《26.3 实践与探索》同步练习 2020-2021学年华东师大版数学九年级下册（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 《26.3 实践与探索》同步练习 2020-2021学年华东师大版数学九年级下册（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 692.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-30 23:24:02 | ||
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文档简介
《26.3
实践与探索》同步练习2020-2021年数学华东师大版九（下）
一．选择题（共13小题）
1．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（ ）
A．abc＜0
B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜5
C．b2﹣4ac＞0
D．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1
2．如图，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2
B．x＜0或x＞2
C．x＜0或x＞4
D．0＜x＜4
3．如下表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解（精确到0.1）为（ ）
x
…
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
…
y
…
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
1.25
…
A．2.2
B．2.3
C．2.4
D．2.5
4．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），则方程ax2+bx+c＝0的一个解只可能是（ ）
A．2.18
B．2.68
C．﹣0.51
D．2.45
5．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＞﹣5
B．﹣5＜t＜3
C．3＜t≤4
D．﹣5＜t≤4
6．已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．对于一个函数，自变量x取c时，函数值为0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣8x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+8x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列式子一定正确的是（ ）
A．0＜＜1
B．＞1
C．0＜＜1
D．＞1
8．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段BC上方的抛物线上一动点，当△BCP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（2，3）
B．（，）
C．（1，3）
D．（3，2）
9．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：
①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；
②x＞0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；
③AB的长度可以等于5；
④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，
其中正确的结论是（ ）
A．①②④
B．①②⑤
C．②③④
D．③④⑤
10．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（ ）
A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1
B．当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大
C．当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0
D．当x＝1时，函数的最大值是4
11．如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子滑车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了原子滑车在该路段运行的x与y的三组数据A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），根据上述函数模型和数据，可推断出，此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离x满足（ ）
A．x＜x1
B．x1＜x＜x2
C．x＝x2
D．x2＜x＜x3
12．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（ ）
A．3min
B．3.75min
C．5min
D．7.5min
13．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）的函数关系式满足y＝﹣t2+60t，则飞机着陆至停下来滑行的距离是（ ）
A．25m
B．50m
C．625m
D．750m
二．填空题（共4小题）
14．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点．则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是
．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+）2﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线顶点．
（1）求tan∠DAC＝
；
（2）若点P是线段AC上的一个动点，∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，当点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动．求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长为
．
16．二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点M（﹣2，m）、N（1，n）两点（mn＜0），则关于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为
．
17．如图，抛物线y＝（x+2）（x﹣4）与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA上靠近点A的三等分点，连接OQ，则线段OQ的最大值是
．
三．解答题（共6小题）
18．已知函数y＝a|x﹣2|+x+b（a，b为常数）．当x＝3时，y＝0，当x＝0时，y＝﹣1，请对该函数及其图象进行探究：
