2019-2020学年安徽省淮北市五校联考九年级（上）第三次月考数学试卷(word版含解析)

2019-2020学年安徽省淮北市五校联考九年级（上）第三次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）计算sin45°的结果是（　　）
A．
B．1
C．
D．
2．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝4，CE＝3，那么AE的值是（　　）
A．
B．1
C．
D．2
3．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如表：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
﹣5
﹣5
﹣9
﹣17
…
则该函数的对称轴为（　　）
A．y轴
B．直线x＝
C．直线x＝1
D．直线x＝
4．（4分）如图，反比例函数y＝（k＜0）的图象与经过原点的直线相交于A，B两点，已知A点坐标为（﹣2，1），那么B点的坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣2）
B．（﹣2，﹣1）
C．（1，﹣2）
D．（2，﹣1）
5．（4分）下列各式中，不成立的是（　　）
A．cos60°＝2sin30°
B．sin15°＝cos75°
C．tan30°?tan60°＝1
D．sin230°+cos230°＝1
6．（4分）在△ABC中，sinA＝cos（90°﹣C）＝，则△ABC的形状是（　　）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
7．（4分）如图，点D，E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，DE∥BC．若EC＝3EA，△AED的周长为3，则△ABC的周长为（　　）
A．3
B．6
C．9
D．12
8．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinA＝（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanB＝，则锐角A满足（　　）
A．0°＜A＜30°
B．30°＜A＜45°
C．45°＜A＜60°
D．60°＜A＜90°
10．（4分）如图，一次函数y1＝﹣x与二次函数y2＝ax2+bx+c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能为（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则sinB＝　
　．
12．（5分）已知二次函数图象可由与抛物线y＝﹣x2平移得到，且这个二次函数顶点为（1，﹣2），则该二次函数的解析式为
　
　．
13．（5分）我们把顶角是36°的等腰三角形叫作“黄金等腰三角形”．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，△ABC就是“黄金等腰三角形”，此时BC＝AC，过点B作∠ABC的角平分线交AC于点D，若AC＝2，则CD＝　
　．
14．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是对角线AC上一动点，若以点P，A，B为顶点的三角形是以AB为腰长的等腰三角形，则△PAB的面积是　
　
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：sin60°﹣cos245°﹣sin30°?cos30°．
16．（8分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，BC＝5m，CD＝20m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡度i＝1：2，求坝底宽AD的长．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）黄金塔建于公元998年，为安徽省现存年代最早的古塔建筑．某校数学社团的同学对此塔的高度进行了测量．如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，则该塔的高度CD为多少米？（结果保留根号）
18．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×10网格中，点A，B，C均为网格线的交点．
（1）用无刻度的直尺作BC边上的中线AD（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）①在给定的网格中，以A为位似中心将△ABC缩小为原来的，得到△AB'C'，请画出△AB'C'．
②填空：tan∠AB'C'＝　
　．
五、（本大题共2小题，毎小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，A，B两地被大山阻隔，C地在A地的北偏东60°的方向上，在B地西北方向上，且A，C两地间距离为20km，若要从A地到B地，现只能沿着的公路先从A地到的C地，再由C地到B地．计划开凿隧道，使A，B两地直线贯通，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到0.1km，参考数据≈1.414，≈1.732）
20．（10分）在矩形ABCD中，DC＝2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．
（1）求证：△DEC∽△FDC；
