5.7三角函数的应用课后练习——2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册第五章三角函数第七节（Word含答案解析）

第五章三角函数第七节5.7三角函数的应用课后练习2021-2022学年高中数学人教A版2019必修第一册
一、单选题（共11题）
1.在一幢20m高的楼顶，测得对面一塔吊顶的仰角为
，
塔基的俯角为
，
那么塔吊的高是（??）
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
2.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a
km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为（?
）
A.?akm????????????????????????????????B.?akm
????????????????????????????????C.?akm????????????????????????????????D.?2akm
3.函数的部分图象如图，则(?
)
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
4.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A（3
，﹣3）出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为（x，y），其纵坐标满足y=f（t）=Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|＜
）．则下列叙述错误的是（??
）
A.???????????????????????????????????B.?当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C.?当t∈[10，25]时，函数y=f（t）单调递减?????????D.?当t=20时，
5.已知
sinα+
cosα=2，则tanα=（
??）
A.?-
????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?-
????????????????????????????????????D.?
6.设动直线x=a与函数f（x）=2sin2（
+x）和g（x）=
cos2x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为（??
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????????D.?3
7.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（?
）
A.?10
m???????????????????????????????B.?20m???????????????????????????????C.?20
m???????????????????????????????D.?40m
8.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h，低潮时水深为9m，高潮时水深为15m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y（m）关于时间t（h）的函数图象可以近似地看成函数y=Asin（ωt+φ）+k的图象，其中0≤t≤24，且t=3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（??
）
A.??????????B.??????????C.??????????D.?
9.半径为1的球内切于一圆锥，则圆锥体积的最小值为（　　）
A.?2π???????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?3π???????????????????????????????????????D.?
10.M，N是曲线y=πsinx与曲线y=πcosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（?
）
A.?π?????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?2π
11.矩形ABCD满足AB=2，AD=1，点A、B分别在射线OM，ON上，∠MON为直角，当C到点O的距离最大时，∠BAO的大小为（　　）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
二、填空题（共6题）
12.如图所示，PA，PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC=________．
13.某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系
，其中0≤t≤24，S的单位是m，t的单位是h，则18点时潮水起落的速度是________．
14.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数
（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃
15.一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮继续沿正西方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，则货轮的速度为________海里/时．
16.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数
来表示，已知6月份的月平均气温最高，为
，12月份的月平均气温最低，为
，则10月份的平均气温值为________
．
17.如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________?海里/小时．
三、综合（共3题）
18.如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点p0）开始计算时间．
（1）将点p距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数；
（2）点p第一次到达最高点大约需要多少时间？
19.如图：已知圆O的直径是2，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是圆O上的一个动点，以PC为边作正三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．
20.如图，AOB是一块半径为r的扇形空地，
．某单位计划在空地上修建一个矩形的活动场地OCDE及一矩形停车场EFGH，剩余的地方进行绿化．若
，设
(Ⅰ)记活动场地与停车场占地总面积为
，求
的表达式；
(Ⅱ)当
为何值时，可使活动场地与停车场占地总面积最大．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【解析】【解答】由题意，AB=20米，∠DAE=60°，∠DAC=45°，可知ABCD是正方形，有此易得CD=AD=20米,再由，∠DAE=60°，在直角三角形ADE中可求得DE=，
AD=20∴塔高为DE+CD="20+20"
=20（+1)故选B
【分析】本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问题等)解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角
2.【答案】
B
【解析】解答：由图可知，∠ACB=120°，
由余弦定理
cos∠ACB=
=
=﹣
，
则AB=
a（km）．
故选B．
分析：先根据题意确定∠ACB的值，再由余弦定理可直接求得|AB|的值．
3.【答案】
C
【解析】【解答】观察图象可知，A=1，T=4（3－1)=8，所以。将（1,1)代入得所以，
故选C。
4.【答案】C
【解析】【解答】解：由题意，R=
=6，T=60=
，∴ω=
，
点A（3
，﹣3）代入可得﹣3=6sinφ，∵|φ|＜
），∴φ=﹣
．故A正确；
f（t）=6sin（
t﹣
），当t∈[35，55]时，
t﹣
∈[π，
]，∴点P到x轴的距离的最大值为6，正确；
当t∈[10，25]时，
t﹣
∈[
π，
]，函数y=f（t）单调递减，不正确；
当t=20时，
t﹣
=
，P的纵坐标为6，|PA|=
=6
，正确，
故选C．
【分析】求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论．
5.【答案】
D
【解析】【解答】解：∵
sinα+??cosα=2
，
∴
，
可得
，
∴
，
.