（1）a＝
，b＝
；
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象，并结合所画图象，写出该函数的一条性质．
（3）已知函数y＝﹣x2+4x+5的图象如图所示，结合图象，直接写出不等式a|x﹣2|+x+b≥﹣x2+4x+5的解集．
19．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）方程ax2+bx+c＝0的两个根为
，不等式ax2+bx+c＞0的解集为
；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝k的两个不相等的实数根，则k的取值范围为
；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0在1＜x＜4的范围内有实数根，求t的取值范围．
20．已知抛物线y＝﹣x2+2ax﹣4．
（1）讨论抛物线与x轴的交点个数，必要时可阅读【链接材料】．
（2）若a＝1，当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值与最小值之差为4m，求实数m的值．
链接材料：对于解一元二次不等式，常采用数形结合的方式．
例：解不等式：x2+x﹣2＞0．
解：不等式x2+x﹣2＞0的解集，
等价于不等式（x﹣1）（x+2）＞0的解集，
等价于函数y＝（x﹣1）（x+2）的图象在x轴上方部分对应的x的取值范围．
如图，在平面直角坐标系（隐去y轴）中，画出函数y＝（x﹣1）（x+2）的大致图象，由图象可知：函数y＝（x﹣1）（x+2）的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
∴不等式x2+x﹣2＞0的解集是x＜﹣2或x＞1．
21．在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，规定：（1）符号[a，b，c]称为该抛物线的“抛物线系数”；（2）如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
完成下列问题：
（1）若一条抛物线的系数是[﹣1，0，m]，则此抛物线的函数表达式为
，当m满足
时，此抛物线没有“抛物线三角形”；
（2）若抛物线y＝x2+bx的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求出抛物线系数为[1，﹣5，3b]的“抛物线三角形”的面积；
（3）在抛物线y＝ax2+bx+c中，系数a，b，c均为绝对值不大于1的整数，求该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率．
22．在平面直角坐标系中，将函数y＝﹣x2﹣2ax+a（x≥0，a为常数）的图象记为G，图象G的最高点为P（x0，y0）．
（1）当a＝﹣2时，则y0＝
．
（2）当a＞0时，求点P的坐标．
（3）若点P到x轴的距离为1，求a的值．
（4）矩形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（1，1）、（3，2），且其中的一条边平行于坐标轴．当图象G在矩形ABCD内的部分随x的增大，y的值先增大后减小时，直接写出a的取值范围．
23．如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C（0，4），与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝
，A
（
，
），B
（
，
）；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），试求PQ+PN的最大值；
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共13小题）
1．解：A．函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，c＞0，故abc＜0，故A正确，不符合题意；
B．由函数的对称性知，抛物线和x轴的另外一个交点为（﹣1，0），故不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，故B错误，符合题意；
C．函数和x轴有两个交点，故C正确，不符合题意；
D．由B知，方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1正确，故D正确，不符合题意；
故选：B．
2．解：联立，
解得，，
∴两函数图象交点坐标为（0，0），（2，4），
由图可知，y1＜y2时x的取值范围是x＜0或x＞2．
故选：B．
3．解：当x＝2.3时，y＝﹣0.11；当x＝2.4时，y＝0.56．
∵﹣0.11更接近于0，
∴方程的一个近似根为2.3．
故选：B．
4．解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），
∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54，
∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68，
只有选项D符合，
故选：D．
5．解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，由题意可知：m＝4，
当x＝1时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，
∴﹣5＜t≤4．
故选：D．
6．解：∵点A、B的纵坐标相同，
∴函数的对称轴为x＝（1+m+2）＝＝，
解得b＝m+3，
∵二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，
则△＝b2﹣4c＝（m+3）2﹣4c＝0，解得c＝（m+3）2，
当x＝1时，y＝n＝1﹣b+c＝1﹣（m+3）+（m+3）2＝，
故选：C．
7．解：由题意关于x的方程x2+8x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣8x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣4，
∴x3＜x1＜﹣4，
由图象可知：0＜＜1一定成立，
故选：A．
8．解：对于y＝﹣x2+x+2，令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或4，令x＝0，则y＝2，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）、（0，2），
过点P作y轴的平行线交BC于点H，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+2，
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点H的坐标为（x，﹣x+2），
则△BCP的面积＝S△PHB+S△BHC＝PH×OB＝×4×（﹣x2+x+2+x﹣2）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故△BCP的面积有最大值，
当x＝2时，△BCP的面积有最大值，
此时，点P的坐标为（2，3），
故选：A．
9．解：①抛物线y＝ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；
