分析】
设道路的宽为x，把草坪平移到一起，可以拼成矩形，矩形的两边分别为（18﹣x）、（24﹣x），根据题意列方程即可．
【详解】
解：设道路的宽为x，根据题意得：（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24．
故答案是：（18﹣x）（24﹣x）＝×18×24．
【点睛】
本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
17．23
【分析】
由根与系数的关系可得，，将其代入x12+x22=(x1+x2)2-2x1?x2中，即可求出结论．
【详解】
∵方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为，
∴，，
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1?x2=(-5)2﹣2×1=23．
故答案为：23．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，若()的两根为，则，．
18．（1）；（2）
【分析】
（1）利用因式分解法求解；
（2）用公式法求解；
【详解】
解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴(x-3)(x+1)＝0，
∴x-3=0或x+1=0，
∴；
（2）∵a=1，b=-4，c=1，
∴△=b2-4ac=12，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
19．（1），；（2），
【分析】
（1）先确定原方程各项系数的值，再代入求根公式即可得到方程的解；
（2）方程整理后，再移项，把二次项系数化为1，最后运用配方法求解即可．
【详解】
解：（1）
∵，，，
∴，
则，
∴，．
（2）
把原方程化为．
配方，得，
即．
由此可得．
，．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解法，熟练地掌握一元二次方程的解法特别是因式分解法解一元二次方程，可以大大降低计算量．
20．（1）①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝3．（2）①x1＝1，x2＝8，
②x2－(1＋n)x＋n＝0；（3）x1＝1，x2＝8．
【分析】
（1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－4，常数项分别为1，2，3．解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可.
【详解】
（1）①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝3．
（2）①x1＝1，x2＝8；
②x2－(1＋n)x＋n＝0．
（3）x2－9x＋8＝0
x2－9x＝－8
x2－9x＋＝－8＋
(x－)2＝
∴x－＝±．
∴x1＝1，x2＝8．
21．
【分析】
根据长与宽之比为设出长和宽，根据镶边后的图画（含白纸边框）的面积为列出方程求解即可．
【详解】
解：设原矩形的长为，宽为，依题意得：
．
整理得：，
解得：或．
经检验，不合题意，舍去，只取．
则
答：原矩形山水画的面积为．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．
22．（1）3；（2）．
【分析】
（1）设方程的另一个根为α，选择合适计算方式，利用根与系数关系定理求解即可；
（2）利用根与系数关系定理和根的判别式求解即可．
【详解】
解：（1）∵1是关于的一元二次方程的一个根，
∴设α是关于的一元二次方程的另一个根，
∴1+α=4，
∴α=3，
∴关于的一元二次方程的另一个根是3；
（2）∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
又∵=3
而且，
∴=，
∴＜3，
∴的值是．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系定理的解题应用，根的判别式的应用，熟练掌握根与系数关系定理并灵活应用是解题的关键．
23．（1）10%；（2）6件
【分析】
（1）根据某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同，可设每次降价的百分率为x，从而可以列出方程60（1-x）2=48.6，然后求解即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围，再根据件数为整数，即可得到第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价．
【详解】
解：（1）设该商品每次降价的百分率为x，
60（1-x）2=48.6，
解得x1=0.1，x2=1.9（舍去），
答：该商品每次降价的百分率是10%；
（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（20-a）件，
由题意可得，[60（1-10%）-40]a+（48.6-40）×（20-a）≥200，
解得a≥，
∵a为整数，
∴a的最小值是6，
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．
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精品试卷·第
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