1.3 空间向量及其运算的坐标表示 课后练习- 2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册（Word含答案解析）

第一章空间向量与立体几何第三节1.3空间向量及其运算的坐标表示课后练习2021-2022学年高中数学人教A版2019选择性必修一
一、单选题（共11题）
1.已知向量
，
，
，则向量
的坐标为（???
）.
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
2.已知
，
满足
，则
等于（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
3.设
，向量
，
，
，且
，
，则
（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.?3?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?4
4.在空间直角坐标系中，向量
，
，则向量
（???
）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
5.已知
，
，若
，则常数
（
???）
A.?-6??????????????????????????????????????????B.?6??????????????????????????????????????????C.?-9??????????????????????????????????????????D.?9
6.已知空间向量
，
，且
，则实数
（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.?-3?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?6
7.已知向量
，
，则
等于（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
8.已知正方体的棱长为a，
，
点N为的中点，
则=（??）
A.??????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
9.在直三棱柱
中,
已知
和
分别为
和
的中点,
与
分别为线段
和
上的动点(不包括端点),若
,则线段
的长度的取值范围为(???
)
A.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
10.若
=（2，﹣3，1），
=（2，0，3），
=（0，2，2），则
?（
+
）=（???
）
A.?4???????????????????????????????????????????B.?15???????????????????????????????????????????C.?7???????????????????????????????????????????D.?3
11.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，
，
，
所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系D﹣xyz，且MN是AB1与BC1的公垂线，M在AB1上，N在BC1上，则等于（　　）
A.?(1,,)????????????????????????????B.?(,1,)????????????????????????????C.?(-,,-)????????????????????????????D.?(,-,)
二、填空题（共6题）
12.若
，
，
，则
________
13.在平面直角坐标系中，点
关于
轴的对称点为
，那么，在空间直角坐标系中，
关于
轴的对称点
坐标为________，若点
关于
平面的对称点为点
，则
________．
14.已知向量
，
，并且
，
同向，则
，
的值分别为________．
15.已知
，
，且
，则
________.
16.若向量
，满足条件
，则
________.
17.如图，在长方体
中，
，
，
，
分别是面
、面
的中心，则
、
两点间的距离为________.
三、综合题（共3题）
18.已知=（3，4，5），=（2，﹣1，1），=（1，1，﹣1），=（0，3，3），求沿
，
，
的正交分解．
19.如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为PC中点，E为AD中点，PA＝AC＝2，BC＝1．
（1）求证：AD⊥平面PBC：
（2）求PE与平面ABD所成角的正弦值．
20.如图，四棱锥
中,底面
是边长为4的正方形,侧面
为正三角形且二面角
为
.
（Ⅰ）设侧面
与
的交线为
,求证:
;
（Ⅱ）设底边
与侧面
所成角的为
,求
的值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
【解析】【解答】向量
，
，
，
则向量
，
故答案为：A.
【分析】由空间向量的坐标公式代入数值计算出结果即可。
2.【答案】
B
【解析】【解答】因为
，
,
因为
，所以
，即
，
得
，
.
故答案为：B.
【分析】根据空间向量的共线可得答案.
3.【答案】
C
【解析】【解答】解：
，
，得
，
又
，则
，得
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】通过
，
，可列式求出
，则可求出
，进而求出
.
4.【答案】
A
【解析】【解答】由题意
．
故答案为：A．
【分析】由空间向量的坐标运算计算出结果即可。
5.【答案】
A
【解析】【解答】解：由
得
，
又∵
，
，
,
解得
,
故答案为：A.
【分析】等价转化为
,利用空间向量的坐标运算得到关于
的方程，解之即可.
6.【答案】
A
【解析】【解答】解：因为
，
所以
，即：
，
所以
，解得
.
故答案为：A.
【分析】根据空间向量共线关系直接求解即可得答案.
7.【答案】
C
【解析】【解答】
故
故答案为：C
【分析】由向量加法的坐标公式结合向量模的定义即可得出答案。
8.【答案】
A
【解析】【解答】以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0,0，a），N（a，0，），(a,a，0)，设M（x，y，z），因为，
所以（x-0，y-0，z-a）
=（a-x，a-y，0-z）即，
解得，
即M（,,），所以=，
故选A.
9.【答案】
A
【解析】【解答】建立如图所示的空间直角坐标系，
则
,
,
,
,
，由于
，所以
，
，当
时，线段
长度的最小值是
，当
时，线段
的最大值是
，由于不包括端点，故
不能取，
故答案为：A.