②根据图象得：直线y＝kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y＝ax2（a≠0）当x＞0时为增函数，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；
③由A、B横坐标分别为﹣2，3，若AB＝5，可得出直线AB与x轴平行，即k＝0，
与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；
④若OA＝OB，得到直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，
∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；
⑤直线y＝﹣kx+b与y＝kx+b关于y轴对称，如图所示：
可得出直线y＝﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3，2，
由图象可得：当﹣3＜x＜2时，ax2＜﹣kx+b，即ax2+kx＜b，
则正确的结论有①②⑤．
故选：B．
10．解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x＝﹣＝1，故A正确；
令|x2﹣2x﹣3|＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴（﹣1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，
又对称轴是直线x＝1，
∴当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，故B正确；
由图象可知（﹣1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0，故C正确；
由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，
故当x＝1时的函数值4并非最大值，故D错误．
综上，只有D错误．
故选：D．
11．解：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（0，2）、B（2，1）、C（4，4），
则，
解得：，
所以x＝﹣＝﹣＝．
∴此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离x满足x1＜x＜x2．
故选：B．
12．解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，
当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.75min．
故选：B．
13．解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，
∴当t＝25时，y取得最大值750，
即飞机着陆后滑行750米才能停下来，
故选：D．
二．填空题（共4小题）
14．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点，
∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0．
15．
解：（1）如上图，过D作DE⊥y轴于E，
∵抛物线y＝（x+）2﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线顶点，
∴D（﹣，﹣4），DE＝，OE＝4，
令y＝0得（x+）2﹣4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝，
∴A（﹣3，0），B（，0），OA＝3
令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），OC＝3，
∴CE＝OE﹣OC＝，
∴OA＝OC＝3，CE＝DE＝，
∴△AOC和△CED是等腰直角三角形，AC＝3，DC＝，
∴∠ACO＝∠DEC＝45°，
∴∠DCA＝90°，
∴tan∠DAC＝＝＝，
故答案为：；
（2）∵∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，且∠DCA＝90°，
∴△ADC∽△PQD，
∴，
∵点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动，
∴P为主动点，Q为从动点，D为定点，根据“瓜豆原理”有等于P的路径（AC）与Q的路径之比，
∵AC＝3，
∴Q的路径为3×＝，
故答案为：．
16．解：由题意，可大致画出函数图象如下，
则直线y＝kx+b关于y轴对称的直线为y＝﹣kx+b，
根据图形的对称性，设点M、N关于y轴的对称点分别为点C、D，
则点C、D的横坐标分别为﹣1，2，
观察函数图象ax2+c＞﹣kx+b的解集为﹣1＜x＜2，
即x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为﹣1＜x＜2，
故答案为：﹣1＜x＜2．
17．解：令y＝（x+2）（x﹣4）＝0，则x＝4或﹣2，
故点B（4，0），点A（﹣2，0），则AB＝6，即OA＝AB，
∵Q是线段PA上靠近点A的三等分点，即QA＝AP，连接PB，
∵∠QAO＝∠PAB，且OA：AB＝QA：AP＝1：3，
则△AQO∽△APB，
∴OA：AB＝QA：AP＝OQ：PB＝1：3，
设圆的半径为r，则r＝2，
连接PC，BC，而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，
则OQ＝BP＝（BC+r）＝（+2）＝，
故答案为．
三．解答题（共6小题）
18．解：（1）由题意得：，解得，
故答案为2，﹣5；
（2）由（1）知函数的表达式为y＝2|x﹣2|+x﹣5，
当x≥2时，y＝2|x﹣2|+x﹣5＝3x﹣9，当x＜2时，y＝2|x﹣2|+x﹣5＝﹣x﹣1；
根据函数表达式画出函数图象如下：
从图象看，当x≥2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）从图象看两个函数交于点A、B（﹣1，0），
联立y＝3x﹣9和y＝﹣x2+4x+5得：3x﹣9＝﹣x2+4x+5，解得x＝（负值已舍去），
即点A的横坐标为，
从函数图象看，不等式a|x﹣2|+x+b≥﹣x2+4x+5的解集为x≤﹣1或x≥．
19．解：（1）∵抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为（1，0），（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3；不等式ax2+bx+c＞0的解集为1＜x＜3，
故答案为x1＝1，x2＝3，1＜x＜3；
（2）∵抛物线的顶点的纵坐标为2，
∴抛物线y＝ax2+bx+c＝0与直线y＝2只有一个公共点，
∴当k＜2时，抛物线y＝ax2+bx+c＝0与直线y＝k有两个公共点，
即方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，
∴满足条件的k的范围为k＜2，
故答案为k＜2；
（3）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+2，
把（1，0）代入得，0＝a+2，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣2）2+2，
