2021-2022学年华东师大版数学九年级上册24.2 直角三角形的性质 同步练习（word版含答案）

24.2
直角三角形的性质
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，∠ABC的角平分线与线段AC相交于点D，若CD＝8，则AD的长（
）
A．6
B．5
C．4
D．3
2．如图，∠EOF＝30°，Q为射线OE上一个动点，P为射线OF上一点，且OP＝4，则线段PQ的长度的最小值为（
）
A．4
B．
C．
D．2
3．直角三角形中，两条直角边长分别是12和5，则斜边中线长是（
）
A．6
B．6.5
C．
D．13
4．如图，有一架梯子斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，在墙角（点O处）有一只猫紧紧盯住位于梯子（AB）正中间（点P处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子A端沿墙下滑，且梯子B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离（
）
A．不变
B．变小
C．变大
D．无法判断
5．在中，点在上，，，则的长是（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在矩形中，，过对角线的中点作，分别交、于、，点为的中点，若，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝12，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
8．如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，AB＝4，M为AB的中点，MN⊥BC，则△MNB的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在中，，点在上，且连接，若，则的大小是（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在菱形AB中，∠ABC＝50°，对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，连接OE，则∠AOE的度数是（
）
A．110°
B．112°
C．115°
D．（5，1）
11．如图，在中，，，分别是，的中点，，，则（
）
A．
B．6
C．8
D．10
12．如图，在中，，，过点A作的垂线交于点D，平分交于点E．若，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．3
二、填空题
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF＝3，则BC的长为_______________．
14．如图，将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是__________________．
15．在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝60°，BC＝6，若点P在直线AC上（不与点A，C重合）且∠ABP＝30°，则CP的长为
__________________．
16．如图，在Rt△ABC中，CD是AB斜边上的中线，如果CD=2cm，那么AB=______cm．
17．如图，在中，，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若，则EF的长度为____________．
三、解答题
18．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，，求FC的长度．
19．如图，在菱形ABCD中，∠ACD＝30°，BD＝8，求AC的长．
20．如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：DF＝AB；
（2）若∠FDC＝30°，且AB＝6，求AD的长．
21．如图在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若点E
是AB中点，CD＝1，求BD的长．
参考答案
1．C
解：在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，
则∠ABC=90°-30°=60°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠C=∠CBD，
∴BD=CD=8，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，BD=8，
∴AD=BD=4，
故选：C．
2．D
解：过点P作PM⊥OE于M，
∴∠PMO=90°，
∵∠EOF＝30°，OP＝4，
∴PM=2，
当点Q与点M重合时，PQ最短，
∴线段PQ的长度的最小值为2，
故选：D
3．B
解：∵直角三角形中，两直角边长分别为12和5，
∴斜边=，
则斜边中线长是6.5，
故选：B．
4．A
解：如图，连接OP，
由题意可知：点P为AB的中点，∠AOB=
，
在
中，
，
若梯子A端沿墙下滑，且梯子B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，OP始终等于AB的一半，故OP的长不变，即猫与老鼠的距离不变．
故选：A
5．B
解：取的中点，作于点，连接，如右图所示，
，，
，，，
点为的中点，
，，
，
，
，
，
故选：B．
6．B
解：∵EF⊥AC，
∴∠AOE=90°，
在Rt△AOE中，G是AE的中点，
∴OG=AE=AG=GE，
∴∠OAG=∠AOG=30°，
∴∠OGE=60°，
∴△OGE是等边三角形，
设OG=x=OE，
∴AE=2x，AO=x，
∵O是AC的中点，
∴AC=2AO=x，
在Rt△ABC中，
BC=AC=x，
由勾股定理得，
AB2+BC2=AC2，
∴62+（x）2=（x）2，
解得x=2．
∴OG=2，
故选：B．
7．C
解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC=12，
∴DE=BC=×12=6．
∵∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=8，
∴DF=AB=×8=4，
∴EF=DE-DF=6-4=2．
故选：C．
8．A
解：，，
为等腰三角形，．
为中点，，
，
又，则在中，
，，
故．
故选：A．
9．C
解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT．
∵∠BAC=90°，FD⊥BC，
∴∠CAF=∠CDF=90°，
∴AT=DT=CF，
∴TD=TC=TA，
∴∠TDA=∠TAD，∠TDC=∠TCD，
∵∠ADB=45°，
∴∠ADT+∠TDC=135°，
∴∠ATC=360°-2×135°=90°，
∴AT⊥CF，
∵CT=TF，
∴AC=AF，
∴∠AFC=45°，
∴∠BFD=45°-32°=13°，
∵∠BDF=90°，
∴∠B=90°-∠BFD=77°，
故选：C．
10．C
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC=∠ABC＝50°，AC⊥BD，
∴，
，
∵E为CD的中点，
∴OE=CE=DE，
∴，
∴，
故选：C．
11．C
解：∵D、E分别是AC、AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝6，
∵∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CE＝10，
在Rt△ABC中，AC＝＝8．
故选：C．
12．B
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
如图，过点作于点，
∴，
∵，
∴．
故选B．
13．
解：∵CB=BE，DF=FE，
∴CD=2BF=6，
∵AD=DB，∠ACB=90°，
∴AB=2CD=12，
∴BC==，
故答案为：．
14．
解：过点作于点，
在中，，，，
，，
，
∴∠BCM=30°，
，
，
在中，，，
，
，
．
故答案是：．
15．2或4
解：分两种情况：
①如图1，点P在边AC上时，
∵∠A＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠PBC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠C＝∠PBC，
∴PC＝PB，
∵∠A＝90°，BC＝6，∠C＝30°，
∴AB＝BC＝3，AC＝3，
∴AP＝，BP＝PC＝2；
②如图2，当P在直线AC上时，
同理得：AP＝，
∴PC＝+3＝4；
综上，PC的长是2或4．
故答案为：2或4．
16．4
解：∵在Rt△ABC中，CD是AB斜边上的中线，如果CD=2cm，
∴AB=4cm．
故答案为：4．
17．
解：在Rt△ABC中，D为AB的中点，
∴CD=AB=3，
∵E、F分别为AC、AD的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF=CD=，
故答案为：．
18．
解：，点D是AB的中点，DF＝3
点D、E是AB、AC的中点，
且
.
故答案为：.
19．
解：∵四边形ABCD是菱形，BD=8，
∴BO=DO=BD=4，AO=CO，AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∵∠ACD=30°，
∴CO=DO=，
∴AC=2CO=．
20．（1）见解析；（2）12
解：（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠FAD＝∠BEA．
∵DF⊥AE，
∴∠DFA＝90°＝∠B．
在△ADF和△EAB中，
∴△ADF≌△EAB（AAS）．
∴DF＝AB．
（2）,四边形是矩形
,
又∵△ADF≌△EAB
DF＝AB，
∴AD＝2AB＝2×6＝12
21．（1）见解析；（2）BD=2．
（1）解：∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△ADC和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC=AE；
（2）解：∵DE⊥AB，点E为AB的中点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠DAB=∠CAD，
∵∠C=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，
∵CD=DE=1，∠DEB=90°，
∴BD=2DE=2．