13.3.2等腰三角形的判定练习题 2021-2022学年八年级数学华东师大版上册（Word版 含答案）

13.3.2　等腰三角形的判定
【基础练习】
知识点
1　等腰三角形的判定定理
1.在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,其中能判定△ABC是等腰三角形的是(　　)
A.∠A=50°,∠B=70°
B.∠A=70°,∠B=40°
C.∠A=30°,∠B=90°
D.∠A=80°,∠B=60°
2.如图5,已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=3
cm,则CD等于(　　)
图5
A.3
cm
B.4
cm
C.1.5
cm
D.2
cm
3.如图6,在△ABC中,∠BAC=100°,∠B=40°,∠D=20°,AB=3,则CD=　　　　.?
图6
4.如图7所示,∠1=∠2,BD=CD.求证:△ABC是等腰三角形.
图7
5.已知:如图8,∠EAC是△ABC的外角,AD平分∠EAC,且AD∥BC.
求证:AB=AC.
图8
知识点
2　等边三角形的判定定理
6.[2020·宜昌]
如图9,在一个池塘两旁有一条笔直小路(B,C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置),测得的相关数据为:∠ABC=60°,∠ACB=60°,BC=48米,则AC=　　　　米.?
图9
7.[2019·长春期中]
有下列三角形:①有两个角等于60°的三角形;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个角都相等的三角形;④三边都相等的三角形.其中是等边三角形的有　　　　　(填序号).?
8.如图10,△ABC是等边三角形,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且AD=BE=CF.试判断△DEF的形状,并说明理由.
图10
【能力提升】
9.如图11所示,在△ABC中,AD是角平分线,∠ACB=90°,∠B=30°,DE⊥AB于点E,AD,CE相交于点G,则图中等腰三角形有(　　)
图11
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
10.如图12,M,N是△ABC的边BC上的两点,且BM=MN=NC=AM=AN,则∠BAN=　　　　°.?
图12
11.如图13,在△ABC中,AB=8,BC=6,AC=5,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点D,过点D作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F,则△AEF的周长为　　　　.?
图13
12.如图14,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.
求证:AD=BC.
图14
13.如图15,“中国海监50”于上午11时30分在南海海域A处巡逻,观测到岛礁B在北偏东60°方向上,该船以每小时10海里的速度沿正东方向航行到C处时,观测到岛礁B在北偏东30°方向上,以同样的速度继续沿正东方向航行到D处时,观测到岛礁B在北偏西30°方向上,当海监船到达C处时恰与岛礁B相距20海里,请你分别计算“中国海监50”从A处到达C处和D处所用的时间.
图15
14.数学课上,同学们探究下列命题的准确性:
(1)顶角为36°的等腰三角形具有一种特性,即经过它的某一顶点的一条射线可把它分成两个小等腰三角形.为此,请你解答:如图16,已知在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,射线BD平分∠ABC交AC于点D.求证:△DAB与△BCD都是等腰三角形;
(2)在证明了该命题后,有同学发现:图17中两个等腰三角形也具有这种特性.请你在这两个三角形中分别画出一条射线,把它们分别分成两个小等腰三角形,并在图中标出所画小等腰三角形两个底角的度数;
(3)接着,同学们又发现:还有一些既不是等腰三角形也不是直角三角形的三角形也具有这种特性,请你画出两个具有这种特性的三角形示意图(要求两三角形既不是等腰三角形也不是直角三角形,并标出每一个小等腰三角形各内角的度数).
图16
图17
答案
1.B
2.A　[解析]
∵OC平分∠AOB,
∴∠AOC=∠BOC.
∵CD∥OB,
∴∠C=∠BOC,
∴∠C=∠AOC,
∴CD=OD=3
cm.
故选A.
3.3　[解析]
因为∠BAC=100°,∠B=40°,
所以∠BCA=180°-100°-40°=40°.
因为∠D=20°,
所以∠CAD=∠BCA-∠D=40°-20°=20°,
所以CD=AC=AB=3.
4.证明:∵BD=CD,∴∠DBC=∠DCB.
又∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DBC=∠2+∠DCB,
即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
5.证明:∵AD∥BC,
∴∠EAD=∠B,∠DAC=∠C.
∵AD平分∠EAC,
∴∠EAD=∠DAC,
∴∠B=∠C,∴AB=AC.
6.48　[解析]
∵∠ABC=60°,∠ACB=60°,
∴∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形.
∵BC=48米,
∴AC=48米.
故答案为48.
7.①②③④
8.解:△DEF是等边三角形.
理由:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC.
∵AD=BE=CF,∴AF=BD=CE,
∴△ADF≌△BED≌△CFE,
∴DF=ED=FE,∴△DEF是等边三角形.
9.C　[解析]
由∠B=30°,∠ACB=90°,AD是角平分线,可知∠CAB=60°,∠DAE=30°,所以△ABD是等腰三角形;由已知条件可推得Rt△ACD≌Rt△AED,所以CD=ED,AC=AE,所以△CDE是等腰三角形,△ACE为等边三角形;所以∠ECD=90°-60°=30°=∠B,所以△CEB是等腰三角形,所以共有4个等腰三角形.
10.90　[解析]
∵BM=MN=NC=AM=AN,
∴△AMN是等边三角形,∠B=∠BAM,
∴∠MAN=∠AMN=60°.
∵∠B+∠BAM=∠AMN,
∴∠B=∠BAM=30°,
∴∠BAN=30°+60°=90°.
故答案为90.
11.13　[解析]
∵EF∥BC,∴∠EDB=∠DBC.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,
∴∠EBD=∠EDB,∴ED=EB.
同理可证得DF=FC,∴AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=8+5=13,即△AEF的周长为13.故答案为13.
12.证明:∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°.
∵BD平分∠ABC交AC于点D,
∴∠ABD=∠DBC=36°,
∴∠A=∠ABD,∴AD=BD.
∵∠C=72°,∠DBC=36°,
∴∠BDC=72°,∴∠C=∠BDC,
∴BC=BD,∴AD=BC.
13.解:∵在A处观测到岛礁B在北偏东60°方向上,
∴∠BAC=30°.
∵在C处观测到岛礁B在北偏东30°方向上,
∴∠BCD=60°,
∴∠CBA=∠BAC=30°,
∴AC=BC.
∵在D处观测到岛礁B在北偏西30°方向上,
∴∠BDC=60°.
又∵∠BCD=60°,∴△BCD为等边三角形,
∴BC=CD.
∵BC=20海里,∴BC=AC=CD=20海里.
∵该船以每小时10海里的速度从A处航行到C处,又以同样的速度继续航行到D处,
∴该船从A处到达C处所用的时间为20÷10=2(时),
该船从C处到达D处所用的时间为20÷10=2(时),
∴该船从A处到达D处所用的时间为4小时.
14.解:(1)证明:∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°,∴∠BDC=72°,∴AD=BD=BC,
∴△DAB与△BCD都是等腰三角形.
(2)图①中将顶角平分,图②中将顶角分成度数为36°和72°的两个角.
(3)如图(答案不唯一,符合题意即可).