把x＝4代入得y＝﹣6，
观察图象可知，t的取值范围是﹣6＜t≤2．
20．解：（1）△＝（2a）2﹣4×（﹣）×（﹣4）＝4a2﹣8，
①当抛物线和x轴没有交点时，则△＜0，
即4a2﹣8＜0，解得﹣a＜；
②当抛物线和x轴有一个交点时，则△＝0，
即4a2﹣8＝0，解得a＝；
③当抛物线和x轴有两个交点时，则△＞0，
即4a2﹣8＞0，解得a＞或a＜﹣；
综上，当抛物线和x轴没有交点时，﹣a＜，当抛物线和x轴有一个交点时，a＝，当抛物线和x轴有两个交点时，a＞或a＜﹣；
（2）当a＝1时，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝2，
①当﹣2≤m≤2时，
则抛物线在x＝m时取得最大值，此时y＝﹣m2+2m﹣4，抛物线在x＝﹣2时，取得最小值，y＝﹣×（﹣2）2+2×（﹣2）﹣4＝﹣10，
则y＝﹣m2+2m﹣4﹣（﹣10）＝4m，解得m＝﹣6（舍去）或2；
②当2＜m≤6时，
ymax＝﹣×22+2×2﹣4＝﹣2，ymin＝﹣×（﹣2）2+2×（﹣2）﹣4＝﹣10，
则﹣2﹣（﹣10）＝4m，解得m＝2（舍去）；
③当m＞6时，
ymax＝﹣×22+2×2﹣4＝﹣2，ymin＝﹣m2+2m﹣4，
则﹣2﹣（﹣m2+2m﹣4）＝4m，解得m＝6﹣4（舍去）或6+4，
综上，实数m的值为2或6+4．
21．解：（1）∵一条抛物线的系数是[﹣1，0，m]，
∴y＝﹣x2+m，
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵当抛物线的顶点在原点（0，0）或x轴下方时，此抛物线没有“抛物线三角形”，
∴当m≤0时，此抛物线没有“抛物线三角形”；
故答案为：y＝﹣x2+m，m≤0；
（2）如图1，抛物线y＝x2+bx的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
设抛物线与x轴的另一交点为A，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与x轴交于E，
由等腰直角三角形性质有：OE＝AE＝DE，即OA＝2ED，
y＝x2+bx＝﹣，
抛物线顶点D（﹣，﹣），A（﹣b，0），
∴OA＝|b|，DE＝，
则|b|＝2×，
∴b2＝2|b|，
若b≥0时，b2＝2b，解得：b1＝2，b2＝0（不存在三角形，舍去），
若b＜0时，b2＝﹣2b，解得：b1＝﹣2，b2＝0（舍去），
∴当b＝2时，抛物线系数为[1，﹣5，6]，抛物线为y＝x2﹣5x+6，
令y＝0，得：x2﹣5x+6＝0，解得：x1＝2，x2＝3，
顶点坐标为（，），与x轴的交点为（2，0），（3，0），
抛物线系数为[1，﹣5，6]的“抛物线三角形”的面积＝×（3﹣2）×＝，
当b＝﹣2时，抛物线系数为[1，﹣5，﹣6]，抛物线为y＝x2﹣5x﹣6，
顶点坐标为（，﹣），与x轴的交点为（6，0），（﹣1，0），
抛物线系数为[1，﹣5，﹣6]的“抛物线三角形”的面积＝×（6+1）×＝，
（3）∵系数a，b，c均为绝对值不大于1的整数，
∴a＝±1，b＝﹣1，0，1，c＝﹣1，0，1，
一共有18种情况，其中抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形分类考虑，
①一次项系数为0，a＝1，b＝0，c＝﹣1或a＝﹣1，b＝0，c＝1，
抛物线为y＝x2﹣1（如图2）或y＝x2+1（如图3），
EH＝2，GF＝1，EH＝2GF，
∴△EFH为等腰直角三角形，
a＝﹣1，b＝0，c＝﹣1或a＝1，b＝0，c＝1时，y＝x2+1（如图4），y＝﹣x2﹣1（如图5）没有抛物线三角形，
②系数都不为0，a＝1，b＝1，c＝1或a＝1，b＝﹣1，c＝1或a＝1，b＝1，c＝﹣1或a＝﹣1，b＝﹣1，c＝﹣1或a＝﹣1，b＝1，c＝﹣1或a＝﹣1，b＝1，c＝1或a＝﹣1，b＝﹣1，c＝1，
y＝x2+x﹣1，△＝5，x＝，EH＝，GF＝，EH≠2GF，不是，
③常数项为0，a＝1，b＝1，c＝0或a＝1，b＝﹣1，c＝0或a＝﹣1，b＝1，c＝0或a＝﹣1，b＝﹣1，c＝0都不能构成，
其它y＝±x2也没有抛物线三角形，
综上，能构成等腰直角三角形的只有两种，
该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率＝＝．
22．解：（1）当a＝﹣2时，函数y＝﹣x2﹣2ax+a（x≥0，a为常数）为y＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，
其最高点（顶点）为（2，2），
∴y0＝2，
故答案为：2．
（2）函数y＝﹣x2﹣2ax+a＝﹣（x+a）2+a2+a，
∴抛物线对称轴为x＝﹣a，
∵a＞0，
∴抛物线对称轴在y轴左侧，且开口向下，
当x≥0时，y随x的增大而减小，此时最高点P是抛物线与y轴的交点，如答图1：
在y＝﹣x2﹣2ax+a中令x＝0得y＝a，
∴当a＞0时，图象G的最高点为P（0，a）；
（3）①a＞0时，由（2）知图象G的最高点为P（0，a），点P到x轴的距离为1，
∴|a|＝1，
∵a＞0，
∴a＝1；
②a＜0时，抛物线对称轴x＝﹣a在y轴右侧，故最高点是顶点，
而函数y＝﹣x2﹣2ax+a＝﹣（x+a）2+a2+a，
∴图象G的最高点为P（﹣a，a2+a），
∵点P到x轴的距离为1，
∴a2+a＝1，解得a＝或a＝，
∵a＜0，
∴a＝，
综上所述，若点P到x轴的距离为1，则a＝1或a＝；
（4）如答图2：
图象G在矩形ABCD内的部分随x的增大，y的值先增大后减小，即是顶点在矩形ABCD内部，
∵A、C的坐标分别为（1，1）、（3，2），且其中的一条边平行于坐标轴．且顶点P（﹣a，a2+a），
∴1＜﹣a＜3且1＜a2+a＜2，
由1＜﹣a＜3得﹣3＜a＜﹣1，
由1＜a2+a＜2得＜a＜1或﹣2＜a＜，
∴﹣2＜a＜﹣1．
23．解：（1）将C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a得4＝﹣12a，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x+4，
令y＝0得0＝﹣x2+x+4，解得x1＝4，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
故答案为：﹣；﹣3，0；4，0；
（2）∵y＝﹣x2+x+4，
∴令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），OC＝4，
而B（4，0）有OB＝4，
∴OB＝OC，△BOC为等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PM⊥x轴，
∴∠BQM＝45°＝∠PQC，
∵PN⊥BC，
∴△PQN是等腰直角三角形，
∴PQ＝PN，
∴PQ+PN＝2PQ，
∴PQ+PN取最大值即是PQ取最大值，
由C（0，4），B（4，0）可得BC解析式为y＝﹣x+4，
∵M（m，0），
∴P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），
∴PQ＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）2+，
∴m＝2时，PQ最大值为，
∴PQ+PN的最大值为．
（3）∵A（﹣3，0），C（0，4），Q（m，﹣m+4），
∴AC＝＝5，AQ＝＝，CQ＝＝，
以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况：
