2021-2022学年华东师大版数学九年级上册23.2 相似图形同步练习（word解析版）

23.2
相似图形
一、单选题
1．下列图形中不一定相似的是（
）
A．两个矩形
B．两个圆
C．两个正方形
D．两个等边三角形
2．如图，在矩形中，点E、F分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．用一个2倍放大镜照一个，下面说法中错误的是（
）
A．放大后，是原来的2倍
B．放大后，各边长是原来的2倍
C．放大后，周长是原来的2倍
D．放大后，面积是原来的4倍
4．在长8cm，宽6cm的矩形ABCD中，截去一个矩形后，使留下的矩形BEFA与原矩形ABCD相似，那么留下的矩形BEFA面积为（
）cm2
A．24
B．25
C．26
D．27
5．下列命题中，是真命题的有（
）
（1）两条线段长度的比叫做两条线段的比；
（2）两个矩形一定是相似形；
（3）任意两个相似多边形，它们的对应角相等，对应边也相等；
（4）若线段a与b的比是3:5，则a=3，b=5.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（
）
A．70°
B．80°
C．90°
D．120°
7．如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（
）
A．a＝b
B．a＝2b
C．a＝2b
D．a＝4b
8．如图，细线平行于正多边形一边，并把它分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．下列各组中的图形，不是相似图形的是（
）
A．同一座城市的两张比例尺不同的地图；
B．一个人现在的照片和他十年前的照片；
C．两个正方形；
D．国旗上的五角星．
10．如图，把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若原长方形的宽为4，则小长方形的宽为（
）
A．
B．
C．
D．
11．将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（
）
A．2:1
B．:1
C．3:1
D．:1
12．将矩形按照如图所示的方式向外扩张得到新矩形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸，若所得新矩形与原矩形相似，则的值的个数可以是（
）
A．1
B．2
C．3
D．无数个
二、填空题
13．相似的两个图形，它们的大小_________(填“一定”，“不一定”，“一定不”)相同．
14．与是两个相似三角形，，，，则的度数可以是______．
15．若两个相似多边形的最长边的长度分别为10和20，且其中一个多边形的最短边长为4，则另一个多边形的最短边长为_________．
16．下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有_______（填序号）
17．已知一个矩形的两邻边长之比为1：，一条平行于边的直线将该矩形分为两个小矩形，如果所得两小矩形相似，那么这两个小矩形的相似比为________．
三、解答题
18．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．
19．设四边形与四边形是相似的图形，且与、与、与是对应点，已知，，求四边形的周长．
20．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等且与原长方形相似的长方形（长宽比原长方形长宽比相等），折成一个无盖的长方体水槽．
（1）使它的底面积为1536平方厘米．求截去长方形的两边长．
（2）水槽的底面积达到2448平方厘米吗？为什么？
21．如图，四边形为平行四边形，平分交于点，过点作，交于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，四边形与四边形相似，求的长．
22．如图所示，有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（不与顶点重合）．如果直线EF将矩形分成面积相等的两部分，那么
（1）得到的两个四边形是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由；
（2）这样的直线可以作多少条？
参考答案
1．A
解：A、两个矩形不一定相似，由于对应边不一定成比例，故符合题意；
B、两个圆一定相似，故不满足题意；
C、根据两个图形相似的定义，两个正方形相似，故不满足题意；
D、根据两个图形相似的定义，两个等边三角形相似，故不满足题意；
故选：A．
2．A
解：矩形矩形，
，设正方形的边长为，，
则，
，
，
，，
，
，
，
，
故选：A．
3．A
解：因为放大前后的三角形相似，
放大后三角形的内角度数不变，
面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，
故选A．
4．D
解：
矩形BEFA与矩形ABCD相似，
故选：
5．A
解：（1）两条线段长度的比叫做两条线段的比，是真命题；
（2）两个矩形不一定相似，因为对应边的比值不一定相等，不是真命题；
（3）任意两个相似多边形，它们的对应角相等，对应边成比例，不是真命题；
（4）若线段a与b的比是3:5，但a不一定是3，b不一定是5，不是真命题；
综上，只有（1）是真命题，共1个．
故选：A．
6．B
解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，
∴∠E＝∠A＝80°，
故选：B
7．B
解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为，
要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可，
∴．
故选：B．
8．A
解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意；
B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意；
故选：A．
9．B
解：A、同一座城市的两张比例尺不同的地图是相似的，故不符合题意；
B、一个人现在的照片和他十年前的照片不相似，故符合题意；
C、两个正方形是相似的，故不符合题意；
D、国旗上的五角星是相似的，故不符合题意；
故选B．
10．A
解：∵每一个小长方形与原长方形相似，小长方形的宽为x
∴
解得，x=或x=-
(舍去)，
故选：A
11．B
解：设原矩形长2a，宽b，则对折后的矩形的长为b，宽为a，
∵对折后的矩形与原矩形相似，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选B．
12．D
解：新矩形与原矩形相似，因此可得到对应边成比例，对应角相等，与a的取值无关，
故选：D．
13．不一定
解：相似的两个图形形状相同，但大小不一定相等，只有两个图形全等时大小才相等，全等是相似的一种特殊情况．
故答案为：不一定．
14．或
解：易得∠C=60°，与∠D是对应角.则①当∠E与∠A是对应角时，∵∠A=50°，
∴∠E=50°，
②当∠E与∠B是对应角时，∵∠B=70°，
∴∠E=70°，
综上，∠E的度数为50°或70°，
故答案为或.
