2021-2022学年华东师大版数学九年级上册23.3.2 相似三角形的判定 同步练习（word版含答案）

23.3.2
相似三角形的判定
一、单选题
1．如图，小正方形边长为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，点P是等腰的腰上的一点，过点P作直线（不与直线重合）截，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（
）
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
4．下列四组图形中，是相似形的一组是（
）
A．各有一个角是的两个等腰三角形
B．底角为的两个等腰梯形
C．各有一个角是的两个等腰三角形
D．邻边之比都等于2的两个平行四边形
5．如图，点D，E分别在的边上，增加下列哪些条件不能使与相似（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与△BCD相似的是（　　）
A．△BFE
B．△AFD
C．△ACE
D．△BAE
7．如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（　　）
A．6对
B．5对
C．4对
D．3对
9．如图，已知是三角形中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（
）
A．三角形相似于三角形
B．三角形相似于三角形
C．三角形相似于三角形
D．三角形相似于三角形
10．如图，四边形的两条不等长对角线，相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则（
）
A．甲、丙相似，乙、丁相似
B．甲、丙相似，乙、丁不相似
C．甲、丙不相似，乙、丁相似
D．甲、丙不相似，乙、丁不相似
11．如图，下列条件能判定的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．如图，在中，是边的中点，于点，交边于点，连接，则图中与相似的三角形共有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
二、填空题
13．在一盏路灯旁的地面上竖直立着两根木杆，两根木杆在这盏路灯下形成各自的影子，则将它们各自的顶端与自己的影子的顶端连线所形成的两个三角形_____相似．（填“可能”或“不可能”）．
14．在中，，点P为中点，经过点P的直线截，使截得的三角形与相似，这样的直线共有______条．
15．一个直角三角形的两条边分别为4和8，另一个直角三角形的两条边分别为3和6，那么这两个直角三角形_____（选填“一定”“不一定”或“一定不”）相似．
16．如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：_____，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）
17．如图，点D在的边上，当______时，与相似．
三、解答题
18．如图，在中，四边形是平行四边形．求证：．
19．如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD?AB，求证：△ACD∽△ABC．
20．如图，在矩形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，求证：△DEC∽△ADF．
21．如图，在四边形中，，点是边上一点，连接，为上一点．且，．求证：．
22．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=8，BC=10．
（1）求证：△AEF∽△DFC；
（2）求线段EF的长度．
参考答案
1．A
解：根据题意得：AB=，AC=，BC=2，
∴AC：BC：AB=1：：，
A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
故选：A．
2．D
解：A、当时，再由，可得出，故此选项不合题意；
B、当时，再由，可得出，故此选项不合题意；
C、当时，即，再由，可得出，故此选项不合题意；
D、当时，无法得出，故此选项符合题意．
故选：D．
3．B
解：∵，
∴，
①作，可得．
②作，可得．
③作∠APG=∠C，由于∠A是公共角可得，
故选：B．
4．C
解：A、有一个角为30°，可以是一个三角形的顶角，另一个三角形的底角，则不能构成相似三角形，故本选项不符合；
B、底角为40°，但两底边，腰长不一定能够对应成比例，所以不一定相似，故本选项不符合；
C、有一个角为120°，只能是等腰三角形的顶角，可以构成相似三角形，故本选项符合；
D、邻边之比为2，但夹角不一定相等，所以两个平行四边形不一定构成相似图形，故本选项不符合；
故选：C．
5．B
解：由题意得，∠A=∠A，
A、当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；
B、当时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；
C、当时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意．
D、当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意；
故选：B．
6．D
解：∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDC＝∠AEC＝90°，
∵∠EBF=∠DBC
∴△BFE∽△BCD，故选项A正确；
∴∠BFE=∠C，
∵∠AFD=∠BFE=∠C，
又∵∠ADF=∠BDC=90°，
∴△ADF∽△BDC，故选项B正确；
∵∠BDC＝∠AEC＝90°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BDC∽△AEC，
∴∠DBC＝∠EAC，故选项C正确；
∵，
∴，
∵△BFE∽△BCD，
∴，
∴，
∵∠BDC=∠AEB=90°，
若△ABE∽△BCD，
满足条件，
即，
∴满足即，
连结FC，
应有△CEF∽△BDC，
∵∠FEC=∠CDB，
∴只要满足∠FCE=∠DBC，
应满足BF=FC，由AE⊥BC，需有点E为BD中点，
已知中没有点E为BD中点条件，
∴△BAE不一定与△BCD相似，
故选项D不正确．
7．D
解：，
，
，
A、当添加条件时，则，故选项不符合题意；
B、当添加条件时，则，故选项不符合题意；
C、当添加条件时，则，故选项不符合题意；
D、当添加条件时，则和不一定相似，故选项符合题意；
故选：．
8．A
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EDP=∠FCP=90°，
∵∠EPD=∠FPC，
∴△EDP∽△FCP；
∵∠FEP=∠FCP=90°，
∵∠F=∠F，
∴△FEB∽△FCP；
∴△FEB∽△EDP；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠DEP=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEP=∠ABE，
∴△EDP∽△BAE；
∴△FCP∽△BAE；
∴△FEB∽△BAE；
共有6对，
故选A．
9．C
解：A.