①AC＝AQ时，＝5，解得m＝0（此时Q与C重合，舍去）或m＝1，
∴Q（1，3），
②AC＝CQ时，＝5，解得m＝或m＝﹣（此时M不在线段OB上，舍去），
∴Q（，），
③AQ＝CQ时，＝，解得m＝12.5（此时M不在线段OB上，舍去），
综上所述，以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，Q（1，3）或Q（，）．
实践与探索》同步练习2020-2021年数学华东师大版九（下）
一．选择题（共13小题）
1．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知下列说法错误的是（ ）
A．abc＜0
B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜5
C．b2﹣4ac＞0
D．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1
2．如图，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x，当y1＜y2时，x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜2
B．x＜0或x＞2
C．x＜0或x＞4
D．0＜x＜4
3．如下表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解（精确到0.1）为（ ）
x
…
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
…
y
…
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
1.25
…
A．2.2
B．2.3
C．2.4
D．2.5
4．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），则方程ax2+bx+c＝0的一个解只可能是（ ）
A．2.18
B．2.68
C．﹣0.51
D．2.45
5．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A．t＞﹣5
B．﹣5＜t＜3
C．3＜t≤4
D．﹣5＜t≤4
6．已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．对于一个函数，自变量x取c时，函数值为0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣8x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+8x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列式子一定正确的是（ ）
A．0＜＜1
B．＞1
C．0＜＜1
D．＞1
8．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段BC上方的抛物线上一动点，当△BCP的面积取得最大值时，点P的坐标是（ ）
A．（2，3）
B．（，）
C．（1，3）
D．（3，2）
9．如图，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）交于A，B两点，且点A的横坐标是﹣2，点B的横坐标是3，则以下结论：
①抛物线y＝ax2（a≠0）的图象的顶点一定是原点；
②x＞0时，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2（a≠0）的函数值都随着x的增大而增大；
③AB的长度可以等于5；
④△OAB有可能成为等边三角形；
⑤当﹣3＜x＜2时，ax2+kx＜b，
其中正确的结论是（ ）
A．①②④
B．①②⑤
C．②③④
D．③④⑤
10．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（ ）
A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1
B．当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大
C．当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0
D．当x＝1时，函数的最大值是4
11．如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子滑车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了原子滑车在该路段运行的x与y的三组数据A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），根据上述函数模型和数据，可推断出，此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离x满足（ ）
A．x＜x1
B．x1＜x＜x2
C．x＝x2
D．x2＜x＜x3
12．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（ ）
A．3min
B．3.75min
C．5min
D．7.5min
13．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间t（单位：s）的函数关系式满足y＝﹣t2+60t，则飞机着陆至停下来滑行的距离是（ ）
A．25m
B．50m
C．625m
D．750m
二．填空题（共4小题）
14．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点．则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是
．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+）2﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线顶点．
（1）求tan∠DAC＝
；
（2）若点P是线段AC上的一个动点，∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，当点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动．求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长为
．
16．二次函数y＝ax2+c的图象与直线y＝kx+b（k＞0）交于点M（﹣2，m）、N（1，n）两点（mn＜0），则关于x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为
．
17．如图，抛物线y＝（x+2）（x﹣4）与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA上靠近点A的三等分点，连接OQ，则线段OQ的最大值是
．
三．解答题（共6小题）
18．已知函数y＝a|x﹣2|+x+b（a，b为常数）．当x＝3时，y＝0，当x＝0时，y＝﹣1，请对该函数及其图象进行探究：
（1）a＝
，b＝
；
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象，并结合所画图象，写出该函数的一条性质．