（2）当F为AD的中点时，求BC的长度．
六、（本满分12分）
21．（12分）如图，已知直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，m）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P是位于直线AB上方抛物线上的一动点，当△PAB的面积S最大时，求此时△PAB的面积S及点P的坐标．
七、（本題满分12分）
22．（12分）我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴Ox，建立平面直角坐标系（如图所示），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为r＝（r总是正的），把角α的三角函数规定为：sinα＝，cosα＝，tanα＝．很显然，图中三个比值的大小仅与角α的大小有关，而与点P所在角α的终边位置无关．
根据上述定义，解答问题：
（1）若270°＜α＜360°，则角α的三角函数值sinα，cosα，tanα，其中取正值的是
　
　；
（2）若角α的终边与直线y＝2x重合，求sinα+cosα的值；
（3）若角α是钝角，其终边上一点P（x，），且cosα＝x，求tanα的值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）在边长为1的正方形ABCD中，点E从点A沿AD向点D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG．
（1）线段AE与CG是否相等？请说明理由；
（2）若设AE＝x，DH＝y，当x取何值时，y最大？
（3）连接BH，当点E运动到AD的什么位置时，△BEH∽△BAE？
2019-2020学年安徽省淮北市五校联考九年级（上）第三次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）计算sin45°的结果是（　　）
A．
B．1
C．
D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：sin45°＝．
故选：A．
2．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝4，CE＝3，那么AE的值是（　　）
A．
B．1
C．
D．2
【分析】先根据平行线分线段成比例得到，则可计算出AE即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，即＝
解得：AE＝，
故选：C．
3．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如表：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
﹣5
﹣5
﹣9
﹣17
…
则该函数的对称轴为（　　）
A．y轴
B．直线x＝
C．直线x＝1
D．直线x＝
【分析】根据表格中的数据可以写出该函数的对称轴，本题得以解决．
【解答】解：由表格可得，
该函数的对称轴是：直线x＝，
故选：B．
4．（4分）如图，反比例函数y＝（k＜0）的图象与经过原点的直线相交于A，B两点，已知A点坐标为（﹣2，1），那么B点的坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣2）
B．（﹣2，﹣1）
C．（1，﹣2）
D．（2，﹣1）
【分析】根据函数的对称性可得答案．
【解答】解：∵正比例函数和反比例函数都是关于原点为对称中心的中心对称图形，
∴点A与点B关于原点对称，
又∵点A（﹣2，1），
∴点B（2，﹣1），
故选：D．
5．（4分）下列各式中，不成立的是（　　）
A．cos60°＝2sin30°
B．sin15°＝cos75°
C．tan30°?tan60°＝1
D．sin230°+cos230°＝1
【分析】根据互余两角的三角函数关系判断即可．
【解答】解：A、cos60°＝sin30°，错误；
B、sin15°＝cos75°，正确；
C、tan30°?tan60°＝1，正确；
D、sin230°+cos230°＝1，正确；
故选：A．
6．（4分）在△ABC中，sinA＝cos（90°﹣C）＝，则△ABC的形状是（　　）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
【分析】计算出∠A和∠C的角度来即可确定．
【解答】解：∵sinA＝cos（90°﹣C）＝，
∴∠A＝45°，90°﹣∠C＝45°，
即∠A＝45°，∠C＝45°，
∴∠B＝90°，
即△ABC为直角三角形，
故选：B．
7．（4分）如图，点D，E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，DE∥BC．若EC＝3EA，△AED的周长为3，则△ABC的周长为（　　）
A．3
B．6
C．9
D．12
【分析】由已知得出＝，＝，由平行线得出△AED∽△ACB，由相似三角形的性质得出＝＝，即可得出△ABC的周长．
【解答】证明：∵EC＝3EA，
∴＝，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ACB，
∴＝＝，
∴△ABC的周长＝2△AED的周长＝2×3＝6；
故选：B．
8．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinA＝（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】先利用正切的定义得到tanA＝＝，则设BC＝5x，AC＝12x，利用勾股定理计算出AB＝13x，然后根据正弦的定义求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴tanA＝＝，
设BC＝5x，AC＝12x，
∴AB＝＝13x，
∴sinA＝＝＝．
故选：D．
9．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tanB＝，则锐角A满足（　　）
A．0°＜A＜30°
B．30°＜A＜45°
C．45°＜A＜60°
D．60°＜A＜90°
【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合tanB＝的值得出∠B的取值范围，进而得出∠A的取值范围．
【解答】解：∵tan30°＝≈0.58，
tan45°＝1，
tanB＝，
∴30°＜B＜45°，
∴45°＜A＜60°．
故选：C．
10．（4分）如图，一次函数y1＝﹣x与二次函数y2＝ax2+bx+c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】由一次函数y1＝﹣x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b+1）x+c＝0有两个不相等的根，进而得出函数y＝ax2+（b+1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y＝ax2+（b+1）x+c的对称轴x＝﹣＜0，即可进行判断．
【解答】解：∵一次函数y1＝﹣x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，
∴方程ax2+（b+1）x+c＝0有两个不相等的根，
∴函数y＝ax2+（b+1）x+c与x轴有两个交点，
∵﹣＜0，a＞0
∴﹣＝﹣﹣＜0
∴函数y＝ax2+（b+1）x+c的对称轴x＝﹣＜0，
∵a＞0，开口向上，与y轴交点在正半轴．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则sinB＝　　．
【分析】直接根据把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，得出答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，
∴sinB＝＝．
故答案为：．
12．（5分）已知二次函数图象可由与抛物线y＝﹣x2平移得到，且这个二次函数顶点为（1，﹣2），则该二次函数的解析式为
　y＝﹣x2+x﹣　．
【分析】根据平移的性质，求出a的值，再由顶点坐标确定出解析式即可．
【解答】解：根据题意得：a＝﹣，顶点坐标为（1，﹣2），
则二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2﹣2＝﹣x2+x﹣．
故答案为y＝﹣x2+x﹣．
13．（5分）我们把顶角是36°的等腰三角形叫作“黄金等腰三角形”．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，△ABC就是“黄金等腰三角形”，此时BC＝AC，过点B作∠ABC的角平分线交AC于点D，若AC＝2，则CD＝　3﹣　．
【分析】由△ABC是“黄金等腰三角形”求出BC的长，再证AD＝BD，BD＝BC，则AD＝BC＝﹣1，即可求解．
【解答】解：∵△ABC是“黄金等腰三角形”，AC＝2，
∴BC＝AC＝﹣1，
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝36°，
∴AD＝BD，
∴∠BDC＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，
∴AD＝BC＝﹣1，
∴CD＝AC﹣AD＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故答案为：3﹣．
14．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P是对角线AC上一动点，若以点P，A，B为顶点的三角形是以AB为腰长的等腰三角形，则△PAB的面积是　或　
【分析】分两种情况：①当AB＝AP时，如图1所示，以AB为底，过点P作PE⊥AB，根据相似或三角函数计算出PE值即可求面积；②当AB＝PB时，如图2所示，以AP为底，过B点作BH⊥AP，利用三角函数计算出BH值即可计算三角形面积．
【解答】解：分两种情况：
①当AB＝AP时，如图1所示，过点P作PE⊥AB，
sin∠PAE＝，即．
解得PE＝．
所以△PAB的面积为×AB×PE＝；
②当AB＝PB时，如图2所示，过B点作BH⊥AP．
sin∠HPB＝＝sin∠BAP＝，即，
解得：BH＝．
HP＝BPcos∠HPB＝3×＝，
所以AP＝2HP＝．
所以△PAB的面积为×AP×BH＝
故答案为或．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：sin60°﹣cos245°﹣sin30°?cos30°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案．
【解答】解：原式＝×﹣（）2﹣×
＝﹣﹣
＝﹣．
16．（8分）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，BC＝5m，CD＝20m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡度i＝1：2，求坝底宽AD的长．
【分析】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，由坡度的概念、勾股定理求出DF的长，再由坡度的概念求出AE的长，即可求解．