又平分
故A不符合题意；
B.平分
又
故B不符合题意；
C.
三角形与三角形，仅有一个公共角，不能证明相似，故C错误，符合题意；
D.
故D不符合题意，
故选：C．
10．B
解：在和中，，又，∴，即甲丙相似；无法证明，即乙丁不相似．
故选：B．
11．C
解：∵，
∴，
∴选项A不符合题意；
∵，
且，
∴，
∴选项B，D不符合题意，选项C符合题意；
故选C．
12．B
解：∵∠EAC=∠CAF，∠AEC=∠ACF，
∴△ACE∽△AFC；
∵∠EAC+∠AFC=90°，∠ECF+∠AFC=90°，
∴∠EAC=∠ECF，
∵∠AEC=∠CEF，
∴△ACE∽△CFE；
∵是边的中点，
∴DC=DB，
∴∠ECF=∠EAC=∠B，
∵∠AEC=∠BCA，
∴△ACE∽△BAC；
共有3个，
故选B.
13．可能
解：∵中心投影是由点光源发出的光线形成的投影，
∴当两根木杆距离点灯距离相等时它们各自的顶端与自己的影子的顶端连线所形成的两个三角形相似，否则不相似，
故答案为：可能．
14．3
解：过点P作PE∥AB交AB于点E，△CPE∽△CAB．
过点P作PF∥BC交AB于点F，△APF∽△ACB．
过点P作PG⊥AB交AB于点G，△PGA∽△BCA．
故满足条件的直线有3条，
故答案为：3．
15．不一定
解：这两个直角三角形不一定相似．
理由如下：
如图，当一个直角三角形的两条直角边长分别为4和8时，另一个直角三角形的两条直角边分别为3和6，
由于而夹角为直角，所以这两个直角三角形相似；
如图，当一个直角三角形的斜边长为8，直角边长为4时，另一个直角三角形的两条直角边分别为3和6，
根据勾股定理得另一直角边长则所以这两个直角三角形不相似．
综上：这两个直角三角形不一定相似；
故答案为：不一定．
16．
解：根据题意，添加条件，
故答案为：．
17．
解：由∠BAC=∠CAD共用，
当时，
∽．
故答案为：．
18．见解析
解：∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴∠CEF=∠A，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△EFC．
19．证明见解析．
解：∵AC2＝AD?AB，
∴AC：AB＝AD：AC．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
20．见解析
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DEC，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠C＝90°，
∴△DEC∽△ADF．
21．见解析
解：，
，
，，
，
又，
．
22．（1）证明见解析；（2）．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠B=90°，CD=AB=8，
根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，
∴∠AFE+∠AEF=∠AFE+∠DFC=90°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△DFC；
（2）根据折叠的性质得：CF=BC=10，BE=EF，
∴，
∴AF=4，
∵AE=AB-BE=8-EF，
∴EF2=AE2+AF2，
即EF2=（8-EF）2+42，
解得：．