（3）已知函数y＝﹣x2+4x+5的图象如图所示，结合图象，直接写出不等式a|x﹣2|+x+b≥﹣x2+4x+5的解集．
19．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）方程ax2+bx+c＝0的两个根为
，不等式ax2+bx+c＞0的解集为
；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝k的两个不相等的实数根，则k的取值范围为
；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0在1＜x＜4的范围内有实数根，求t的取值范围．
20．已知抛物线y＝﹣x2+2ax﹣4．
（1）讨论抛物线与x轴的交点个数，必要时可阅读【链接材料】．
（2）若a＝1，当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值与最小值之差为4m，求实数m的值．
链接材料：对于解一元二次不等式，常采用数形结合的方式．
例：解不等式：x2+x﹣2＞0．
解：不等式x2+x﹣2＞0的解集，
等价于不等式（x﹣1）（x+2）＞0的解集，
等价于函数y＝（x﹣1）（x+2）的图象在x轴上方部分对应的x的取值范围．
如图，在平面直角坐标系（隐去y轴）中，画出函数y＝（x﹣1）（x+2）的大致图象，由图象可知：函数y＝（x﹣1）（x+2）的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围是x＜﹣2或x＞1．
∴不等式x2+x﹣2＞0的解集是x＜﹣2或x＞1．
21．在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中，规定：（1）符号[a，b，c]称为该抛物线的“抛物线系数”；（2）如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
完成下列问题：
（1）若一条抛物线的系数是[﹣1，0，m]，则此抛物线的函数表达式为
，当m满足
时，此抛物线没有“抛物线三角形”；
（2）若抛物线y＝x2+bx的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求出抛物线系数为[1，﹣5，3b]的“抛物线三角形”的面积；
（3）在抛物线y＝ax2+bx+c中，系数a，b，c均为绝对值不大于1的整数，求该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率．
22．在平面直角坐标系中，将函数y＝﹣x2﹣2ax+a（x≥0，a为常数）的图象记为G，图象G的最高点为P（x0，y0）．
（1）当a＝﹣2时，则y0＝
．
（2）当a＞0时，求点P的坐标．
（3）若点P到x轴的距离为1，求a的值．
（4）矩形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（1，1）、（3，2），且其中的一条边平行于坐标轴．当图象G在矩形ABCD内的部分随x的增大，y的值先增大后减小时，直接写出a的取值范围．
23．如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C（0，4），与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝
，A
（
，
），B
（
，
）；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），试求PQ+PN的最大值；
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共13小题）
1．解：A．函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，c＞0，故abc＜0，故A正确，不符合题意；
B．由函数的对称性知，抛物线和x轴的另外一个交点为（﹣1，0），故不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，故B错误，符合题意；
C．函数和x轴有两个交点，故C正确，不符合题意；
D．由B知，方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1正确，故D正确，不符合题意；
故选：B．
2．解：联立，
解得，，
∴两函数图象交点坐标为（0，0），（2，4），
由图可知，y1＜y2时x的取值范围是x＜0或x＞2．
故选：B．
3．解：当x＝2.3时，y＝﹣0.11；当x＝2.4时，y＝0.56．
∵﹣0.11更接近于0，
∴方程的一个近似根为2.3．
故选：B．
4．解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），
∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54，
∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68，
只有选项D符合，
故选：D．
5．解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝t的交点的横坐标，由题意可知：m＝4，
当x＝1时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣5，
由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，
∴﹣5＜t≤4．
故选：D．
6．解：∵点A、B的纵坐标相同，
∴函数的对称轴为x＝（1+m+2）＝＝，
解得b＝m+3，
∵二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，
则△＝b2﹣4c＝（m+3）2﹣4c＝0，解得c＝（m+3）2，
当x＝1时，y＝n＝1﹣b+c＝1﹣（m+3）+（m+3）2＝，
故选：C．
7．解：由题意关于x的方程x2+8x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣8x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣4，
∴x3＜x1＜﹣4，
由图象可知：0＜＜1一定成立，
故选：A．
8．解：对于y＝﹣x2+x+2，令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或4，令x＝0，则y＝2，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）、（0，2），
过点P作y轴的平行线交BC于点H，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+2，
设点P的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点H的坐标为（x，﹣x+2），
则△BCP的面积＝S△PHB+S△BHC＝PH×OB＝×4×（﹣x2+x+2+x﹣2）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，故△BCP的面积有最大值，
当x＝2时，△BCP的面积有最大值，
此时，点P的坐标为（2，3），
故选：A．
9．解：①抛物线y＝ax2，利用顶点坐标公式得：顶点坐标为（0，0），本选项正确；