∴
，
则.
故答案为：D
【分析】sinα+??cosα=2
，
利用和差公式化简可得
，
即可求出的值。
6.【答案】
D
【解析】【解答】解：
，
=
．
故选D
【分析】利用二倍角公式先化简f（x），将|MN|表示成a的三角函数，利用公式
化简|MN|，利用三角函数的有界性求出最大值．
7.【答案】
D
【解析】解答：由题可设AB=x
，
则
，
在△DBC中，∠BCD=120°，CD=40，由余弦定理得BD2=BC2+CD2﹣2BC?CD?cos∠DCB
即：（
）2=（40）2+x2﹣2×40?x?cos120°
整理得：x2﹣20x﹣800=0
解得x=40或x=﹣20（舍）
所以，所求塔高为40米
．
故选D．
分析：设出AD=x
，
进而根据题意可表示出BD，DC，进而在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x
．
8.【答案】A
【解析】【解答】解：依题意，
，解得
，
又T=
，
∴ω=
．
又f（3）=15，
∴3sin（
+φ）+12=15，
∴sin（
+φ）=1．
∴φ=0，
∴y=f（t）=3sin
t+12．
故选：A．
【分析】高潮时水深为A+K，低潮时水深为﹣A+K，联立方程组求得A和K的值，再由相邻两次高潮发生的时间相距12h，可知周期为12，由此求得ω值，再结合t=3时涨潮到一次高潮，把点（3，15）代入y=Asin（ωx+φ）+K的解析式求得φ，则函数y=f（t）的表达式可求．
9.【答案】
B
【解析】【解答】解：设母线与底面的夹角2α，底面半径R，内切球半径r=1，圆锥的高h
则：R=r?cotα=cotα，h=R?tan2α=cotα?tan2α=
，
圆锥的体积
=
，
而2α＜90°，α＜45°，所以：tanα＜1，1﹣tan2α＞0
又因为：tan2α+（1﹣tan2α）=1=定值
所以：当tan2α=1﹣tan2α，即tanα=时，V最小=
．
故选B．
【分析】设母线与底面的夹角2α，底面半径R，内切球半径r=1，圆锥的高h用α表示R，h，求出圆锥的体积V的表达式，利用基本不等式求出V最小
．
10.【答案】
C
【解析】解答：要求|MN|的最小值在，只要在一个周期内解即可
∵πsinx=πcosx
解得x=
或x=
得到两个点为（，
）和（
）
得到|MN|=
=
故选C
分析：|MN|的最小值即一个周期内两个交点的距离；列出方程求出两个交点坐标，据两点的距离公式求出|MN|的最小值．
11.【答案】
D
【解析】【解答】解：如图所示，
建立直角坐标系．
设∠OAB=θ，则∠CBE=θ.
．
B（0，2sinθ），C（sinθ，cosθ+2sinθ）．
∴|OC|2=sin2θ+（cosθ+2sinθ）2
=1+4sinθcosθ+4sin2θ
=1+2sin2θ+2（1﹣cos2θ）
=+3，
∵
，
∴
．
∴当2
，
即时，|OC|2取得最大值，2+3．
故选：D．
【分析】如图所示，建立直角坐标系．设∠OAB=θ，则∠CBE=θ.