15．2或8
解：设最短边为x，由题意得，
10：20=4：x，或10：20=x：4，
∴x=8或2．
故答案为：
2或8．
16．②⑤
解：两个等腰三角形的顶角不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形一定相似；
两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似；
两个矩形的相邻边长比例不一定相等，故不一定相似；
两个正方形一定相似；
故答案为：②⑤．
17．1或或2
解：如图所示，矩形ABCD中，AB：AD=1：，
∴AD=BC
若直线l∥AD，交AB、CD于E、F
根据题意和图形可知：矩形AEFD∽矩形BEFC
此时这两个小矩形的相似比为AD：BC=1；
根据相似图形的性质，两个相似图形中长边必定对应长边，故此时不存在其它情况；
若直线l∥AB，交AD、BC于E、F
此时存在两种情况：①若矩形ABFE∽矩形DCFE，如下图所示
此时这两个小矩形的相似比为AB：DC=1；
②若矩形BAEF∽矩形EDCF，如下图所示
∴
设AB=CD=a，AE=x，则AD=，DE=
∴
解得：x=或x=
当x=时，这两个小矩形的相似比为AE：CD=：a=；
当x=时，这两个小矩形的相似比为AE：CD=：a=2；
综上：这两个小矩形的相似比为1或或2．
故答案为：1或或2．
18．x＝12，，α＝83°．
解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴，即，∠C＝α，∠D＝∠D′＝140°．
∴x＝12，，α＝∠C＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°．
19．38
解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，
∴，
又∵AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8，
∴，
∴B1C1=12，C1D1=12，D1A1=6，
∴四边形A1B1C1D1的周长=8+12+12+6=38．
20．（1）长为6厘米，宽为4厘米；（2）不能，理由见解析
解：（1）设截去长方形的长为3x厘米，
∵截去的长方形与原长方形相似，
则截去长方形的宽为2x厘米，
∴底面积为，
解得：x=2或18（舍），
∴3x=6，2x=4，
∴截去长方形的长为6厘米，宽为4厘米；
（2）由题意可得：
，
解得：x=或，
∵=＜0，故不符合；
＞，故不符合，
∴底面积不能达到2448平方厘米．
21．（1）见解析；（2）
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
又，
∴四边形是平行四边形．
由，
得．
平分
，
∴四边形是菱形，
平分．
（2）解：由（1）知，四边形为菱形，
．
∵四边形与四边形相似，
，
即，
或BC=（不符合实际，故舍去）．
22．见解析
解：（1）相似．理由如下：
因为EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，所以可设AB＝a，AD＝b，BE＝x．
于是有，
所以x＋AF＝b－x＋b－AF，即AF＝b－x．
又EC＝b－x，所以AF＝EC．
在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
所以DF＝BE，∠AFE＝∠FEC，∠DFE＝∠BEF，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
所以在四边形ABEF与四边形CDFE中，有
∠A＝∠C＝90°，∠B＝∠D＝90°，∠AFE＝∠FEC，∠BEF＝∠DFE，
，
所以四边形ABEF与四边形CDFE相似，相似比为1．
（2）这样的直线有无数条，只要过矩形对角线的交点且满足条件即可．