②根据图象得：直线y＝kx+b（k≠0）为增函数；抛物线y＝ax2（a≠0）当x＞0时为增函数，则x＞0时，直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大，本选项正确；
③由A、B横坐标分别为﹣2，3，若AB＝5，可得出直线AB与x轴平行，即k＝0，
与已知k≠0矛盾，故AB不可能为5，本选项错误；
④若OA＝OB，得到直线AB与x轴平行，即k＝0，与已知k≠0矛盾，
∴OA≠OB，即△AOB不可能为等边三角形，本选项错误；
⑤直线y＝﹣kx+b与y＝kx+b关于y轴对称，如图所示：
可得出直线y＝﹣kx+b与抛物线交点C、D横坐标分别为﹣3，2，
由图象可得：当﹣3＜x＜2时，ax2＜﹣kx+b，即ax2+kx＜b，
则正确的结论有①②⑤．
故选：B．
10．解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x＝﹣＝1，故A正确；
令|x2﹣2x﹣3|＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴（﹣1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，
又对称轴是直线x＝1，
∴当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，故B正确；
由图象可知（﹣1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0，故C正确；
由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，
故当x＝1时的函数值4并非最大值，故D错误．
综上，只有D错误．
故选：D．
11．解：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（0，2）、B（2，1）、C（4，4），
则，
解得：，
所以x＝﹣＝﹣＝．
∴此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离x满足x1＜x＜x2．
故选：B．
12．解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，
当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.75min．
故选：B．
13．解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，
∴当t＝25时，y取得最大值750，
即飞机着陆后滑行750米才能停下来，
故选：D．
二．填空题（共4小题）
14．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点，
∴不等式ax2+bx+c＞kx+m的解集是﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0．
15．
解：（1）如上图，过D作DE⊥y轴于E，
∵抛物线y＝（x+）2﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线顶点，
∴D（﹣，﹣4），DE＝，OE＝4，
令y＝0得（x+）2﹣4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝，
∴A（﹣3，0），B（，0），OA＝3
令x＝0得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），OC＝3，
∴CE＝OE﹣OC＝，
∴OA＝OC＝3，CE＝DE＝，
∴△AOC和△CED是等腰直角三角形，AC＝3，DC＝，
∴∠ACO＝∠DEC＝45°，
∴∠DCA＝90°，
∴tan∠DAC＝＝＝，
故答案为：；
（2）∵∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，且∠DCA＝90°，
∴△ADC∽△PQD，
∴，
∵点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动，
∴P为主动点，Q为从动点，D为定点，根据“瓜豆原理”有等于P的路径（AC）与Q的路径之比，
∵AC＝3，
∴Q的路径为3×＝，
故答案为：．
16．解：由题意，可大致画出函数图象如下，
则直线y＝kx+b关于y轴对称的直线为y＝﹣kx+b，
根据图形的对称性，设点M、N关于y轴的对称点分别为点C、D，
则点C、D的横坐标分别为﹣1，2，
观察函数图象ax2+c＞﹣kx+b的解集为﹣1＜x＜2，
即x的不等式ax2+kx+（c﹣b）＞0的解集为﹣1＜x＜2，
故答案为：﹣1＜x＜2．
17．解：令y＝（x+2）（x﹣4）＝0，则x＝4或﹣2，
故点B（4，0），点A（﹣2，0），则AB＝6，即OA＝AB，
∵Q是线段PA上靠近点A的三等分点，即QA＝AP，连接PB，
∵∠QAO＝∠PAB，且OA：AB＝QA：AP＝1：3，
则△AQO∽△APB，
∴OA：AB＝QA：AP＝OQ：PB＝1：3，
设圆的半径为r，则r＝2，
连接PC，BC，而点Q、O分别为AP、AB的中点，故OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，
则OQ＝BP＝（BC+r）＝（+2）＝，
故答案为．
三．解答题（共6小题）
18．解：（1）由题意得：，解得，
故答案为2，﹣5；
（2）由（1）知函数的表达式为y＝2|x﹣2|+x﹣5，
当x≥2时，y＝2|x﹣2|+x﹣5＝3x﹣9，当x＜2时，y＝2|x﹣2|+x﹣5＝﹣x﹣1；
根据函数表达式画出函数图象如下：
从图象看，当x≥2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）从图象看两个函数交于点A、B（﹣1，0），
联立y＝3x﹣9和y＝﹣x2+4x+5得：3x﹣9＝﹣x2+4x+5，解得x＝（负值已舍去），
即点A的横坐标为，
从函数图象看，不等式a|x﹣2|+x+b≥﹣x2+4x+5的解集为x≤﹣1或x≥．
19．解：（1）∵抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为（1，0），（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3；不等式ax2+bx+c＞0的解集为1＜x＜3，
故答案为x1＝1，x2＝3，1＜x＜3；
（2）∵抛物线的顶点的纵坐标为2，
∴抛物线y＝ax2+bx+c＝0与直线y＝2只有一个公共点，
∴当k＜2时，抛物线y＝ax2+bx+c＝0与直线y＝k有两个公共点，
即方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，
∴满足条件的k的范围为k＜2，
故答案为k＜2；
（3）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+2，
把（1，0）代入得，0＝a+2，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣2）2+2，
把x＝4代入得y＝﹣6，
观察图象可知，t的取值范围是﹣6＜t≤2．
20．解：（1）△＝（2a）2﹣4×（﹣）×（﹣4）＝4a2﹣8，
①当抛物线和x轴没有交点时，则△＜0，
即4a2﹣8＜0，解得﹣a＜；
②当抛物线和x轴有一个交点时，则△＝0，
即4a2﹣8＝0，解得a＝；