【解答】解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，如图：
则四边形BCFE是矩形，
∴EF＝BC＝5m，BE＝CF，
设BE＝CF＝xm，
∵斜坡CD的坡度i＝1：2＝CF：DF，
∴DF＝2CF＝2xm，
由勾股定理得，CF2+DF2＝CD2，即x2+（2x）2＝（20）2，
解得，x＝20，
∴BE＝CF＝20m，DF＝40m，
∵斜坡AB的坡度i＝1：2.5＝BE：AE，
∴AE＝2.5BE＝2.5×20＝50（m），
∴AD＝AE+EF+DF＝50+5+40＝95（m），
即坝底宽AD的长为95m．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）黄金塔建于公元998年，为安徽省现存年代最早的古塔建筑．某校数学社团的同学对此塔的高度进行了测量．如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，则该塔的高度CD为多少米？（结果保留根号）
【分析】由题意得∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，再证BD＝AB＝60m，然后由锐角三角函数定义即可求解．
【解答】解：根据题意得：AB＝60m，∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC，
∴∠ADB＝∠DBC﹣∠A＝30°，
∴∠ADB＝∠A，
∴BD＝AB＝60m，
∴CD＝BD?sin60°＝60×＝30（m），
即该塔的高度CD为30米．
18．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×10网格中，点A，B，C均为网格线的交点．
（1）用无刻度的直尺作BC边上的中线AD（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）①在给定的网格中，以A为位似中心将△ABC缩小为原来的，得到△AB'C'，请画出△AB'C'．
②填空：tan∠AB'C'＝　2　．
【分析】（1）利用网格作出BC的中点，再连接AD即可得；
（2）①根据位似变换的定义作图可得；
②先利用勾股定理逆定理证△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，再利用tan∠AB′C′＝tan∠ABC＝可得答案．
【解答】解：（1）如图所示，AD即为所求；
（2）①如图所示，△AB'C'即为所求；
②∵BC2＝32+32＝18，AC2＝62+62＝72，AB2＝32+92＝90，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∵△ABC∽△AB′C′，
∴tan∠AB′C′＝tan∠ABC＝＝＝2，
故答案为：2．
五、（本大题共2小题，毎小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，A，B两地被大山阻隔，C地在A地的北偏东60°的方向上，在B地西北方向上，且A，C两地间距离为20km，若要从A地到B地，现只能沿着的公路先从A地到的C地，再由C地到B地．计划开凿隧道，使A，B两地直线贯通，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到0.1km，参考数据≈1.414，≈1.732）
【分析】由含30°角的直角三角形的性质得CD＝AC＝10（km）．再由勾股定理得AD＝10（km），然后证BD＝CD＝10km则BC＝10（km），即可求解．
【解答】解：过点C作AB的垂线CD，垂足为D．
也同样得：AC＝20km，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，
∴CD＝AC＝10（km）．
∴AD＝＝＝10（km），
在Rt△CDB中，∠CBD＝45°，
∴△CDB是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝10km，
∴BC＝＝＝10（km），
∴AC+BC﹣AB＝AC+BC﹣（AD+BD）
＝20+10﹣（10+10）
＝10+10﹣10
≈6.8（km），
即从A地到B地的路程将缩短约6.8km．
20．（10分）在矩形ABCD中，DC＝2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．
（1）求证：△DEC∽△FDC；
（2）当F为AD的中点时，求BC的长度．
【分析】（1）根据矩形的性质、同角的余角相等得到∠CDE＝∠DFE，得到答案；
（2）根据DF∥BC，得到＝＝，根据相似三角形的性质得到CE?CF＝CD2＝12，求出CF，根据勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FDC＝90°，
∴∠FDE+∠CDE＝90°，
∵CF⊥BD，
∴∠FDE+∠DFE＝90°，
∴∠CDE＝∠DFE，又∴∠DEC＝∠CDF＝90°，
∴△DEC∽△FDC；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DF∥BC，
∴＝＝，
∵△DEC∽△FDC，
∴CE?CF＝CD2＝12，
∴CF＝3，
∴DF＝＝，
∴BC＝AD＝2．
六、（本满分12分）
21．（12分）如图，已知直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，m）两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P是位于直线AB上方抛物线上的一动点，当△PAB的面积S最大时，求此时△PAB的面积S及点P的坐标．
