第二章章末测试题-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

2021-2022人教版A（2019）高一数学必修一
第二章章末测试题
一、单选题
1．若，则下列不等式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．若，一定有（
）
A．
B．
C．
D．
3．下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>xy.其中恒成立的不等式的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．若，，且，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
5．三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（
）
A．如果，那么；
B．如果，那么；
C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立；
D．如果，，那么．
6．建造一个容积为，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为（
）
A．1680元
B．1760元
C．1800元
D．1820元
7．设，则关于的不等式的解集是（
）
A．或
B．
C．或
D．
8．对于实数x，当且仅当时，规定，则不等式的解集是（
）．
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知关于的不等式，对任意恒成立，则可取（
）
A．
B．
C．
D．
10．设，，则下列不等式中一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．对于实数，，，下列命题是真命题的为（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若且，，，则
12．设，则当取最小值时，下列说法正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．已知，，求的取值范围___________.
14．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.
15．研究问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，有如下解决方案：
解：由，令，则，
所以不等式的解集为.
参考上述解法，已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为____________；
16．在上定义运算：．若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为________．
四、解答题
17．试比较与的大小.
18．若关于的不等式的解集是
（1）求实数和的值；
（2）当时，求的最大值及其x的值.
19．中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制，尽管美国对华为极力封锁，百般刁难并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）求2021年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润=销售额-成本）；
（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
20．已知为正实数，且．
（1）求证：；
（2）求证：．
21．已知函数.
（1）若，求在上的最大值和最小值；
（2）若关于的方程在上有两个不相等实根，求实数的取值范围.
参考答案
1．D
【详解】
对于A中，因为，可得，又由函数为单调的递增函数，
可得，所以A不正确；
对于B中，例如：当时，可得，
此时，所以B不正确；
对于C中，例如：当时，可得，所以C不正确；
对于D中，由，所以，所以D正确.
故选：D.
2．B
【详解】
因为，所以，
所以由，又因为，
所以，因此选项A错误，选项B正确；
当时，显然符合，
但是，显然选项C、D都不正确，
故选：B
3．B
【详解】
∵a2+3-2a=(a-1)2+2>0，∴a2+3>2a，即①正确；
∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，
∴②错误；
∵x2+y2-xy=y2≥0，
∴③错误.
故选：B.
4．C
【详解】
设，则，且，
题目转化为已知，求的最小值，
即，
而，
当且仅当，即时等式成立.
所以.
故选：C.
5．C
【详解】
设图中全等的直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为.
图中四个直角三角形的面积和为，外围正方形的面积为.
由图可知，四个直角三角形的面积之和不超过外围正方形的面积，所以，当且仅当时，等号成立.
故选：C.
6．B
【详解】
解：设水池池底的一边长为x
m，则另一边长为，
则总造价
（元）.
当且仅当，即时，y取最小值为1760.
所以水池的最低造价为1760元.
故选：B.
7．B
【详解】
原不等式可化为，
因为，所以，
所以原不等式的解为.
故选:B
8．A
【详解】
由，根据的定义可知：.
故选：A.
9．AB
【详解】
因为不等式，对任意恒成立，
所以，
令，
当
时，
，
所以
，
所以可取，，
故选：AB
10．BD
【详解】
对于A，因为，，所以，当且仅当时等号成立，故A错误；
对于B，由已证得，当且仅当时等号成立，因为，，所以，当且仅当时等号成立.所以，故B正确；
对于C，，当且仅当即时等号成立，故C错误；
对于D，，当且仅当，即时等号成立，故D正确.
故选:BD
11．BD
【详解】
解：．根据，取，，则不成立，故错误；
．，由不等式的基本性质知成立，故正确；
．由，取，，则不成立，故错误；
．，，
，即，
，，则，，故正确．
故选：．
12．AC
【详解】
因为，所以
原式
当且仅当，即，，时，等号成立，此时，
故选：AC．
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，属于中档题.
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
13．
【详解】
设，所以，解得，
因为，，则，
因此，.
故答案为：.
14．
【详解】
∵恒成立，∴，而，当且仅当，即，时等号成立，所以，解得.
故答案为：.
15．
【详解】
由得，，
令，因为，所以.
所以不等式的解集为.
故答案为：.
16．
【详解】
由题意可知，，
不等式恒成立即恒成立，
，，
因为，
所以，即，解得，
则实数的最大值为，
故答案为：.
17．答案见解析.
【详解】
.
因为，，
所以，
所以.
所以当时，；
当或时，.
18．（1），；（2）最大值是-2，此时x=0.
【详解】
解
（1）因为关于的不等式的解集是，
所以是一元二次方程的实数根，
所以且，解得，.
所以，.
（2）当时，设，则
（当且仅当即时取
“=”）
所以的最大值是，此时.
19．（1）；（2）2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元．
【详解】
（1）当时，；
当时，；
∴；
（2）若，，
当时，万元；
若，，
当且仅当即时，万元．
因为，故最大利润是8250万元，
答：2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元．
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】
解：（1）在等式两边平方得，
由基本不等式可得：
所以，当且仅当时等号成立，得证
（2）由基本不等式可得
，
当且仅当时，等号成立．
21．（1）最大值是0，最小值是
【详解】
（1）当时，，
因为二次函数开口向上，对称轴为，
又因为在上递减，在上递增，
所以，
又，
所以；
（2）因为方程在上有两个不相等实根，
所以方程有两个不相等正实根，
则，
解得
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