③当抛物线和x轴有两个交点时，则△＞0，
即4a2﹣8＞0，解得a＞或a＜﹣；
综上，当抛物线和x轴没有交点时，﹣a＜，当抛物线和x轴有一个交点时，a＝，当抛物线和x轴有两个交点时，a＞或a＜﹣；
（2）当a＝1时，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝2，
①当﹣2≤m≤2时，
则抛物线在x＝m时取得最大值，此时y＝﹣m2+2m﹣4，抛物线在x＝﹣2时，取得最小值，y＝﹣×（﹣2）2+2×（﹣2）﹣4＝﹣10，
则y＝﹣m2+2m﹣4﹣（﹣10）＝4m，解得m＝﹣6（舍去）或2；
②当2＜m≤6时，
ymax＝﹣×22+2×2﹣4＝﹣2，ymin＝﹣×（﹣2）2+2×（﹣2）﹣4＝﹣10，
则﹣2﹣（﹣10）＝4m，解得m＝2（舍去）；
③当m＞6时，
ymax＝﹣×22+2×2﹣4＝﹣2，ymin＝﹣m2+2m﹣4，
则﹣2﹣（﹣m2+2m﹣4）＝4m，解得m＝6﹣4（舍去）或6+4，
综上，实数m的值为2或6+4．
21．解：（1）∵一条抛物线的系数是[﹣1，0，m]，
∴y＝﹣x2+m，
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵当抛物线的顶点在原点（0，0）或x轴下方时，此抛物线没有“抛物线三角形”，
∴当m≤0时，此抛物线没有“抛物线三角形”；
故答案为：y＝﹣x2+m，m≤0；
（2）如图1，抛物线y＝x2+bx的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
设抛物线与x轴的另一交点为A，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与x轴交于E，
由等腰直角三角形性质有：OE＝AE＝DE，即OA＝2ED，
y＝x2+bx＝﹣，
抛物线顶点D（﹣，﹣），A（﹣b，0），
∴OA＝|b|，DE＝，
则|b|＝2×，
∴b2＝2|b|，
若b≥0时，b2＝2b，解得：b1＝2，b2＝0（不存在三角形，舍去），
若b＜0时，b2＝﹣2b，解得：b1＝﹣2，b2＝0（舍去），
∴当b＝2时，抛物线系数为[1，﹣5，6]，抛物线为y＝x2﹣5x+6，
令y＝0，得：x2﹣5x+6＝0，解得：x1＝2，x2＝3，
顶点坐标为（，），与x轴的交点为（2，0），（3，0），
抛物线系数为[1，﹣5，6]的“抛物线三角形”的面积＝×（3﹣2）×＝，
当b＝﹣2时，抛物线系数为[1，﹣5，﹣6]，抛物线为y＝x2﹣5x﹣6，
顶点坐标为（，﹣），与x轴的交点为（6，0），（﹣1，0），
抛物线系数为[1，﹣5，﹣6]的“抛物线三角形”的面积＝×（6+1）×＝，
（3）∵系数a，b，c均为绝对值不大于1的整数，
∴a＝±1，b＝﹣1，0，1，c＝﹣1，0，1，
一共有18种情况，其中抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形分类考虑，
①一次项系数为0，a＝1，b＝0，c＝﹣1或a＝﹣1，b＝0，c＝1，
抛物线为y＝x2﹣1（如图2）或y＝x2+1（如图3），
EH＝2，GF＝1，EH＝2GF，
∴△EFH为等腰直角三角形，
a＝﹣1，b＝0，c＝﹣1或a＝1，b＝0，c＝1时，y＝x2+1（如图4），y＝﹣x2﹣1（如图5）没有抛物线三角形，
②系数都不为0，a＝1，b＝1，c＝1或a＝1，b＝﹣1，c＝1或a＝1，b＝1，c＝﹣1或a＝﹣1，b＝﹣1，c＝﹣1或a＝﹣1，b＝1，c＝﹣1或a＝﹣1，b＝1，c＝1或a＝﹣1，b＝﹣1，c＝1，
y＝x2+x﹣1，△＝5，x＝，EH＝，GF＝，EH≠2GF，不是，
③常数项为0，a＝1，b＝1，c＝0或a＝1，b＝﹣1，c＝0或a＝﹣1，b＝1，c＝0或a＝﹣1，b＝﹣1，c＝0都不能构成，
其它y＝±x2也没有抛物线三角形，
综上，能构成等腰直角三角形的只有两种，
该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率＝＝．
22．解：（1）当a＝﹣2时，函数y＝﹣x2﹣2ax+a（x≥0，a为常数）为y＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2，
其最高点（顶点）为（2，2），
∴y0＝2，
故答案为：2．
（2）函数y＝﹣x2﹣2ax+a＝﹣（x+a）2+a2+a，
∴抛物线对称轴为x＝﹣a，
∵a＞0，
∴抛物线对称轴在y轴左侧，且开口向下，
当x≥0时，y随x的增大而减小，此时最高点P是抛物线与y轴的交点，如答图1：
在y＝﹣x2﹣2ax+a中令x＝0得y＝a，
∴当a＞0时，图象G的最高点为P（0，a）；
（3）①a＞0时，由（2）知图象G的最高点为P（0，a），点P到x轴的距离为1，
∴|a|＝1，
∵a＞0，
∴a＝1；
②a＜0时，抛物线对称轴x＝﹣a在y轴右侧，故最高点是顶点，
而函数y＝﹣x2﹣2ax+a＝﹣（x+a）2+a2+a，
∴图象G的最高点为P（﹣a，a2+a），
∵点P到x轴的距离为1，
∴a2+a＝1，解得a＝或a＝，
∵a＜0，
∴a＝，
综上所述，若点P到x轴的距离为1，则a＝1或a＝；
（4）如答图2：
图象G在矩形ABCD内的部分随x的增大，y的值先增大后减小，即是顶点在矩形ABCD内部，
∵A、C的坐标分别为（1，1）、（3，2），且其中的一条边平行于坐标轴．且顶点P（﹣a，a2+a），
∴1＜﹣a＜3且1＜a2+a＜2，
由1＜﹣a＜3得﹣3＜a＜﹣1，
由1＜a2+a＜2得＜a＜1或﹣2＜a＜，
∴﹣2＜a＜﹣1．
23．解：（1）将C（0，4）代入y＝ax2﹣ax﹣12a得4＝﹣12a，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x+4，
令y＝0得0＝﹣x2+x+4，解得x1＝4，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（4，0），
故答案为：﹣；﹣3，0；4，0；
（2）∵y＝﹣x2+x+4，
∴令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），OC＝4，
而B（4，0）有OB＝4，
∴OB＝OC，△BOC为等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PM⊥x轴，
∴∠BQM＝45°＝∠PQC，
∵PN⊥BC，
∴△PQN是等腰直角三角形，
∴PQ＝PN，
∴PQ+PN＝2PQ，
∴PQ+PN取最大值即是PQ取最大值，
由C（0，4），B（4，0）可得BC解析式为y＝﹣x+4，
∵M（m，0），
∴P（m，﹣m2+m+4），Q（m，﹣m+4），
∴PQ＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）2+，
∴m＝2时，PQ最大值为，
∴PQ+PN的最大值为．
（3）∵A（﹣3，0），C（0，4），Q（m，﹣m+4），
∴AC＝＝5，AQ＝＝，CQ＝＝，
以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况：
①AC＝AQ时，＝5，解得m＝0（此时Q与C重合，舍去）或m＝1，
∴Q（1，3），
②AC＝CQ时，＝5，解得m＝或m＝﹣（此时M不在线段OB上，舍去），
∴Q（，），
③AQ＝CQ时，＝，解得m＝12.5（此时M不在线段OB上，舍去），
综上所述，以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，Q（1，3）或Q（，）．