24.1_24.3 同步练习 2021-2022学年华东师大版九年级数学上册（word版含答案）

24.1~24.3　
一、选择题(每小题3分,共21分)
1.已知α为锐角,tanα=,则α的度数为
(　　)
A.60°
B.30°
C.45°
D.90°
2.已知α是等腰直角三角形的一个锐角,则sinα的值为
(　　)
A.
B.
C.
D.1
3.化简的结果为
(　　)
A.1-
B.-1
C.-1
D.+1
4.如图1,在△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则cosA的值为
(　　)
图1
A.
B.
C.
D.
5.如图2,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则cos∠ABC等于
(　　)
图2
A.
B.
C.
D.
6.如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠ACD=3∠BCD,E是斜边AB的中点,则∠ECD的度数为
(　　)
图3
A.22.5°
B.30°
C.36°
D.45°
7.如图4,要测量点B到河岸AD的距离,在点A处测得∠BAD=30°,在点C处测得∠BCD=60°,又测得AC=100米,则点B到河岸AD的距离为
(　　)
图4
A.100米
B.50米
C.米
D.50米
二、填空题(每小题4分,共24分)
8.如图5,在△ABC中,CE,BF是两条高.若∠A=70°,∠BCE=30°,则∠EBF的度数是　　　　,∠FBC的度数是　　　　.?
图5
9.已知在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则cosB的值为　　　　.?
10.若一个三角形三个内角的度数比为1∶2∶3,则这个三角形中最小角的正切值为　　　　.?
图6
11.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何.”翻译成数学问题是:如图6所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长.如果设AC=x,那么可列方程为　　　　　　　.?
12.如图7①是一张直角三角形纸片,如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形,如图②所示,那么在Rt△ABC中,sinB的值是　　　　.?
图7
13.如图8,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点E在DC的延长线上.若∠CAE=15°,则AE=　　　　.?
图8
三、解答题(共55分)
14.(15分)计算:(1)tan45°-sin30°·cos60°;
(2)sin30°+sin245°-tan260°;
(3)3tan30°-+cos45°+.
15.(5分)已知α是锐角,且2cos(α-15°)=,计算:2-4sin2α+tan45°.
16.(6分)如图9,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,BD=3,CD=4,求∠A的三个三角函数值.
图9
17.(9分)在△ABC中,锐角∠A,∠B满足关系式|2cosA-|+(tanB-1)2=0,试判断△ABC的形状.
18.(10分)如图10,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,EF为AB的垂直平分线,EF交BC于点F,交AB于点E,且EF=3,求BF,CF的长.
图10
19.(10分)已知:如图11,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,用余弦、正切的定义证明:
(1)BC2=AB·BD;
(2)CD2=AD·BD.
图11
答案
1.A　2.B
3.B　[解析]
原式=|tan60°-1|=|-1|=-1.
4.D　[解析]
设AB=x,则BC=2x,根据勾股定理得AC=x,所以cosA===.故选D.
5.B　6.D　7.B
8.20°　40°　[解析]
在R△ABF和Rt△ACE中,∵∠A=70°,∴∠EBF=20°,∠ECA=20°.又∵∠BCE=30°,∴∠ACB=50°,则∠FBC=40°.故答案为20°,40°.
9.　[解析]
因为BC==5,
所以cosB=.
10.　[解析]
∵三角形三个内角的度数比为1∶2∶3,∴可设三个内角的度数分别为x,2x,3x,∴x+2x+3x=180°,解得x=30°,∴这个三角形中最小角的正切值为tan30°=.
11.x2+32=(10-x)2　[解析]
设AC=x,∵AC+AB=10,∴AB=10-x.∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10-x)2.
故答案为x2+32=(10-x)2.
12.　[解析]
sinB=sin60°=.
13.8
14.解:(1)原式=1-×=.
(2)原式=+-×()2=+-1=0.
(3)原式=3×-+×+
=-2+2+-1
=2-1.
15.解:∵2cos(α-15°)=,
∴cos(α-15°)=,
∴α-15°=30°,
∴α=45°,
则原式=2-4×()2+1=2-2+1=1.
16.解:由勾股定理,得
BC===5.
∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.
∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,
∴∠B+∠BCD=90°,
∴∠A=∠BCD,
∴sinA=sin∠BCD==,
cosA=cos∠BCD==,
tanA=tan∠BCD==.
17.解:由题意知
即解得
则∠A=45°,∠B=45°,
所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-45°=90°,所以△ABC是等腰直角三角形.
18.[解析]
根据等腰三角形的两底角相等求出∠B=∠C=30°.根据“直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”可得BF=2EF.连结AF,根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AF=BF.根据“等边对等角”可得∠BAF=∠B,再求出∠CAF=90°,再次利用“直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”可得CF=2AF.
解:∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠B=∠C=×(180°-120°)=30°.
∵EF为AB的垂直平分线,
∴EF⊥AB,∴BF=2EF=2×3=6.
如图,连结AF.
∵EF为AB的垂直平分线,
∴AF=BF=6,
∴∠BAF=∠B=30°,
∴∠CAF=120°-30°=90°,
∴CF=2AF=2×6=12.
19.[解析]
(1)根据余弦的定义,分别在Rt△ABC和Rt△DBC中表示出cosB,根据等式的性质计算即可;
(2)证明∠ACD=∠B,根据∠ACD和∠B的正切值相等计算.
证明:(1)∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的高,
∴∠ACB=∠CDB=90°.
在Rt△ABC中,cosB=,
在Rt△DBC中,cosB=,
∴=,即BC2=AB·BD.
(2)∵∠ACB=∠CDB=90°,
∴∠ACD+∠BCD=90°,∠B+∠BCD=90°,
∴∠ACD=∠B.
在Rt△ADC中,tan∠ACD=,
在Rt△DBC中,tanB=,
∴=,即CD2=AD·BD.