23.3.3 相似三角形的性质 同步练习 2021-2022学年华东师大版数学九年级上册（word版含答案）

23.3.3
相似三角形的性质
一、单选题
1．已知，且，，，，则的周长为（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在中，，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC=0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，则旗杆MN的高度为（
）
A．12米
B．12.5米
C．14米
D．15米
4．如图，在中，，则的长是（
）．
A．
B．6
C．
D．
5．如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，的值为（
）．
A．1
B．2
C．3
D．4
6．如图所示，O为四边形的边的中点，，则的长是（
）．
A．
B．6
C．
D．17
7．如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处．已知，则（
）
A．13
B．12
C．11
D．10
8．如图，在正方形中，E为的中点，G，F分别为，边上的点．若，则的长为（
）．
A．2
B．5
C．
D．
9．如图，在中，，则的长为（
）．
A．
B．8
C．10
D．16
10．如图，Rt△ABC中，CD⊥AB于D，下列结论中：①∠1＝∠A；②∠2+∠B＝90°；③CD2＝AD?BD；④BC2＝BD?AD，一定成立的有（
）个
A．1
B．2
C．3
D．4
11．在中，点，，分别在边，，上，与交于点，，，．则下列结论错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．如图，?ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接BE、CF相交于点O，若△COE的面积为1，则?ABCD的面积为（
）
A．16
B．18
C．20
D．22
二、填空题
13．如图所示，D为边上一点，，交于点E，则________．
14．在中，，D是底边上一点，E是线段上一点，且，则与的数量关系为____________．
15．两个等边三角形和，点D在BC上，AC与DE交于点F，BD=4，CD=2，则AF的长为________．
16．如图1，是等腰直角三角形，，D，E分别为，上的点，且，把绕点A逆时针旋转（如图2），则的值为______．
17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．BC＝2AD，若S△AOD＝1，则S△ABC＝___．
三、解答题
18．如图，在的边和边上各取一点D和E，且使延长线与延长线相交于F，求证：
19．中，∠ACB=90°，，P是上一点，Q是上一点（不是中点），过Q且，交于M、N，求证：．
20．如图,已知正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,顶点D,G分别在边AB,AC上,AH⊥BC于H．BC＝15,AH＝10．求正方形DEFG的边长和面积．
21．如图，矩形OABC中，AO＝4，AB＝8，点E，F分别在边AB，OC上，且AE＝3，将矩形的部分沿直线EF翻折，点A的对应点A'恰好落在对角线AC上，求OF的长．
22．如图，是的角平分线，延长至，连结，使．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
参考答案
1．A
解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴△A′B′C′的周长
∶△ABC的周长=A′C′：AC，
∵A′C′=3cm，BC=5cm，AC=4cm，AB=7cm，
∴△A′B′C′的周长∶（5+4+7）=3：4，
∴△A′B′C′的周长为12cm，
故选：A．
2．A
解：∵
∴
∴
∴
∴
故选A
3．C
解：由题意可知：，
∴四边形为矩形
∴
又∵
∴
∴
∴
故答案为C．
4．B
解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
又∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴，
∴，
∴CD2＝BD?AD=9×4＝36，
∴CD＝6（舍去负值）．
故选：B．
5．C
解：∵在中，，，
∴AC=
，
过P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，
则∠PQB=∠PHB=∠B=90°，
∴四边形PQBH是矩形，
∴PH=BQ，∠QPH=90°=∠MPN，PQ∥BC，
∴∠EPH+∠QPE=∠EPH+∠HPF=90°，
∴∠QPE=∠HPF，
∴△PQE∽△PHF，
∴，又PE=2PF，
∴PQ=2PH=2BQ，
∵PQ∥BC，
∴△AQP∽△ABC，
∴，
设BQ=x，则AQ=3﹣x，PQ=2x，
∴，
解得：，AP=3，
故选：C．
6．C
解：∵，∠B+∠BCO=∠AOC=∠DOC+∠AOD，
∴∠BCO=∠AOD，
又∵，
∴，
∴，即：
∵O为边的中点，
∴AO2=8×9=72，
∴AO=6（负值舍去），
∴AB=12．
故选C．
7．B
解：∵在矩形中，AB=CD=9，
由折叠的性质知：AD＝AF，DE＝EF＝9?4＝5，
∵在Rt△CEF中，EF＝5，CE＝4，
∴CF＝，
∵∠B=∠C=90°，∠AFE=90°，
∴∠BAF+∠AFB=∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴，
∴，即：，解得：BF=12．
故选B．
8．D
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AGE+∠AEG=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠AEG+∠BEF=90°，
∴∠AGE=∠BEF，
∴△AGE∽△BEF，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
∵
解得：，
故选：B
9．C
解：∵∥，
∴∠DEF=∠A，∠DFE=∠DBA，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴．
∴在中，．
故选：C．
10．B
解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°
∴∠1＝∠A，故①正确；
∵∠A+∠B=90°，∠2+∠A=90°，
∴∠2=∠B，故②错误；
∵∠1＝∠A，∠CDB=∠ADC=90°
∴△CDB∽△ADC
∴
∴CD2＝AD?BD，故③正确；
∵∠1＝∠A，∠CDB=∠ACB=90°
∴△CDB∽△ACB
∴
④BC2＝BD?AB，故④错误；
故选C．
11．D
解：∵
∴
A.