．
可得B（0，2sinθ），C（sinθ，cosθ+2sinθ）．|OC|2=sin2θ+（cosθ+2sinθ）2
=+3，由于
，
可得
．
即可得出．
二、填空题
12.【答案】
20°
【解析】【解答】连接OP，
根据切线的性质可知，AP=BP，∠DAP=∠DPB=
∠P=
×40°=20°，
在△ADP与△BPD中，AP=BP，DP=DP，∠DAP=∠DPB=20°，
∴△ADP≌△BPD，OP⊥AB，
∴∠DAP=90°﹣∠DAP=90°﹣20°=70°，
∵AP是⊙O的切线，AC是直径，
∴∠OAP=90°，
∴∠BAC=∠OAP﹣∠DAP=90°﹣70°=20°．
【分析】连接OP，根据切线的性质可求出△ADP≌△BPD及∠APD的度数，根据直角三角形的性质可求出∠DAP的度数，由切线的性质定理解答即可．
13.【答案】
【解析】【解答】由题意，∵
∴v=S'=
当t=18时，速度v=
故答案为
【分析】利用导数的物理意义，高度对时间的导数，从而得解．
14.【答案】
16
【解析】【解答】据题意得28=a+A，
=a﹣A
解得a=20，A=8
所以
令x=10得y=
=16
故答案为：16
【分析】根据题意列出方程组，求出a，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数；将x=10代入求出10月份的平均气温值．
15.【答案】
【解析】【解答】由题意，如图所示，
可知∠SMN=15°+90°=105°，∠SNM=45°，SM=20，∴∠NSM=30°，
在△SMN中，由正弦定理可得：
，
即
，解得：MN=
，
∴货轮的速度为
=
海里/时．
故答案为：
．
【分析】由题意可知，在△SMN中，由正弦定理可得MN=
，
即可得出货轮的速度.
16.【答案】
20.5
【解析】【解答】根据题意，由于一年中12个月的平均气温与月份x的关系可近似地用三角函数y=a+Acos[
(x-6)](x=1，2，3，…，12)，由于x=6,y=28,可知a+A=28,x=12,a-A=18,得到a=23,A=5,当x=10，y=20.5，故可知则10月份的平均气温值为20.5℃。
【分析】根据实际问题的已知条件结合三角型函数图象与a和A的关系，从而建立关于a和A的方程组，进而求出a和A的值，从而求出三角型函数的解析式，再利用三角型函数的解析式求出10月份的平均气温值。
17.【答案】
【解析】【解答】解：由题意知∠MPN=75°+45°=120°，∠PNM=45°．
在△PMN中，由正弦定理，得
，
∴MN=
又由M到N所用时间为14﹣10=4（小时），
∴船的航行速度v==（海里/时）；
故答案为：
．
【分析】根据题意可求得∠MPN和，∠PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案．
三、综合题
18.【答案】
（1）解：依题意可知z的最大值为6，最小为﹣2，
∴
?
；
∵op每秒钟内所转过的角为
，得z=4sin
，
当t=0时，z=0，得sinφ=﹣
，即φ=﹣
，故所求的函数关系式为
z=4sin
+2
（2）解：令z=4sin
+2=6，得sin
=1，
取
，得t=4，
故点P第一次到达最高点大约需要4S
【解析】【分析】（1）先根据z的最大和最小值求得A和B，利用周期求得ω，当x=0时，z=0，进而求得φ的值，则函数的表达式可得；（2）令最大值为6，即
z=4sin
+2=6可求得时间．
19.【答案】
解：设∠POB=θ．在△POC中，由余弦定理得：PC2=OP2+OC2﹣2OP?OC?cosθ=5﹣4cosθ
所以
，
当时，即时，
四边形OPDC面积的最大值为
2+
．
【解析】【分析】设∠POB=θ，将面积表示为角的函数，再利用三角函数求最值的方法求最值．
20.【答案】
解：
Ⅰ
由题意得，在矩形OCDE中，
，
，
，
矩形OCDE的面积为
；
又
，四边形EFGH是矩形，
，
，
；
矩形EFGH的面积为
，
，其中
；
Ⅱ
由题意知，
，
令
，得
，
解得
，或
不合题意，舍去
；
令
，则
；
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
取得最大值；
即
时，可使活动场地与停车场占地总面积最大．
【解析】【分析】
(
Ⅰ
)根据三角函数的定义及矩形的面积公式，即可确定函数的表达式；
(Ⅱ)
求导数，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最值和此时的余弦值.