【分析】（1）先把B（2，m）代入y＝x+1中求出m得到B（2，3），然后把A点和B点坐标代入y＝ax2+2x+c中得a、c的方程组，再解方程组即可；
（2）过P点作PC∥y轴交AB于C，如图，设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则C（t，t+1），所以PC＝﹣t2+t+2，利用三角形面积公式得到S△PAB＝2PC＝2（﹣t2+t+2），然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）把B（2，m）代入y＝x+1得m＝3，则B（2，3），
把A（﹣1，0）、B（2，3）代入y＝ax2+2x+c得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过P点作PC∥y轴交AB于C，如图，
设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则C（t，t+1），
∴PC＝﹣t2+2t+3﹣（t+1）＝﹣t2+t+2，
∵S△PAB＝S△PAC+S△PBC＝?PC×|3﹣（﹣1）|＝2PC，
∴S△PAB＝2（﹣t2+t+2）
＝﹣2（t2﹣t+﹣﹣2）
＝﹣2（t﹣）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴当t＝时，S△PAB有最大值，此时P点坐标为（，）．
七、（本題满分12分）
22．（12分）我们学习了锐角三角函数的意义，为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴Ox，建立平面直角坐标系（如图所示），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为r＝（r总是正的），把角α的三角函数规定为：sinα＝，cosα＝，tanα＝．很显然，图中三个比值的大小仅与角α的大小有关，而与点P所在角α的终边位置无关．
根据上述定义，解答问题：
（1）若270°＜α＜360°，则角α的三角函数值sinα，cosα，tanα，其中取正值的是
　cosα　；
（2）若角α的终边与直线y＝2x重合，求sinα+cosα的值；
（3）若角α是钝角，其终边上一点P（x，），且cosα＝x，求tanα的值．
【分析】（1）先确定点P所在的象限，从而确定x、y的正负号，再根据定义，即可判断每个函数值的正负号，得出要求的结果；
（2）由点P在直线y＝2x上，将点P的纵坐标用含x的代数式表示，直线y＝2x经过原点和第一、第三象限，则点P可以在第一象限也可以在第三象限，分两种情况分别求出sinα+cosα的值；
（3）角α是钝角，则点P在第二象限，由cosα＝x且cosα＝，先求出r的值，再求出点P的横坐标即可求出tanα的值．
【解答】解：（1）如图1，
∵270°＜α＜360°，
∴点P（x，y）在第四象限，
∴x＞0，y＜0，
∵r＞0，
∴sinα＝＜0，cosα＝＞0，tanα＝＜0，
∴sinα、cosα、tanα中的正值是cosα，
故答案为：cosα．
（2）∵直线y＝2x经过原点和第一、第三象限，且角α的终边与直线y＝2x重合，
∴点P（x，y）在第一象限或第三象限，且可以表示为P（x，2x），
作PQ⊥x轴于点Q．
如图2，点P在第一象限，则x＞0，y＞0，
∴r＝＝＝|x|＝x，
∴sinα+cosα＝+＝+＝；
如图3，点P在第三象限，则x＜0，y＜0，
∴r＝＝＝|x|＝x
∴sinα+cosα＝+＝+＝；
综上所述，sinα+cosα的值为或.
（3）如图4，
∵角α是钝角，且点P（x，）是角α终边上一点，
∴点P在第二象限，
作PQ⊥x轴于点Q，
∵cosα＝x，且cosα＝，
∴＝x，
解得，r＝2，
∴OQ＝＝＝，
∴Q（，0），P（，），
∴tanα＝＝＝．
八、（本题满分14分）
23．（14分）在边长为1的正方形ABCD中，点E从点A沿AD向点D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG．
（1）线段AE与CG是否相等？请说明理由；
（2）若设AE＝x，DH＝y，当x取何值时，y最大？
（3）连接BH，当点E运动到AD的什么位置时，△BEH∽△BAE？
【分析】（1）根据SAS证△ABE≌△CBG，即可得证AE＝CG；
（2）先证△ABE∽△DEH，得＝，即可求出函数解析式y＝﹣x2+x，继而求出最值；
（3）要使△BEH∽△BAE，需＝，又因为△ABE∽△DEH，所以＝＝，即＝，即当E点事AD的中点时，△BEH∽△BAE．
【解答】解：（1）AE＝CG；理由如下：
在正方形ABCD和正方形BEFG中，
∵∠ABE+∠EBC＝90°，∠CBG+∠EBC＝90°，
∴∠ABE＝∠CBG，
又∵AB＝BC，BE＝BG，
∴△ABE≌△CBG（SAS），
∴AE＝CG；
（2）在正方形ABCD和正方形BEFG中，
∵∠A＝∠D＝∠FEB＝90°，
∴∠DEH+∠AEB＝90°，∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠DEH＝∠ABE，
∴△ABE∽△DEH，
∴＝，
∴＝，
∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，
即当x＝时，y有最大值为；
（3）当点E是AD中点时，△BEH∽△BAE，理由如下：
∵E是AE的中点，
∴AE＝，
∴DH＝，
又∵△ABE∽△DEH，
∴＝＝，
又∵＝，
∴＝，
又∵∠DAB＝∠FEB＝90°，
∴△BEH∽△BAE．