【分析】首先建立直角坐标系求出各个点坐标再由勾股定理结合已知条件得到关于y
一元二次方程，由一元二次方程的性质即可得到当
时，线段
长度的最小值是
，当
时，线段
的最大值是
进而得到DF的取值范围。
10.【答案】
D
【解析】【解答】解：∵
=（2，0，3），
=（0，2，2），
∴
+
=（2，2，5），
∴
?（
+
）=2×2+（﹣3）×2+1×5=3，
故选D．
【分析】先求出
+
，再利用空间向量的数量积公式
，
求出
?（
+
）．
11.【答案】
C
【解析】【解答】解：如图所示．A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），C1（0，1，1）．
∴=（0，1，1），=（﹣1，0，1）．
∵点M在AB1上，N在BC1上．
∴可设
∴=（1，λ，λ）．
=（1﹣μ，1，μ）．
∴=（﹣μ，1﹣λ，μ﹣λ）．
∵
∴
∴．
故选C．
【分析】如图所示．A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），C1（0，1，1）．可得
，
．
由于点M在AB1上，N在BC1上．可设．
于是点M，N的坐标可用λ，μ表示．由公垂线可得．
再利用数量积与垂直的关系即可得出．
二、填空题
12.【答案】
3
【解析】【解答】
【分析】根据空间向量的坐标运算求解。
13.【答案】
（-1，-2，-3）；
【解析】【解答】（1）由题得
关于
轴的对称轴点
坐标为
；（2）点
关于
平面的对称点为点
（1,-1，-2），
所以
.
故答案为：（-1，-2，-3）；
【分析】（1）根据空间对称点的位置关系特点写出点
坐标；（2）先求出点
坐标，再求出
的值.
14.【答案】
1，3
【解析】【解答】
，
同向
，
即
．
得
或
．
当
时，
；
当
时，
．
①当
时，
，
此时
，
反向，不符合题意，所以舍去．
②当
时，
，此时
与
同向，
故答案为：1，3.
【分析】根据题意由已知条件即可得出向量共线，利用空间向量平行的坐标运算公式代入数值得到关于x与y
的方程组，求解出结果即可得到向量的坐标，由此即可判断出两个向量是否同向由此即可得出答案。
15.【答案】
【解析】【解答】由题,因为
,所以
,即
,
所以
,则
,
所以
,
故答案为：
【分析】由
可得
,即可求得
,则
,进而求模即可
16.【答案】
2
【解析】【解答】依题意可得
，
，所以由
，所以
.
【分析】直接利用空间向量数量积运算的坐标表示求解即可.
17.【答案】
【解析】【解答】以
为坐标原点，分别以
，
，
所在方向为
、
、
轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
由条件知
，
.∴
，∴
、
两点间的距离为
.
故答案为：
【分析】以
为坐标原点，分别以
，
，
所在方向为
、
、
轴的正半轴，建立空间直角坐标系，分别列出E与F的空间坐标，然后，利用两点间距离公式即可求解
三、综合题
18.【答案】
解：因为=（3，4，5），=（2，﹣1，1），=（1，1，﹣1），=（0，3，3），
设=α+β+λ
，
即（3，4，5）=（2α+β，﹣α+β+3λ，α﹣β+3λ），
所以
，
解此方程组得
，
所以沿
，
，
的正交分解为=++
【解析】【分析】利用空间向量基本定理，将表示为
，
，
的表达式，利用向量相等得到相关系数即可．
19.【答案】
（1）证明：∵
平面ABC，∴
又因为
，
∴
平面PAC，∴
．
∵
，D为PC中点，
∴
，又∵
，
∴
平面PBC
（2）解：以C为坐标原点建立如图空间直角坐标系
，
，
，∴
，
，
∴
，
，
．
设平面ABD的法向量为
，
则
，令
，则
，得
．
设PE与平面ABD所成角为
，则
【解析】【分析】（1）先通过线面垂直的判定定理，得出
平面PAC，所以
，由等腰三角形的性质可得
，
，可得最后结果.（2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，求A，B，P，D，E点的坐标，求平面ABD的法向量为
，利用线面角的公式
即可得出结果.
20.【答案】
证明:(Ⅰ)因为
,所以
平面
.
又因为侧面
与
的交线为
,所以m∥BC．
（Ⅱ）解:取
的中点
、
的中点
,连接
、
则
,
.所以
是侧面
与底面所成二面角的平面角．
从而
.作
于
,则
底面
.
因为
,
.所以
,
.
以
为原点，
、
为
、
轴.如图建立空间直角坐标系．
则
,
,
．
设
是平面
的法向量，则
取
,得
.则
．
【解析】【分析】(Ⅰ)先证明
平面
,再根据线面平行的性质定理即可证.(Ⅱ)
取
的中点
、
的中点
,由二面角的定义可知
.作
，以
为原点,
、
为
、
轴,建立空间直角坐标系,求出平面
的法向量
,则由
可求.