∵
∴
∴
∴选项A正确，不符合题意；
B.∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故选项B正确，不符合题意；
C.∴
∴
∴
∴选项C正确，不符合题意；
D.∵，，
∴四边形AFDE是平行四边形
∴DE=AF
∵，
∴
∴
∴
故选项D错误，本选项符合题意，
故选D．
12．C
解：延长CF交BA的延长线于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴，，
∵F是AD的中点，
∴，
∴，
∴，
∵点E是CD的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点E是CD的中点，
∴，
∴；
故选C．
13．16：21
解：∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，且AD：DB=3：4，
∴BD：AB=DE：AC=4：7，S△BDE：S△BAC=16：49，
∴S△BDE：S四边形DECA=16：33，
∵DE：AC=4：7，△ADE与△ACE的高相等，
∴S△ADE：S△ACE=4：7=12：21，
∴S△BDE：S△AEC=16：21，
故答案为：16：21．
14．
解：如图，作，交AD于点K，
∵
∴90°，90°，,即
∴CAK
∵，
∴AKC
∴AK，CK
∵，
∴EK
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴
∴2
故答案为：．
15．
解：∵和都是等边三角形，BD=4，CD=2，
∴AB=AC=BC=6，∠B=∠C=∠ADF=60°，
∴∠ADB+∠BAD=∠ADB+∠CDF=120°，
∴∠BAD=∠CDF，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
故答案为：．
16．
解：∵是等腰直角三角形，，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，
∵把绕点A逆时针旋转，
∴∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠EAC＝∠DAB，
又∵，
∴△DAB∽△EAC，
∴=，
故答案为：．
17．6
解：∵四边形ABCD中，AD//BC.
∴△AOD∽△COB.
∵AD
=
2BC.
∴AD：BC=1：2，
∴OD：OB=AD：BC=1：2，S△BOC=4
S△AOD=4
∴S△AOD：S△AOB
=1：2，即S△AOB
=2
∴S△ABC＝S△BOC+
S△AOB
=4+2=6．
故填6．
18．见解析
解：过点作，交延长线于点，
∴
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
19．见解析
解：过P作于E，于F，
∵∠ACB=90°，
∴为矩形
∴，PF=EC
∴．
∴
∴
∵，
∴①，
∵在和中，于Q，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴
∴②
由①②得
∴．
20．正方形DEFG的边长是6,面积为36．
解：设AH与DG交于点M,正方形DEFG的边长为x,
∵AH⊥BC,正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上,
∴
,
∵AH=10,∴
,
∵
,∴
,
∴
,
∴
,
又∵BC=15,DG=x,
∴
,解得:
,
∴正方形DEFG的面积为
．
21．OF=1
解：过点F作FD⊥AB交AB于D，则四边形ADFO为矩形
∴AO=BC=DF=4，AD=OF
∵EF是折痕
∴EF⊥AC
∴∠DEF+∠DFE=∠AEF+∠BAC=90°
∴∠BAC=∠DFE
∴△ABC∽△FDE
∴
∵AO=4，AB=8
∴
∴
又∵AE=3
∴AD=AE-DE=1
∴OF=1
22．（1）见解析；（2）1．
（1）证明∵是的角平分线
∴∠BAE=∠CAE
∵
∴∠CDA=∠CAE
∴∠BAE=∠CDA
∵∠CED=∠BEA（对顶角相等）
∴；
（2）∵，AC=CD
∴CD=2AB,即
∵
∴EC=BC-BE
∵
∴,即,解得BE=1．